พื้นผิวครากเป็นพื้นผิวห้ามิติในปริภูมิความเค้น หกมิติ พื้นผิวครากมักจะเป็น พื้นผิว นูนและสถานะความเค้นภายในพื้นผิวครากจะเป็นแบบยืดหยุ่น เมื่อสถานะความเค้นอยู่บนพื้นผิว วัสดุจะถึงจุดครากและวัสดุจะกลายเป็นพลาสติกการเสียรูปเพิ่มเติมของวัสดุทำให้สถานะความเค้นยังคงอยู่บนพื้นผิวคราก แม้ว่ารูปร่างและขนาดของพื้นผิวอาจเปลี่ยนแปลงไปตามการเสียรูปพลาสติกที่เกิดขึ้นก็ตาม ทั้งนี้เนื่องจากสถานะความเค้นที่อยู่นอกพื้นผิวครากนั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในพลาสติกที่ไม่ขึ้นกับอัตราแม้ว่าจะเกิดขึ้นได้ในบางแบบจำลองของวิสโคพลาสติกก็ตาม^{[ 1 ]}

พื้นผิวการคายตัวมักแสดงออกมาในรูปของ (และมองเห็นภาพใน) พื้นที่ ความเค้นหลักสามมิติ( ) พื้นที่สองหรือสามมิติที่ครอบคลุมโดยค่าคงที่ความเค้น ( ) หรือเวอร์ชันของ พื้นที่ความเค้น Haigh–Westergaardสามมิติดังนั้นเราอาจเขียนสมการของพื้นผิวการคายตัว (นั่นคือ ฟังก์ชันการคายตัว) ในรูปแบบ: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$แรงเค้นหลักอยู่ที่ไหน${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$โดยที่คือค่าคงที่หลักแรกของความเค้นโคชี และคือค่าคงที่หลักที่สองและสามของส่วนเบี่ยงเบนของความเค้นโคชี${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$โดยที่เป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดของและและเป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle p,q}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$โดยที่เวอร์ชันที่ปรับขนาดของและและคือมุมความเค้น^{[ 2 ]}หรือมุม Lode ^{[ 3 ]}${\displaystyle \xi ,\rho }$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \theta }$

ค่าคงที่หลักแรก ( ) ของความเค้นโคชี ( ) และค่าคงที่หลักที่สองและสาม ( ) ของ ส่วน เบี่ยงเบน ( ) ของความเค้นโคชีถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

โดยที่ ( ) คือค่าหลักของ, ( ) คือค่าหลักของ, และ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

เมท ริกซ์เอกลักษณ์อยู่ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ชุดปริมาณที่เกี่ยวข้อง ( ) จะถูกใช้เพื่ออธิบายพื้นผิวผลผลิตสำหรับวัสดุเสียดทานที่มีความเหนียวแน่นเช่น หิน ดิน และเซรามิก โดยจะกำหนดดังนี้ ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

โดยที่คือความเค้นสมมูลอย่างไรก็ตาม ความเป็นไปได้ที่ค่า จะเป็นลบและค่าจินตนาการที่เกิดขึ้นทำให้การใช้ปริมาณเหล่านี้ในทางปฏิบัติเป็นปัญหา ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle r}$

ชุดค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องอีกชุดหนึ่งซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายคือ ( ) ซึ่งอธิบายระบบพิกัดทรงกระบอก ( พิกัด Haigh–Westergaard ) โดยกำหนดดังนี้: ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

ระนาบ นี้ยังเรียกว่าระนาบเรนดูลลิกมุมนี้เรียกว่ามุมความเค้น ค่านี้บางครั้งเรียกว่าพารามิเตอร์โลด^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}และความสัมพันธ์ระหว่างและได้รับการเสนอครั้งแรกโดยโนโวซิลอฟ วีวี ในปี 1951 ^{[ 7 ]}ดูเพิ่มเติมที่^{[ 8 ]}${\displaystyle \xi -\rho \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos(3\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

ความเค้นหลักและพิกัด Haigh–Westergaard มีความสัมพันธ์กันโดย

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

คำจำกัดความที่แตกต่างกันของมุม Lode สามารถพบได้ในเอกสาร: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

ในกรณีนี้ ความเค้นหลักที่เรียงลำดับ (โดยที่) จะมีความสัมพันธ์กันโดย^{[ 10 ]}${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

หมายเหตุข้อมูลที่ว่า Chakrabarty กำหนดมุมโหมดความเค้นเฉือนด้วย sin(3Teta) นั้นไม่ถูกต้อง (เท็จ) Chakrabarty ใช้พารามิเตอร์ Lode ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับที่ปรากฏในเอกสารต้นฉบับของ Lode จากปี 1926 ดูหน้า 59 สูตร (3) ในหนังสือ «Chakrabarty, Jagabanduhu; 2006, Theory of Plasticity: Third edition, Elsevier, Amsterdam.» จริงๆ แล้ว Chakrabarty ได้กำหนดมุมของโหมดความเค้นเฉือนด้วย -sin(3Teta) เช่นเดียวกับที่เคยทำเป็นครั้งแรกที่ VV Novozhilov ในงานของเขาตั้งแต่ปี 1951, Novozhilov VV, «O связи между напряжениями и деформациями в нелинейно упругой среде» (เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดในสื่อยืดหยุ่นที่ไม่เป็นเชิงเส้น), Прикладная математика и механика, 1951, p. 183-194; https://pmm.ipmnet.ru/ru/get/1951/15-2/183-194 งานชิ้นแรกที่นำเสนอข้อโต้แย้งและการอภิปรายอย่างมีเหตุผลว่าเหตุใดจึงควรและมีประโยชน์ในการกำหนดมุมโหมดความเค้นเฉือนด้วยฟังก์ชัน sin(.) โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมุม theta คืองานของ Ziolkowski เรื่อง «Parametrization of Cauchy Stress Tensor Treated as Autonomous Object Using Isotropy Angle and Skewness Angle» จากปี 2022 https://et.ippt.pan.pl/index.php/et/article/view/2210 ซึ่งอธิบายว่าการนำคำจำกัดความของมุมโหมดความเค้นเฉือนด้วยฟังก์ชัน sin(.) มาใช้ในทางกายภาพหมายถึงการยอมรับการเฉือนบริสุทธิ์เป็นสถานะอ้างอิงในการเปรียบเทียบและมีการอธิบายว่าเหตุใดจึงมีประโยชน์มาก^{[ 11 ]}

ในทางวิศวกรรมมีพื้นผิวผลผลิตที่แตกต่างกันหลายแบบ และแบบที่นิยมใช้มากที่สุดมีดังต่อไปนี้

เกณฑ์การครากของ Tresca ถือเป็นผลงานของHenri Tresca [ ^{12 ] นอกจาก}นี้ยังรู้จักกันในชื่อทฤษฎีความเค้นเฉือนสูงสุด (MSST) และเกณฑ์ Tresca–Guest ^{[ 13 ]} (TG) เกณฑ์ Tresca จะแสดงออกมาในรูปของความเค้นหลักดังนี้

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

ค่าความแข็งแรงครากในแนวเฉือนอยู่ที่ใด และค่าความแข็งแรงครากในแนวดึงอยู่ ที่ใด${\displaystyle S_{sy}}$${\displaystyle S_{y}}$

รูปที่ 1 แสดงพื้นผิวการคายตัวของ Tresca–Guest ในพื้นที่สามมิติของความเค้นหลัก เป็นปริซึมหกด้านที่มีความยาวอนันต์ หมายความว่าวัสดุจะยังคงอยู่ในสภาวะยืดหยุ่นเมื่อความเค้นหลักทั้งสามมีค่าใกล้เคียงกัน ( ความดันไฮโดรสแตติก ) ไม่ว่าจะถูกบีบอัดหรือยืดออกมากเพียงใด อย่างไรก็ตาม เมื่อความเค้นหลักตัวใดตัวหนึ่งมีค่าน้อยกว่า (หรือมากกว่า) ตัวอื่นๆ วัสดุจะเกิดการเฉือน ในสถานการณ์เช่นนี้ หากความเค้นเฉือนถึงขีดจำกัดการคายตัว วัสดุจะเข้าสู่สภาวะพลาสติก รูปที่ 2 แสดงพื้นผิวการคายตัวของ Tresca–Guest ในพื้นที่ความเค้นสองมิติ เป็นหน้าตัดของปริซึมตามระนาบ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

เกณฑ์การครากของฟอน มิเซส แสดงออกมาในรูปของความเค้นหลักดังนี้

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

จุดครากในการดึงแบบแกนเดียวอยู่ ที่ไหน${\displaystyle S_{y}}$

รูปที่ 3 แสดงพื้นผิวการคายตัวของฟอน มิเซสในปริภูมิสามมิติของความเค้นหลัก เป็นทรงกระบอก วงกลม ที่มีความยาวอนันต์ โดยมีแกนเอียงทำมุมเท่ากันกับความเค้นหลักทั้งสาม รูปที่ 4 แสดงพื้นผิวการคายตัวของฟอน มิเซสในปริภูมิสองมิติเมื่อเปรียบเทียบกับเกณฑ์ของเทรสกา-เกสต์ การตัดขวางทรงกระบอกฟอน มิเซสบนระนาบจะทำให้พื้นผิวการคายตัวมีรูปร่าง เป็นวงรี${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

เกณฑ์นี้^{[ 14 ] [ 15 ]}ได้รับการกำหนดใหม่เป็นฟังก์ชันของโหนดไฮโดรสแตติกที่มีพิกัดและ${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

แสดงถึงสมการทั่วไปของพื้นผิวการหมุน ลำดับที่สองรอบ แกนไฮโดรสแตติก กรณีพิเศษบางกรณีได้แก่: ^{[ 16 ]}

• กระบอกสูบ(แม็กซ์เวลล์ (1865), ฮูเบอร์ (1904), ฟอน มิเซส (1913), เฮนกี (1924))${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• กรวย(Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953))${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• พาราโบลาลอยด์(Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• ทรงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ระนาบสมมาตร( เบลทรามิ (1885))${\displaystyle I_{1}=0}$${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• ทรงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ ที่ ระนาบสมมาตร(Schleicher (1926))${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่น(Burzynski (1928), Yagn (1931))${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ระนาบสมมาตร, , (Kuhn (1980))${\displaystyle I_{1}=0}$${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียว( Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975))${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงอัด-แรงดึง และแรงบิด-แรงดึง สามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

อัตราส่วนปัวซองที่สภาวะดึงและอัดได้มาจากการใช้

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

สำหรับวัสดุที่อ่อนตัวได้ ข้อจำกัด

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

เป็นสิ่งสำคัญ การประยุกต์ใช้เกณฑ์สมมาตรเชิงการหมุนสำหรับการแตกหักแบบเปราะด้วย

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

ยังไม่ได้มีการศึกษาอย่างเพียงพอ^{[ 17 ]}

เกณฑ์ Burzyński-Yagn เหมาะสำหรับวัตถุประสงค์ทางวิชาการ สำหรับการใช้งานจริง ควรนำค่าคงที่ตัวที่สามของตัวเบี่ยงเบนในกำลังคี่และคู่มาใช้ในสมการ เช่น^{[ 18 ]}

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

เกณฑ์ Huber ประกอบด้วยทรงรี Beltrami และทรงกระบอก von Mises ที่ปรับขนาดในปริภูมิความเค้นหลัก^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ดูเพิ่มเติมที่^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

โดยที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างพื้นผิวในภาคตัดขวางนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง เกณฑ์นี้แสดงถึง "มุมมองแบบคลาสสิก" เกี่ยวกับพฤติกรรมของวัสดุที่ไม่ยืดหยุ่น: ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$${\displaystyle I_{1}=0}$

• พฤติกรรมของวัสดุที่ไวต่อแรงกดสำหรับและ${\displaystyle I_{1}>0}$${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• พฤติกรรมของวัสดุที่ไม่ไวต่อแรงดันสำหรับ ${\displaystyle I_{1}<0}$${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

เกณฑ์ของ Huber สามารถใช้เป็นพื้นผิวผลผลิตได้ โดยมีข้อจำกัดเชิงประจักษ์สำหรับอัตราส่วนปัวซองที่แรงดึงซึ่งนำไปสู่ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

เกณฑ์ Huber ที่แก้ไขแล้ว^{[ 25 ] [ 24 ]}ดูเพิ่มเติม^{[ 26 ]}เปรียบเทียบ^{[ 27 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

ประกอบด้วยทรงรีของชไลเชอร์ โดยมีข้อจำกัดของอัตราส่วนปัวซองที่จุดอัด

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

และทรงกระบอกที่มีการเปลี่ยนผ่านในหน้าตัดการตั้งค่าพารามิเตอร์ครั้งที่สองจะตามมาด้วยความสัมพันธ์ระหว่างการบีบอัด/การดึง ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

เกณฑ์ Huber ที่ปรับปรุงแล้วสามารถปรับให้เข้ากับข้อมูลที่วัดได้ดีกว่าเกณฑ์ Huber สำหรับการตั้งค่า ให้ทำตามนี้ และ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

ควรเลือกใช้เกณฑ์ Huber และเกณฑ์ Huber ที่ปรับปรุงแล้วแทนเกณฑ์ von Mises เนื่องจากจะได้ผลลัพธ์ที่ปลอดภัยกว่าในบริเวณนั้น สำหรับการใช้งานจริง ควรพิจารณาค่าคงที่ตัวที่สามของตัวเบี่ยงเบน ในเกณฑ์เหล่านี้ ^{[ 24 ]}${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$${\displaystyle I_{3}'}$

เกณฑ์การคราก (การแตกหัก) ของ Mohr–Coulombคล้ายกับเกณฑ์ของ Tresca โดยมีข้อกำหนดเพิ่มเติมสำหรับวัสดุที่มีความแข็งแรงครากด้านแรงดึงและแรงอัดแตกต่างกัน แบบจำลองนี้มักใช้ในการจำลองคอนกรีต ดินหรือวัสดุเม็ดเกณฑ์การครากของ Mohr–Coulomb สามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

ที่ไหน

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

และพารามิเตอร์และคือค่าความเค้นคราก (ความเค้นแตกหัก) ของวัสดุภายใต้แรงอัดและแรงดึงในแนวแกนเดียวตามลำดับ สูตรจะลดรูปเป็นเกณฑ์ของ Tresca ถ้า. ${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

รูปที่ 5 แสดงพื้นผิวการครากของ Mohr–Coulomb ในพื้นที่สามมิติของความเค้นหลัก เป็นปริซึมทรงกรวยและกำหนดมุมเอียงของพื้นผิวทรงกรวย รูปที่ 6 แสดงพื้นผิวการครากของ Mohr–Coulomb ในพื้นที่ความเค้นสองมิติ ในรูปที่ 6 และถูกใช้แทนและตามลำดับ ในสูตร เป็นหน้าตัดของปริซึมทรงกรวยนี้บนระนาบของในรูปที่ 6 Rr และ Rc ถูกใช้แทน Syc และ Syt ตามลำดับ ในสูตร ${\displaystyle K}$${\displaystyle R_{r}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

เกณฑ์การครากของ Drucker –Pragerคล้ายกับเกณฑ์การครากของ von Mises โดยมีข้อกำหนดเพิ่มเติมสำหรับการจัดการกับวัสดุที่มีความแข็งแรงครากด้านแรงดึงและแรงอัดแตกต่างกัน เกณฑ์นี้มักใช้กับคอนกรีตซึ่งทั้งแรงดึงและแรงเฉือนสามารถกำหนดการแตกหักได้ เกณฑ์การครากของ Drucker–Prager สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

ที่ไหน

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

และคือค่าความเค้นครากแบบแกนเดียวในสภาวะอัดและดึงตามลำดับ สูตรจะลดรูปเป็นสมการของฟอน มิเซสถ้า ${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

รูปที่ 7 แสดงพื้นผิวการคายตัวของ Drucker–Prager ในพื้นที่สามมิติของความเค้นหลัก เป็นรูปกรวย ปกติ รูปที่ 8 แสดงพื้นผิวการคายตัวของ Drucker–Prager ในพื้นที่สองมิติ โดเมนยืดหยุ่นรูปวงรีเป็นหน้าตัดของกรวยบนระนาบของ; สามารถเลือกให้ตัดกับพื้นผิวการคายตัวของ Mohr–Coulomb ที่จำนวนจุดยอดต่างกันได้ ทางเลือกหนึ่งคือการตัดกับพื้นผิวการคายตัวของ Mohr–Coulomb ที่จุดยอดสามจุดบนแต่ละด้านของเส้น แต่โดยทั่วไปมักเลือกตามธรรมเนียมให้เป็นจุดยอดในระบอบการบีบอัด^{[ 28 ]}อีกทางเลือกหนึ่งคือการตัดกับพื้นผิวการคายตัวของ Mohr–Coulomb ที่จุดยอดสี่จุดบนแกนทั้งสอง (แบบแกนเดียว) หรือที่จุดยอดสองจุดบนแนวทแยง(แบบสองแกน) ^{[ 29 ]}เกณฑ์การคายตัวของ Drucker-Prager มักแสดงในรูปของความเหนียวแน่นของวัสดุและมุมเสียดทานด้วย ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

เกณฑ์การครากของเบรสเลอร์-พิสเตอร์เป็นส่วนขยายของเกณฑ์การครากของดรักเกอร์-พราเกอร์ที่ใช้พารามิเตอร์สามตัว และมีเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับวัสดุที่เกิดการครากภายใต้แรงอัดไฮโดรสแตติก ในแง่ของความเค้นหลัก เกณฑ์การครากนี้สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ของวัสดุ พารามิเตอร์เพิ่มเติมทำให้พื้นผิวการคายตัวมี หน้าตัด เป็นทรงรีเมื่อมองจากทิศทางตั้งฉากกับแกน ถ้าคือความเค้นคายตัวในการอัดแบบแกนเดียวคือความเค้นคายตัวในการดึงแบบแกนเดียว และคือความเค้นคายตัวในการอัดแบบสองแกน พารามิเตอร์สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

เกณฑ์ผลผลิต Willam–Warnkeเป็นเกณฑ์ผลผลิต Mohr–Coulomb เวอร์ชันปรับเรียบที่มีสามพารามิเตอร์ซึ่งมีรูปแบบคล้ายคลึงกับเกณฑ์ผลผลิต Drucker–PragerและBresler–Pister

เกณฑ์ผลผลิตมีรูปแบบเชิงฟังก์ชันดังนี้

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

อย่างไรก็ตาม มักจะแสดงในพิกัด Haigh–Westergaard ดังนี้

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

เมื่อมองจากแนวแกนตัดขวางของพื้นผิว จะได้รูปสามเหลี่ยมที่เรียบ (ต่างจากของ Mohr–Coulomb) พื้นผิวการคายตัวของ Willam–Warnke มีลักษณะนูน และมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองที่ไม่ซ้ำกันและกำหนดไว้อย่างดีในทุกจุดบนพื้นผิว ดังนั้นแบบจำลอง Willam–Warnke จึงมีความเสถียรในการคำนวณและถูกนำไปใช้กับวัสดุที่มีแรงเสียดทานและแรงยึดเกาะหลากหลายชนิด

เมื่อปรับให้เป็นมาตรฐานโดยสัมพันธ์กับความเค้นดึงแบบแกนเดียวเกณฑ์ของ Podgórski ^{[ 30 ]} จะเป็น ฟังก์ชัน ของมุมความเค้นดังนี้${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

โดยมีฟังก์ชันรูปร่างของสมมาตรสามเหลี่ยมในระนาบ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

ประกอบด้วยเกณฑ์ของ von Mises (วงกลมในระนาบ -, , ), Tresca (รูปหกเหลี่ยมปกติ, , ), Mariotte (รูปสามเหลี่ยมปกติ, , ), Ivlev ^{[ 31 ]} (รูปสามเหลี่ยมปกติ, , ) และเกณฑ์ลูกบาศก์ของ Sayir ^{[ 32 ]} (เกณฑ์ Ottosen ^{[ 33 ]} ) พร้อมด้วยและรูปหกเหลี่ยมไอโซทอกซัล (ด้านเท่า) ของเกณฑ์ Capurso ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 34 ]} พร้อมด้วยการเปลี่ยนผ่าน von Mises - Tresca ^{[ 35 ]} เป็นไปตาม พร้อมด้วย, รูปหกเหลี่ยมไอโซโกนัล (มุมเท่า) ของเกณฑ์ Haythornthwaite ^{[ 24 ] [ 36 ] [ 37 ]}ที่มีเกณฑ์ Schmidt-Ishlinsky (รูปหกเหลี่ยมปกติ) ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเกณฑ์ Podgórski ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$${\displaystyle \chi _{3}=0}$${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

เกณฑ์ของ Rosendahl ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}อ่านว่า

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

โดยมีฟังก์ชันรูปร่างของสมมาตรหกเหลี่ยมในระนาบ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

ประกอบด้วยเกณฑ์ของ von Mises (วงกลม, , ), Tresca (หกเหลี่ยมปกติ, , ), Schmidt—Ishlinsky (หกเหลี่ยมปกติ, , ), Sokolovsky (สิบสองเหลี่ยมปกติ, , ) และเกณฑ์ bicubic ^{[ 24 ] [ 38 ] [ 41 ] [ 42 ]} ที่มีหรือเท่ากับและสิบสองเหลี่ยม isotoxal ของเกณฑ์ผลผลิตรวมของ Yu ^{[ 43 ]}ที่มีสิบสองเหลี่ยม isogonal ของเกณฑ์ ansatz แบบคูณของสมมาตรหกเหลี่ยม^{[ 24 ]}ที่มีเกณฑ์ Ishlinsky-Ivlev (สิบสองเหลี่ยมปกติ) ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเกณฑ์ Rosendahl ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$${\displaystyle \chi _{6}=0}$${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=0}$${\displaystyle \beta _{6}=1}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

เกณฑ์ของ Podgórski และ Rosendahl อธิบายพื้นผิวเดี่ยวในปริภูมิความเค้นหลักโดยไม่มีเส้นขอบภายนอกเพิ่มเติมและการตัดกันของระนาบ โปรดทราบว่าเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเชิงตัวเลขสามารถนำฟังก์ชันส่วนจริงมาใช้ในฟังก์ชันรูปร่างได้: และการวางนัยทั่วไปในรูปแบบ^{[ 38 ]}มีความเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบทางทฤษฎี ${\displaystyle Re}$${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$${\displaystyle \Omega _{3n}}$

การขยายเกณฑ์ที่ไวต่อแรงดันสามารถทำได้ด้วยการแทนที่ เชิงเส้น ^{[ 24 ]}${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

ซึ่งเพียงพอสำหรับการใช้งานหลายประเภท เช่น โลหะ เหล็กหล่อ โลหะผสม คอนกรีต โพลิเมอร์ที่ไม่เสริมแรง เป็นต้น

เกณฑ์ผลผลิต Bigoni –Piccolroaz ^{[ 44 ] [ 45 ]}เป็นพื้นผิวเจ็ดพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

ฟังก์ชัน "เส้นเมริเดียน" อยู่ ที่ไหน${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

อธิบายความไวต่อแรงดันและเป็นฟังก์ชัน "เบี่ยงเบน" ^{[ 46 ]}${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

อธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่า Lode กับผลผลิต พารามิเตอร์วัสดุทั้งเจ็ดที่ไม่เป็นลบ:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

กำหนดรูปร่างของส่วนตัดตามแนวเส้นเมริเดียนและแนวเส้นเบี่ยงเบน

เกณฑ์นี้แสดงถึงพื้นผิวเรียบและนูน ซึ่งปิดทั้งแรงดึงและแรงอัดไฮโดรสแตติก และมีรูปร่างคล้ายหยดน้ำ เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการอธิบายวัสดุที่มีแรงเสียดทานและวัสดุเม็ด เกณฑ์นี้ยังได้รับการขยายไปสู่กรณีของพื้นผิวที่มีมุมอีกด้วย^{[ 47 ]}

ในพื้นที่ 3 มิติของความเค้นหลัก

ในระนาบ${\displaystyle \pi }$

พื้นผิวผลผลิตของ Bigoni-Piccolroaz

สำหรับการกำหนดเกณฑ์ความแข็งแรง มุมความเค้น

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

สามารถนำไปใช้ได้

เกณฑ์ต่อไปนี้สำหรับพฤติกรรมของวัสดุไอโซโทรปิก

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

ประกอบด้วยเกณฑ์อื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักกันดีแต่ไม่เฉพาะเจาะจงหลายประการ หากเลือกค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสม

พารามิเตอร์และอธิบายรูปทรงเรขาคณิตของพื้นผิวในระนาบ โดยอยู่ภายใต้ข้อจำกัดต่างๆ ${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle c_{6}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

ซึ่งเป็นผลมาจากเงื่อนไขความนูน มีการเสนอการกำหนดข้อจำกัดที่สามที่แม่นยำยิ่งขึ้นใน^{[ 48 ] [ 49 ]}

พารามิเตอร์และอธิบายตำแหน่งของจุดตัดของพื้นผิวการคายตัวกับแกนไฮโดรสแตติก (เส้นทแยงมุมในปริภูมิความเค้นหลัก) จุดตัดเหล่านี้เรียกว่าโหนดไฮโดรสแตติก ในกรณีของวัสดุที่ไม่เกิดการแตกหักที่ความดันไฮโดรสแตติก (เหล็ก ทองเหลือง ฯลฯ) จะได้. ในทางกลับกัน สำหรับวัสดุที่เกิดการแตกหักที่ความดันไฮโดรสแตติก (โฟมแข็ง เซรามิก วัสดุเผาผนึก ฯลฯ) จะได้. ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

เลขชี้กำลังจำนวนเต็มและอธิบาย ความโค้งของเส้นเมริเดียน เส้นเมริเดียนที่มีเป็นเส้นตรง และเส้นเมริเดียนที่มีเป็นพาราโบลา ${\displaystyle l\geq 0}$${\displaystyle m\geq 0}$${\displaystyle l+m<6}$${\displaystyle l=m=0}$${\displaystyle l=0}$

สำหรับวัสดุแอนไอโซโทรปิก คุณสมบัติทางกลจะแตกต่างกันไปตามทิศทางของกระบวนการที่ใช้ (เช่น การรีด) ดังนั้น การใช้ฟังก์ชันความเค้นคราคแบบแอนไอโซโทรปิกจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง ตั้งแต่ปี 1989 Frederic Barlatได้พัฒนาชุดฟังก์ชันความเค้นคราคสำหรับการสร้างแบบจำลองเชิงโครงสร้างของแอนไอโซโทรปิกพลาสติก ในบรรดาฟังก์ชันเหล่านั้น เกณฑ์ความเค้นคราค Yld2000-2D ได้ถูกนำไปใช้กับโลหะแผ่นหลากหลายชนิด (เช่น โลหะผสมอะลูมิเนียมและเหล็กกล้าความแข็งแรงสูงขั้นสูง) แบบจำลอง Yld2000-2D เป็นฟังก์ชันความเค้นคราคแบบไม่ใช้กำลังสอง โดยอาศัยการแปลงเชิงเส้นสองครั้งของเทนเซอร์ความเค้น:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

โดยที่ความเค้นประสิทธิผลคือ และและคือเมทริกซ์ที่แปลงแล้ว (โดยการแปลงเชิงเส้น C หรือ L):${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

โดยที่ s คือเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบน

สำหรับค่าหลักของ X' และ X” นั้น สามารถแสดงแบบจำลองได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

และ:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

พารามิเตอร์ ทั้งแปดของแบบจำลอง Yld2000-2D ของ Barlat จะต้องได้รับการระบุด้วยชุดการทดลอง ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$