ในเรขาคณิตแบบยุคลิดการแปลงแบบแอฟฟินหรือความสัมพันธ์แบบแอฟฟิน (มาจากภาษาละตินaffinisซึ่งแปลว่า "เชื่อมต่อด้วย") คือการแปลงทางเรขาคณิตที่รักษาเส้นตรงและความขนานไว้ แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาระยะทางและมุม แบบยุคลิดไว้ ด้วย

โดยทั่วไปแล้ว การแปลงเชิงเส้นตรง (affine transformation) คือออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงเส้นตรง (ปริภูมิยุคลิดเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรงเฉพาะ) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันที่แมปปริภูมิเชิงเส้นตรงไปยังตัวมันเอง โดยรักษาทั้งมิติของปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง ใดๆ (หมายความว่ามันส่งจุดไปยังจุด เส้นไปยังเส้น ระนาบไปยังระนาบ และอื่นๆ) และอัตราส่วนของความยาวของ ส่วนของเส้น ตรงที่ขนานกันดังนั้น เซตของปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่ขนานกันจะยังคงขนานกันหลังจากการแปลงเชิงเส้นตรง การแปลงเชิงเส้นตรงไม่จำเป็นต้องรักษาค่ามุมระหว่างเส้นหรือระยะทางระหว่างจุด แต่จะรักษาอัตราส่วนของระยะทางระหว่างจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ถ้าXคือเซตของจุดในปริภูมิแอฟฟิน การแปลงแอฟฟินทุกรูปแบบบนXสามารถแสดงได้ในรูปของการประกอบกันของการแปลงเชิงเส้นบนXและการเลื่อนตำแหน่งของXซึ่งแตกต่างจากการแปลงเชิงเส้นล้วนๆ การแปลงแอฟฟินไม่จำเป็นต้องรักษาจุดกำเนิดของปริภูมิแอฟฟินไว้ ดังนั้น การแปลงเชิงเส้นทุกรูปแบบจึงเป็นการแปลงแอฟฟิน แต่การแปลงแอฟฟินทุกรูปแบบไม่จำเป็นต้องเป็นการแปลงเชิงเส้นเสมอไป

ตัวอย่างของการแปลงเชิงเส้นตรง ได้แก่ การเลื่อนการปรับขนาด การแปลงแบบโฮโมเทตีการแปลงแบบคล้ายคลึงการสะท้อนการหมุนการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกการแมปแบบ เฉือน และการรวมกันของการแปลงเหล่านี้ในรูปแบบและลำดับใดๆ ก็ได้

เมื่อมองปริภูมิแอฟฟินว่าเป็นส่วนเติมเต็มของระนาบอนันต์ของปริภูมิเชิงฉายการแปลงแอฟฟินจึงเป็นการแปลงเชิงฉายของปริภูมิเชิงฉายนั้น ซึ่งทำให้ระนาบอนันต์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยจำกัดอยู่บนส่วนเติมเต็มของระนาบนั้น

การวางนัยทั่วไปของการแปลงเชิงเส้นคือแผนที่เชิงเส้น^{[ 1 ]} (หรือโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นหรือการแมปเชิงเส้น ) ระหว่างปริภูมิเชิงเส้นสองปริภูมิ (ที่อาจแตกต่างกัน) เหนือฟิลด์k เดียวกัน ให้( X , V , k )และ( Z , W , k )เป็นปริภูมิเชิงเส้นสองปริภูมิ โดยที่XและZเป็นเซตของจุด และVและW เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องตามลำดับเหนือฟิลด์kแผนที่f  : X → Zเป็นแผนที่เชิงเส้นถ้ามีแผนที่เชิงเส้นm _f  : V → W อยู่ เช่นนั้นm _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y )สำหรับทุกx, ^yในX ^{[ 2} ]

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงเส้นเหนือฟิลด์kและVเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องการแปลงเชิงเส้นคือฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง fจากXไปยังตัวมันเองซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นนั่นหมายความว่าแผนที่เชิงเส้นgจากVไปยังVนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีโดยสมการนี้ ตามปกติ การลบจุดสองจุดหมายถึงเวกเตอร์อิสระจากจุดที่สองไปยังจุดแรก และ " ถูกกำหนดไว้อย่างดี " หมายความว่า${\displaystyle g(yx)=f(y)-f(x);}$${\displaystyle yx=y'-x'}$${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

ถ้ามิติของXมีค่าอย่างน้อยสอง การแปลงเซมิแอฟฟินfของXจะเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากXไปยังตัวมันเองซึ่งสอดคล้องกับ: ^{[ 3 ]}

1. สำหรับปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงdมิติSของX ทุกปริภูมิ แล้วf ( S )ก็เป็น ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง dมิติของX เช่น กัน
2. ถ้าSและTเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นขนานของXแล้วf ( S )และ f ( T )จะขนานกัน

เงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นไปตามการแปลงเชิงเส้น และแสดงถึงความหมายที่แท้จริงของวลีที่ว่า " fรักษาความขนาน"

เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ได้เป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากเงื่อนไขที่สองเป็นผลมาจากเงื่อนไขแรก^{[ 4 ]}ยิ่งไปกว่านั้น หากฟิลด์kมีองค์ประกอบอย่างน้อยสามรายการ เงื่อนไขแรกสามารถลดรูปได้เป็น: fเป็นเส้นตรงนั่นคือ มันแมปเส้นตรงไปยังเส้นตรง^{[ 5 ]}

ตามนิยามของปริภูมิแอฟฟินVกระทำต่อXดังนั้นสำหรับทุกคู่ในX × VจะมีจุดyในX ที่เกี่ยวข้อง เราสามารถแสดงการกระทำนี้ด้วย ที่นี่เราใช้ข้อตกลงว่า เป็นสัญลักษณ์สองแบบที่สลับกันได้สำหรับองค์ประกอบของVโดยการกำหนดจุดcในXเราสามารถกำหนดฟังก์ชันm _c  : X → V ได้ โดยm _c ( x ) = cx →สำหรับc ใดๆ ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันm _c ⁻¹  : V → Xที่กำหนดโดยฟังก์ชันเหล่านี้สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนXให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ (โดยสัมพันธ์กับจุดc ) โดยการกำหนด: ^{[ 6 ]}${\displaystyle (x,\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y}$${\displaystyle {\vec {v}}={\textbf {v}}}$${\displaystyle m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)}$

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ สำหรับทุก }}x,y{\text{ ใน }}X,}$และ
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ สำหรับทุก }}r{\text{ ใน }}k{\text{ และ }}x{\text{ ใน }}X.}$

ปริภูมิเวกเตอร์นี้มีจุดกำเนิดที่cและโดยหลักการแล้วจำเป็นต้องแยกแยะออกจากปริภูมิเชิงเส้นXแต่โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์เดียวกันและระบุว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์หลังจากระบุจุดกำเนิดแล้ว การระบุเช่นนี้ทำให้สามารถมองจุดเป็นเวกเตอร์และในทางกลับกันได้

สำหรับการแปลงเชิงเส้นλ ใดๆ ของVเราสามารถกำหนดฟังก์ชันL ( c , λ ) : X → Xได้โดย $${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$$

จากนั้นL ( c , λ )เป็นการแปลงเชิงเส้นของXซึ่งทำให้จุดcคงที่[ ^{7 ] เป็นการ}แปลงเชิงเส้นของXซึ่งมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดc

ให้σเป็นการแปลงเชิงเส้นของXเลือกจุดcในXและพิจารณาการแปลของXโดยเวกเตอร์ซึ่งแสดงด้วยT _wการแปลเป็นการแปลงเชิงเส้น และการประกอบของการแปลงเชิงเส้นก็เป็นการแปลงเชิงเส้นเช่นกัน สำหรับการเลือกc นี้ จะมีการแปลงเชิงเส้นλ ที่ไม่ซ้ำกัน ของVเช่นนั้น^{[ 8 ]} นั่นคือ การแปลงเชิงเส้นของX ใดๆ เป็นการประกอบของการแปลงเชิงเส้นของX (มองเป็นปริภูมิเวกเตอร์) และการแปลของX${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$$${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$$

การแสดงการแปลงเชิงเส้นแบบนี้มักถือเป็นนิยามของการแปลงเชิงเส้น (โดยที่การเลือกจุดกำเนิดเป็นไปโดยปริยาย) ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

ดังแสดงข้างต้น แผนที่เชิงเส้น (affine map) คือการประกอบกันของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ได้แก่ การเลื่อนและการแปลงเชิงเส้น พีชคณิตเวกเตอร์ทั่วไปใช้การคูณเมทริกซ์เพื่อแสดงการแปลงเชิงเส้น และการบวกเวกเตอร์เพื่อแสดงการเลื่อน ในทางทฤษฎี ในกรณีมิติจำกัด ถ้าการแปลงเชิงเส้นแสดงด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์ผกผันและการเลื่อนแสดงด้วยการบวกเวกเตอร์แผนที่เชิงเส้นที่กระทำต่อเวกเตอร์สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$$

การใช้เมทริกซ์เสริมและเวกเตอร์เสริม ทำให้สามารถแสดงทั้งการเลื่อนและการแปลงเชิงเส้นได้โดยใช้การคูณเมทริกซ์ เพียงครั้งเดียว เทคนิคนี้ต้องการให้เวกเตอร์ทั้งหมดถูกเสริมด้วย "1" ที่ส่วนท้าย และเมทริกซ์ทั้งหมดถูกเสริมด้วยแถวศูนย์พิเศษที่ด้านล่าง คอลัมน์พิเศษ—เวกเตอร์การเลื่อน—ทางด้านขวา และ "1" ที่มุมล่างขวา ถ้าเป็นเมทริกซ์ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$$

เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้

$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$$

เมทริกซ์เสริมที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่าเมทริกซ์การแปลงเชิงเส้น (affine transformation matrix ) ในกรณีทั่วไป เมื่อเวกเตอร์แถวสุดท้ายไม่ได้ถูกจำกัดให้เป็นเมทริกซ์นั้นจะกลายเป็นเมทริกซ์การแปลงเชิงฉาย (projective transformation matrix) (เนื่องจากสามารถใช้ในการแปลงเชิงฉาย ได้เช่นกัน ) ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]}$

แผนภาพนี้แสดงเซต ของการแปลงเชิงเส้น ผกผันได้ทั้งหมดในรูปผลคูณกึ่งตรงของและซึ่งเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการประกอบฟังก์ชัน เรียกว่ากลุ่มเชิงเส้น (affine group ) ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์แบบธรรมดาจะแปลงจุดกำเนิดไปยังจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นจึงไม่สามารถแทนการเลื่อนตำแหน่งได้ ซึ่งในการเลื่อนตำแหน่งนั้น จุดกำเนิดจะต้องถูกแปลงไปยังจุดอื่นเสมอ โดยการเพิ่มพิกัด "1" เข้าไปในทุกเวกเตอร์ เราจะพิจารณาพื้นที่ที่ถูกแปลงเป็นเซตย่อยของพื้นที่ที่มีมิติเพิ่มขึ้น ในพื้นที่นั้น พื้นที่เดิมจะอยู่ในเซตย่อยที่มีพิกัดเพิ่มขึ้นเป็น 1 ดังนั้น จุดกำเนิดของพื้นที่เดิมจึงอยู่ที่การเลื่อนตำแหน่งภายในพื้นที่เดิมโดยใช้การแปลงเชิงเส้นของพื้นที่มิติสูงกว่าจึงเป็นไปได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงแบบเฉือน) พิกัดในพื้นที่มิติสูงกว่าเป็นตัวอย่างของพิกัดเอกพันธุ์ถ้าพื้นที่เดิมเป็นพื้นที่ยุคลิดพื้นที่มิติสูงกว่าจะเป็น พื้นที่ เชิง ฉายจริง${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$

ข้อดีของการใช้พิกัดเอกพันธุ์คือ เราสามารถรวมการแปลงเชิงเส้นจำนวนมากเข้าด้วยกันได้โดยการคูณเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง คุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในกราฟิกคอมพิวเตอร์วิชั่นคอมพิวเตอร์และหุ่นยนต์

สมมติว่าคุณมีจุดสามจุดที่กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่ไม่เสื่อมสภาพในระนาบ หรือจุดสี่จุดที่กำหนดรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่ไม่เสื่อมสภาพในปริภูมิ 3 มิติ หรือโดยทั่วไปมี จุด n + 1จุดx ₁ , ..., x _{n +1} ที่กำหนด รูปทรงซิมเพล็กซ์ที่ไม่เสื่อมสภาพใน ปริภูมิ nมิติ สมมติว่าคุณมีจุดปลายทางที่สอดคล้องกันy ₁ , ..., y _{n +1}โดยที่จุดใหม่เหล่านี้สามารถอยู่ในปริภูมิที่มีจำนวนมิติใดก็ได้ (ยิ่งไปกว่านั้น จุดใหม่เหล่านี้ไม่จำเป็นต้องประกอบกันเป็นรูปทรงซิมเพล็กซ์ที่ไม่เสื่อมสภาพ หรือแม้แต่ต้องแตกต่างกัน) เมทริกซ์เสริมM ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งทำให้เกิดการแปลงเชิงเส้น สำหรับทุกiคือ การใช้ การผกผันเมท ริก ซ์$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{i}\\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{i}\\1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1},}$$

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินจะรักษาคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ความร่วมเส้นตรงระหว่างจุด: จุดสามจุดขึ้นไปที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (เรียกว่าจุดร่วมเส้นตรง) จะยังคงอยู่บนเส้นตรงเดียวกันต่อไปหลังจากการแปลง
2. ความขนาน : เส้นสองเส้นหรือมากกว่านั้นที่ขนานกัน จะยังคงขนานกันต่อไปหลังจากการแปลงรูปทรง
3. ความนูนของเซต: เซตแบบนูนจะยังคงเป็นแบบนูนต่อไปหลังจากการแปลง นอกจากนี้จุดสุดขั้วของเซตเดิมจะถูกแมปไปยังจุดสุดขั้วของเซตที่แปลงแล้ว^{[ 12 ]}
4. อัตราส่วนของความยาวของส่วนของเส้นตรงขนาน: สำหรับส่วนของเส้นตรงขนานที่แตกต่างกันซึ่งกำหนดโดยจุดและตามลำดับ อัตราส่วนของต่อจะเท่ากับอัตราส่วนของต่อ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$${\displaystyle p_{3},p_{4}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. จุดศูนย์กลางมวลของกลุ่มจุดที่มีน้ำหนักถ่วง

เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นสามารถผกผันได้ดังนั้นเมทริกซ์จัตุรัส ที่ปรากฏในรูปแบบเมทริกซ์จึงสามารถผกผันได้เช่นกันดังนั้นรูปแบบเมทริกซ์ของการแปลงผกผันจึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}$$

การแปลงเชิงเส้นผกผัน (ของปริภูมิเชิงเส้นไปยังตัวมันเอง) ก่อให้เกิดกลุ่มเชิงเส้นซึ่งมีกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ที่มี ดีกรี n เป็นกลุ่มย่อย และตัวมันเองก็เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มีดีกรีn ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

การแปลงความคล้ายคลึงกันก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่เป็นสเกลาร์คูณกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากตัวอย่างเช่น ถ้าการแปลงเชิงเส้นกระทำบนระนาบ และถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเป็น 1 หรือ −1 การแปลงนั้นจะเป็นการแมปแบบเท่ากันทุกระนาบการแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่เรียกว่ากลุ่มเชิงเท่ากัน [ ^{13 ] การ}แปลงที่เป็นทั้งเชิงเท่ากันและมีความคล้ายคลึงกันคือไอโซเมตรี ของระนาบ ที่ ทำด้วยระยะทางแบบยุคลิด${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

แต่ละกลุ่มเหล่านี้มีกลุ่มย่อยของ การแปลงเชิงเส้นแบบ รักษาทิศทางหรือแบบบวก : คือการแปลงที่ค่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก ในกรณีหลังนี้ ในมิติ 3 มิติ คือกลุ่มของการแปลงแบบแข็งเกร็ง ( การหมุนที่เหมาะสมและการเลื่อนแบบบริสุทธิ์) ${\displaystyle A}$

ถ้ามีจุดคงที่จุดหนึ่ง เราสามารถใช้จุดนั้นเป็นจุดกำเนิดได้ และการแปลงเชิงเส้นจะลดลงเหลือเพียงการแปลงเชิงเส้นธรรมดา ซึ่งอาจทำให้การจำแนกและการทำความเข้าใจการแปลงง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น การอธิบายการแปลงเป็นการหมุนด้วยมุมที่กำหนดเทียบกับแกนที่กำหนด อาจทำให้เข้าใจพฤติกรรมโดยรวมของการแปลงได้ชัดเจนกว่าการอธิบายว่าเป็นผลรวมของการเลื่อนและการหมุน อย่างไรก็ตาม ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการใช้งานและบริบท

แผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเชิงเส้น สองปริภูมิ คือแผนที่บนจุดต่างๆ ที่กระทำเชิงเส้นกับเวกเตอร์ (กล่าวคือ เวกเตอร์ระหว่างจุดในปริภูมิ) ในเชิงสัญลักษณ์หมายถึงการแปลงเชิงเส้นโดยที่สำหรับจุดสองจุดใดๆ: ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$$ หรือ $${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).}$$

เราสามารถตีความคำจำกัดความนี้ได้หลายวิธี ดังต่อไปนี้

ถ้าเลือกจุดกำเนิด และแทนภาพของ จุดกำเนิด นั้น นั่นหมายความว่าสำหรับเวกเตอร์ใดๆ: ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

$${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).}$$

หากมีการเลือกจุดกำเนิดด้วย ก็สามารถแยกย่อยเป็นการแปลงเชิงเส้นที่ส่งค่านั่นคือ ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle O\mapsto O'}$

$${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),}$$ ตามด้วยการแปลโดยใช้เวกเตอร์ ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$

โดยสรุปแล้ว แนวคิดนี้ประกอบด้วยการแปลและการแมปเชิงเส้น ${\displaystyle f}$

เมื่อกำหนดปริภูมิแอฟฟินสองปริภูมิ และเหนือฟิลด์เดียวกัน ฟังก์ชันจะเป็นแผนที่แอฟฟินก็ต่อเมื่อสำหรับทุกตระกูลของจุดถ่วงน้ำหนักในเช่นนั้น เรามี^{[ 14 ]} กล่าวอีกนัยหนึ่งคือรักษาจุดศูนย์กลางมวล ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{(P_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1,}$$$${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}P_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(P_{i}).}$$${\displaystyle f}$

ให้เป็นปริภูมิยูคลิดสามมิติ , เป็นระนาบและทั้งสองมีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถ้าเป็นการฉายภาพขนานหรือโดยทั่วไปแล้ว ถูกสร้างขึ้นโดยแอ็กโซโนเมตรีแล้วจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและทั่วถึงดังนั้นจึงสามารถแทนด้วย โดยที่ เป็นเมทริกซ์อันดับ 2 และเวกเตอร์คอลัมน์ในกรณีที่จะมีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนการคำนวณพิกัดที่แอ็กโซโนเมตรี ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f\colon \,{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\longmapsto {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+\,b}$$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle b=(0,0)^{\mathsf {T}},}$

คำว่า "affine" ในฐานะคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการกำหนดไว้ในบริบทของเส้นสัมผัสเส้นโค้งในIntroductio in analysin infinitorumของออยเลอร์ ใน ปี 1748 ^{[ 15 ]}เฟลิกซ์ ไคลน์ระบุว่าคำว่า "การแปลงแบบ affine" มาจากโมเบียสและเกาส์^{[ 10 ]}

ในการประยุกต์ใช้กับการประมวลผลภาพดิจิทัลการแปลงแบบแอฟฟินนั้นเปรียบเสมือนการพิมพ์ลงบนแผ่นยางและยืดขอบของแผ่นยางให้ขนานกับระนาบ การแปลงนี้จะย้ายพิกเซลซึ่งต้องใช้การแทรกสอดความเข้มเพื่อประมาณค่าของพิกเซลที่ย้ายไปการแทรกสอด แบบไบคิวบิก เป็นมาตรฐานสำหรับการแปลงภาพในแอปพลิเคชันการประมวลผลภาพ การแปลงแบบแอฟฟินจะปรับขนาด หมุน เลื่อน สะท้อน และเฉือนภาพ ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้: ^{[ 16 ]}

ชื่อการแปลง	เมทริกซ์แอฟฟิน	ตัวอย่าง
เอกลักษณ์ (แปลงกลับเป็นภาพต้นฉบับ)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
การแปล	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
การสะท้อนความคิด	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
มาตราส่วน	${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
หมุน	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	โดยที่θ = ⁠π/6= 30°
เฉือน	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินสามารถนำไปใช้กับกระบวนการลงทะเบียนภาพ ซึ่งเป็นการจัดเรียง (ลงทะเบียน) ภาพสองภาพขึ้นไป ตัวอย่างของการลงทะเบียนภาพคือการสร้างภาพพาโนรามา ซึ่งเป็นผลมาจากการต่อภาพหลายภาพเข้าด้วยกัน

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินจะรักษาเส้นขนานไว้ อย่างไรก็ตาม การแปลงแบบยืดและเฉือนจะบิดเบี้ยวรูปร่าง ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

นี่เป็นตัวอย่างของการบิดเบี้ยวของภาพ อย่างไรก็ตาม การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินไม่เอื้อต่อการฉายภาพลงบนพื้นผิวโค้งหรือการบิดเบี้ยวในแนวรัศมี

การแปลงเชิงเส้นทุกรูปแบบในระนาบยุคลิดเป็นการประกอบกันของการเลื่อนและการแปลงเชิงเส้นที่ตรึงจุดหนึ่งไว้ โดยการแปลงเชิงเส้นนั้นอาจเป็น

• โฮโมเทตี
• การหมุนรอบจุดคงที่
• การปรับขนาดโดยอาจมีปัจจัยการปรับขนาดที่เป็นลบ ในสองทิศทาง (ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน) ซึ่งรวมถึงการสะท้อนด้วย
• การทำแผนที่เฉือน
• การทำแผนที่แบบบีบอัด

กำหนดให้ สามเหลี่ยมABCและA′B′C′สองรูปที่ไม่เสื่อมสภาพอยู่ในระนาบยูคลิด จะมีการแปลงเชิงเส้นตรงT ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งแมปAไปยังA′ , BไปยังB′และCไปยังC′แต่ละรูปของABCและA′B′C′กำหนดระบบพิกัดเชิงเส้นตรงและระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริกเมื่อกำหนดจุดPจุดT (P) คือจุดที่มีพิกัดในระบบที่สองเหมือนกับพิกัดของPในระบบแรก

การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินไม่คำนึงถึงความยาวหรือมุม แต่จะคูณพื้นที่ด้วยค่าคงที่

พื้นที่ของA′B′C′ / พื้นที่ของABC

รูป สามเหลี่ยม Tที่กำหนดอาจเป็นแบบตรง (สัมพันธ์กับทิศทาง) หรือแบบไม่ตรง (สัมพันธ์กับทิศทางตรงกันข้าม) ซึ่งสามารถระบุได้โดยการเปรียบเทียบทิศทางของรูปสามเหลี่ยม

ฟังก์ชันที่มีและในและคือการแปลงเชิงเส้นตรงของเส้น จำนวนจริง อย่างแม่นยำ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle m\neq 0}$

ในภาพ การแปลงที่แสดงทางด้านซ้ายนั้นทำได้โดยใช้แผนที่ที่กำหนดโดย: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$$

การแปลงจุดมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมเดิม (สีแดง) จะได้จุดใหม่สามจุดซึ่งประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมใหม่ (สีน้ำเงิน) การแปลงนี้ทำให้สามเหลี่ยมเดิมบิดเบี้ยวและเลื่อนไปจากตำแหน่งเดิม

อันที่จริงแล้ว รูปสามเหลี่ยมทุกรูปมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงเส้นตรง เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกรูป แต่ไม่ใช่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมทุกรูป

• การฉายภาพสามมิติ
• เรขาคณิตเชิงเส้นตรง
• อนาโมโฟซิส – การประยุกต์ใช้การแปลงเชิงเส้นในเชิงศิลปะ
• ฟังก์ชันโค้ง
• แบน (เรขาคณิต)
• โฮโมกราฟี
• พหุนามเชิงเส้นหลายตัว

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับการแปลง Affineใน Wikimedia Commons
• "การแปลงเชิงเส้น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การดำเนินการทางเรขาคณิต: การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker และ E. Wolfart
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Affine Transformation" . แมทเวิลด์ .
• การแปลงเชิงเส้นแบบ Affineโดย Bernard Vuilleumier จากโครงการสาธิตของ Wolfram
• การแปลงเชิงเส้นด้วย MATLAB