ในพีชคณิตพหุนามเชิงเส้นหลายตัว^{[ 1 ]}คือพหุนามหลายตัวแปร ที่เป็นเชิงเส้น (หมายถึงเชิงเส้นตรง ) ในแต่ละตัวแปรแยกกันแต่ไม่จำเป็นต้องเป็น เชิงเส้น พร้อมกันเป็นพหุนามที่ไม่มีตัวแปรใดปรากฏเป็นกำลังของหรือสูงกว่า กล่าวคือเอกนาม แต่ละตัว เป็นค่าคงที่คูณกับผลคูณของตัวแปรที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นเป็นพหุนามเชิงเส้นหลายตัวที่มีดีกรี (เนื่องจากเอกนาม) ในขณะที่ไม่ใช่ดีกรีของพหุนามเชิงเส้นหลายตัวคือจำนวนสูงสุดของตัวแปรที่แตกต่างกันที่ปรากฏในเอกนามใดๆ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle f(x,y,z)=3xy+2.5y-7z}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3xy}$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+4y}$

พหุนามเชิงเส้นหลายตัวสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นหลายตัว (โดยเฉพาะรูปแบบเชิงเส้นหลายตัว ) ที่ใช้กับเวกเตอร์ [1 x], [1 y] เป็นต้น รูปแบบทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปของการหดตัวของเทนเซอร์ :$${\displaystyle f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$$

ตัวอย่างเช่น ในตัวแปรสองตัว:$${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

พหุนามหลายเชิงเส้นจะเป็นเชิงเส้น (เชิงเส้นตรง) เมื่อเปลี่ยนแปลงเพียงตัวแปรเดียว คือ: โดยที่และไม่ขึ้นอยู่กับ โปรดทราบว่าโดยทั่วไปแล้ว จะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นเชิงเส้นในความหมาย "มีรูปร่างเหมือนเส้นตรง" แต่ไม่ใช่ในความหมาย "แปรผันตรง" ของแผนที่หลายเชิงเส้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n})=ax_{k}+b}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$

อนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ซ้ำกันทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์เฮสเซียน ของมัน คือเมทริกซ์กลวงสมมาตร $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{k}^{2}}}=0}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวดำเนินการลาปลาเซียน จึงเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกซึ่งหมายความว่าจะ มีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเฉพาะที่ขอบของโดเมน เท่านั้น${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

โดยทั่วไปแล้ว ข้อจำกัดทุกประการของที่มีต่อเซตย่อยของพิกัดของมัน ก็เป็นฟังก์ชันหลายเชิงเส้นเช่นกัน ดังนั้น จึงยังคงเป็นจริงเมื่อตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นถูกกำหนดไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกบน "ส่วน" ทุกส่วนของโดเมนตามแกนพิกัด ${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$${\displaystyle f}$

เมื่อโดเมนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแกนพิกัด (เช่น ไฮเปอร์คิวบ์ ) จะมีค่าสูงสุดและต่ำสุดเฉพาะที่จุดยอดของโดเมนเท่านั้น กล่าวคือ เซตจำกัดของจุดที่มีค่าพิกัดต่ำสุดและสูงสุด ค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้จะกำหนดฟังก์ชันได้อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากค่าที่ขอบของขอบเขตสามารถหาได้โดยการประมาณค่าเชิงเส้นและค่าที่ส่วนที่เหลือของขอบเขตและภายในจะถูกกำหนดโดยสมการของลาปลาส^{[ 1 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

ค่าของพหุนาม ณ จุดใดๆ สามารถหาได้โดยการประมาณค่าเชิงเส้นซ้ำๆ ตามแกนพิกัดแต่ละแกน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าจุดยอด โดยที่น้ำหนักคือพหุนามการประมาณค่าแบบลากรางจ์น้ำหนักเหล่านี้ยังประกอบเป็นชุดพิกัดแบรีเซนทริกทั่วไปสำหรับไฮเปอร์เรค แทงเกิล ใน ทางเรขาคณิต จุดนั้นจะแบ่งโดเมนออกเป็นไฮเปอร์เรคแทงเกิลขนาดเล็ก และน้ำหนักของแต่ละจุดยอดคือปริมาตร (เศษส่วน) ของไฮเปอร์เรคแทงเกิลที่อยู่ตรงข้าม ${\displaystyle 2^{n}}$

ในทางพีชคณิต ตัวประมาณค่าเชิงเส้นหลายตัวบนไฮเปอร์เรคแทงเกิลคือ: โดยผลรวมนั้นหาได้จากจุดยอดหรือเทียบเท่ากับโดยที่Vคือปริมาตรของไฮเปอร์เรคแทงเกิล ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}{\frac {x_{i}-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\prod _{i|v_{i}=a_{i}}{\frac {b_{i}-x_{i}}{b_{i}-a_{i}}}}$$${\displaystyle v}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{V}}\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}(x_{i}-a_{i})\prod _{i|v_{i}=a_{i}}(b_{i}-x_{i})}$$

ค่าที่จุดศูนย์กลางคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่จุดยอด ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยเหนือขอบเขตของโดเมน และค่าเฉลี่ยเหนือพื้นที่ภายในด้วย ส่วนประกอบของเกรเดียนต์ที่จุดศูนย์กลางจะเป็นสัดส่วนกับความสมดุลของค่าจุดยอดตามแกนพิกัดแต่ละแกน

ค่าจุดยอดและสัมประสิทธิ์ของพหุนามมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงเส้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแปลงโมเบียสหากโดเมนเป็นไฮเปอร์คิวบ์หน่วยและการแปลงวอลช์-ฮาดามาร์ด-ฟูริเยร์หากโดเมนเป็นไฮเปอร์คิวบ์สมมาตร) ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$${\displaystyle \{-1,1\}^{n}}$

พหุ นามหลายเชิงเส้น (Multilinear polynomials) คือค่าประมาณ (interpolants)ของ การประมาณค่า แบบหลายเชิงเส้น (multilinear ) หรือ แบบ n เชิงเส้น (n-linear)บนตารางสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นการขยายผลของ การประมาณค่าเชิงเส้น ( linear interpolation ) การประมาณค่าแบบสองเชิงเส้น ( bilinear interpolation ) และ การประมาณค่าแบบสามเชิงเส้น (trilinear interpolation ) ไปยังจำนวนตัวแปรใดๆ นี่เป็นรูปแบบเฉพาะของ การประมาณค่าแบบหลายตัวแปร ( multivariate interpolation ) ซึ่ง ไม่ควรสับสนกับการประมาณ ค่าเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง ( piecewise linear interpolation) พหุนามที่ได้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้นของพิกัด (ดีกรีของมันอาจสูงกว่า 1) แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของค่าข้อมูลที่ปรับให้เหมาะสม

ดีเทอร์มิแนนต์ เพอ ร์มาเนนต์และอิมมาแนนต์อื่นๆของเมทริกซ์ เป็น พหุนามเชิงเส้นเอก พันธุ์ในองค์ประกอบของเมทริกซ์ (และยังเป็นรูปแบบเชิงเส้นหลายรูปแบบในแถวหรือคอลัมน์ด้วย)

พหุนามเชิงเส้นหลายตัวแปรก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์มิติn ซึ่งเป็นฐานที่ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีน (หรือฟังก์ชันเสมือนบูลีน)ทุกฟังก์ชันบูลีน( หรือฟังก์ชันเสมือนบูลีน) สามารถ แสดงได้ อย่างไม่ซ้ำกันในรูปของพหุนามเชิงเส้นหลายตัวแปร (โดยขึ้นอยู่กับการเลือกโดเมนและโคโดเมน ) ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

พหุนามเชิงเส้นหลายตัวมีความสำคัญในการศึกษา การ ทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม^{[ 2 ]}

• การประมาณค่าแบบ เส้นตรงสองตัวแปรและสามตัวแปรโดยใช้พหุนามหลายตัวแปรที่มีสองหรือสามตัวแปร
• พหุนาม Zhegalkinซึ่งเป็นพหุนามหลายเชิงเส้นเหนือ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• รูปแบบเชิงเส้นหลายตัวและแผนที่เชิงเส้นหลายตัวคือฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวที่เป็นเชิงเส้นอย่างแท้จริง (ไม่ใช่เชิงเส้นแบบแอฟฟิน) ในแต่ละตัวแปร
• รูปแบบเชิงเส้นฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปร
• พหุนามฮาร์มอนิก