ในพีชคณิตเชิงเส้นแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรคือฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวที่เป็นเชิงเส้นแยกกันในแต่ละตัวแปร กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรคือฟังก์ชัน

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

โดยที่( ) และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูลเหนือวงแหวนสลับที่⁾ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับแต่ละถ้าตัวแปรทั้งหมด แต่ถูกคงไว้คงที่ แล้วจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ[ ^{1 ]}วิธีหนึ่งในการมองเห็นภาพนี้คือการจินตนาการถึง เวกเตอร์ ตั้งฉาก สองตัว ถ้าเวกเตอร์ตัวหนึ่งถูกปรับขนาดด้วยปัจจัย 2 ในขณะที่อีกตัวหนึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลงผลคูณไขว้ก็จะถูกปรับขนาดด้วยปัจจัย 2 เช่นกัน ถ้าทั้งสองถูกปรับขนาดด้วยปัจจัย 2 ผลคูณไขว้จะถูกปรับขนาดด้วยปัจจัย ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle 2^{2}}$

แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรของตัวแปรเดียวเรียกว่าแผนที่เชิงเส้นและของตัวแปรสองตัวเรียกว่าแผนที่เชิงเส้นคู่โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรของ ตัวแปร kตัวเรียกว่าแผนที่เชิงเส้นk ตัวถ้าโดเมนร่วมของแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรคือฟิลด์ของสเกลาร์จะเรียกว่ารูปแบบเชิงเส้นหลายตัวแผนที่เชิงเส้นหลายตัวและรูปแบบเชิงเส้นหลายตัวเป็นวัตถุพื้นฐานในการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว ${\displaystyle k}$

ถ้าตัวแปรทั้งหมดอยู่ในปริภูมิเดียวกัน เราสามารถพิจารณา แผนที่เชิงเส้น k แบบสมมาตร แบบไม่สมมาตรและแบบสลับได้ สองแบบหลังจะตรงกันก็ต่อเมื่อ วงแหวน (หรือฟิลด์ ) พื้นฐาน มี ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างจากสอง มิฉะนั้นสองแบบแรกจะตรงกัน

• แผนที่ทวิเชิงเส้นใดๆ ก็เป็นแผนที่พหุเชิงเส้นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นผลคูณภายใน ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์ n ก็เป็นแผนที่พหุเชิงเส้น เช่นเดียวกับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในn${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรของคอลัมน์ (หรือแถว) และเป็น ฟังก์ชัน สลับของคอลัมน์ (หรือแถว) ด้วยเช่นกัน
• ถ้าเป็นฟังก์ชันC ^kแล้วอนุพันธ์อันดับที่ ของที่แต่ละจุดในโดเมนของมัน สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นสมมาตร${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

อนุญาต

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

เป็นแผนที่เชิงเส้นหลายตัวระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด โดยที่ มีมิติและมีมิติถ้าเราเลือกฐานสำหรับแต่ละและฐานสำหรับ(ใช้ตัวหนาสำหรับเวกเตอร์) แล้วเราสามารถกำหนดชุดของสเกลาร์ได้โดย ${\displaystyle V_{i}\!}$${\displaystyle d_{i}\!}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle d\!}$${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$${\displaystyle V_{i}\!}$${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

จากนั้นค่าสเกลาร์จะกำหนดฟังก์ชันหลายเชิงเส้นได้อย่างสมบูรณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

สำหรับจากนั้น ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

ลองพิจารณาฟังก์ชันไตรเชิงเส้นดู

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

โดยที่V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3และW = R , d = 1

ฐานสำหรับแต่ละV _iคือLet ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

โดย ที่. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าคงที่คือค่าฟังก์ชันที่หนึ่งในแปดชุดเวกเตอร์ฐานที่เป็นไปได้ (เนื่องจากแต่ละชุดมีตัวเลือกสองตัว) ได้แก่: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$${\displaystyle A_{ijk}}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

เวกเตอร์แต่ละตัวสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐาน ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

ค่าของฟังก์ชันที่เวกเตอร์สามตัวใดๆสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

หรือในรูปแบบขยายความดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งตาม ธรรมชาติ ระหว่างแผนที่เชิงเส้นหลายมิติ

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

และแผนที่เชิงเส้น

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

โดยที่หมายถึงผลคูณเทนเซอร์ของความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันและกำหนดโดยสูตร ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

เราสามารถพิจารณาฟังก์ชันหลายเชิงเส้นบน เมทริกซ์ n × nบนวงแหวนสลับที่Kที่มีเอกลักษณ์ ว่าเป็นฟังก์ชันของแถว (หรือเทียบเท่ากับคอลัมน์) ของเมทริกซ์ ให้Aเป็นเมทริกซ์ดังกล่าว และa _i , 1 ≤ i ≤ n , เป็นแถวของAแล้วฟังก์ชันหลายเชิงเส้นDสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

น่าพอใจ

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

ถ้าเราให้แทน แถวที่ jของเมทริกซ์เอกลักษณ์เราสามารถแสดงแต่ละแถวa _iเป็นผลรวมได้ ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

โดยใช้คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นหลายตัวแปรของDเราเขียนD ( A ) ใหม่ เป็น

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

เมื่อทำการแทนค่าต่อไปสำหรับแต่ละa _iเราจะได้ว่า สำหรับ1 ≤ i ≤ n

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

ดังนั้นD ( A )จึงถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยวิธีที่D ดำเนิน การ กับ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

ในกรณีของเมทริกซ์ขนาด 2×2 เราจะได้

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

โดยที่และ. ถ้าเราจำกัดให้เป็นฟังก์ชันสลับเครื่องหมายแล้วและ. เมื่อให้เราจะได้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์บนเมทริกซ์ 2×2: ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

• แผนที่เชิงเส้นหลายตัวจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

• รูปแบบพีชคณิต
• รูปแบบหลายเส้น
• พหุนามเอกพันธุ์
• ฟังก์ชันเอกพันธุ์
• เทนเซอร์