ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้นหลาย ตัวแปร แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรแบบสลับคือแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรที่มีตัวแปรทั้งหมดอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน (ตัวอย่างเช่นรูปแบบทวิเชิงเส้นหรือรูปแบบเชิงเส้นหลายตัวแปร ) ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่ตัวแปรคู่ใดคู่หนึ่งเท่ากัน แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ โมดูลเหนือวงแหวนสลับที่ได้ โดยตรง

แนวคิดเรื่องการสลับ (หรือalternatisation ) ใช้ในการสร้างแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรแบบสลับจากแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรใดๆ ที่ตัวแปรทั้งหมดอยู่ในปริภูมิเดียวกัน

ให้เป็นริงสลับที่ และ และเป็นโมดูลเหนือแผนที่เชิงเส้นหลายตัวในรูปแบบเรียกว่าแผนที่สลับที่ถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. เมื่อใดก็ตาม ที่มีอยู่เช่นนั้นแล้ว^{[ 1 ] [ 2 ]}${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$
2. เมื่อใดก็ตาม ที่มีอยู่เช่นนั้น^{[ 1 ] [ 3 ]}${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ให้และ เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์เดียวกัน แล้วแผนที่เชิงเส้นหลายตัวในรูปแบบจะเป็นแผนที่สลับเครื่องหมาย ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• ถ้า ตัวแปรทั้งสอง เป็นอิสระเชิงเส้นแล้ว.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ในพีชคณิตลี (Lie algebra)วงเล็บลี (Lie bracket)คือแผนที่ทวิเชิงเส้นสลับ (alternating bilinear map) ส่วนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือแผนที่มัลติเชิงเส้นสลับ (multilinear alternating map) ของแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์

หากส่วนประกอบใดๆของแผนที่หลายเชิงเส้นสลับกันถูกแทนที่ด้วยสำหรับและในวงแหวน ฐาน ค่าของแผนที่นั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 3 ]}${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R}$

แผนที่เชิงเส้นสลับทุกอันเป็นแบบ แอ นติสมมาตร^{[ 4 ]}หมายความว่า^{[ 1 ]} หรือเทียบเท่า โดย ที่แทนกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของดีกรีและคือเครื่องหมายของ[ ^{5 ]} ถ้าเป็นหน่วยในวงแหวนฐานแล้วรูปแบบเชิงเส้นสลับทุกอัน จะเป็น ^แบบสลับ $${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ สำหรับทุก }}1\leq i\leq n-1,}$$$${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ สำหรับ }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n!}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$

เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นหลายตัวในรูปแบบแผนที่ เชิงเส้นหลายตัวแบบสลับที่กำหนดโดย เรียกว่าเป็นการสลับของ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$${\displaystyle g:V^{n}\to W}$$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$${\displaystyle f}$

คุณสมบัติ

• การสลับตำแหน่งของแผนที่สลับตำแหน่งแบบหลายเส้นตรงคือการคูณตัวเอง${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$
• การสลับตำแหน่งของแผนที่สมมาตรมีค่าเป็นศูนย์
• การสลับตำแหน่งของแผนที่เชิงเส้นคู่ก็เป็นเชิงเส้นคู่เช่นกัน ที่สำคัญที่สุดคือ การสลับตำแหน่งของโคไซเคิล ใดๆ ก็ เป็นเชิงเส้นคู่เช่นกัน ข้อเท็จจริงนี้มีบทบาทสำคัญในการระบุกลุ่มโคฮอโมโลยี ที่สอง ของแลตทิซกับกลุ่มของรูปแบบเชิงเส้น คู่สลับตำแหน่ง บนแลตทิซ

• พีชคณิตสลับ
• แผนที่แบบไบลิเนียร์
• พีชคณิตภายนอก § รูปแบบหลายเชิงเส้นสลับกัน
• แผนที่ (คณิตศาสตร์)
• พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว
• แผนที่หลายเส้น
• รูปแบบหลายเส้น
• การทำให้สมมาตร