ในพีชคณิตเชิงเส้นเซตของเวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากไม่มีเวกเตอร์ใดในเซตที่เท่ากับผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น ๆ ในเซต หากมีเวกเตอร์ดังกล่าวอยู่ เวกเตอร์เหล่านั้นจะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นความเป็นอิสระเชิงเส้นเป็นส่วนหนึ่งของนิยามของฐานเชิงเส้น^{[ 1 ]}

ปริมาณเวกเตอร์สามารถมีมิติจำกัดหรือมิติอนันต์ได้ ขึ้นอยู่กับจำนวนเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด นิยามของความเป็นอิสระเชิงเส้นและความสามารถในการพิจารณาว่าเซตย่อยของเวกเตอร์ในปริมาณเวกเตอร์นั้นเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ เป็นสิ่งสำคัญในการกำหนดมิติของปริมาณเวกเตอร์

ลำดับของเวกเตอร์จากปริภูมิเวกเตอร์Vกล่าวได้ว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้ามีค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดอยู่จริง โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

โดยที่หมายถึงเวกเตอร์ศูนย์ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle k=1}$แสดงว่าเวกเตอร์เดี่ยวจะขึ้นอยู่เชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นั้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์เท่านั้น

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle k>1}$แสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งในค่าสเกลาร์นั้นไม่เป็นศูนย์ เช่นและสมการข้างต้นสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k}.}$

ดังนั้น เซตของเวกเตอร์จะขึ้นต่อกันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งในนั้นเป็นศูนย์หรือเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่นๆ

ลำดับของเวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้าไม่เป็นขึ้นอยู่เชิงเส้น กล่าวคือ ถ้าสมการ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

สามารถพึงพอใจได้เฉพาะกับสิ่งนี้เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าไม่มีเวกเตอร์ใดในลำดับที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือในลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อการแสดงเพียงอย่างเดียวของเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์คือการแสดงแบบไม่สำคัญซึ่งสเกลาร์ทั้งหมดเป็นศูนย์^{[ 2 ]}กล่าวโดยย่อยิ่งกว่านั้น ลำดับของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ได้ในลักษณะที่ไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\textstyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ถ้าลำดับของเวกเตอร์มีเวกเตอร์เดียวกันซ้ำกันสองครั้ง ลำดับนั้นย่อมขึ้นอยู่กันโดยปริยาย การขึ้นอยู่กันเชิงเส้นของลำดับเวกเตอร์ไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของพจน์ในลำดับนั้น ซึ่งทำให้สามารถกำหนดความเป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับเซตของเวกเตอร์ที่มีจำนวนจำกัดได้ กล่าวคือ เซตของเวกเตอร์ที่มีจำนวนจำกัดจะเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าลำดับที่ได้จากการเรียงลำดับเวกเตอร์เหล่านั้นเป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีผลลัพธ์ต่อไปนี้ซึ่งมักมีประโยชน์

ลำดับของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อไม่มีเวกเตอร์ตัวเดียวกันปรากฏซ้ำกัน และเซตของเวกเตอร์ในลำดับนั้นก็เป็นอิสระเชิงเส้นเช่นกัน

เซตเวกเตอร์อนันต์จะเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเซต ย่อยจำกัดทุกเซต เป็นอิสระเชิงเส้น นิยามนี้ใช้ได้กับเซตเวกเตอร์จำกัดด้วยเช่นกัน เนื่องจากเซตจำกัดเป็นเซตย่อยจำกัดของตัวมันเอง และเซตย่อยทุกเซตของเซตที่เป็นอิสระเชิงเส้นก็เป็นอิสระเชิงเส้นด้วย

ในทางกลับกัน เซตของเวกเตอร์อนันต์จะเป็นเซตที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นหากเซตนั้นมีเซตย่อยจำกัดที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากเวกเตอร์บางตัวในเซตนั้นเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ ในเซตนั้น

กลุ่มเวกเตอร์ที่มีดัชนีกำกับ จะเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อไม่มีเวกเตอร์ตัวเดียวกันปรากฏซ้ำกันสองครั้ง และเซตของเวกเตอร์ในกลุ่มนั้นก็เป็นอิสระเชิงเส้นด้วย มิฉะนั้น กลุ่มเวกเตอร์นั้นจะเรียกว่าไม่เป็นอิสระ เชิงเส้น

เซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นและครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์บางปริภูมิ จะเป็นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์นั้น ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ของพหุนาม ทั้งหมด ในxบนจำนวนจริง มีเซตย่อย (อนันต์) {1, x , x ² , ...}เป็นฐาน

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เซตเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเป็นสมาชิกที่เล็กที่สุดของ ${\displaystyle V}$${\displaystyle X\subseteq V}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}}$

โดยลำดับการรวมในทางตรงกันข้ามจะเป็นอิสระเชิงเส้นหากมีเซตย่อยที่แท้จริงซึ่งช่วงของเซตย่อยนั้นเป็นเซตเหนือกว่าของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$และเป็นอิสระต่อกันและกำหนดระนาบ P${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$และ มีความสัมพันธ์กันเนื่องจากทั้งสาม อย่างอยู่ในระนาบเดียวกัน${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$และมีความสัมพันธ์กันเนื่องจากขนานกัน${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$เวกเตอร์ ทั้ง สาม เป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากเวก เตอร์ ทั้ง สาม เป็นอิสระต่อกัน และเวก เตอร์ทั้งสามไม่ใช่ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เนื่องจากเวกเตอร์ ทั้งสามไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน เวกเตอร์ทั้งสามนี้กำหนดพื้นที่สามมิติ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$
• เวกเตอร์(เวกเตอร์ศูนย์ ซึ่งมีส่วนประกอบเท่ากับศูนย์) และเป็นเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกันเนื่องจาก${\displaystyle {\vec {o}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

บุคคลหนึ่งอาจอธิบายที่ตั้งของสถานที่แห่งหนึ่งโดยกล่าวว่า "ที่นี่อยู่ทางทิศเหนือ 3 ไมล์ และทิศตะวันออก 4 ไมล์" ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะอธิบายที่ตั้งได้ เพราะระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติ (โดยไม่คำนึงถึงระดับความสูงและความโค้งของพื้นผิวโลก) บุคคลนั้นอาจเสริมว่า "สถานที่นั้นอยู่ทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ 5 ไมล์จากที่นี่" ข้อความสุดท้ายนี้เป็นความจริงแต่ไม่จำเป็นต่อการระบุที่ตั้ง

ในตัวอย่างนี้ เวกเตอร์ "3 ไมล์ไปทางเหนือ" และเวกเตอร์ "4 ไมล์ไปทางตะวันออก" เป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวคือ เวกเตอร์ทิศเหนือไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ทิศตะวันออก และในทางกลับกัน ส่วนเวกเตอร์ที่สาม "5 ไมล์ไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ" เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อีกสองตัว และทำให้เซตของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นกล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่งในสามตัวเพื่อกำหนดตำแหน่งที่เฉพาะเจาะจงบนระนาบ

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าหากไม่ละเลยระดับความสูง จะต้องเพิ่มเวกเตอร์ที่สามเข้าไปในชุดเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วต้องใช้เวกเตอร์อิสระเชิงเส้นจำนวนn ตัว เพื่ออธิบายตำแหน่งทั้งหมดใน ปริภูมิ n มิติ

ถ้าเวกเตอร์หนึ่งตัวหรือมากกว่าจากลำดับเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นเวกเตอร์ศูนย์เวกเตอร์เหล่านั้นจะต้องเป็นอิสระเชิงเส้น (และด้วยเหตุนี้จึงไม่เป็นอิสระเชิงเส้น) เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ลองสมมติว่าเป็นดัชนี (กล่าวคือ เป็นสมาชิกของ) โดยที่จากนั้นให้(หรืออีกวิธีหนึ่งคือให้ เท่ากับค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์อื่นๆ ก็ใช้ได้เช่นกัน) จากนั้นให้ค่าคงที่อื่นๆ ทั้งหมดเป็น(โดยชัดเจน หมายความว่าสำหรับดัชนีใดๆนอกเหนือจาก(กล่าวคือ สำหรับ) ให้ดังนั้นด้วยเหตุนี้) เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{i}:=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle a_{j}:=0}$${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

เนื่องจากสเกลาร์บางตัวไม่เป็นศูนย์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) จึงพิสูจน์ได้ว่าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

ด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์ศูนย์จึงไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่ขึ้น ต่อ กันเชิงเส้นได้

ทีนี้ลองพิจารณากรณีพิเศษที่ลำดับของมีความยาว(กล่าวคือ กรณีที่) กลุ่มของเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์เพียงหนึ่งเดียวจะขึ้นต่อกันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นั้นเป็นศูนย์ กล่าวคือ ถ้าเป็นเวกเตอร์ใดๆ ลำดับ(ซึ่งเป็นลำดับที่มีความยาว) จะขึ้นต่อกันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ;หรืออีกนัยหนึ่ง กลุ่มของ เวกเตอร์ จะเป็นอิสระต่อกันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

ตัวอย่างนี้พิจารณากรณีพิเศษที่มีเวกเตอร์และ เพียงสองเวกเตอร์ จากปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อน เวกเตอร์และเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของ(กล่าวคือ มีค่าสเกลาร์อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้) หรือ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของ(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่ามีสเกลาร์อยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้)${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

ถ้าเช่นนั้นโดยการตั้งค่าเราจะได้(ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงไม่ว่าค่าของจะเป็นเท่าใดก็ตาม) ซึ่งแสดงว่า (1) เป็นจริงในกรณีนี้โดยเฉพาะ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเช่นนั้น (2) เป็นจริงเพราะ ถ้า(ตัวอย่างเช่น ถ้าทั้งสองเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์) แล้วทั้ง (1) และ (2) เป็นจริง (โดยใช้สำหรับทั้งสอง) ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c:=0}$${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle c:=1}$

ถ้าเช่นนั้นจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อและ ; ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะคูณทั้งสองข้างด้วยเพื่อสรุปได้ ว่า สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า ถ้าและแล้ว (1) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ (2) เป็นจริง กล่าวคือ ในกรณีนี้ ทั้ง (1) และ (2) เป็นจริง (และเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น) หรือ มิฉะนั้น ทั้ง (1) และ (2) เป็นเท็จ (และเวกเตอร์ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น)ถ้าแต่ แทนแล้วอย่างน้อยหนึ่งในและต้องเป็นศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีเพียงหนึ่งในและเท่านั้นที่เป็น(ในขณะที่อีกอันไม่ใช่ศูนย์) แล้วมีเพียงหนึ่งใน (1) และ (2) เท่านั้นที่เป็นจริง (โดยที่อีกอันเป็นเท็จ) ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\textstyle {\frac {1}{c}}}$${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$

เวกเตอร์และจะไม่เป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อไม่ใช่ผลคูณเชิงสเกลาร์ของและไม่ใช่ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

เวกเตอร์สามตัว: พิจารณาเซตของเวกเตอร์จากนั้นเงื่อนไขสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นจะแสวงหาเซตของสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ เช่นนั้น ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

หรือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

ลดรูปสมการเมทริกซ์นี้โดยการลบแถวแรกออกจากแถวที่สองเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

ดำเนินการลดจำนวนแถวต่อไปโดย (i) หารแถวที่สองด้วย 5 แล้ว (ii) คูณด้วย 3 และบวกเข้ากับแถวแรก นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

เมื่อจัดเรียงสมการนี้ใหม่ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่า มีค่า a _i ที่ไม่เป็นศูนย์ อยู่จริง ซึ่งสามารถกำหนดได้ในรูปของและ ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งสามจึงเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

เวกเตอร์สองตัว: ทีนี้ลองพิจารณาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างเวกเตอร์สองตัวนี้และตรวจสอบดู ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

หรือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

การลดจำนวนแถวแบบเดียวกันกับที่แสดงไว้ข้างต้นจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์และเป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle a_{i}=0,}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

เพื่อตรวจสอบว่าเวกเตอร์ทั้งสามใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ก่อให้เกิดสมการเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

ลดสมการนี้ลงเพื่อให้ได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

จัดเรียงใหม่เพื่อหาค่า v ₃และจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

สมการนี้สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายเพื่อกำหนด ค่า a _iที่ไม่เป็นศูนย์

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

โดยสามารถเลือกได้ตามอำเภอใจ ดังนั้น เวกเตอร์และจึงมีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกัน ${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

อีกวิธีหนึ่งอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ในเมทริกซ์จะเป็นอิสระเชิง เส้น ก็ต่อเมื่อ ดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการนำเวกเตอร์เหล่านั้นมาเป็นคอลัมน์มีค่าไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในกรณีนี้ เมทริกซ์ที่เกิดจากเวกเตอร์คือ

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

เราสามารถเขียนผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ได้ดังนี้

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

เราสนใจว่าA Λ = 0สำหรับเวกเตอร์ Λ ที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัวหรือไม่ ซึ่งขึ้นอยู่กับดีเทอร์มิแนนต์ของซึ่งก็คือ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์และจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (-3,2)}$

ในทางกลับกัน สมมติว่าเรามีเวกเตอร์พิกัด โดยที่Aคือ เมทริกซ์ n × mและ Λ คือเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีสมาชิก และเราสนใจA Λ = 0 อีกครั้ง ดังที่เราได้เห็นก่อนหน้านี้ นี่เทียบเท่ากับรายการสมการ พิจารณาแถวแรกของ สมการ แรก ๆคำตอบใด ๆ ของรายการสมการทั้งหมดจะต้องเป็นจริงสำหรับรายการที่ลดลงด้วย ในความเป็นจริง ถ้า⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩เป็นรายการแถวใด ๆ สมการจะต้องเป็นจริงสำหรับแถวเหล่านั้น ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m<n.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

นอกจากนี้ สิ่งตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ เราสามารถทดสอบว่าเวกเตอร์มีความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือไม่ โดยการทดสอบว่า ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

สำหรับรายการแถวที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ในกรณีนี้ จะต้องใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพียงตัวเดียว ดังที่กล่าวมาข้างต้น ถ้าแล้วทฤษฎีบทก็คือเวกเตอร์จะต้องเป็นอิสระเชิงเส้น) ข้อเท็จจริงนี้มีค่าสำหรับทฤษฎี ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ มีวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากกว่านี้ ${\displaystyle m}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m>n}$

ถ้าจำนวนเวกเตอร์มากกว่าจำนวนมิติ เวกเตอร์เหล่านั้นจะเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ดังตัวอย่างข้างต้นที่แสดงเวกเตอร์สามตัวในมิติต่างๆ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

ให้และพิจารณาองค์ประกอบต่อไปนี้ในซึ่งเรียกว่า เวกเตอร์ ฐานธรรมชาติ : ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

ดังนั้นพวกมันจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ของ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทั้งหมดของตัวแปรจริงแล้วฟังก์ชันและในเป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle V}$

สมมติให้และเป็นจำนวนจริงสองจำนวน โดยที่ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

หาอนุพันธ์อันดับแรกของสมการข้างต้น:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

สำหรับค่าทั้งหมด ของ เราจำเป็นต้องแสดงว่าและเพื่อที่จะทำเช่นนั้น เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ซึ่งจะได้เนื่องจากไม่เป็นศูนย์สำหรับบางค่าดังนั้นจึงสรุปได้ว่าด้วยเช่นกัน ดังนั้น ตามนิยามของความเป็นอิสระเชิงเส้นและจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle t.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle be^{2t}=0}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$

ความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือความสัมพันธ์แบบเชิงเส้นระหว่างเวกเตอร์v ₁ , ..., v _nคือทูเปิล( a ₁ , ..., a _n )ที่มี ส่วนประกอบ สเกลาร์n ตัว โดยที่

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

ถ้ามีการพึ่งพาเชิงเส้นดังกล่าวอยู่ โดยมีส่วนประกอบอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์ทั้ง n ตัวก็ จะพึ่งพาเชิงเส้นกัน การพึ่งพาเชิงเส้นระหว่างv ₁ , ..., v _nก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์

ถ้าเวกเตอร์ถูกแสดงด้วยพิกัดของมัน ความสัมพันธ์เชิงเส้นจะเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ โดยมีพิกัดของเวกเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ ดังนั้น ฐานของปริภูมิเวกเตอร์ของความสัมพันธ์เชิงเส้นจึงสามารถคำนวณได้โดยการกำจัดแบบเกาส์เซียน

กล่าวได้ว่าเซตของเวกเตอร์นั้นเป็นอิสระต่อกันในเชิงอัฟฟิน (affinely dependent)ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในเวกเตอร์ในเซตนั้นสามารถนิยามได้ว่าเป็นผลรวมเชิงอั ฟฟิน (affine combination) ของเวกเตอร์อื่นๆ มิฉะนั้น เซตนั้นจะเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันในเชิงอัฟฟิน (affinely independent ) ผลรวมเชิงอัฟฟินใดๆ ก็เป็นผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ดังนั้นทุกเซตที่เป็นอิสระต่อกันในเชิงอัฟฟินจึงเป็นอิสระต่อกันในเชิงเส้น (linearly dependent) ในทางกลับกัน ทุกเซตที่เป็นอิสระต่อกันในเชิงเส้นก็เป็นอิสระต่อกันในเชิงอัฟฟินด้วย โปรดทราบว่าเซตที่เป็นอิสระต่อกันในเชิงอัฟฟินไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระต่อกันในเชิงเส้นเสมอไป

พิจารณาเซตของเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน และพิจารณาเซตของเวกเตอร์เสริมที่มีขนาดเท่ากัน เวกเตอร์ดั้งเดิมเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เสริมเป็นอิสระเชิงเส้น^{[ 3 ] : 256} ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$${\displaystyle n+1}$

ปริภูมิย่อยเวกเตอร์สองปริภูมิและของปริภูมิเวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหาก^{[ 4 ]} โดยทั่วไปแล้ว ชุดของปริภูมิย่อยของจะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากสำหรับทุกดัชนีที่^{[ 4 ]} ปริภูมิเวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นผลรวมโดยตรงของหากปริภูมิย่อยเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้นและ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle X}$${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$${\displaystyle i,}$${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

• Matroid  – นามธรรมของความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

• "ความเป็นอิสระเชิงเส้น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ฟังก์ชันที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นใน WolframMathWorld
• โปรแกรมสอนและโปรแกรมเชิงโต้ตอบเกี่ยวกับความเป็นอิสระเชิงเส้น
• บทนำเกี่ยวกับความเป็นอิสระเชิงเส้นที่ KhanAcademy