ในพีชคณิตเชิงเส้นความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือเรียกสั้น ๆ ว่าความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของปริมาณเวกเตอร์หรือโมดูลคือสมการเชิงเส้นที่มีองค์ประกอบเหล่านั้นเป็นคำตอบ

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าเป็นสมาชิกของโมดูล (ซ้าย) MเหนือริงR (กรณีของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์เป็นกรณีพิเศษ) ความสัมพันธ์ระหว่างคือลำดับของสมาชิกของRเช่นนั้น ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

ความสัมพันธ์ระหว่างกันก่อให้เกิดโมดูล โดยทั่วไปแล้วเรามักสนใจกรณีที่เป็นเซตก่อกำเนิดของ โมดูล M ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดซึ่งในกรณีนี้ โมดูลของความสัมพันธ์มักเรียกว่าโมดูลไซซีจีของMโมดูลไซซีจีขึ้นอยู่กับการเลือกเซตก่อกำเนิด แต่จะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเมื่อพิจารณาผลรวมโดยตรงกับโมดูลอิสระ กล่าวคือ ถ้าและเป็นโมดูลไซซีจีที่สอดคล้องกับเซตก่อกำเนิดสองเซตของโมดูลเดียวกันแล้ว ทั้งสองโมดูลจะสม isomorphic กันอย่างเสถียรซึ่งหมายความว่ามีโมดูลอิสระ สองโมดูล และที่และสมisomorphicกัน ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

โมดูลไซซีจีลำดับสูงกว่าถูกนิยามแบบเวียนซ้ำ: โมดูลไซซีจีลำดับแรกของโมดูลMก็คือโมดูลไซซีจีของมันนั่นเอง สำหรับk > 1โมดูล ไซซีจีลำดับที่ kของMก็คือโมดูลไซซีจีของโมดูลไซซีจีลำดับที่( k – 1) ทฤษฎีบทไซซีจีของฮิลเบิร์ตกล่าวว่า ถ้าเป็นวงแหวนพหุนามใน ตัวแปร nตัวเหนือฟิลด์ แล้วทุก โมดูลไซซีจีลำดับที่ nจะเป็นโมดูลอิสระ กรณีn = 0คือข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดทุก ปริภูมิมีฐาน และกรณีn = 1คือข้อเท็จจริงที่ว่าK [ x ]เป็นโดเมนอุดมคติหลักและทุกโมดูลย่อยของโมดูลอิสระK [ x ] ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ก็เป็นโมดูลอิสระเช่นกัน ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

การสร้างโมดูลไซซีจีลำดับสูงกว่านั้นได้รับการขยายให้เป็นนิยามของการแก้ปัญหาแบบอิสระซึ่งช่วยให้สามารถกล่าวซ้ำทฤษฎีบทไซซีจีของฮิลเบิร์ตได้ว่า วงแหวนพหุนามใน ตัวแปร nตัวเหนือฟิลด์นั้นมีมิติโฮโมโลจีทั่วโลก เท่ากับ n

ถ้าaและbเป็นสมาชิกสองตัวของวงแหวนสลับที่Rแล้ว( b , –a )คือความสัมพันธ์ที่เรียกว่าความสัมพันธ์แบบไม่สำคัญโมดูลของความสัมพันธ์แบบไม่สำคัญของไอเดียลคือโมดูลย่อยของโมดูลซิซีจีแรกของไอเดียลที่สร้างขึ้นจากความสัมพันธ์แบบไม่สำคัญระหว่างสมาชิกของเซตตัวสร้างของไอเดียล แนวคิดของความสัมพันธ์แบบไม่สำคัญสามารถขยายไปสู่โมดูลซิซีจีลำดับสูงกว่าได้ และสิ่งนี้จะนำไปสู่แนวคิดของคอมเพล็กซ์ Koszulของไอเดียล ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญระหว่างตัวสร้างของไอเดียล

ให้Rเป็นริงและM เป็น โมดูลซ้ายของRความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือเรียกง่ายๆ ว่าความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกk ตัว ของMคือลำดับของสมาชิกในRเช่นนั้น ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

ถ้าเป็นเซตตัวสร้างของMความสัมพันธ์นั้นมักเรียกว่าsyzygyของM การเรียกว่า syzygy โดย ไม่คำนึงถึงนั้นสมเหตุสมผลเพราะถึงแม้โมดูล syzygy จะขึ้นอยู่กับเซตตัวสร้างที่เลือก แต่คุณสมบัติส่วนใหญ่ของมันเป็นอิสระ ดูหัวข้อ§ คุณสมบัติที่เสถียรด้านล่าง ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$

ถ้าวงแหวนRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนหรืออย่างน้อยก็เป็นวงแหวนโคเฮเรนต์และถ้าMเป็นปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแล้ว โมดูลไซซีจีก็จะเป็นปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน โมดูลไซซีจีของโมดูลไซซีจีนี้คือโมดูลไซซีจีที่สองของMด้วยวิธีนี้ เราสามารถกำหนด โมดูลไซซีจีที่ kสำหรับจำนวนเต็มบวกk ทุกตัว ได้

ทฤษฎีบทซิซิกีของฮิลเบิร์ตกล่าวว่า ถ้าMเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนพหุ นามเหนือฟิลด์แล้วโมดูลซิซิกีลำดับที่n ใดๆ ก็เป็น โมดูลอิสระด้วย ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

โดยทั่วไปแล้ว ในภาษาของทฤษฎี Kคุณสมบัติจะเสถียรก็ต่อเมื่อมันเป็นจริงโดยการบวกโดยตรงกับโมดูลอิสระที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอ คุณสมบัติพื้นฐานของโมดูลไซซีจีส์คือ มีความเป็นอิสระอย่างเสถียรจากการเลือกเซตตัวสร้างสำหรับโมดูลที่เกี่ยวข้อง ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของคุณสมบัติที่เสถียรเหล่านี้

บทพิสูจน์เนื่องจากเป็นเซตก่อกำเนิด ดังนั้นแต่ละสามารถเขียนได้ ดังนี้ ซึ่งให้ความสัมพันธ์ระหว่างทีนี้ ถ้าเป็นความสัมพันธ์ใดๆ แล้ว ก็ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ทุกอย่างระหว่างเป็นผลรวมของความสัมพันธ์ระหว่างและการรวมเชิงเส้นของs การพิสูจน์ว่าการแยกส่วนนี้มีเพียงหนึ่งเดียวนั้นทำได้ง่าย และนี่เป็นการพิสูจน์ผลลัพธ์${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \blacksquare }$

สิ่งนี้พิสูจน์ว่าโมดูลซิซีจีแรกนั้น "มีเอกลักษณ์อย่างเสถียร" กล่าวคือ เมื่อกำหนดเซตตัวสร้างสองเซตและของโมดูลMแล้ว ถ้าและเป็นโมดูลความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน จะมีโมดูลอิสระสองโมดูลและที่ทำให้และสม isomorphic กัน ในการพิสูจน์สิ่งนี้ เพียงพอที่จะใช้ข้อเสนอแนะก่อนหน้านี้สองครั้งเพื่อให้ได้การแยกส่วนสองส่วนของโมดูลความสัมพันธ์ระหว่างการรวมกันของเซตตัวสร้างทั้งสอง ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับโมดูลไซซีจีที่สูงกว่านั้น จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ถ้าMเป็นโมดูลใดๆ และLเป็นโมดูลอิสระแล้วMและM ⊕ Lจะมีโมดูลไซซีจีที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน เพียงแค่พิจารณาเซตตัวสร้างของM ⊕ Lที่ประกอบด้วยเซตตัวสร้างของMและฐานของL ก็เพียงพอแล้ว สำหรับทุกความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของเซตตัวสร้างนี้ สัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบฐานของLจะเป็นศูนย์ทั้งหมด และไซซีจีของM ⊕ L ก็ คือไซซีจีของMที่ขยายด้วยสัมประสิทธิ์ศูนย์นั่นเอง นี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

เมื่อกำหนดเซตก่อกำเนิดของ โมดูล Rแล้ว เราสามารถพิจารณาโมดูลอิสระLที่มีฐานโดยที่เป็นตัวแปรไม่แน่นอนใหม่ ซึ่งจะกำหนดลำดับที่แน่นอน${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

โดยที่ลูกศรซ้ายเป็นแผนที่เชิงเส้นที่แมปแต่ละอันไป ยังอันที่สอดคล้องกันแกนหลักของลูกศรซ้ายนี้คือโมดูลซิซีจีแรกของM${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle g_{i}.}$

เราสามารถสร้างลำดับนี้ซ้ำได้โดยใช้เคอร์เนลนี้แทนMการสร้างลำดับนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่าจะทำให้ได้ลำดับที่แน่นอนยาวขึ้น

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

โดยที่โมดูลทั้งหมดเป็นโมดูลอิสระ ตามคำนิยาม ลำดับที่แน่นอนยาวเช่นนี้ถือเป็นการแก้ ปัญหาแบบอิสระของM${\displaystyle L_{i}}$

สำหรับทุกk ≥ 1เคอร์เนลของลูกศรที่เริ่มต้นจากคือ โมดูลไซซีจีที่ kของMดังนั้น การศึกษาการแก้ปัญหาแบบอิสระจึงเหมือนกับการศึกษาโมดูลไซซีจี ${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle L_{k-1}}$

การแก้ปัญหาแบบอิสระจะ มีค่า จำกัดและมีความยาว≤ nถ้าเป็นอิสระ ในกรณีนี้ เราสามารถเลือกและ( โมดูลศูนย์ ) สำหรับทุกk > nได้ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$${\displaystyle L_{k}=0}$

สิ่งนี้ทำให้สามารถกล่าวซ้ำทฤษฎีบทซิซิจีของฮิลเบิร์ต ได้ ดังนี้: ถ้าเป็นวงแหวนพหุนามใน ตัวแปรไม่แน่นอน nตัวเหนือฟิลด์K แล้วการแก้ปัญหาแบบอิสระทุกตัวจะมีค่าจำกัดและมีความยาว ไม่ เกินn${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

มิติโดยรวมของวงแหวนโนเธอร์เรียน แบบสลับที่ได้ นั้นมีค่าเป็นอนันต์ หรือมีค่าต่ำสุดnที่ทำให้การแก้ปัญหาแบบอิสระทุกแบบมีค่าจำกัดและมีความยาวไม่เกินnวงแหวนโนเธอร์เรียนแบบสลับที่ได้นั้นเรียกว่าวงแหวนปกติถ้ามิติโดยรวมมีค่าจำกัด ในกรณีนี้ มิติโดยรวมจะเท่ากับมิติครูลดังนั้น ทฤษฎีบทซิซิจีของฮิลเบิร์ตจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในประโยคสั้นๆ ที่ซ่อนคณิตศาสตร์ ไว้มากมาย นั่น คือวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์เป็นวงแหวนปกติ

ในริงสลับที่Rเราจะได้ab – ba = 0 เสมอ ซึ่งหมายความว่า( b , –a )เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างaและb อย่างเห็นได้ชัดดังนั้น เมื่อกำหนดเซตตัวสร้างของไอเดียลIแล้ว เราจะเรียก ทุกองค์ประกอบของซับโมดูลว่าโมดูลซิซีจี ซึ่งเป็น ความสัมพันธ์ที่ไม่สำคัญหรือซิซีจีที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ โมดูลของซิซีจีที่ไม่สำคัญถูกสร้างขึ้นโดยความสัมพันธ์ ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

เช่นนั้นและอย่างอื่น ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$${\displaystyle x_{h}=0}$

คำว่าsyzygyเข้ามาใช้ในคณิตศาสตร์จากผลงานของArthur Cayley [ ^{1 ] ใน}บทความนั้น Cayley ใช้คำนี้ในทฤษฎีผลลัพธ์และตัวแยกแยะ^{[ 2 ]} เช่นเดียวกับที่คำว่าsyzygyถูกใช้ในทางดาราศาสตร์เพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างดาวเคราะห์ Cayley จึงใช้คำนี้เพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างไมเนอร์ของเมทริกซ์ เช่น ในกรณีของเมทริกซ์ 2×3:

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

คำถามเฉพาะที่เขาศึกษานั้นเกี่ยวข้องกับชุดสมการที่เกิดขึ้นในการฝังตัวแบบพลักเกอร์ (Plücker embedding ) ซึ่งเป็นการฝังตัวของปริภูมิระนาบ (Grassmannian space) ลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ (projective space ) โดยใช้พิกัดพลักเกอร์ปริภูมิสามารถเขียนได้เป็นซึ่งมีมิติ เนื่องจากมีมิติ จึงควรเขียนได้เป็นการตัดกันของไฮเปอร์เซอร์เฟซ (hypersurfaces) อย่างไรก็ตาม พวกเขาพบว่าคือการตัดกันของสมการ: ดังนั้น สมการเหล่านี้ต้องขึ้นอยู่ซึ่งกันและกันเมื่อตัวอย่างเช่น เมื่อปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยที่มีมิติร่วม 3 ของ ซึ่งกำหนดให้เป็นการตัดกันของ 5 สมการ ดังนั้นจึงมีความซ้ำซ้อน 2 ประการ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสมการเมทริกซ์: ในปริภูมิย่อยของโดยที่syzygie เชิงเส้นสองตัวแสดงให้เห็นว่าถ้าแล้วเงื่อนไขอีกสองข้อจะได้รับการตอบสนองโดยอัตโนมัติ นี่คือความซ้ำซ้อน ${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}V)}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}V)}$${\displaystyle \{[p_{1,2},p_{1,3},\dots ,p_{n-1,n}]\}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1}$${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle 2(n-2)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)}$${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)}$$${\displaystyle Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)}$$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{5})}$${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad {\begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$${\displaystyle p_{12}=1}$$${\displaystyle Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}}$$${\displaystyle Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0}$

ต่อมา คำว่าsyzygyได้รับความนิยม (ในหมู่นักคณิตศาสตร์) โดยเดวิด ฮิลเบิร์ต ในบทความของเขาเมื่อปี 1890 ซึ่งประกอบด้วยทฤษฎีบทพื้นฐานสามข้อเกี่ยวกับพหุนาม ได้แก่ทฤษฎีบท syzygy ของฮิลเบิร์ตทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตและ ทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต

ในบทความของเขา Cayley ใช้ในกรณีพิเศษของสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าคอมเพล็กซ์ Koszul ^{[ 3 ]}ตามโครงสร้างที่คล้ายกันในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดยนักคณิตศาสตร์Jean-Louis Koszul