ในทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ของพหุนาม สองตัว คือพหุนามแสดงสัมประสิทธิ์ ของพหุนามทั้ง สองตัวซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองมีราก ร่วมกัน (อาจอยู่ในส่วนขยายของฟิลด์ ) หรือเทียบเท่ากับมีตัวประกอบ ร่วมกัน (อาจอยู่ในส่วนขยายของฟิลด์เช่นกัน) ในตำราเก่าบางเล่ม ผลลัพธ์ยังเรียกว่าตัวกำจัด^{[ 1 ]}

ผลลัพธ์ (resultant) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีจำนวนไม่ว่าจะโดยตรงหรือผ่านทางดิสคริมิแนนต์ (discriminant)ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือผลลัพธ์ของพหุนามและอนุพันธ์ ของมัน ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะหรือพหุนามสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพบนคอมพิวเตอร์ มันเป็นเครื่องมือพื้นฐานของพีชคณิตคอมพิวเตอร์และเป็นฟังก์ชันในตัวของระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่ มันถูกใช้เพื่อวัตถุประสงค์ต่างๆ เช่น การแยกส่วนเชิงพีชคณิตทรง กระบอก การอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะและการวาดเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการพหุนามสองตัวแปร

ผลลัพธ์ของพหุนามเอกพันธุ์n ตัว ใน ตัวแปร nตัว (เรียกอีกอย่างว่าผลลัพธ์หลายตัวแปรหรือผลลัพธ์ของ Macaulayเพื่อแยกความแตกต่างจากผลลัพธ์ปกติ) เป็นการวางนัยทั่วไปของผลลัพธ์ปกติ ที่ Macaulay นำเสนอ ^{[ 2 ]}ร่วมกับฐาน Gröbner เป็น หนึ่งในเครื่องมือหลักของทฤษฎีการกำจัด

ผลลัพธ์ของพหุนามเอกตัวแปรสองตัวAและBมักจะใช้สัญลักษณ์หรือ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Res} (A,B).}$

ในการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์หลายๆ ครั้ง พหุนามจะขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว และอาจถือได้ว่าเป็นพหุนามตัวแปรเดียวในตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง โดยมีพหุนามในตัวแปรอื่นๆ เป็นสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้ ตัวแปรที่ถูกเลือกใช้ในการกำหนดและคำนวณผลลัพธ์จะระบุด้วยตัวห้อย เช่นหรือ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(A,B).}$

ดีกรีของพหุนามถูกนำมาใช้ในการกำหนดนิยามของผลลัพธ์ อย่างไรก็ตาม พหุนามดีกรีd อาจถือได้ว่าเป็นพหุนามดีกรีสูงกว่าได้เช่นกัน โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นศูนย์ หากใช้ดีกรีสูงกว่าดัง กล่าวสำหรับผลลัพธ์ มักจะระบุเป็นตัวห้อยหรือตัวยก เช่นหรือ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {res} _{d,e}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B)}$

ผลลัพธ์ของพหุนามเอกตัวแปรสองตัวบนฟิลด์หรือบนริงสลับที่มักถูกนิยามว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ ของ เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ของพหุนามเหล่านั้น กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้ A และ B เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีดีกรีdและeตามลำดับ ให้เราแทน ปริภูมิ เวกเตอร์ (หรือโมดูลอิสระหากสัมประสิทธิ์อยู่ในริงสลับที่) ที่มีมิติiซึ่งมีองค์ประกอบเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าi อย่างเคร่งครัด ฟังก์ชัน โดยที่ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างปริภูมิสองปริภูมิที่มีมิติเดียวกัน พิจารณาฐานเอกนามที่ลดลงของปริภูมิเวกเตอร์พหุนามเหล่านี้: ฟังก์ชันเชิงเส้นนี้แสดงด้วยเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติd + eเรียกว่าเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ของAและB (แม้ว่า บทความเกี่ยวกับ เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์จะนิยามว่าเป็นเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์ด้านล่างก็ตาม) ผลลัพธ์คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของฟังก์ชัน (ซึ่งกระทำทางด้านซ้ายของเวกเตอร์คอลัมน์): เมทริกซ์ มีeคอลัมน์ของa _iและdคอลัมน์ของb _jตัวอย่างเช่น การกำหนดd = 3และe = 2จะได้ว่า: ถ้าสัมประสิทธิ์ของพหุนามอยู่ในโดเมนจำนวนเต็มแล้ว โดย ที่และคือรากที่ระบุพร้อมความซ้ำซ้อนของAและBในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ใดๆ ที่ประกอบด้วยโดเมนจำนวนเต็ม ตามลำดับ นี่ เป็นผลลัพธ์โดยตรงจากคุณสมบัติเฉพาะของผลลัพธ์ที่ปรากฏด้านล่าง ในกรณีทั่วไปของสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตมักถูกเลือกเป็นฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน$${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {P}__{i}}$$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {P}__{e}\times {\mathcal {P}__{d}\rightarrow {\mathcal {P}__{d+e}}$$$${\displaystyle \varphi (P,Q)=AP+BQ}$$$${\displaystyle \{(x^{e-1},0),(x^{e-2},0),\ldots ,(1,0),(0,x^{d-1}),(0,x^{d-2}),\ldots ,(0,1)\}\subset {\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d},}$$$${\displaystyle \{x^{d+e-1},x^{d+e-2},\ldots ,1\}\subset {\mathcal {P}__{d+e}.}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}&0&\cdots &0\\a_{1}&a_{0}&\cdots &0&b_{1}&b_{0}&\cdots &0\\a_{2}&a_{1}&\ddots &0&b_{2}&b_{1}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}\\a_{d}&a_{d-1}&\cdots &\vdots &b_{e}&b_{e-1}&\cdots &\vdots \\0&a_{d}&\ddots &\vdots &0&b_{e}&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d}&0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),}$$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}}$${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{e}}$

ในส่วนนี้และส่วนย่อยต่างๆAและBเป็นพหุนามสองตัวใน ตัวแปร xที่มีดีกรีdและe ตามลำดับ และผลลัพธ์ของพหุนามทั้งสองนี้จะใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B).}$

คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้กับผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rถ้าRเป็นฟิลด์หรือโดยทั่วไปเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัล ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันเฉพาะของสัมประสิทธิ์ของพหุนามสองตัวที่สอดคล้องกับคุณสมบัติเหล่านี้

• ถ้าRเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนS อีกวงหนึ่ง แล้วนั่นคือAและBจะมีผลลัพธ์เดียวกันเมื่อพิจารณาว่าเป็นพหุนามเหนือRหรือS${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$
• ถ้าd = 0 (นั่นคือถ้า d เป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์) แล้วในทำนองเดียวกัน ถ้าe = 0แล้ว${\displaystyle A=a_{0}}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

• ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในโดเมนอินทิกรัลDจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองมี^ตัวหารร่วมที่ มี ดีกรีเป็นบวกเหนือฟิลด์เศษส่วนของD [ ^{a ]}
• ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในโดเมนเชิงอินทิกรัลจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองนั้นมีรากร่วมกันในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านั้น
• มีพหุนามPที่มีดีกรีน้อยกว่าeและพหุนามQที่มีดีกรีน้อยกว่าdอยู่ ซึ่งทำให้เงื่อนไขนี้ เป็นจริง นี่เป็นการขยายความทั่วไปของเอกลักษณ์ของเบซูต์ไปยังพหุนามบนวงแหวนสลับที่ใดๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวนั้นเป็นของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพหุนามเหล่านั้น${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$

ให้AและBเป็นพหุนามสองตัวที่มีดีกรีdและe ตามลำดับ โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rและโฮ โมมอร์ฟิซึม ของวงแหวน จาก Rไปยังวงแหวนสลับที่S อีกวงหนึ่ง การใช้กับสัมประสิทธิ์ของพหุนาม จะขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนพหุนามซึ่งเขียนแทนด้วยด้วยสัญลักษณ์นี้ เราจะได้: ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R[x]\to S[x]}$${\displaystyle \varphi .}$

• ถ้าการรักษาดีกรีของ AและB ไว้ (นั่นคือ ถ้าและ) แล้ว${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• ถ้าและ และสัมประสิทธิ์นำหน้าของAคือแล้ว${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• ถ้าและ และสัมประสิทธิ์นำหน้าของBคือแล้ว${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$${\displaystyle b_{0}}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

คุณสมบัติเหล่านี้สามารถอนุมานได้ง่ายจากนิยามของผลลัพธ์ในฐานะดีเทอร์มิแนนต์ โดยส่วนใหญ่จะใช้ในสองสถานการณ์ สำหรับการคำนวณผลลัพธ์ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยทั่วไปแล้วจะเร็วกว่าหากคำนวณโดยใช้โมดูลัสของ จำนวนเฉพาะหลายตัว แล้วจึงใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนเพื่อดึงผลลัพธ์ที่ต้องการเมื่อRเป็นวงแหวนพหุนามในตัวแปรอื่นๆ และSเป็นวงแหวนที่ได้จากการกำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปรบางส่วนหรือทั้งหมดของRคุณสมบัติเหล่านี้อาจกล่าวใหม่ได้ราวกับว่าดีกรีถูกรักษาไว้โดยการกำหนดค่าเฉพาะ ผลลัพธ์ของการกำหนดค่าเฉพาะของพหุนามสองตัวก็คือการกำหนดค่าเฉพาะของผลลัพธ์คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เช่น สำหรับการแยกส่วนเชิงพีชคณิตทรงกระบอก

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ถ้าและเป็นพหุนามผกผันของAและBตามลำดับ แล้ว${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$$${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

นั่นหมายความว่าคุณสมบัติของผลลัพธ์ที่เป็นศูนย์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรเชิงเส้นและเชิงโปรเจคทีฟ

• ถ้าaและbเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรx ) และAและBเป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• ถ้าAและBเป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้น และCเป็นพหุนามอีกตัวหนึ่งซึ่งดีกรีของA – CBคือδแล้ว $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$

เฉพาะในกรณีที่⁠ ⁠${\displaystyle BC}$และ⁠ ⁠${\displaystyle A}$มีดีกรีเท่ากันเท่านั้นที่⁠ ⁠${\displaystyle \delta }$ไม่สามารถอนุมานได้จากดีกรีของพหุนามที่กำหนด ถ้าBเป็นพหุนามเอกลักษณ์หรือdeg C < deg A – deg Bแล้วถ้าf = deg C > deg A – deg B = d – eแล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

คุณสมบัติเหล่านี้บ่งชี้ว่า ในอัลกอริทึมแบบยุคลิดสำหรับพหุนามและรูปแบบต่างๆ ทั้งหมด ( ลำดับเศษเหลือเทียม ) ผลลัพธ์ของเศษเหลือ (หรือเศษเหลือเทียม) สองตัวที่ต่อเนื่องกัน จะแตกต่างจากผลลัพธ์ของพหุนามเริ่มต้นด้วยตัวประกอบที่คำนวณได้ง่าย ในทางกลับกัน สิ่งนี้ทำให้สามารถอนุมานผลลัพธ์ของพหุนามเริ่มต้นจากค่าของเศษเหลือหรือเศษเหลือเทียมตัวสุดท้ายได้ นี่คือแนวคิดเริ่มต้นของอัลกอริทึมลำดับเศษเหลือเทียมผลลัพธ์ย่อยซึ่งใช้สูตรข้างต้นในการหาพหุนามผลลัพธ์ย่อยเป็นเศษเหลือเทียม และผลลัพธ์เป็นเศษเหลือเทียมที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้าย (โดยที่ผลลัพธ์ไม่เป็นศูนย์) อัลกอริทึมนี้ใช้ได้กับพหุนามบนจำนวนเต็ม หรือโดยทั่วไปแล้วบนโดเมนจำนวนเต็ม โดยไม่มีการหารใดๆ นอกจากการหารที่แน่นอน (นั่นคือ ไม่เกี่ยวข้องกับเศษส่วน) กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ด้วยอัลกอริทึมมาตรฐานก็ต้องใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่น กัน${\displaystyle O(de)}$${\displaystyle O((d+e)^{3})}$

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาพหุนามสองตัว คือ และ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์d + e + 2ตัวที่แตกต่างกันให้ เป็นวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนเต็มที่กำหนดโดยตัวแปรเหล่านี้ ผลลัพธ์มักเรียกว่าผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับดีกรีdและeซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$$${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้โดยสิ้นเชิง
• ถ้าเป็นอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยAและBแล้ว ก็คืออุดมคติหลัก ที่สร้าง ขึ้นโดย${\displaystyle I}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

ผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับระดับdและeนั้นเป็นเอกพันธุ์ในหลายๆ ด้าน กล่าวโดยละเอียดคือ:

• เป็นเนื้อเดียวกันที่มีดีกรีeใน${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• เป็นเนื้อเดียวกันที่มีดีกรีdใน${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• เป็นเอกพันธุ์ดีกรีd + eในตัวแปรทั้งหมดและ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{j}.}$
• ถ้าและมีน้ำหนักi (นั่นคือ น้ำหนักของสัมประสิทธิ์แต่ละตัวคือดีกรีของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ) แล้ว จะเป็นพหุนามกึ่งเอกพันธุ์ ที่มี น้ำหนักรวมde${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• ถ้าPและQเป็นพหุนามหลายตัวแปรเอกพันธุ์ที่มีดีกรีdและeตามลำดับ ผลลัพธ์ของพหุนามทั้งสองนี้ในดีกรีdและeเทียบกับตัวแปรxซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ §จะเป็นพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรีdeในตัวแปรอื่นๆ ด้วย${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$

ให้เป็นไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามสองตัวAและBในวงแหวนพหุนามโดยที่เป็นวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในAและBเป็นพหุนามเอกลักษณ์ในxแล้ว: ${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$${\displaystyle R[x],}$${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• อุดมคติและ กำหนด เซตพีชคณิตเดียวกันนั่นคือ ทูเปิลของ สมาชิก nตัวในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจะเป็นศูนย์ร่วมของสมาชิกของก็ต่อเมื่อมันเป็นศูนย์ของ${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• อุดมคติ มี รากฐานเดียวกันกับอุดมคติหลักกล่าวคือ แต่ละองค์ประกอบของ อุดมคติ มีพลังที่เป็นผลคูณของอุดมคติ${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• ตัวประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของหารองค์ประกอบทุกตัวของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle I\cap R.}$

ข้อความแรกเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของผลลัพธ์ ส่วนข้อความอื่นๆ เป็นผลลัพธ์โดยตรงจากข้อความที่สอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

เนื่องจากอย่างน้อยหนึ่งในAและBเป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียว ดังนั้นทูเปิลจะเป็นศูนย์ของก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงที่ทำให้เป็นศูนย์ร่วมของAและBศูนย์ร่วมดังกล่าวเป็นศูนย์ของสมาชิกทั้งหมดใน ด้วยเช่นกันในทางกลับกัน ถ้าเป็นศูนย์ร่วมของสมาชิกในมันจะเป็นศูนย์ของผลลัพธ์ และมีอยู่จริงที่ทำให้เป็นศูนย์ร่วมของAและBดังนั้นและ จึงมีศูนย์เหมือนกันทุกประการ ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$${\displaystyle I\cap R.}$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle I\cap R,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$

ในทางทฤษฎี ผลลัพธ์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรที่แสดงผลลัพธ์นั้นในรูปผลคูณของผลต่างของราก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วรากอาจคำนวณได้ไม่แม่นยำ วิธีการดังกล่าวจึงไม่มีประสิทธิภาพและไม่เสถียรในเชิงตัวเลขเนื่องจากผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันสมมาตรของรากของแต่ละพหุนาม จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตรแต่การทำเช่นนั้นจะไม่มีประสิทธิภาพอย่างมาก

เนื่องจากผลลัพธ์คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ (และของเมทริกซ์เบซูต์ ) จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริธึมใดๆ สำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งต้องใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากมีอัลกอริธึมที่มีความซับซ้อนดีกว่า (ดูด้านล่าง) วิธีนี้จึงไม่ได้ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติ ${\displaystyle O(n^{3})}$

จากหัวข้อ§ ความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงของพหุนาม จะ เห็นได้ว่าการคำนวณผลลัพธ์มีความสัมพันธ์อย่างมากกับอัลกอริทึมแบบยุคลิดสำหรับพหุนามซึ่งแสดงให้เห็นว่าการคำนวณผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีdและeสามารถทำได้โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในฟิลด์ของสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle O(de)}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ หรือพหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับการคำนวณหา ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์จำนวนมาก ซึ่งมีลำดับเดียวกันและทำให้ขั้นตอนวิธีไม่มีประสิทธิภาพ จึง มีการนำ ลำดับเศษเหลือเทียมของผลลัพธ์ย่อยมาใช้เพื่อแก้ปัญหานี้และหลีกเลี่ยงเศษส่วนและการคำนวณ ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นได้มาจากการใช้คุณสมบัติที่ดีของผลลัพธ์ภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนบนสัมประสิทธิ์ กล่าวคือ ในการคำนวณผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม เราจะคำนวณผลลัพธ์ของพหุนามเหล่านั้นโดยใช้โมดูลัสของจำนวนเฉพาะจำนวน มากพอ แล้วจึงสร้างผลลัพธ์ขึ้นใหม่โดยใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ของ จีน

การใช้การคูณจำนวนเต็มและพหุนามอย่างรวดเร็วช่วยให้สามารถสร้างอัลกอริธึมสำหรับผลลัพธ์และตัวหารร่วมมากที่มีความซับซ้อนเชิงเวลา ที่ดีกว่า ซึ่งอยู่ในระดับความซับซ้อนของการคูณ คูณด้วยลอการิทึมของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า ( โดยที่sคือขอบเขตบนของจำนวนหลักของพหุนามที่ป้อนเข้า) ${\displaystyle \log(s(d+e)),}$

ผลลัพธ์ที่ได้ถูกนำมาใช้ในการแก้ระบบสมการพหุนามและเป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดที่แสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว โดยหลักแล้ววิธีการนี้เหมาะสำหรับระบบสมการสองตัวแปรสองตัว แต่ก็สามารถใช้แก้ระบบสมการทั่วไปได้เช่นกัน

พิจารณาระบบสมการพหุนามสองสมการ โดยที่PและQเป็นพหุนามที่มีดีกรีรวมdและe ตามลำดับ แล้วเป็นพหุนามในxซึ่งโดยทั่วไปมีดีกรีde (ตามคุณสมบัติของ§ ความเป็นเอกพันธุ์ ) ค่าของxเป็นรากของRก็ต่อเมื่อมีในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์ อยู่ เช่นนั้นหรือและ(ในกรณีนี้ กล่าวได้ว่าPและQมีรากร่วมกันที่อนันต์สำหรับ) $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$${\displaystyle x=\alpha }$

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการจึงได้มาจากการคำนวณรากของRและสำหรับแต่ละรากจะคำนวณรากร่วมของและ${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle P(\alpha ,y),}$${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

ทฤษฎีบทของเบซูต์ได้มาจากค่าของซึ่งเป็นผลคูณของดีกรีของPและQอันที่จริง หลังจากการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น เราอาจสมมติได้ว่า สำหรับแต่ละรากxของผลลัพธ์ จะมีค่าy เพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่ทำให้( x , y )เป็นศูนย์ร่วมของPและQสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจำนวนศูนย์ร่วมมีค่าอย่างมากที่สุดเท่ากับดีกรีของผลลัพธ์ นั่นคืออย่างมากที่สุดเท่ากับผลคูณของดีกรีของPและQด้วยวิธีการทางเทคนิคบางอย่าง การพิสูจน์นี้อาจขยายออกไปเพื่อแสดงว่า เมื่อนับความซ้ำซ้อนและศูนย์ที่อนันต์ จำนวนศูนย์จะมีค่าเท่ากับผลคูณของดีกรีพอดี ${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$

มองเผินๆ แล้วดูเหมือนว่าผลลัพธ์อาจนำไปใช้กับระบบสมการพหุนาม ทั่วไปได้ โดยการคำนวณผลลัพธ์ของแต่ละคู่เทียบกับ เพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าตัวใดตัวหนึ่ง และทำซ้ำกระบวนการจนกว่าจะได้พหุนามตัวแปรเดียว น่าเสียดายที่วิธีนี้ทำให้เกิดคำตอบปลอมจำนวนมาก ซึ่งยากต่อการกำจัด $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$${\displaystyle x_{n}}$

วิธีการหนึ่งซึ่งริเริ่มขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ทำงานดังนี้: แนะนำตัวแปรใหม่k − 1 ตัว แล้วคำนวณค่า ซึ่งเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามที่มีคุณสมบัติว่าเป็นรากร่วมของสัมประสิทธิ์พหุนามเหล่านี้ ก็ต่อเมื่อพหุนามเอกตัวแปรมีรากร่วมกัน ซึ่งอาจอยู่ที่อนันต์กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้จนกว่าจะพบพหุนามเอกตัวแปร ${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$$${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$

เพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่ถูกต้อง จำเป็นต้องเพิ่มส่วนเสริมสองอย่างเข้าไปในวิธีการ ประการแรก ในแต่ละขั้นตอน อาจจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น เพื่อให้ดีกรีของพหุนามในตัวแปรสุดท้ายเท่ากับดีกรีรวมของพหุนามเหล่านั้น ประการที่สอง หากในขั้นตอนใดๆ ผลลัพธ์เป็นศูนย์ นั่นหมายความว่าพหุนามเหล่านั้นมีตัวประกอบร่วม และคำตอบจะแยกออกเป็นสองส่วน คือ ส่วนหนึ่งที่ตัวประกอบร่วมเป็นศูนย์ และอีกส่วนหนึ่งที่ได้จากการดึงตัวประกอบร่วมนี้ออกมาก่อนดำเนินการต่อไป

อัลกอริทึมนี้ซับซ้อนมากและใช้เวลาในการประมวลผล สูงมาก ดังนั้น ความสนใจในอัลกอริทึมนี้จึงส่วนใหญ่เป็นเรื่องทางประวัติศาสตร์

ตัวแยกแยะของพหุนาม ซึ่งเป็นเครื่องมือพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนคือโดยที่คือสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามและ คือ ดีกรีของพหุนามนั้น ${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$

ถ้าและเป็นจำนวนพีชคณิตที่แล้วจะเป็นรากของผลลัพธ์และจะเป็นรากของโดยที่คือดีกรีของ เมื่อ รวมกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นรากของสิ่ง นี้แสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนพีชคณิต เป็นฟิลด์${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Q(y)}$${\displaystyle 1/\beta }$${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$

ให้เป็นส่วนขยายของฟิลด์พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบซึ่งมีพหุนามขั้นต่ำสุดเป็นทุกองค์ประกอบของสามารถเขียนได้เป็น โดยที่เป็นพหุนาม ดังนั้นเป็นรากของและผลลัพธ์นี้เป็นกำลังของพหุนามขั้นต่ำสุดของ${\displaystyle K(\alpha )}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$${\displaystyle \beta .}$

เมื่อกำหนด เส้นโค้งพีชคณิต ระนาบ สอง เส้น ซึ่งนิยามว่าเป็นรากของพหุนามP ( x , y )และQ ( x , y )แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะช่วยให้สามารถคำนวณจุดตัดของเส้นโค้งทั้งสองได้ กล่าวคือ รากของคือ พิกัด xของจุดตัดและเส้นกำกับแนวตั้งร่วม และรากของคือ พิกัด yของจุดตัดและเส้นกำกับแนวนอนร่วม ${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$

เส้นโค้งระนาบเชิงตรรกะสามารถกำหนดได้ด้วยสมการพาราเมตริก โดยที่P , QและRเป็นพหุนามสมการโดยปริยายของเส้นโค้งนี้กำหนดโดย ดีกรีของเส้นโค้งนี้คือดีกรีสูงสุดของP , QและRซึ่งเท่ากับดีกรีรวมของเส้นโค้งลัพธ์ $${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$$${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$

ในการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ผกผันของเศษส่วนตรรกยะเราใช้การแยกส่วนเศษส่วนย่อยเพื่อแยกอินทิกรัลออกเป็น "ส่วนตรรกยะ" ซึ่งเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวผกผันดั้งเดิมเป็นเศษส่วนตรรกยะ และ "ส่วนลอการิทึม" ซึ่งเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบ ที่Qเป็นพหุนามที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและPเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าQอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันดังกล่าวเกี่ยวข้องกับลอการิทึมและโดยทั่วไปคือจำนวนพีชคณิต (รากของQ )ในความเป็นจริง อนุพันธ์ผกผันคือ โดยที่ผลรวมครอบคลุมรากเชิงซ้อนทั้งหมดของQ$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนจำนวนพีชคณิตที่เกี่ยวข้องในนิพจน์นี้จะเท่ากับดีกรีของQแต่บ่อยครั้งที่สามารถคำนวณนิพจน์ที่มีจำนวนพีชคณิตน้อยกว่าได้ วิธีการของ Lazard –Rioboo– Tragerสร้างนิพจน์ที่มีจำนวนจำนวนพีชคณิตน้อยที่สุด โดยไม่ต้องคำนวณด้วยจำนวนพีชคณิตใดๆ

ให้ เป็นการแยกตัวประกอบแบบไร้ตัวประกอบกำลังสองของผลลัพธ์ที่ปรากฏทางด้านขวา ทราเกอร์พิสูจน์ว่าอนุพันธ์ผกผันคือ โดยที่ผลรวมภายในจะวิ่งไปตามรากของ(ถ้าผลรวมเป็นศูนย์ เนื่องจากเป็นผลรวมว่าง ) และเป็นพหุนามดีกรีiในxผลงานของลาซาร์ด-ริโอบูคือการพิสูจน์ว่าเป็นผลลัพธ์ย่อยดีกรีiของและดังนั้นจึงได้มาโดยไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายใดๆ หากผลลัพธ์ถูกคำนวณโดยลำดับเศษเหลือเทียมของผลลัพธ์ย่อย $${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}=1}$${\displaystyle T_{i}(r,x)}$${\displaystyle T_{i}(r,x)}$${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$${\displaystyle Q(x).}$

แอปพลิเคชันก่อนหน้านี้ทั้งหมด และแอปพลิเคชันอื่นๆ อีกมากมาย แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานในพีชคณิตคอมพิวเตอร์อันที่จริงระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่ มีการนำการคำนวณผลลัพธ์มาใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ผลลัพธ์ยังถูกกำหนดไว้สำหรับพหุนามเอกพันธุ์ สองตัว ในตัวแปรสองตัวด้วย กำหนดให้พหุนามเอกพันธุ์สองตัวP ( x , y )และQ ( x , y )ที่มีดีกรีรวมpและq ตาม ลำดับ ผลลัพธ์เอกพันธุ์ ของพหุนามทั้งสอง นี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์บนฐานเอกนามของแผนที่เชิงเส้น โดยที่Aครอบคลุมพหุนามเอกพันธุ์ทวิภาคที่มีดีกรีq − 1และBครอบคลุมพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรีp − 1กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์เอกพันธุ์ของPและQคือผลลัพธ์ของ P ( x , 1)และQ ( x , 1)เมื่อพิจารณาว่าเป็นพหุนามที่มีดีกรีpและq (ดีกรีในxอาจต่ำกว่าดีกรีรวม) (การใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ของ "Res" ในที่นี้ใช้เพื่อแยกแยะผลลัพธ์ทั้งสอง แม้ว่าจะไม่มีกฎมาตรฐานสำหรับการใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ของคำย่อก็ตาม) $${\displaystyle (A,B)\mapsto AP+BQ,}$$$${\displaystyle \operatorname {Res} (P(x,y),Q(x,y))=\operatorname {res} _{p,q}(P(x,1),Q(x,1)).}$$

ผลลัพธ์เอกพันธุ์มีคุณสมบัติพื้นฐานเหมือนกับผลลัพธ์ปกติ โดยมีข้อแตกต่างที่สำคัญสองประการคือ แทนที่จะพิจารณารากพหุนาม เราจะพิจารณาศูนย์ในเส้นเชิงโปรเจ กทีฟ และดีกรีของพหุนามอาจไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมของริงนั่นคือ:

• ผลลัพธ์ของพหุนามเอกพันธุ์สองตัวบนโดเมนอินทิกรัลจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองนั้นมีศูนย์ร่วมที่ไม่เป็นศูนย์บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งสองนั้น
• ถ้าPและQเป็นพหุนามเอกพันธุ์สองตัวแปรสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rและ Q เป็น โฮ โมมอร์ฟิซึม ของวงแหวน จาก Rไปยังวงแหวนสลับที่S อีกวงหนึ่ง แล้วการขยายพหุนามเหนือRจะได้ว่า${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \operatorname {Res} (\varphi (P),\varphi (Q))=\varphi (\operatorname {Res} (P,Q)).}$$
• คุณสมบัติของผลลัพธ์เอกพันธุ์ที่เป็นศูนย์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรเชิงโปรเจคทีฟใดๆ

คุณสมบัติใดๆ ของผลลัพธ์ปกติสามารถขยายไปยังผลลัพธ์เอกพันธุ์ได้ในทำนองเดียวกัน และคุณสมบัติที่ได้นั้นจะคล้ายคลึงกันมากหรือเรียบง่ายกว่าคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของผลลัพธ์ปกติ

ผลลัพธ์ของ Macaulayซึ่งตั้งชื่อตามFrancis Sowerby Macaulayหรือเรียกอีกอย่างว่าผลลัพธ์หลายตัวแปรหรือผลลัพธ์พหุนามหลายตัว^{[ 3} ] เป็นการวางนัยทั่วไปของผลลัพธ์เอกพันธุ์ไปยังพหุนามเอกพันธุ์n ตัว ในตัวแปรn ตัว ผลลัพธ์ของ Macaulay เป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์ของ พหุนามเอกพันธุ์ n ตัวนี้ ซึ่งจะ ^เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามมีคำตอบร่วมกันที่ไม่เป็นศูนย์ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์ หรือเทียบเท่ากับ พื้นผิวไฮเปอร์ nที่กำหนดโดยพหุนามมีศูนย์ร่วมกันในปริภูมิเชิงฉายn –1 มิติ ผลลัพธ์หลายตัวแปรเป็น หนึ่งในเครื่องมือหลักของทฤษฎีการกำจัด ที่มีประสิทธิภาพ (ทฤษฎีการกำจัดบนคอมพิวเตอร์) ร่วมกับ ฐาน Gröbner

เช่นเดียวกับผลลัพธ์เอกพันธุ์ ฟังก์ชันของแมคออลีย์สามารถนิยามได้ด้วยดีเทอร์มิแนนต์และด้วยเหตุนี้จึงทำงานได้ดีภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมของริงอย่างไรก็ตาม ไม่สามารถนิยามได้ด้วยดีเทอร์มิแนนต์เพียงตัวเดียว ดังนั้นจึงง่ายกว่าที่จะนิยามมันบนพหุนามทั่วไปก่อน

พหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdใน ตัวแปร nตัว อาจมี สัมประสิทธิ์ได้มากถึง โดยจะเรียกว่าเป็นพหุนามทั่วไปหากสัมประสิทธิ์เหล่านี้เป็นตัวแปรที่ไม่กำหนดค่าได้ที่แตกต่างกัน $${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$

ให้nพหุนามเอกพันธุ์ทั่วไปในตัวแปรไม่กำหนดn ตัว ซึ่งมี ดีกรี ตามลำดับ พหุ นามเหล่านี้มี สัมประสิทธิ์ไม่กำหนดร่วมกัน ให้Cเป็นวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนเต็มในสัมประสิทธิ์ไม่กำหนดทั้งหมดเหล่านี้ พหุนามเหล่านี้จึงเป็นสมาชิกของ C และผลลัพธ์ของพหุนามเหล่านี้ (ซึ่งยังไม่ได้กำหนด) ก็เป็นสมาชิกของC เช่น กัน ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$

ระดับ แมคออลีย์ (Macaulay degree)คือจำนวนเต็มที่เป็นพื้นฐานในทฤษฎีของแมคออลีย์ สำหรับการนิยามผลลัพธ์นั้น จะพิจารณาเมท ริกซ์แมคออลี ย์ (Macaulay matrix ) ซึ่งเป็นเมทริกซ์เหนือฐานเอกนามของแผนที่เชิงเส้น C โดยที่แต่ละส่วนจะวิ่งเหนือพหุนามเอกพันธุ์ระดับและโคโดเมนคือ โมดูล Cของ พหุนามเอกพันธุ์ระดับD${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle D-d_{i},}$

ถ้าn = 2เมทริกซ์ Macaulay จะเป็นเมทริกซ์ Sylvester และเป็นเมทริกซ์จัตุรัสแต่สิ่งนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไปสำหรับn > 2ดังนั้น แทนที่จะพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ เราจะพิจารณาไมเนอร์ สูงสุดทั้งหมด นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัสที่มีจำนวนแถวเท่ากับเมทริกซ์ Macaulay Macaulay พิสูจน์แล้วว่าC -ideal ที่สร้างขึ้นโดยไมเนอร์หลักเหล่านี้เป็นไอเดียลหลักซึ่งสร้างขึ้นโดยตัวหารร่วมมากของไมเนอร์เหล่านี้ เนื่องจากเรากำลังทำงานกับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ตัวหารร่วมมากนี้จึงถูกกำหนดขึ้นโดยไม่รวมเครื่องหมายผลลัพธ์ Macaulay ทั่วไปคือตัวหารร่วมมากซึ่งกลายเป็น1เมื่อสำหรับแต่ละiแทนที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของด้วยศูนย์ยกเว้นสัมประสิทธิ์ของซึ่งแทนที่ด้วยหนึ่ง ${\displaystyle P_{i},}$${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$

• ผลลัพธ์ทั่วไปของแมคออลีย์คือพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
• เป็นเอกพันธุ์ที่มีดีกรีในสัมประสิทธิ์ของโดยที่คือขอบเขตเบซูต์${\displaystyle B/d_{i}}$${\displaystyle P_{i},}$${\displaystyle B=d_{1}\cdots d_{n}}$
• ผลคูณของเอกนามทุกตัวที่มีดีกรีDในนั้นเป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle C[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}.}$

ต่อจากนี้ไป เราจะถือว่าพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี k มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์kนั่นคือ พหุนามเหล่านั้นเป็นสมาชิกของk ผลลัพธ์ ของพหุนามเอกพันธุ์เหล่านี้ ถูกกำหนดให้เป็นสมาชิกของkที่ได้จากการแทนที่สัมประสิทธิ์ที่ไม่กำหนดในผลลัพธ์ทั่วไปด้วยสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงของพหุนามเอกพันธุ์${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$${\displaystyle P_{i}.}$

คุณสมบัติหลักของผลลัพธ์คือจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมี ศูนย์ร่วมที่ไม่เป็นศูนย์ในส่วนขยายที่ปิดทางพีชคณิตของk${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$

ส่วน "เฉพาะเมื่อ" ของทฤษฎีบทนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติสุดท้ายของย่อหน้าก่อนหน้า และเป็นรูปแบบที่มีประสิทธิภาพของทฤษฎีบท Nullstellensatz แบบโปรเจคทีฟ : ถ้าผลลัพธ์ไม่เป็นศูนย์ แล้ว โดย ที่คือระดับ Macaulay และคืออุดมคติเอกพันธุ์สูงสุด ซึ่งหมายความว่าไม่มีศูนย์ร่วมอื่นใดนอกจากศูนย์ร่วมเดียว(0, ..., 0)ของ$${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

เนื่องจากการคำนวณผลลัพธ์สามารถลดทอนลงเหลือเพียงการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และตัวหารร่วมมากของพหุนามจึงมีอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณผลลัพธ์ภายในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ทั่วไปเป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงมาก (เลขชี้กำลังของn ) ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปรจำนวนมหาศาล ดังนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว การคำนวณผลลัพธ์ทั่วไปนั้นเป็นไปไม่ได้ แม้แต่กับคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย ​​ยกเว้นในกรณีที่n มีค่าน้อยมาก และดีกรีของพหุนามอินพุตมีค่าน้อยมาก ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเอกนาม ของผลลัพธ์ทั่วไปมีมากจนหากสามารถคำนวณได้ ผลลัพธ์นั้นก็ไม่สามารถจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำที่มีอยู่ได้ แม้แต่ในกรณีที่ค่า nและดีกรีของพหุนามอินพุต มีค่าค่อนข้างน้อยก็ตาม

ดังนั้น การคำนวณผลลัพธ์จึงสมเหตุสมผลเฉพาะกับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ หรือเป็นพหุนามที่มีตัวแปรไม่มากนักในฟิลด์นั้น

ในกรณีของพหุนามอินพุตที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ ค่าที่แน่นอนของผลลัพธ์นั้นแทบจะไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือการที่ผลลัพธ์นั้นเท่ากับ (หรือไม่) ศูนย์เท่านั้น เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์แมคคอลีย์ต่ำกว่าจำนวนแถวของเมทริกซ์นั้น การที่ผลลัพธ์นั้นเท่ากับศูนย์สามารถตรวจสอบได้โดยการใช้การกำจัดแบบเกาส์กับเมทริกซ์แมคคอลีย์ วิธีนี้ให้ความซับซ้อนในการคำนวณ โดยที่dคือดีกรีสูงสุดของพหุนามอินพุต ${\displaystyle d^{O(n)},}$

อีกกรณีหนึ่งที่การคำนวณผลลัพธ์อาจให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์คือ เมื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามอินพุตเป็นพหุนามในตัวแปรไม่แน่นอนจำนวนน้อย ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ หากไม่ใช่ศูนย์ จะกำหนดพื้นผิวในปริภูมิพารามิเตอร์จุดหนึ่งจะอยู่บนพื้นผิวนี้ก็ต่อเมื่อมีค่าของซึ่งเมื่อรวมกับพิกัดของจุดนั้นแล้วจะเป็นศูนย์ของพหุนามอินพุต กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์คือผลลัพธ์ของการ " กำจัด " จากพหุนามอินพุต ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

ผลลัพธ์ของแมคออลีย์ (Macaulay's resultant) เป็นวิธีการที่แมคออลีย์เรียกว่า " ผลลัพธ์ ยู " (U-resultant) สำหรับแก้ระบบสมการพหุนาม

กำหนดให้พหุนามเอกพันธุ์n − 1 ตัว ที่มีดีกรีอยู่ใน ตัวแปรn ตัว เหนือฟิลด์kผลลัพธ์U ของพหุนาม เหล่านั้นคือผลลัพธ์ของพหุนามทั้งn ตัว โดยที่ คือ รูปแบบเชิงเส้น ทั่วไปที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวแปรใหม่การใช้สัญลักษณ์หรือสำหรับสัมประสิทธิ์ทั่วไปเหล่านี้เป็นแบบดั้งเดิม และเป็นที่มาของคำว่าผลลัพธ์ U${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},}$$${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}$$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

ผลลัพธ์Uคือพหุนามเอกพันธุ์ในมันจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อศูนย์ร่วมของก่อตัวเป็นเซตพีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ที่มี มิติเป็นบวก(นั่นคือ มีศูนย์เชิงโปรเจกทีฟจำนวนอนันต์เหนือส่วน ขยายปิดเชิงพีชคณิตของk ) ถ้า ผลลัพธ์ Uไม่เป็นศูนย์ ดีกรีของมันคือขอบเขตของเบซูต์ ผลลัพธ์ U สามารถแยกตัวประกอบเหนือส่วนขยายปิดเชิงพีชคณิตของkออกเป็นผลคูณของรูปแบบเชิงเส้น ถ้าเป็นตัวประกอบเชิงเส้นดังกล่าว แล้วคือพิกัดเอกพันธุ์ของศูนย์ร่วมของยิ่งไปกว่านั้น ศูนย์ร่วมทุกตัวสามารถได้มาจากตัวประกอบเชิงเส้นเหล่านี้ และความซ้ำซ้อนในฐานะตัวประกอบจะเท่ากับความซ้ำซ้อนของการตัดกันของที่ศูนย์นี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ Uให้เวอร์ชันที่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}.}$${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$${\displaystyle P_{i}}$

ผลลัพธ์Uตามที่ Macaulay นิยามไว้ กำหนดให้จำนวนพหุนามเอกพันธุ์ในระบบสมการต้องเป็น โดยที่ คือจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ในปี 1981 Daniel Lazardได้ขยายแนวคิดนี้ไปยังกรณีที่จำนวนพหุนามอาจแตกต่างจากและการคำนวณที่ได้สามารถทำได้โดยใช้ กระบวนการ กำจัดแบบเกาส์เซียน เฉพาะทาง ตามด้วยการคำนวณ ดีเทอร์มิแนนต์ เชิงสัญลักษณ์${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

ให้เป็นพหุนามเอกพันธุ์ในที่มีดีกรีเหนือฟิลด์kโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป อาจสมมติว่ากำหนดให้สำหรับi > kขอบเขตของ Macaulay คือ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{k}.}$${\displaystyle d_{i}=1}$${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1.}$

ให้เป็นตัวแปรไม่แน่นอนใหม่ และกำหนดในกรณีนี้ เมทริกซ์ Macaulay ถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ บนฐานของเอกนามในของแผนที่เชิงเส้น โดยที่ สำหรับแต่ละiจะวิ่งบนปริภูมิเชิงเส้นที่ประกอบด้วยศูนย์และพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$${\displaystyle P_{k+1}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}.}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{k+1})\mapsto P_{1}Q_{1}+\cdots +P_{k+1}Q_{k+1},}$$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle D-d_{i}}$

เมื่อลดเมทริกซ์ Macaulay โดยใช้การกำจัดแบบ Gaussian รูปแบบ หนึ่ง จะได้เมทริกซ์จัตุรัสของรูปแบบเชิงเส้นในดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือU -resultant เช่นเดียวกับU -resultant ดั้งเดิม มันจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีศูนย์เชิงโปรเจกทีฟร่วมกันเป็นอนันต์ (นั่นคือ ถ้าเซตพีชคณิตเชิงโปรเจก ทีฟ ที่กำหนดโดยมีจุดเป็นอนันต์เหนือส่วนปิดเชิงพีชคณิตของk ) และเช่นเดียวกับU -resultant ดั้งเดิม เมื่อU -resultant นี้ไม่เป็นศูนย์ มันจะแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นเหนือส่วนขยายปิดเชิงพีชคณิตใดๆ ของkสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบเชิงเส้นเหล่านี้คือพิกัดเอกพันธุ์ของศูนย์ร่วมของและความซ้ำซ้อนของศูนย์ร่วมจะเท่ากับความซ้ำซ้อนของตัวประกอบเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k},}$

จำนวนแถวของเมทริกซ์ Macaulay น้อยกว่าโดยที่e ~ 2.7182 คือ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ทั่วไปและdคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของดีกรีของพหุ นาม ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบทั้งหมดของระบบสมการพหุนามที่มีศูนย์เชิงโปรเจกทีฟจำนวนจำกัดได้ในเวลาแม้ว่าขอบเขตนี้จะใหญ่ แต่ก็เกือบจะเหมาะสมที่สุดในแง่ต่อไปนี้: ถ้าดีกรีของพหุนามทั้งหมดเท่ากัน ความซับซ้อนของเวลาของกระบวนการจะเป็นพหุนามในจำนวนคำตอบที่คาดหวัง ( ทฤษฎีบทของ Bézout ) การคำนวณนี้อาจทำได้จริงเมื่อ n , kและdไม่ใหญ่มาก ${\displaystyle (ed)^{n},}$${\displaystyle P_{i}.}$${\displaystyle d^{O(n)}.}$

• ทฤษฎีการกำจัด
• ผลลัพธ์ย่อย
• พีชคณิตไม่เชิงเส้น

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ผลลัพธ์" . แมธเวิลด์ .