ใน สาขาย่อย ทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขความเสถียรเชิงตัวเลขเป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์โดยทั่วไปของอัลกอริทึมเชิงตัวเลขคำจำกัดความที่แน่นอนของความเสถียรขึ้นอยู่กับบริบท: บริบทที่สำคัญอย่างหนึ่งคือพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและอีกบริบทหนึ่งคืออัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อยโดยการประมาณแบบไม่ต่อเนื่อง

ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข ความกังวลหลักคือความไม่เสถียรที่เกิดจากการเข้าใกล้จุดเอกฐานประเภทต่างๆ เช่นค่าไอเกน ที่เล็กมากหรือเกือบจะชนกัน ในทางกลับกัน ในอัลกอริธึมเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ ความกังวลคือการเพิ่มขึ้นของข้อผิดพลาดจากการปัดเศษและ/หรือความผันผวนเล็กน้อยในข้อมูลเริ่มต้น ซึ่งอาจทำให้คำตอบสุดท้ายเบี่ยงเบนไปจากคำตอบที่ถูกต้องมาก

อัลกอริทึมเชิงตัวเลขบางตัวอาจลดความผันผวนเล็กน้อย (ข้อผิดพลาด) ในข้อมูลป้อนเข้า ในขณะที่บางตัวอาจขยายข้อผิดพลาดเหล่านั้น การคำนวณที่พิสูจน์ได้ว่าไม่ขยายข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเรียกว่ามีเสถียรภาพเชิงตัวเลขหนึ่งในภารกิจทั่วไปของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือการพยายามเลือกอัลกอริทึมที่มีความแข็งแกร่ง  กล่าวคือ ไม่ก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมากสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในข้อมูลป้อนเข้า

ปรากฏการณ์ตรงกันข้ามคือความไม่เสถียรโดยทั่วไป อัลกอริทึมจะเกี่ยวข้องกับวิธีการประมาณค่า และในบางกรณีอาจพิสูจน์ได้ว่าอัลกอริทึมจะเข้าใกล้คำตอบที่ถูกต้องในขีดจำกัดบางอย่าง (เมื่อใช้จำนวนจริง ไม่ใช่จำนวนจุดลอยตัว) แม้ในกรณีนี้ ก็ไม่มีการรับประกันว่าจะลู่เข้าสู่คำตอบที่ถูกต้อง เนื่องจากข้อผิดพลาดจากการปัดเศษหรือการตัดทอนของจำนวนจุดลอยตัวอาจถูกขยายให้ใหญ่ขึ้น แทนที่จะลดทอนลง ทำให้ความเบี่ยงเบนจากคำตอบที่แน่นอนเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ^{[ 1 ]}

มีหลายวิธีในการกำหนดแนวคิดเรื่องเสถียรภาพอย่างเป็นทางการ คำจำกัดความต่อไปนี้เกี่ยวกับเสถียรภาพแบบไปข้างหน้า แบบย้อนกลับ และแบบผสม มักใช้ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข

พิจารณาปัญหาที่จะแก้ไขโดยอัลกอริทึมเชิงตัวเลขเป็นฟังก์ชัน fที่แมปข้อมูล  xไปยังคำตอบ  yผลลัพธ์ของอัลกอริทึม สมมติว่าเป็นy * มักจะเบี่ยงเบนจากคำตอบ "ที่แท้จริง"  yสาเหตุหลักของข้อผิดพลาดคือข้อผิดพลาดจากการปัดเศษและข้อผิดพลาดจากการตัดทอนข้อผิดพลาดไปข้างหน้าของอัลกอริทึมคือความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์และคำตอบ "ที่แท้จริง" ในกรณีนี้Δy = y * − yข้อผิดพลาดย้อนกลับคือค่า Δxที่ เล็กที่สุด ที่ทำให้f ( x + Δx ) = y *กล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อผิดพลาดย้อนกลับบอกเราว่าอัลกอริทึมแก้ปัญหาอะไรไปจริงๆ ข้อผิดพลาดไปข้างหน้าและข้อผิดพลาดย้อนกลับมีความสัมพันธ์กันโดยค่าสภาพ (condition number ) โดยข้อผิดพลาดไปข้างหน้าจะมีขนาดมากที่สุดเท่ากับค่าสภาพคูณด้วยขนาดของข้อผิดพลาดย้อนกลับ

ในหลายกรณี การ พิจารณา ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ จะเหมาะสม กว่าการ พิจารณาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์Δx$${\displaystyle {\frac {|\Delta x|}{|x|}}}$$

กล่าวกันว่าอัลกอริทึมมีเสถียรภาพแบบย้อนกลับ (backward stable)หากค่าความคลาดเคลื่อนแบบย้อนกลับมีขนาดเล็กสำหรับค่าอินพุต  x ทั้งหมด แน่นอนว่า "ขนาดเล็ก" เป็นคำที่สัมพันธ์กัน และความหมายของมันจะขึ้นอยู่กับบริบท บ่อยครั้งที่เราต้องการให้ความคลาดเคลื่อนมีขนาดใกล้เคียงกับ หรืออาจจะใหญ่กว่า ค่าการปัดเศษมาตรฐานเพียงไม่กี่ ลำดับขนาดเท่านั้น

โดยทั่วไปแล้ว นิยามของความเสถียรเชิงตัวเลขจะใช้แนวคิดที่กว้างกว่า เรียกว่าความเสถียรแบบผสมซึ่งรวมเอาข้อผิดพลาดไปข้างหน้าและข้อผิดพลาดไปข้างหลังเข้าด้วยกัน อัลกอริทึมจะเสถียรในแง่นี้ก็ต่อเมื่อสามารถแก้ปัญหาที่อยู่ใกล้เคียงได้โดยประมาณ กล่าวคือ ถ้ามีΔx อยู่จริง โดยที่ทั้ง Δx มีค่าเล็ก และ f(x + Δx ) − y * มีค่าเล็กดังนั้นอัลกอริทึมที่เสถียรไปข้างหลังจึงเสถียรเสมอ

อัลกอริทึมจะมีเสถียรภาพไปข้างหน้า (forward stable)หากค่าความคลาดเคลื่อนไปข้างหน้า (forward error) หารด้วยค่าสภาพ (condition number) ของปัญหา มีค่าน้อย นั่นหมายความว่า อัลกอริทึมจะมีเสถียรภาพไปข้างหน้า หากค่าความคลาดเคลื่อนไปข้างหน้ามีขนาดใกล้เคียงกับอัลกอริทึมที่มีเสถียรภาพย้อนกลับ (backward stable) บางตัว

คำจำกัดความข้างต้นมีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งในสถานการณ์ที่ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนไม่สำคัญ ในบริบทอื่นๆ เช่น เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์จะใช้คำจำกัดความของความเสถียรเชิงตัวเลขที่แตกต่างออกไป

ในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงตัวเลขมีแนวคิดเรื่องเสถียรภาพเชิงตัวเลขอยู่หลายแบบ เช่นเสถียรภาพแบบ Aซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องเสถียรภาพใน แง่ของ ระบบพลวัต โดยส่วนใหญ่มักเป็นเสถียรภาพแบบ Lyapunovการใช้วิธีที่มีเสถียรภาพเป็นสิ่งสำคัญเมื่อแก้สม การที่ซับซ้อน

มีการใช้คำจำกัดความอีกแบบหนึ่งในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงตัวเลข อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น แบบวิวัฒนาการ จะเสถียรก็ต่อเมื่อการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของคำตอบเชิงตัวเลข ณ เวลาคงที่ยังคงมีขอบเขตจำกัดเมื่อขนาดขั้นตอนเข้าใกล้ศูนย์ทฤษฎีบทสมมูลของ Laxกล่าวว่าอัลกอริทึมจะลู่เข้าหากมีความสอดคล้องและเสถียร (ในความหมายนี้) บางครั้งความเสถียรจะเกิดขึ้นได้โดยการรวมการแพร่กระจายเชิงตัวเลขการแพร่กระจายเชิงตัวเลขเป็นคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้มั่นใจได้ว่าการปัดเศษและข้อผิดพลาดอื่นๆ ในการคำนวณจะกระจายออกไปและไม่สะสมจนทำให้การคำนวณ "ระเบิด" การวิเคราะห์ความเสถียรของ Von Neumannเป็นขั้นตอนที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการวิเคราะห์ความเสถียรของแบบแผนความแตกต่างจำกัดที่ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น ผลลัพธ์เหล่านี้ใช้ไม่ได้กับ PDE ที่ไม่เชิงเส้น ซึ่งคำจำกัดความทั่วไปที่สอดคล้องกันของความเสถียรนั้นซับซ้อนขึ้นด้วยคุณสมบัติหลายอย่างที่ไม่มีในสมการเชิงเส้น

การคำนวณรากที่สองของ 2 (ซึ่งประมาณ 1.41421) เป็นปัญหาที่มีรูปแบบที่ชัดเจนอัลกอริทึมหลายตัวแก้ปัญหานี้โดยเริ่มต้นด้วยค่าประมาณเริ่มต้นx 0 _เช่น x 0 ₌ 1.4 จากนั้นคำนวณค่าคาดเดาที่ดีขึ้นx ₁ , x ₂เป็นต้น วิธีหนึ่งคือวิธีบาบิโลน ที่มีชื่อเสียง ซึ่งกำหนดโดยx _{k +1} = ( x _k + 2/ x _k )/2 อีกวิธีหนึ่งเรียกว่า "วิธี X" กำหนดโดยx _{k +1} = ( x _k ² − 2) ² + x _k ^{[หมายเหตุ 1 ]}การคำนวณซ้ำหลายครั้งของแต่ละวิธีแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง โดยมีค่าคาดเดาเริ่มต้นx ₀ = 1.4 และx ₀ = 1.42 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

สังเกตว่าวิธีการแบบบาบิโลนลู่เข้าอย่างรวดเร็วโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้น ในขณะที่วิธีการ X ลู่เข้าช้ามากเมื่อค่าเริ่มต้นx ₀ = 1.4 และลู่เข้าไม่ได้เมื่อค่าเริ่มต้นx ₀ = 1.42 ดังนั้น วิธีการแบบบาบิโลนจึงมีเสถียรภาพทางตัวเลข ในขณะที่วิธีการ X ไม่มีเสถียรภาพทางตัวเลข

ความเสถียรเชิงตัวเลขได้รับผลกระทบจากจำนวนหลักสำคัญที่เครื่องเก็บไว้ หากใช้เครื่องที่เก็บเฉพาะหลักทศนิยมสี่หลักที่สำคัญที่สุด ตัวอย่างที่ดีของการสูญเสียความสำคัญสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่เทียบเท่ากันสองฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)}$และ${\displaystyle g(x)={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}.}$

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ของ

${\displaystyle f(500)=500\left({\sqrt {501}}-{\sqrt {500}}\right)=500\left(22.38-22.36\right)=500(0.02)=10}$

และ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.38+22.36}}\\&={\frac {500}{44.74}}=11.17\end{alignedat}}}$

จากการเปรียบเทียบผลลัพธ์ทั้งสองข้างต้น จะเห็นได้ชัดว่าการสูญเสียนัยสำคัญ (ซึ่งเกิดจากการหักล้างอย่างรุนแรงจากการลบค่าประมาณของตัวเลขใกล้เคียงและแม้ว่าการลบจะคำนวณอย่างแม่นยำก็ตาม) มีผลกระทบอย่างมากต่อผลลัพธ์ แม้ว่าฟังก์ชันทั้งสองจะเทียบเท่ากัน ดังแสดงด้านล่าง ${\displaystyle {\sqrt {501}}}$${\displaystyle {\sqrt {500}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(x)&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)\\&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right){\frac {{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {x+1-x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {1}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=g(x)\end{alignedat}}}$

ค่าที่ต้องการ ซึ่งคำนวณโดยใช้ความแม่นยำอนันต์ คือ 11.174755... ^{[หมายเหตุ 2 ]}

• อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความแปรปรวน
• ทฤษฎีเสถียรภาพ
• ทฤษฎีความโกลาหล
• การแพร่กระจายของความไม่แน่นอน