ค่า เอปซิลอนของเครื่องหรือความแม่นยำของเครื่องคือขอบเขตบนของข้อผิดพลาดในการประมาณ ค่าสัมพัทธ์ เนื่องจากการปัดเศษในระบบเลขทศนิยม ค่านี้ใช้ในการกำหนด ลักษณะทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและโดยนัยเดียวกันในสาขาวิทยาการคำนวณปริมาณนี้เรียกอีกอย่างว่ามาเชปส์และมีสัญลักษณ์คือเอปซิลอน ของ กรีก${\displaystyle \varepsilon }$

มีคำจำกัดความที่ใช้กันอย่างแพร่หลายอยู่สองแบบ ซึ่งในที่นี้จะเรียกว่าเอปซิลอนเครื่องปัดเศษหรือคำจำกัดความเชิงรูปแบบและเอปซิลอนเครื่องช่วงหรือคำจำกัดความกระแสหลัก

ตามความหมายทั่วไปค่าเอปซิลอนของเครื่องนั้นไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการปัดเศษ และถูกกำหนดอย่างง่ายๆ ว่าเป็นผลต่างระหว่าง 1 กับจำนวนทศนิยมที่มากกว่าถัดไป

ในนิยามอย่างเป็นทางการค่าเอปซิลอนของเครื่องจะขึ้นอยู่กับประเภทของการปัดเศษที่ใช้ และเรียกอีกอย่างว่าค่าปัดเศษตามหน่วยซึ่งมีสัญลักษณ์เป็นตัวอักษรโรมันตัวหนา ${\displaystyle \mathbf {u} }$

โดยทั่วไปแล้ว สองคำนี้มีความแตกต่างกันเพียงสองเท่า โดยคำจำกัดความอย่างเป็นทางการจะให้ค่าเอปซิลอนที่มีขนาดครึ่งหนึ่งของคำจำกัดความกระแสหลักดังที่สรุปไว้ในตารางในส่วนถัดไป

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าเอปซิลอนของเครื่องสำหรับรูปแบบเลขทศลอยมาตรฐาน

IEEE 754 - 2008	ชื่อสามัญ	ประเภทข้อมูล C	ฐาน${\displaystyle b}$	ความแม่นยำ${\displaystyle p}$	เครื่องปัดเศษเอปซิลอน[ a ]${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$	เครื่องช่วงเวลาเอปซิลอน[ b ]${\displaystyle b^{-(p-1)}}$
ไบนารี16	ความแม่นยำครึ่งหนึ่ง	int16_t[ 1 ]	2	11 (หนึ่งบิตเป็นแบบแฝง)	2 −11 ≈ 4.88e-04	2 −10 ≈ 9.77e-04
ไบนารี32	ความแม่นยำเดี่ยว	float32_t	2	24 (หนึ่งบิตเป็นค่าโดยนัย)	2 −24 ≈ 5.96e-08	2 −23 ≈ 1.19e-07
ไบนารี64	ความแม่นยำสองเท่า	float64_t	2	53 (หนึ่งบิตเป็นค่าโดยนัย)	2 −53 ≈ 1.11e-16	2 −52 ≈ 2.22e-16
	ความแม่นยำสูงพิเศษ , ดับเบิลยาว	_float80[ 2 ]	2	64	2 −64 ≈ 5.42e-20	2 −63 ≈ 1.08e-19
ไบนารี128	ความแม่นยำระดับควอด (หรือระดับ)	_float128[ 2 ]	2	113 (หนึ่งบิตเป็นค่าโดยนัย)	2 −113 ≈ 9.63e-35	2 −112 ≈ 1.93e-34
ทศนิยม32	เลขฐานสิบความแม่นยำเดี่ยว	_Decimal32[ 3 ]	10	7	5 × 10 −7	10 −6
ทศนิยม64	เลขทศนิยมความแม่นยำสองเท่า	_Decimal64[ 3 ]	10	16	5 × 10 −16	10 −15
ทศนิยม128	ทศนิยมความแม่นยำระดับควอด (หรือระดับรูเพิล)	_Decimal128[ 3 ]	10	34	5 × 10 −34	10 −33

มาตรฐาน IEEE ไม่ได้กำหนดคำว่าmachine epsilonและunit roundoffไว้ ดังนั้นจึงมีการใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันของคำเหล่านี้ ซึ่งอาจก่อให้เกิดความสับสนได้

สองคำนี้แตกต่างกันเพียงแค่ตัวคูณสอง คำที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่า (ซึ่งในบทความนี้เรียกว่าความหมายหลัก ) นั้นใช้ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่ส่วนใหญ่ และนิยามง่ายๆ ว่าเอปซิลอนของเครื่องคือผลต่างระหว่าง 1 กับจำนวนทศนิยมที่มากกว่าถัดไป โดยทั่วไปแล้ว นิยาม อย่าง เป็นทางการจะให้ค่าเอปซิลอนที่มีขนาดครึ่งหนึ่งของนิยามหลักแม้ว่านิยามของมันจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับวิธีการปัดเศษที่ใช้ก็ตาม

คำศัพท์ทั้งสองคำนี้จะได้รับการอธิบายอย่างละเอียดในสองหัวข้อถัดไป

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของmachine epsilonคือคำจำกัดความที่ศาสตราจารย์James Demmel ใช้ ในเอกสารบรรยาย^{[ 4 ​​]}แพ็คเกจพีชคณิตเชิงเส้นLAPACK ^{[ 5 ]}เอกสารวิจัยเชิงตัวเลข^{[ 6 ]}และซอฟต์แวร์การคำนวณทางวิทยาศาสตร์บางอย่าง^{[ 7 ]} นักวิเคราะห์เชิงตัวเลขส่วนใหญ่ใช้คำว่าmachine epsilonและunit roundoffสลับกันได้ในความหมายนี้ ซึ่งจะมีการสำรวจอย่างละเอียดตลอดทั้งส่วนย่อยนี้

การปัดเศษเป็นกระบวนการในการเลือกวิธีการแสดงค่าของจำนวนจริงใน ระบบเลข ทศนิยมสำหรับระบบเลขและกระบวนการปัดเศษนั้น ค่าเอปซิลอนของเครื่องคือค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ สูงสุด ของกระบวนการปัดเศษที่เลือก

จำเป็นต้องมีข้อมูลพื้นฐานบางอย่างเพื่อกำหนดค่าจากคำจำกัดความนี้ ระบบเลขทศนิยมมีลักษณะเฉพาะด้วยฐาน (radix)ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าฐาน (base ) และความแม่นยำ (precision ) กล่าวคือ จำนวนหลักฐาน ของตัวเลขสำคัญ ( significand ) (รวมถึงบิตนำหน้าโดยปริยาย) ตัวเลขทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลัง เดียวกัน (n ) จะมีระยะห่าง (spacing ) เท่ากัน ระยะห่างจะเปลี่ยนไปเมื่อตัวเลขเป็นกำลังสมบูรณ์ของn โดยระยะห่างด้านที่มีขนาด ใหญ่กว่า จะมากกว่าระยะห่างด้านที่มีขนาดเล็กกว่าเท่า ${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e}$${\displaystyle b^{e-(p-1)}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

เนื่องจากค่าเอปไซลอนของเครื่องเป็นขอบเขตของความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ จึงเพียงพอที่จะพิจารณาตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังและเพียงพอที่จะพิจารณาตัวเลขบวก สำหรับการปัดเศษแบบปัดเข้าหาค่าที่ใกล้ที่สุดตามปกติ ความคลาดเคลื่อนของการปัดเศษสัมบูรณ์จะมีค่าสูงสุดเพียงครึ่งหนึ่งของระยะห่าง หรือค่านี้คือค่าตัวเศษที่มากที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ตัวส่วนในความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือตัวเลขที่กำลังปัดเศษ ซึ่งควรมีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์มีค่ามาก ดังนั้นความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่แย่ที่สุดจึงเกิดขึ้นเมื่อใช้การปัดเศษกับตัวเลขในรูปแบบโดยที่อยู่ระหว่างและตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดปัดเศษได้โดยมีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่ออยู่ที่ปลายบนของช่วง ค่าในตัวส่วนนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับตัวเศษ ดังนั้นจึงละเว้นไปเพื่อความสะดวก และใช้เพียง เป็นค่าเอปไซลอนของเครื่อง ดังที่ได้แสดงให้เห็นแล้ว ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะแย่ที่สุดสำหรับตัวเลขที่ปัดเศษเป็น 0 ดังนั้นค่าเอปซิลอนของเครื่องจึงเรียกว่าการปัดเศษเป็นหน่วยซึ่งหมายถึง "ข้อผิดพลาดสูงสุดที่อาจเกิดขึ้นเมื่อปัดเศษเป็นค่าหน่วย" โดยประมาณ ${\displaystyle e=0}$${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$${\displaystyle 1+a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a/(1+a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1+a}$${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$${\displaystyle 1}$

ดังนั้น ระยะห่างสูงสุดระหว่างจำนวนจุดลอยตัวปกติและจำนวนปกติที่อยู่ติดกันคือ^{[ 8 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\varepsilon |x|}$

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขใช้ค่าเอปไซลอนของเครื่องเพื่อศึกษาผลกระทบของข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ข้อผิดพลาดที่แท้จริงของการคำนวณด้วยเครื่องนั้นซับซ้อนเกินกว่าจะศึกษาโดยตรงได้ ดังนั้นจึงใช้แบบจำลองง่ายๆ ต่อไปนี้แทน มาตรฐานการคำนวณของ IEEE ระบุว่าการดำเนินการเลขทศนิยมทั้งหมดจะทำเสมือนว่าสามารถดำเนินการด้วยความแม่นยำอนันต์ได้ จากนั้นผลลัพธ์จะถูกปัดเศษเป็นเลขทศนิยม สมมติว่า (1) เป็นเลขทศนิยม (2) เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนเลขทศนิยม เช่น การบวกหรือการคูณ และ (3) เป็นการดำเนินการด้วยความแม่นยำอนันต์ ตามมาตรฐาน คอมพิวเตอร์จะคำนวณ: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \bullet }$${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle x\bullet y={\mbox{round}}(x\circ y)}$

ตามความหมายของค่าเอปไซลอนของเครื่อง ค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของการปัดเศษจะมีขนาดไม่เกินค่าเอปไซลอนของเครื่อง ดังนั้น:

${\displaystyle x\bullet y=(x\circ y)(1+z)}$

โดยที่ค่าขนาดสัมบูรณ์มีค่าสูงสุดเพียง u หรือuเท่านั้น สามารถศึกษาเพิ่มเติมจากหนังสือของ Demmel และ Higham ในส่วนอ้างอิง เพื่อดูว่าแบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดของการกำจัดแบบเกาส์เซียนอย่างไร ${\displaystyle z}$${\displaystyle \varepsilon }$

นิยามทางเลือกนี้แพร่หลายกว่ามาก: ค่าเอปซิลอนของเครื่อง (machine epsilon) คือผลต่างระหว่าง 1 กับจำนวนทศนิยมที่มากกว่าถัดไปนิยามนี้ใช้ในค่าคงที่ของภาษาต่างๆ เช่นAda , C , C++ , Fortran , MATLAB , Mathematica , Octave , Pascal , PythonและRustเป็นต้น และมีการกำหนดไว้ในตำราเรียน เช่น " Numerical Recipes " โดย Press และ คณะ

ตามคำจำกัดความนี้จะเท่ากับค่าของหน่วยในตำแหน่งสุดท้ายเมื่อเทียบกับ 1 กล่าวคือ(โดยที่คือฐานของระบบเลขทศนิยม และคือความแม่นยำ) และการปัดเศษหน่วยคือโดยสมมติว่าเป็นการปัดเศษแบบใกล้เคียงที่สุด และโดยสมมติว่าเป็นการปัดเศษแบบตัดทอน ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle b^{-(p-1)}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\varepsilon }{2}}}$${\displaystyle \mathbf {u} =\varepsilon }$

ความแพร่หลายของคำจำกัดความนี้มีรากฐานมาจากการใช้งานในมาตรฐาน ISO C สำหรับค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับประเภทจุดลอยตัว^{[ 9 ] [ 10 ]}และค่าคงที่ที่สอดคล้องกันในภาษาโปรแกรมอื่นๆ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}นอกจากนี้ยังมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในซอฟต์แวร์การคำนวณทางวิทยาศาสตร์^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}และในวรรณกรรมด้านตัวเลขและการคำนวณ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

ในกรณีที่ไลบรารีมาตรฐานไม่ได้ให้ค่าที่คำนวณไว้ล่วงหน้า (ตัวอย่างเช่นFLT_EPSILONและDBL_EPSILONในLDBL_EPSILONภาษาC , std::numeric_limits<T>::epsilon()ในภาษา C++หรือjava.lang.Float.EPSILON/ java.lang.Double.EPSILONในภาษา Java ) วิธีที่ดีที่สุดในการหาค่า machine epsilon คือการอ้างอิงตารางด้านบน และใช้สูตรกำลังที่เหมาะสม การคำนวณค่า machine epsilon มักเป็นแบบฝึกหัดในตำราเรียน ตัวอย่างต่อไปนี้คำนวณค่าmachine epsilon แบบช่วงในแง่ของการเว้นระยะห่างของตัวเลขทศนิยมที่ 1 แทนที่จะเป็นในแง่ของการปัดเศษหน่วย

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับรูปแบบเลขทศนิยมที่ใช้ เช่นfloat, double, long double, หรือรูปแบบอื่นๆ ที่คล้ายกัน ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยภาษาโปรแกรม คอมไพเลอร์ และไลบรารีรันไทม์สำหรับแพลตฟอร์มนั้นๆ

รูปแบบข้อมูลบางรูปแบบที่โปรเซสเซอร์รองรับ อาจไม่ได้รับการสนับสนุนจากคอมไพเลอร์และระบบปฏิบัติการที่เลือกใช้ นอกจากนี้ รูปแบบข้อมูลอื่นๆ อาจถูกจำลองโดยไลบรารีรันไทม์ รวมถึงการคำนวณเลขคณิตความแม่นยำสูงที่มีอยู่ในบางภาษาและไลบรารี

ในความหมายที่เคร่งครัด คำว่าเอปซิลอนของเครื่องหมายถึงความแม่นยำที่ได้รับการสนับสนุนโดยตรงจากโปรเซสเซอร์ (หรือโคโปรเซสเซอร์) ไม่ใช่ความแม่นยำที่ได้รับการสนับสนุนจากคอมไพเลอร์เฉพาะสำหรับระบบปฏิบัติการเฉพาะ เว้นแต่จะทราบกันดีว่าใช้รูปแบบที่ดีที่สุด ${\displaystyle 1+\varepsilon }$${\displaystyle 1+\varepsilon }$

รูปแบบเลขทศนิยมIEEE 754 มีคุณสมบัติที่ว่า เมื่อตีความใหม่เป็นจำนวนเต็ม สองส่วน เติมเต็มที่ มีความกว้างเท่ากัน ค่าจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเมื่อเป็นค่าบวก และลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อเป็นค่าลบ (ดูการแสดงเลขฐานสองของเลขทศนิยม 32 บิต ) นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่ว่าและ(โดยที่คือการตีความจำนวนเต็มของ ที่กล่าวถึงข้างต้น) ในภาษาที่อนุญาตให้ใช้รูปแบบการเล่นคำของชนิดข้อมูลและใช้ IEEE 754–1985 เสมอ เราสามารถใช้ประโยชน์จากคุณสมบัตินี้ในการคำนวณค่าเอปไซลอนของเครื่องได้ในเวลาคงที่ ตัวอย่างเช่น ในภาษา C: ${\displaystyle 0<|f(x)|<\infty }$${\displaystyle |f(x+1)-f(x)|\geq |f(x)-f(x-1)|}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

ยูเนียนDoubleBits { int64_t i ; double d ; };double epsilon ( double value ) { union DoubleBits s ; s . d = value ; s . i ++ ; return s . d - value ; }

ผลลัพธ์ที่ได้จะมีเครื่องหมายเดียวกับค่า หากต้องการผลลัพธ์ที่เป็นบวกเสมอสามารถแทนที่ คำ สั่งreturn ด้วย:epsilon()

ส่งคืนค่าs.i < 0 ? ค่า- s.d : s.d - ค่า;​​​​

ตัวอย่างในภาษา Python:

จากการพิมพ์นำเข้าCallabledef epsilon ( func : Callable [[ float ], float ] = float ) -> float : eps : float = func ( 1 ) while func ( 1 ) + eps != func ( 1 ): eps_last : float = eps eps = func ( eps ) / func ( 2 ) return eps_last

ตัวเลขทศนิยม 64 บิตให้ค่า 2.220446e-16 ซึ่งก็คือ 2 ⁻⁵²ตามที่คาดไว้

สามารถใช้อัลกอริทึมง่ายๆ ต่อไปนี้ในการประมาณค่าเอปซิลอนของเครื่องจักร โดยมีความคลาดเคลื่อนไม่เกินสองเท่าจากค่าจริง โดยใช้ การค้นหา เชิง เส้น

เอปซิลอน = 1.0; ในขณะที่ (1.0 + 0.5 * เอปซิลอน) ≠ 1.0: เอปซิลอน = 0.5 * เอปซิลอน 

ค่าเอปซิลอนของเครื่องจักรสามารถคำนวณได้ง่ายๆ โดยการนำ 2 ยกกำลังลบของจำนวนบิตที่ใช้สำหรับแมนทิสซา ${\textstyle \varepsilon _{\text{mach}}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{\text{mach}}\ =\ 2^{-{\text{บิตที่ใช้สำหรับขนาดของแมนทิสซา}}}}$$

ถ้าเป็นการแสดงตัวเลขด้วยเครื่องจักรข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สัมบูรณ์ในการแสดงนั้นคือ^{[ 21 ]}${\textstyle y}$${\textstyle x}$${\textstyle \left|{\dfrac {xy}{x}}\right|\leq \varepsilon _{\text{mach}}.}$

การพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้ได้เฉพาะกับจำนวนบวกและการแสดงผลด้วยเครื่องจักรโดยใช้วิธีround-by-chopเท่านั้น

ถ้าเป็นจำนวนบวกที่เราต้องการแทน ค่าที่ได้จะอยู่ระหว่างหมายเลขเครื่องจักรด้านล่างและหมายเลขเครื่องจักรด้านบน ${\textstyle x}$${\textstyle x_{b}}$${\textstyle x}$${\textstyle x_{u}}$${\textstyle x}$

ถ้าโดยที่คือจำนวนบิตที่ใช้สำหรับขนาดของตัวเลขสำคัญแล้ว: ${\textstyle x_{b}=\left(1.b_{1}b_{2}\ldots b_{m}\right)_{2}\times 2^{k}}$${\textstyle m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{u}&=\left[(1.b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}+(0.00\ldots 1)_{2}\right]\times 2^{k}\\&=\left[(1.b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}+2^{-m}\right]\times 2^{k}\\&=(1.b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}\times 2^{k}+2^{-m}\times 2^{k}\\&=(1.b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}\times 2^{k}+2^{-m+k}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากค่าแทนของจะเป็นอย่างใดอย่าง หนึ่ง${\textstyle x}$${\textstyle x_{b}}$${\textstyle x_{u}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|xy\right|&\leq \left|x_{b}-x_{u}\right|\\&=2^{-m+k}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {x-y}{x}}\right|&\leq {\frac {2^{-m+k}}{x}}\\&\leq {\frac {2^{-m+k}}{x_{b}}}\\&={\frac {2^{-m+k}}{(1\cdot b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}2^{k}}}\\&={\frac {2^{-m}}{(1\cdot b_{1}b_{2}\ldots b_{m})_{2}}}\\&\leq 2^{-m}=\varepsilon _{\text{mach}}.\end{aligned}}}$$

แม้ว่าการพิสูจน์นี้จะจำกัดเฉพาะจำนวนบวกและการปัดเศษแบบสับเปลี่ยน แต่ก็สามารถใช้วิธีเดียวกันนี้ในการพิสูจน์อสมการในส่วนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนลบและการปัดเศษไปยังการแสดงผลเครื่องจักร ที่ใกล้ที่สุดได้

• เลขทศนิยมการอภิปรายทั่วไปเกี่ยวกับประเด็นความแม่นยำในการคำนวณเลขทศนิยม
• หน่วยสุดท้าย (ULP)

• MACHARคือรูทีน (ในภาษา C และ Fortran) สำหรับ "คำนวณค่าคงที่ของเครื่องจักรแบบไดนามิก" (อัลกอริทึม ACM 722)
• การวินิจฉัยความแม่นยำของการคำนวณจุดลอยตัวการนำ MACHAR ไปใช้ในคอมโพเนนต์ PascalและOberonโดยอิงจาก MACHAR เวอร์ชัน Fortran 77 ที่ตีพิมพ์ใน Numerical Recipes (Press et al., 1992)