ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการวิเคราะห์เสถียรภาพของฟอน นอยมันน์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์เสถียรภาพของฟูริเยร์) เป็นกระบวนการที่ใช้ในการตรวจสอบเสถียรภาพของแผนการผลต่างจำกัดที่ใช้กับ สมการเชิง อนุพันธ์ย่อยเชิง เส้น ^{[ 1 ]}การวิเคราะห์นี้ขึ้นอยู่กับการแยกส่วนฟูริเยร์ของข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขและได้รับการพัฒนาที่ห้องปฏิบัติการแห่งชาติลอสอะลาโมสหลังจากได้รับการอธิบายสั้นๆ ในบทความปี 1947 โดยนักวิจัยชาวอังกฤษจอห์น แคร้งค์และฟิลลิส นิโคลสัน [ ^{2 ] วิธี} นี้เป็นตัวอย่างของการบูรณาการเวลาแบบชัดเจนโดยที่ฟังก์ชันที่กำหนดสมการควบคุมจะถูกประเมิน ณ เวลาปัจจุบัน ต่อมา วิธีนี้ได้รับการจัดการอย่างเข้มงวดมากขึ้นในบทความ^{[ 3 ]}ที่เขียนร่วมโดยจอห์น ฟอน นอยมันน์ ซึ่งอธิบายว่าเป็น "กระบวนการเชิงฮิวริสติก" ที่มีรูปแบบตามเงื่อนไข Courant–Friedrichs–Lewyที่ เข้มงวดกว่า

เสถียรภาพของวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขวิธีการผลต่างจำกัดจะมีเสถียรภาพหากข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในขั้นตอนเวลาหนึ่งของการคำนวณไม่ทำให้ข้อผิดพลาดนั้นขยายใหญ่ขึ้นเมื่อการคำนวณดำเนินต่อไปวิธีการที่มีเสถียรภาพแบบเป็นกลางคือวิธีการที่ข้อผิดพลาดคงที่เมื่อการคำนวณดำเนินต่อไป หากข้อผิดพลาดลดลงและในที่สุดก็หายไป วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขนั้นจะกล่าวได้ว่ามีเสถียรภาพ ในทางตรงกันข้าม หากข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นตามเวลา วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขนั้นจะกล่าวได้ว่าไม่มีเสถียรภาพ สามารถตรวจสอบเสถียรภาพของวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขได้โดยการวิเคราะห์เสถียรภาพของฟอน นอยมันน์ สำหรับปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลา เสถียรภาพรับประกันว่าวิธีการเชิงตัวเลขจะสร้างคำตอบที่มีขอบเขตเมื่อใดก็ตามที่คำตอบของ สมการ เชิงอนุพันธ์ที่แน่นอนมีขอบเขต โดยทั่วไปแล้ว การตรวจสอบเสถียรภาพอาจทำได้ยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสมการที่พิจารณาเป็นสมการไม่เชิงเส้น

ในบางกรณี ความเสถียรของฟอน นอยมันน์เป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับความเสถียรในความหมายของ Lax–Richtmyer (ตามที่ใช้ในทฤษฎีบทสมมูลของ Lax ): สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและแบบจำลองแผนการความแตกต่างจำกัดเป็นเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยมีสัมประสิทธิ์คงที่พร้อมเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบและมีตัวแปรอิสระเพียงสองตัว และแผนการใช้ระดับเวลาไม่เกินสองระดับ^{[ 4 ]}ความเสถียรของฟอน นอยมันน์เป็นสิ่งจำเป็นในกรณีที่หลากหลายมากขึ้น มักใช้แทนการวิเคราะห์ความเสถียรโดยละเอียดเพื่อให้ได้การคาดเดาที่ดีเกี่ยวกับข้อจำกัด (ถ้ามี) เกี่ยวกับขนาดขั้นตอนที่ใช้ในแผนการเนื่องจากความเรียบง่ายของมัน

วิธีการของฟอน นอยมันน์นั้นอาศัยการแยกส่วนความคลาดเคลื่อนออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์ เพื่อแสดงขั้นตอน ให้พิจารณา สมการความร้อน หนึ่งมิติ ที่กำหนดบนช่วงเชิงพื้นที่โดยใช้สัญลักษณ์ โดย ที่ คือค่า xที่เฉพาะเจาะจงและคือลำดับของค่า t$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$${\displaystyle L}$$${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle t^{n}}$

เราสามารถแยกสมการความร้อน^{[ 5 ]} ออกเป็นแบบไม่ ต่อเนื่องได้ดังนี้

$${\displaystyle u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)}$$

1

ที่ไหน $${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}}$$

จากนั้น คำตอบของสมการแบบไม่ต่อเนื่องจะประมาณคำตอบเชิงวิเคราะห์ของสมการอนุพันธ์ย่อยบนกริด ${\displaystyle u_{j}^{n}}$${\displaystyle u(x,t)}$

กำหนดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ เป็น โดย ที่คือคำตอบของสมการแบบไม่ต่อเนื่อง ( 1 ) ที่จะคำนวณได้หากไม่มีข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ และคือคำตอบเชิงตัวเลขที่ได้จากการคำนวณเลขคณิตที่มีความแม่นยำจำกัดเนื่องจากคำตอบที่แน่นอนต้องสอดคล้องกับสมการแบบไม่ต่อเนื่องอย่างแม่นยำ ข้อผิดพลาดจึงต้องสอดคล้องกับสมการแบบไม่ต่อ เนื่องด้วย ^{[ 6 ]}ในที่นี้เราสมมติว่าสอดคล้องกับสมการเช่นกัน (ซึ่งเป็นจริงเฉพาะในความแม่นยำของเครื่องจักร) ดังนั้น ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$$${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$$${\displaystyle u_{j}^{n}}$${\displaystyle N_{j}^{n}}$${\displaystyle u_{j}^{n}}$${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$${\displaystyle N_{j}^{n}}$

$${\displaystyle \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)}$$

2

เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับข้อผิดพลาด สมการ ( 1 ) และ ( 2 ) แสดงให้เห็นว่าทั้งข้อผิดพลาดและคำตอบเชิงตัวเลขมีพฤติกรรมการเติบโตหรือการลดลงแบบเดียวกันเมื่อเทียบกับเวลา สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ การแปรผันเชิงพื้นที่ของข้อผิดพลาดอาจขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์จำกัดเมื่อเทียบกับในช่วงเวลาดังนี้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \epsilon (x,t)=\sum _{m=-M}^{M}E_{m}(t)e^{{i}k_{m}x}}$$

3

โดยที่เลขคลื่นมีค่า เท่ากับและการพึ่งพาเวลาของข้อผิดพลาดนั้นรวมอยู่ด้วยโดยการสมมติว่าแอมพลิจูดของข้อผิดพลาดเป็นฟังก์ชันของเวลา บ่อยครั้งที่มีการสมมติว่าข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์ponential ตามเวลา แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์เสถียรภาพ ${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$${\displaystyle M=L/\Delta x}$${\displaystyle E_{m}}$

หากเงื่อนไขขอบเขตไม่เป็นคาบ เราสามารถใช้ปริพันธ์ฟูริเยร์แบบจำกัดเทียบกับ: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \epsilon (x,t)=\int _{-{\frac {\pi }{\Delta x}}}^{\frac {\pi }{\Delta x}}E_{k}(t)e^{ikx}dk}$$

4

เนื่องจากสมการผลต่างของข้อผิดพลาดเป็นเชิงเส้น (พฤติกรรมของแต่ละพจน์ในอนุกรมเหมือนกับตัวอนุกรมเอง) จึงเพียงพอที่จะพิจารณาการเติบโตของข้อผิดพลาดของพจน์ทั่วไป:

$${\displaystyle \epsilon _{m}(x,t)=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}}$$

5ก

หากมีการใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์ หรือ

$${\displaystyle \epsilon _{k}(x,t)=E_{k}(t)e^{ikx}}$$

5b

หากใช้ปริพันธ์ฟูริเยร์

เนื่องจากอนุกรมฟูริเยร์สามารถถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของปริพันธ์ฟูริเยร์ เราจึงจะดำเนินการพัฒนาต่อไปโดยใช้สูตรสำหรับปริพันธ์ฟูริเยร์

ลักษณะความเสถียรสามารถศึกษาได้โดยใช้รูปแบบข้อผิดพลาดนี้โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เพื่อหาว่าข้อผิดพลาดเปลี่ยนแปลงอย่างไรในแต่ละช่วงเวลา ให้แทนสมการ ( 5b ) ลงในสมการ ( 2 ) หลังจากสังเกตว่า เพื่อให้ได้ (หลังจากลดรูป) $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right).}$$

6

การแนะนำและการใช้ สมการ เอกลักษณ์ ( 6 ) สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$$

$${\displaystyle {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1-4r\sin ^{2}(\theta /2)}$$

7

จงกำหนดตัวประกอบการขยาย

$${\displaystyle G\equiv {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}}$$

8

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับข้อผิดพลาดที่จะยังคงมีขอบเขตคือ ดังนั้น จากสมการ ( 7 ) และ ( 8 ) เงื่อนไขสำหรับเสถียรภาพจึงกำหนดโดย ${\displaystyle |G|\leq 1.}$

$${\displaystyle \left|1-4r\sin ^{2}(\theta /2)\right|\leq 1}$$

9

โปรดทราบว่าเทอมนี้เป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้น เพื่อให้สอดคล้องกับสมการ ( 9 ) : ${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)}$

$${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)\leq 2}$$

10

เพื่อให้เงื่อนไขข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก ๆ(และดังนั้นสำหรับทุก ๆ) ค่าสูงสุดที่พจน์ไซน์สามารถรับได้คือ 1 และสำหรับตัวเลือกนั้น หากเงื่อนไขขีดจำกัดบนเป็นไปตามที่กำหนด ก็จะเป็นไปตามที่กำหนดสำหรับทุกจุดกริดเช่นกัน ดังนั้นเราจึงได้ ${\displaystyle m}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta /2)}$

$${\displaystyle r={\frac {\alpha \Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}}$$

11

สมการ ( 11 ) ระบุข้อกำหนดความเสถียรสำหรับโครงการ FTCSที่ใช้กับสมการความร้อนหนึ่งมิติ โดยระบุว่าสำหรับค่าที่กำหนดค่าที่อนุญาตของจะต้องมีขนาดเล็กพอที่จะสอดคล้องกับสมการ ( 10 ) ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta t}$

การวิเคราะห์ที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่ารูปแบบ FTCS สำหรับการพาความร้อน เชิงเส้น นั้นไม่เสถียรโดยไม่มีเงื่อนไข