พหุนามทั่วไป

ในทางคณิตศาสตร์พหุนามทั่วไปมักหมายถึงพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวแปรที่ไม่กำหนดตัวอย่างเช่น ถ้าa , bและcเป็นตัวแปรที่ไม่กำหนด พหุนามทั่วไปดีกรีสองในตัวแปรxคือ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีกาโลอิสซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตและในบทความนี้ คำว่าพหุนามทั่วไป (generic polynomial)มีความหมายที่แตกต่างออกไป แม้ว่าจะมีความเกี่ยวข้องก็ตาม กล่าวคือพหุนามทั่วไปสำหรับกลุ่มจำกัดGและฟิลด์Fคือพหุนามเอกลักษณ์Pที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะL = F ( t ₁ , ..., t _n ) ใน ตัวแปร nตัวเหนือFโดยที่ฟิลด์แยกส่วนMของPมีกลุ่มกาโลอิสGเหนือLและส่วนขยายK / F ทุกตัว ที่มีกลุ่มกาโลอิสGสามารถหาได้จากฟิลด์แยกส่วนของพหุนามซึ่งเป็นการกำหนดค่าเฉพาะของPที่ได้จากการกำหนด ตัวแปร nตัวให้กับ สมาชิก nตัวของFบางครั้งเรียกว่าพหุนามทั่วไปแบบ Fหรือแบบสัมพันธ์กับฟิลด์Fส่วน พหุนาม ทั่วไปแบบQซึ่งเป็นแบบทั่วไปแบบสัมพันธ์กับจำนวนตรรกยะ เรียกว่าพหุนามทั่วไปเฉยๆ

การมีอยู่ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างพหุนามทั่วไปสำหรับกลุ่มกาโลอิสที่กำหนดให้ จะให้คำตอบที่สมบูรณ์สำหรับปัญหาผกผันกาโลอิสสำหรับกลุ่มนั้น อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกกลุ่มกาโลอิสจะมีพหุนามทั่วไป ตัวอย่างค้านคือกลุ่มวัฏจักรอันดับแปด

• กลุ่มสมมาตรS _nนี่เป็นเรื่องง่าย เพราะ

${\displaystyle x^{n}+t_{1}x^{n-1}+\cdots +t_{n}}$

เป็นพหุนามทั่วไปสำหรับS _n

• กลุ่มวัฏจักรC _nโดยที่nไม่หารด้วยแปดลงตัวเลนสตราแสดงให้เห็นว่ากลุ่มวัฏจักรไม่มีพหุนามทั่วไปหากnหารด้วยแปดลงตัว และ จี.ดับบลิว. สมิธ สร้างพหุนามดังกล่าวขึ้นอย่างชัดเจนในกรณีที่nไม่หารด้วยแปดลงตัว
• การสร้างกลุ่มวัฏจักรนำไปสู่กลุ่มพหุนามทั่วไปประเภทอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มไดเฮดรัลD _nจะมีพหุนามทั่วไปก็ต่อเมื่อnไม่หารลงตัวด้วยแปด
• กลุ่มค วอเท อร์เนียนQ ₈
• กลุ่มไฮเซนเบิร์ก สำหรับจำนวนเฉพาะ คี่ p ใด ๆ${\displaystyle H_{p^{3}}}$
• กลุ่มสลับA ₄​
• กลุ่มสลับA ₅
• กลุ่มการสะท้อนที่กำหนดไว้เหนือQ รวมถึงกลุ่มของระบบรากสำหรับE ₆ , E ₇และE _{8 โดยเฉพาะ}
• กลุ่มใดๆ ที่เป็นผลคูณโดยตรงของสองกลุ่ม ซึ่งทั้งสองกลุ่มนั้นมีพหุนามทั่วไป
• กลุ่มใดๆ ที่เป็นผลคูณแบบเวิร์นของกลุ่มสองกลุ่ม ซึ่งทั้งสองกลุ่มนั้นมีพหุนามทั่วไป

กลุ่ม	พหุนามทั่วไป
ซี2	${\displaystyle x^{2}-t}$
ซี3	${\displaystyle x^{3}-tx^{2}+(t-3)x+1}$
เอส3	${\displaystyle x^{3}-t(x+1)}$
วี	${\displaystyle (x^{2}-s)(x^{2}-t)}$
ซี4	${\displaystyle x^{4}-2s(t^{2}+1)x^{2}+s^{2}t^{2}(t^{2}+1)}$
ดี4	${\displaystyle x^{4}-2stx^{2}+s^{2}t(t-1)}$
เอส4	${\displaystyle x^{4}+sx^{2}-t(x+1)}$
ดี5	${\displaystyle x^{5}+(t-3)x^{4}+(s-t+3)x^{3}+(t^{2}-t-2s-1)x^{2}+sx+t}$
เอส5	${\displaystyle x^{5}+sx^{3}-t(x+1)}$

พหุนามทั่วไปเป็นที่รู้จักสำหรับกลุ่มทรานซิทีฟทั้งหมดที่มีดีกรี 5 หรือน้อยกว่า

มิติทั่วไปสำหรับกลุ่มจำกัดGเหนือฟิลด์Fซึ่งเขียนแทนด้วยถูกกำหนดให้เป็นจำนวนพารามิเตอร์ขั้นต่ำในพหุนามทั่วไปสำหรับGเหนือFหรือหากไม่มีพหุนามทั่วไปอยู่ ${\displaystyle gd_{F}G}$${\displaystyle \infty }$

ตัวอย่าง:

• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }A_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{5}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{5}=2}$

• Jensen, Christian U., Ledet, Arne และ Yui, Noriko, พหุนามทั่วไป , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2002