ในทฤษฎีกาโลอิสปัญหากาโลอิสผกผัน เกี่ยวข้องกับว่า กลุ่มจำกัดทุก กลุ่ม ปรากฏเป็นกลุ่มกาโลอิสของการขยายกาโลอิสของจำนวนตรรกยะ หรือไม่ ปัญหานี้ซึ่งตั้งขึ้นครั้งแรกในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ^{[ 1 ]}ยังไม่ได้รับการแก้ไข ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

มีกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน บางกลุ่ม ที่ทราบพหุนามทั่วไป ซึ่งกำหนด ส่วนขยายทางพีชคณิต ทั้งหมด ของ การมี กลุ่มเฉพาะ เป็นกลุ่มกาโลอิส กลุ่มเหล่านี้รวมถึงกลุ่มทั้งหมดที่ มี ดีกรีไม่เกิน5นอกจากนี้ยังมีกลุ่มที่ทราบว่าไม่มีพหุนามทั่วไป เช่น กลุ่มวัฏจักรอันดับ8${\displaystyle \mathbb {Q} }$

โดยทั่วไปแล้ว ให้Gเป็นกลุ่มจำกัดที่กำหนด และKเป็นฟิลด์ ถ้ามีฟิลด์ส่วนขยายกาโลอิสL / Kที่กลุ่มกาโลอิสของมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับG เรา จะ กล่าวว่าGสามารถสร้างได้บนK

มีหลายกรณีที่ทราบกันดี เป็นที่ทราบกันว่ากลุ่มจำกัดทุกกลุ่มสามารถสร้างได้เหนือฟิลด์ฟังก์ชัน ใดๆ ในตัวแปรเดียวเหนือจำนวนเชิงซ้อน และโดยทั่วไปเหนือฟิลด์ฟังก์ชันในตัวแปรเดียวเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ใดๆ ที่มีลักษณะ เฉพาะ เป็นศูนย์Igor Shafarevichแสดงให้เห็นว่ากลุ่มที่แก้ได้ จำกัดทุกกลุ่ม สามารถสร้างได้เหนือ[ ^{2 ] นอกจาก}นี้ยังเป็นที่ทราบกันว่ากลุ่มสปอราดิก แบบง่ายทุกกลุ่ม ยกเว้นกลุ่ม Mathieu M ₂₃สามารถสร้างได้เหนือ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เดวิด ฮิลเบิร์ตแสดงให้เห็นว่าคำถามนี้เกี่ยวข้องกับคำถามเรื่องความมีเหตุผลสำหรับG :

ถ้าKเป็นส่วนขยายใดๆ ของซึ่งGทำหน้าที่เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมและฟิลด์ไม่แปรเปลี่ยนK ^Gเป็นจำนวนตรรกยะเหนือแล้ว G สามารถสร้างได้เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ในที่นี้ คำว่า "เชิงตรรกะ"หมายความว่า เป็น ส่วนขยาย เชิงอภิปรัชญาโดยสมบูรณ์ของซึ่งสร้างขึ้นโดย เซต ที่เป็นอิสระทางพีชคณิตเกณฑ์นี้สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่ากลุ่มสมมาตร ทั้งหมด สามารถเกิดขึ้นได้จริงได้ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \mathbb {Q} }$

มีการศึกษาค้นคว้าอย่างละเอียดเกี่ยวกับคำถามนี้ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วยังไม่มีคำตอบที่แน่ชัด ส่วนหนึ่งของการศึกษาเหล่านี้อาศัยการสร้างGในเชิงเรขาคณิต โดยเป็นการครอบคลุมแบบกาโลอิสของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟกล่าวคือ ในเชิงพีชคณิต เริ่มต้นด้วยการขยายฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรt ที่ไม่กำหนด หลังจากนั้น จึงนำ ทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้ของฮิลเบิร์ตมาใช้เพื่อกำหนดค่าเฉพาะของtในลักษณะที่รักษาความเป็นกลุ่มกาโลอิสไว้ ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$

4952 จาก 4953 กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟที่มีดีกรี 23 หรือน้อยกว่า ยกเว้นกลุ่ม Mathieu M ₂₃เป็นที่ทราบกันว่าสามารถสร้างได้เหนือ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

มีกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟที่แตกต่างกัน 25,000 กลุ่มที่มีดีกรี n ณ เดือนมิถุนายน 2026 มีเพียง 286 กลุ่มเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถเกิดขึ้นได้บน ${\displaystyle n=24}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

กลุ่มง่าย ที่ไม่ใช่ อาเบเลียน ทั้ง 13 กลุ่ม ที่เล็กกว่า PSL(2,25) (อันดับ 7800) เป็นที่ทราบกันว่าสามารถรับรู้ได้เหนือ^{[ 6 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เป็นไปได้ที่จะสร้างพหุนามที่มีกลุ่มกาโลอิสเหนือพหุนามนั้นคือกลุ่มวัฏจักรZ / n Zสำหรับจำนวนเต็ม บวก n ใดๆ โดยใช้ผลลัพธ์แบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้ ให้เลือกจำนวนเฉพาะpที่p ≡ 1 (mod n )ซึ่งเป็นไปได้โดยทฤษฎีบทของ Dirichletให้Q ( μ )เป็นส่วนขยายไซโคลโทมิกของ พหุนาม ที่สร้างโดยμโดยที่μเป็น ราก ที่pของเอกภาพ แบบดั้งเดิม กลุ่มกาโลอิสของQ ( μ )/ Qเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับp − 1 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เนื่องจากn หารp − 1 ลงตัว กลุ่มกาโลอิสจึงมีกลุ่มย่อย วัฏจักร Hที่มีอันดับ( p − 1)/ nทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสบ่งชี้ว่าฟิลด์คงที่ที่สอดคล้องกันF = Q ( μ ) ^Hมีกลุ่มกาโลอิสZ / nZเหนือโดยการหาผลรวมที่เหมาะสมของตัวผกผันของμตามการสร้างคาบแบบเกาส์เซียนเรา สามารถหาองค์ประกอบαของFที่สร้างFเหนือและคำนวณพหุนามขั้นต่ำ ของมัน ได้${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

วิธีนี้สามารถขยายไปครอบคลุมกลุ่มอาเบเลียน จำกัดทั้งหมด ได้ เนื่องจากกลุ่มดังกล่าวทุกกลุ่มปรากฏเป็นผลหารของกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายไซโคลโทมิกบางส่วนของกลุ่มนั้น(อย่างไรก็ตาม ไม่ควรสับสนข้อความนี้กับทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์ซึ่งมีความลึกซึ้งกว่ามาก) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

สำหรับn = 3เราอาจใช้p = 7จากนั้นGal( Q ( μ )/ Q )เป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับหก ให้เราใช้ตัวสร้างηของกลุ่มนี้ซึ่งส่งμไปยังμ ³เราสนใจกลุ่มย่อยH = {1, η ³ } อันดับสอง พิจารณาองค์ประกอบα = μ + η ³ ( μ )โดยการสร้างαถูกกำหนดโดยHและมีคอนจูเกตเพียงสามตัวเหนือ: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

α = η ⁰ ( α ) = μ + μ ⁶ ,

β = η ¹ ( α ) = μ ³ + μ ⁴ ,

γ = η ² ( α ) = μ ² + μ ⁵ .

โดยใช้เอกลักษณ์:

1 + μ + μ ² + ⋯ + μ ⁶ = 0 ,

พบว่า

α + β + γ = −1 ,

αβ + βγ + γα = −2 ,

αβγ = 1 .

ดังนั้นαจึงเป็นรากของพหุนาม

( x − α )( x − β )( x − γ ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 ,

ซึ่งส่งผลให้มีกลุ่มกาโลอิสZ /3 Zเหนือ. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ฮิลเบิร์ตแสดงให้เห็นว่ากลุ่มสมมาตรและ กลุ่ม สลับ ทั้งหมด สามารถแทนได้ในรูปของกลุ่มกาโลอิสของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนตรรกยะ

พหุนามx ⁿ + ax + bมีค่าดิสคริมิแนนต์

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

เราจะพิจารณากรณีพิเศษ

f ( x , s ) = x ⁿ − sx − s .

การแทนที่จำนวนเฉพาะจำนวนเต็มด้วยsในf ( x , s )จะได้พหุนาม (เรียกว่าการหาค่าเฉพาะของf ( x , s ) ) ซึ่งตามเกณฑ์ของไอเซนสไตน์แล้วไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นf ( x , s ) จะต้องไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือนอกจากนี้f ( x , s )ยังสามารถเขียนได้ในรูป ${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

และf ( x , 1/2)สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

ซึ่งตัวประกอบที่สองไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (แต่ไม่ใช่ตามเกณฑ์ของไอเซนสไตน์) มีเพียงพหุนามส่วนกลับเท่านั้นที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ตามเกณฑ์ของไอเซนสไตน์ ขณะนี้เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่ากลุ่มGal( f ( x , s )/ Q ( s ))เป็น กลุ่ม ทรานซิทีฟสองเท่า

จากนั้นเราจะพบว่ากลุ่มกาโลอิสนี้มีการสลับตำแหน่ง ใช้การปรับขนาด(1 − n ) x = nyเพื่อให้ได้

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

และด้วย

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

เรามาถึงจุดนี้:

g ( y , t ) = y ⁿ − nty + ( n − 1) t

ซึ่งสามารถจัดเตรียมได้

y ⁿ − y − ( n − 1)( y − 1) + ( t − 1)(− ny + n − 1)

จากนั้นg ( y , 1)จะมี1เป็นศูนย์ซ้ำและศูนย์อีกn − 2 ตัวที่เหลือ เป็นศูนย์เดี่ยวและมีการสลับตำแหน่งในGal( f ( x , s )/ Q ( s )) โดยนัย กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟสองเท่าแบบจำกัดใดๆที่มีการสลับตำแหน่งจะเป็นกลุ่มสมมาตรแบบสมบูรณ์

ทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้ของฮิลเบิร์ตบ่งชี้ว่าเซตอนันต์ของจำนวนตรรกยะให้ค่าเฉพาะของf ( x , t )ซึ่งกลุ่มกาโลอิสคือSnเหนือฟิลด์ตรรกยะ ในความเป็นจริงเซต ของจำนวนตรรกยะนี้มีความ _{หนาแน่น}ใน${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ค่าดิสครีมิแนนต์ของg ( y , t )เท่ากับ

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

และโดยทั่วไปแล้วนี่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์

วิธีการแก้ปัญหาสำหรับกลุ่มสลับกันจะต้องใช้วิธีการที่แตกต่างกันสำหรับ ดีกรี คี่และดีกรี คู่

อนุญาต

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

ภายใต้การแทนที่นี้ ค่าดิสครีมิแนนต์ของg ( y , t )จะเท่ากับ

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อnเป็นจำนวนคี่

อนุญาต:

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}$

ภายใต้การแทนที่นี้ ค่าดิสครีมิแนนต์ของg ( y , t )จะเท่ากับ:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อnเป็นจำนวนคู่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้ของฮิลเบิร์ตบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของกลุ่มเฉพาะจำนวนอนันต์กลุ่มซึ่งกลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มสลับกัน

สมมติว่าC ₁ , …, C _nเป็นชั้นสมมูลของกลุ่มจำกัดGและAเป็นเซตของn -tuple ( g ₁ , …, g _n )ของGโดยที่g _iอยู่ในC _iและผลคูณg ₁ … g _nเป็นจำนวนน้อย แล้วAเรียกว่าเซตแข็ง (rigid)ถ้ามันไม่ว่างเปล่าGกระทำการถ่ายทอดบน A โดยการสมมูล และสมาชิกแต่ละตัวของAสร้างGได้

ทอมป์สัน (1984)แสดงให้เห็นว่า ถ้ากลุ่มจำกัดGมีเซตที่แข็งเกร็ง กลุ่มนั้นมักจะสามารถสร้างขึ้นเป็นกลุ่มกาโลอิสเหนือส่วนขยายไซโคลโทมิกของจำนวนตรรกยะได้ (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ เหนือส่วนขยายไซโคลโทมิกของจำนวนตรรกยะที่สร้างขึ้นโดยค่าของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ของGบนชั้นสมมูลC _i )

สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่ากลุ่มง่ายจำกัดหลายกลุ่ม รวมถึงกลุ่มมอนสเตอร์เป็นกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายของจำนวนตรรกยะ กลุ่มมอนสเตอร์ถูกสร้างขึ้นโดยไตรแอดของสมาชิกที่มีอันดับ2 , 3และ29ไตรแอดดังกล่าวทั้งหมดเป็นไตรแอดสังยุค

ต้นแบบของความแข็งแกร่งคือกลุ่มสมมาตรS _nซึ่งสร้างขึ้นโดย วัฏจักร nและการสลับตำแหน่งซึ่งผลคูณคือ วัฏจักร ( n − 1)การสร้างในส่วนก่อนหน้านี้ใช้ตัวสร้างเหล่านี้เพื่อสร้างกลุ่มกาโลอิสของพหุนาม

ให้n > 1เป็นจำนวนเต็มใดๆ แลตทิซΛในระนาบเชิงซ้อนที่มีอัตราส่วนคาบτจะมีแลตทิซย่อยΛ′ที่มีอัตราส่วนคาบnτแลตทิซหลังนี้เป็นหนึ่งในเซตจำกัดของแลตทิซย่อยที่สลับตำแหน่งโดยกลุ่มมอดูลาร์PSL(2, Z )ซึ่งขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนฐานสำหรับΛให้jแทนฟังก์ชันมอดูลาร์เชิงวงรีของเฟลิกซ์ ไคลน์กำหนดพหุนามφ _nเป็นผลคูณของผลต่าง( X − j (Λ _i ))เหนือแลตทิซย่อยคู่ควบ เนื่องจากเป็นพหุนามในX φ _nจึง มี สัมประสิทธิ์ ที่เป็นพหุนามเหนือในj ( τ )${\displaystyle \mathbb {Q} }$

บนแลตทิซคู่ควบ กลุ่มโมดูลาร์ทำหน้าที่เป็นPGL(2, Z / n Z )ดังนั้นφ _nจึง มีกลุ่มกาโลอิสที่สมมาตรกับPGL(2, Z / n Z )เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$

การใช้ทฤษฎีบทความไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ของฮิลเบิร์ตทำให้ได้เซตของจำนวนตรรกยะอนันต์ (และหนาแน่น) ที่กำหนดค่าเฉพาะของ φ _nให้กับพหุนามที่มีกลุ่มกาโลอิสPGL(2, Z / n Z )เหนือกลุ่มPGL(2, Z / n Z )ประกอบด้วยกลุ่มที่ไม่สามารถหาคำตอบได้จำนวน อนันต์${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• กลุ่มเซมิอาเบเลียน (ทฤษฎีกาโลอิส)

• "โครงการเรียนภาคฤดูร้อนระดับบัณฑิตศึกษา PCMI 2021 เรื่องปัญหาผกผันของกาโลอิส - ทฤษฎีจำนวนที่ได้รับข้อมูลจากการคำนวณ - 26-30 กรกฎาคม 2021"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 16 กุมภาพันธ์ 2023