ในพีชคณิตนามธรรมเซตย่อย ของฟิลด์จะเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือฟิลด์ย่อยถ้าสมาชิกของเซตย่อยนั้นไม่สอดคล้องกับ สมการพหุ นามที่ ไม่ใช่ สมการศูนย์ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ย่อยนั้น ${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจะเป็นอิสระเชิงพีชคณิตเหนือก็ต่อเมื่อเป็น จำนวน อดิศัยเหนือโดยทั่วไปแล้ว สมาชิกใดๆ ของเซตที่เป็นอิสระเชิงพีชคณิตเหนือจะต้องเป็นจำนวนอดิศัยเหนือ และเหนือส่วน ขยายฟิลด์ทั้งหมดของที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกที่เหลือของ ${\displaystyle \{\alpha \}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

จำนวนจริง และเป็นจำนวนอดิศัย : พวกมันไม่ใช่รากของพหุนามที่ไม่ใช่พหุนามศูนย์ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะดังนั้น เซตและจึงเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือจำนวนตรรกยะทั้งคู่ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle 2\pi +1}$${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$${\displaystyle \{2\pi +1\}}$

อย่างไรก็ตาม เซตดังกล่าวไม่ได้เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือจำนวนตรรกยะเนื่องจากพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

มีค่าเป็นศูนย์เมื่อและ. ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle y=2\pi +1}$

แม้ว่าπและeจะเป็นจำนวนอดิศัย แต่ก็ยังไม่ทราบว่าπ เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือ π หรือ ไม่^{[ 1 ]}ในความเป็นจริง ยังไม่ทราบด้วยซ้ำว่า π เป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่^{[ 2 ]} Nesterenkoพิสูจน์ในปี 1996 ว่า: ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi +e}$

• ตัวเลข, , และโดยที่คือฟังก์ชันแกมมาเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือ^{[ 3 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle \Gamma (1/4)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ตัวเลข, และเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือ${\displaystyle \pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$${\displaystyle \Gamma (1/3)}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• สำหรับจำนวนเต็มบวกn ทั้งหมด จำนวนและเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือ^{[ 4 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

ทฤษฎีบทลินเดมันน์-ไวเออร์สตรัสส์มักใช้เพื่อพิสูจน์ว่าเซตบางเซตเป็นอิสระเชิงพีชคณิตเหนือโดยระบุว่าเมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนพีชคณิตที่เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือแล้วก็จะเป็นอิสระเชิงพีชคณิตเหนือ เช่นกัน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ข้อสันนิษฐานของชาเนลจะพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิตของจำนวนหลายจำนวน รวมถึงπและeแต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์:

ให้เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ที่เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือ ส่วนขยายฟิลด์มีดีกรีทรานส์เซนเดนซ์อย่างน้อยเหนือ${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เมื่อกำหนดส่วนขยายของฟิลด์ ที่ไม่ใช่พีชคณิตแล้วทฤษฎีบทของซอร์นสามารถใช้เพื่อแสดงว่ามีเซตย่อยอิสระเชิงพีชคณิตสูงสุดของเหนือ อยู่เสมอ ยิ่งไปกว่านั้น เซตย่อยอิสระเชิงพีชคณิตสูงสุดทั้งหมดจะมีขนาด เท่ากัน ซึ่งเรียกว่าระดับความเป็นอดิศัยของส่วนขยาย ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

สำหรับเซตจำกัด ขององค์ประกอบทุกเซตของเซตย่อยอิสระเชิงพีชคณิตของเป็นไปตามสัจพจน์ที่กำหนดเซตอิสระของแมทรอยด์ในแมทรอยด์นี้ อันดับของเซตขององค์ประกอบคือระดับการเคลื่อนย้าย และระนาบที่สร้างโดยเซตขององค์ประกอบคือการตัดกันของกับฟิลด์แมทรอยด์ที่สามารถสร้างได้ในลักษณะนี้เรียกว่าแมทรอยด์เชิงพีชคณิตยังไม่มีการกำหนดลักษณะที่ดีของแมทรอยด์เชิงพีชคณิต แต่ทราบกันว่าแมทรอยด์บางชนิดไม่ใช่เชิงพีชคณิต แมทรอยด์ที่เล็กที่สุดคือ แมทรอย ด์Vámos ^{[ 5 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K[T]}$

แมทรอยด์จำกัดจำนวนมากอาจถูกแทนด้วยเมทริกซ์เหนือฟิลด์โดยที่องค์ประกอบของแมทรอยด์สอดคล้องกับคอลัมน์ของเมทริกซ์ และเซตขององค์ประกอบจะเป็นอิสระหากเซตของคอลัมน์ที่สอดคล้องกันเป็นอิสระเชิงเส้น แมทรอยด์ทุกตัวที่มีการแสดงเชิงเส้นของประเภทนี้อาจถูกแทนด้วยแมทรอยด์เชิงพีชคณิตได้เช่นกัน โดยการเลือกค่าที่ไม่แน่นอนสำหรับแต่ละแถวของเมทริกซ์ และโดยการใช้สัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ภายในแต่ละคอลัมน์เพื่อกำหนดองค์ประกอบแมทรอยด์แต่ละตัวให้เป็นการรวมเชิงเส้นของค่าอดิศัยเหล่านี้ ในทางกลับกันนั้นไม่จริง: ไม่ใช่ทุกแมทรอยด์เชิงพีชคณิตที่มีการแสดงเชิงเส้น^{[ 6 ]}${\displaystyle K}$

• ความเป็นอิสระเชิงเส้น
• เลขอดิศัย
• ทฤษฎีบทลินเดมันน์–ไวเออร์สตราส
• ข้อสันนิษฐานของชานูเอล

• เฉิน, จอห์นนี่. "ความเป็นอิสระเชิงพีชคณิต" . MathWorld .