ในทางคณิตศาสตร์จำนวนพีชคณิตคือ จำนวนที่เป็นราก ของ พหุนามที่ไม่เป็น ศูนย์ ในตัวแปรเดียวที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็ม (หรือเทียบเท่ากับจำนวนตรรกยะ ) ตัวอย่างเช่นอัตราส่วนทองคำ เป็นจำนวนพีชคณิต เพราะเป็นรากของพหุนามนั่นคือ เป็นคำตอบของสมการและจำนวนเชิงซ้อนก็เป็นจำนวนพีชคณิตเพราะเป็นรากของพหุนามเช่นกัน จำนวนพีชคณิตประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดจำนวนตรรกยะและ รากที่ nของจำนวนเต็ม ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$${\displaystyle x^{2}-x-1}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle x^{4}+4}$

จำนวนเชิงซ้อนพีชคณิตมีคุณสมบัติปิดภายใต้การบวก การลบ การคูณ และการหาร ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์ซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยเซตของจำนวนจริง พีชคณิต ก็เป็นฟิลด์เช่นกัน ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} }$

จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนพีชคณิตเรียกว่าจำนวนอดิศัยซึ่งรวมถึงπและeมี จำนวนพีชคณิต ที่นับได้เป็นอนันต์ดังนั้นเกือบทุกจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) (ในความหมายของการวัดแบบเลเบส ) จึงเป็นจำนวนอดิศัย

• จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจำนวนพีชคณิต จำนวนตรรกยะใดๆ ที่แสดงในรูปผลหารของจำนวนเต็มa กับ จำนวนธรรมชาติb (ที่ไม่ใช่ศูนย์) จะสอดคล้องกับนิยามข้างต้น เพราะx = ⁠เอ/ข⁠เป็นรากของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ นั่น^คือ bx − a ^{[ 1} ]
• จำนวนอตรรกยะกำลังสองคือ คำตอบอตรรกยะของพหุนามกำลังสอง^ax² + bx + c ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มa , bและcซึ่งจัดเป็นจำนวนพีชคณิต ถ้าพหุนามกำลังสองนั้นเป็นพหุนามเอกลักษณ์ ( a = 1 ) รากของพหุนาม นั้น จะถูกจัดเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง ด้วย
  • จำนวนเต็มเกาส์เซียน ซึ่ง เป็นจำนวนเชิงซ้อนa + biที่ทั้งaและb เป็นจำนวนเต็ม ก็เป็นจำนวนเต็มกำลังสองด้วยเช่น ^กันเนื่องจากa + biและa − biเป็นรากสองตัวของสมการกำลังสองx² − ² ax + a² + ^b²
• จำนวนที่สร้างได้ (Constructible Number) คือจำนวน ที่สร้างขึ้นจากความยาวหน่วยที่กำหนดโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน ซึ่งรวมถึงราก อตรรก ยะของสมการกำลังสองทั้งหมด จำนวนตรรกยะทั้งหมด และจำนวนทั้งหมดที่สามารถสร้างขึ้นจากจำนวนเหล่านี้โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและการถอดรากที่สอง (โดยการกำหนดทิศทางหลักสำหรับ +1, −1, + iและ−iจำนวนเชิงซ้อน เช่น ก็ถือว่าเป็นจำนวนที่สร้างได้เช่นกัน)${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• นิพจน์ใดๆ ที่สร้างขึ้นจากจำนวนพีชคณิต โดยใช้การรวมกันแบบจำกัดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและการถอดราก ที่ nจะได้จำนวนพีชคณิตอีกจำนวนหนึ่ง
• รากของพหุนามที่ไม่สามารถแสดงได้โดยใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและการถอดรากที่n (เช่น รากของx⁵ − x + 1 ) ซึ่งเกิดขึ้นกับพหุนามหลายตัว^แต่ไม่ใช่ทุกตัว ที่มีดีกรี 5 ขึ้นไป
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เป็นผลคูณเชิงตรรกะของπ (ยกเว้นกรณีที่หาค่าไม่ได้): ตัวอย่างเช่นcos ⁠π/7, cos ⁠​3π​/7และ cos​​5π​/7สอดคล้องกับ 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0พหุนามนี้ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ บนจำนวนตรรกยะ ดังนั้นค่าโคไซน์ทั้งสามจึงเป็น จำนวนพีชคณิตสัง ยุค ในทำนองเดียวกัน tan ⁠3π​/16,สีแทน​7π​/16,สีแทน​11 π/16และผิวสีแทน15 π/16สอดคล้องกับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0และดังนั้นจึงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตสังยุคซึ่งเทียบเท่ากับมุมซึ่งเมื่อวัดเป็นองศาจะมีค่าเป็นจำนวนตรรกยะ ^{[ 2 ]}
• จำนวนอตรรกยะบางส่วน แต่ไม่ใช่ทั้งหมด เป็นจำนวนพีชคณิต:
  • ตัวเลข^xและ8เป็นจำนวนพีชคณิต เนื่องจากเป็นรากของพหุนามx² − 2และ8x³ − 3 ^ตามลำดับ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • อัตราส่วนทองคำφเป็นอัตราส่วนเชิงพีชคณิต เนื่องจากเป็นรากของพหุ^นามx² − x − 1
  • ตัวเลขπและeไม่ใช่จำนวนพีชคณิต (ดูทฤษฎีบท Lindemann–Weierstrass ) ^{[ 3 ]}

• ถ้าคูณพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะด้วยตัวหารร่วมน้อยที่สุดพหุนามที่ได้ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มจะมีรากเดียวกัน นี่แสดงให้เห็นว่าจำนวนพีชคณิตสามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะก็ได้
• กำหนดให้จำนวนพีชคณิตจำนวนหนึ่ง จะมีพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนตรรกยะและมี ดีกรี น้อยที่สุด เพียงหนึ่งเดียวที่มีจำนวนนั้นเป็นราก พหุนามนี้เรียกว่าพหุนามขั้นต่ำถ้าพหุนามขั้นต่ำมีดีกรีnจำนวนพีชคณิตนั้นจะเรียกว่ามีดีกรีnตัวอย่างเช่นจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด มีดีกรี 1 และจำนวนพีชคณิตที่มีดีกรี 2 คือจำนวนอตรรกยะกำลังสอง
• จำนวนพีชคณิตมีความหนาแน่นในจำนวนจริงซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนพีชคณิตประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ ซึ่งก็มีความหนาแน่นในจำนวนจริงเช่นกัน
• เซตของจำนวนพีชคณิตสามารถนับได้^{[ 4 ] [ 5 ]}ดังนั้นการวัดเลเบสของเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็น 0 (โดยพื้นฐานแล้ว จำนวนพีชคณิตไม่ได้ใช้พื้นที่ในจำนวนเชิงซ้อน) กล่าวคือ จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน"เกือบทั้งหมด"เป็นจำนวนอดิศัย
• จำนวนพีชคณิตทั้งหมดสามารถคำนวณได้ดังนั้นจึงสามารถนิยามได้และเป็นจำนวนทางเลขคณิต
• สำหรับจำนวนจริงaและbจำนวนเชิงซ้อนa + biจะเป็นพีชคณิตก็ต่อเมื่อทั้งaและbเป็นพีชคณิต^{[ 6 ]}

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ ใดๆ การ ขยาย จำนวนตรรกยะอย่างง่าย โดย ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ซึ่งแทนด้วย(ซึ่งองค์ประกอบคือสำหรับฟังก์ชันตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะซึ่งกำหนดไว้ที่) จะมีดีกรี จำกัด ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠เป็นจำนวนพีชคณิต ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle f(\alpha )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

เงื่อนไขของดีกรีจำกัดหมายความว่ามีเซตของจำนวนที่มีขนาด จำกัด จำนวน หนึ่ง ซึ่งมีสมาชิกอยู่ในเซตนั้นโดยที่สมาชิกแต่ละตัวในเซตนั้นสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของสัมประสิทธิ์ตรรกยะบางตัว ${\displaystyle \{a_{i}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}}$${\displaystyle \{q_{i}\}}$

เนื่องจากตัวมันเองเป็นสมาชิกของดังนั้นแต่ละตัวสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของผลคูณของจำนวนตรรกยะและกำลังของและด้วยเหตุนี้เงื่อนไขนี้จึงเทียบเท่ากับข้อกำหนดที่ว่าสำหรับค่าจำกัดบางค่า${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )={\biggl \lbrace }\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}\mathbin {\bigg |} q_{i}\in \mathbb {Q} {\biggr \rbrace }.}$$

เงื่อนไขหลังนี้เทียบเท่ากับซึ่งเป็นสมาชิกของโดยสามารถแสดงได้เป็นสำหรับจำนวนตรรกยะบางจำนวนดังนั้นหรือเทียบเท่า เป็นรากของนั่นคือจำนวนพีชคณิตที่มีพหุนามขั้นต่ำที่มีดีกรีไม่เกิน ${\displaystyle \alpha ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}}$${\displaystyle \{q_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{i-n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{i-n}}$${\displaystyle 2n+1}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับเซตจำกัดใดๆ ของจำนวนพีชคณิต, ... การขยายฟิลด์จะมีดีกรีจำกัด ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$

ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร (ถ้าตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์) ของจำนวนพีชคณิตสองจำนวน ล้วนเป็นจำนวนพีชคณิตเช่นกัน:

สำหรับจำนวนพีชคณิตสองจำนวนใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$ , สิ่งนี้เป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนขยายแบบง่าย , สำหรับที่เป็น, , หรือ (สำหรับ) , เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของส่วนขยายฟิลด์ ที่มี ดีกรีจำกัด และด้วยเหตุนี้จึงมีดีกรีจำกัดด้วย ซึ่งจากนั้นจึงสรุปได้ (ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ) ว่าเป็นพีชคณิต ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle \alpha -\beta }$${\displaystyle \alpha \beta }$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \alpha /\beta }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \gamma }$

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงให้เห็นสิ่งนี้คือการแสดงออกเชิงสร้างสรรค์ โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้

ดังนั้นจำนวนพีชคณิตจึงก่อตัวเป็นฟิลด์^{[ 7 ]} (บางครั้งแสดงด้วยแต่โดยปกติจะหมายถึงวงแหวนอะเดล ) ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$

รากทุกรากของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนพีชคณิตก็จะเป็นจำนวนพีชคณิตเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตอันที่จริงแล้ว มันคือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเรียกว่าการปิดเชิงพีชคณิตของจำนวนตรรกยะ

การที่ฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้: ให้⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนพีชคณิต, , ... ส่วนขยายของฟิลด์จะมีดีกรีจำกัดเมื่อเทียบกับส่วนขยายเชิงเดี่ยวจะมีดีกรีจำกัดเมื่อเทียบกับ(เนื่องจากกำลังทั้งหมดของ⁠ ⁠สามารถแสดงได้ด้วยกำลังของ จนถึง) ดังนั้นจึงมีดีกรีจำกัดเมื่อเทียบกับเนื่องจากเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของจึงต้องมีดีกรีจำกัดเมื่อเทียบกับ ด้วยดังนั้น⁠ ⁠จึงต้องเป็นจำนวนพีชคณิต ${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \beta }$

จำนวนใดๆ ที่ได้มาจากจำนวนเต็มโดยใช้การบวกการลบการคูณการหารและ การถอด รากที่n (ซึ่งอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน) ใน จำนวนจำกัด โดยที่ nเป็นจำนวนเต็มบวก ถือเป็นจำนวนพีชคณิต อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ มีจำนวนพีชคณิตบางจำนวนที่ไม่สามารถได้มาด้วยวิธีนี้ จำนวนเหล่านี้คือรากของพหุนามดีกรี 5 หรือสูงกว่า ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีของกาลัว (ดูสมการควินติกและทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี ) ตัวอย่างเช่น สมการ:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

มีรากจริงที่ไม่ซ้ำกันเพียงรากเดียว ≈ 1.1673 ซึ่งไม่สามารถแสดงได้โดยใช้เพียงรากและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

จำนวนพีชคณิต คือจำนวนทั้งหมดที่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนหรือโดยนัยในรูปของพหุนาม โดยเริ่มจากจำนวนตรรกยะ เราอาจขยายแนวคิดนี้ไปสู่ ​​" จำนวนในรูปแบบปิด " ซึ่งสามารถนิยามได้หลายวิธี โดยทั่วไปแล้ว จำนวนทั้งหมดที่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนหรือโดยนัยในรูปของพหุนาม เลขชี้กำลัง และลอการิทึม เรียกว่า " จำนวนพื้นฐาน " ซึ่งรวมถึงจำนวนพีชคณิตและจำนวนอดิศัยบางจำนวน ในเชิงแคบ เราอาจพิจารณาจำนวน ที่นิยาม ได้อย่างชัดเจนในรูปของพหุนาม เลขชี้กำลัง และลอการิทึม – ซึ่งไม่รวมจำนวนพีชคณิตทั้งหมด แต่รวมถึงจำนวนอดิศัยอย่างง่ายบางจำนวน เช่นeหรือln 2

จำนวนเต็มพีชคณิตคือ จำนวนพีชคณิตที่เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยมีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ( พหุนามเอกลักษณ์ ) ตัวอย่างของจำนวนเต็มพีชคณิต ได้แก่และดังนั้น จำนวนเต็มพีชคณิตจึงเป็นเซตย่อย ที่แท้จริง ของจำนวนเต็มเนื่องจากจำนวนเต็มเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์x − kสำหรับทุกในแง่นี้ จำนวนเต็มพีชคณิตจึงมีความสัมพันธ์กับจำนวนพีชคณิตในลักษณะเดียวกับที่จำนวนเต็ม มีความ สัมพันธ์ กับจำนวนตรรกยะ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$${\displaystyle 2-6i,}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนเต็มพีชคณิตก็ยังคงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มพีชคณิตก่อตัวเป็นวงแหวนชื่อจำนวนเต็มพีชคณิตมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนตรรกยะเพียงจำนวนเดียวที่เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตคือจำนวนเต็ม และเนื่องจากจำนวนเต็มพีชคณิตในฟิลด์จำนวน ใด ๆ มีความคล้ายคลึงกับจำนวนเต็มในหลาย ๆ ด้าน ถ้าKเป็นฟิลด์จำนวนวงแหวนของจำนวนเต็ม ใน K ก็คือวงแหวนย่อยของจำนวนเต็มพีชคณิตในKและมักจะเขียนแทนด้วยO _Kนี่คือตัวอย่างต้นแบบของโดเมนเดเดคินด์

• วิธีแก้ปัญหาเชิงพีชคณิต
• จำนวนเต็มเกาส์เซียน
• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• จำนวนอตรรกยะกำลังสอง
• หน่วยพื้นฐาน
• รากแห่งความเป็นหนึ่งเดียว
• คาบเกาส์เซียน
• หมายเลข Pisot–Vijayaraghavan
• หมายเลขซาเลม