ในทางคณิตศาสตร์ลำดับบางส่วนหรือลำดับทั้งหมด < บนเซต หนึ่งๆ เรียกว่ามีความหนาแน่นถ้าสำหรับทุกและในซึ่งจะมีในเช่นนั้นนั่นคือ สำหรับสมาชิกสองตัวใดๆ ที่ตัวหนึ่งน้อยกว่าอีกตัวหนึ่ง จะมีสมาชิกอีกตัวหนึ่งอยู่ระหว่างสมาชิกทั้งสองนั้น สำหรับลำดับทั้งหมด สามารถลดรูปได้เป็น "สำหรับสมาชิกสองตัวใดๆ ที่แตกต่างกัน จะมีสมาชิกอีกตัวหนึ่งอยู่ระหว่างสมาชิกทั้งสองนั้น" เนื่องจากสมาชิกทั้งหมดของลำดับทั้งหมดสามารถเปรียบเทียบกันได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x<z<y}$

ในทำนองเดียวกัน ลำดับบางส่วนจะหนาแน่นก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์การครอบคลุม ของมัน ว่างเปล่า

จำนวนตรรกยะ ใน ฐานะเซตที่มีลำดับเชิงเส้น เป็นเซตที่มีลำดับหนาแน่นในความหมายนี้ เช่นเดียวกับจำนวนพีชคณิตจำนวนจริง จำนวนตรรกยะทวิภาคและเศษส่วนทศนิยม อันที่จริง วงแหวน ลำดับอาร์ คิมีเดียนทุกวงที่ขยายจากจำนวนเต็มล้วนเป็นเซตที่มีลำดับหนาแน่น ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

ในทางกลับกัน การเรียงลำดับเชิงเส้นบนจำนวนเต็ม นั้น ไม่หนาแน่น

Georg Cantor พิสูจน์ว่า เซตที่นับได้แบบหนาแน่นที่มีลำดับสมบูรณ์และไม่ว่างเปล่าสอง เซต โดยไม่มีขอบเขตล่างหรือขอบเขตบนนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงลำดับ [ ^{1 ] ซึ่ง}ทำให้ทฤษฎีลำดับเชิงเส้นหนาแน่นที่ไม่มีขอบเขตเป็นตัวอย่างของทฤษฎีเชิงหมวดหมู่ ω โดยที่ ω คือลำดับลิมิต ที่เล็กที่สุด ตัวอย่างเช่น มีไอโซมอร์ฟิซึมเชิงลำดับระหว่างจำนวนตรรกยะและเซตที่นับได้แบบหนาแน่นอื่นๆ รวมถึงจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกและจำนวนพีชคณิตการพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้ใช้ วิธี แบบไปๆ มาๆ^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีสามารถใช้เพื่อกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมลำดับระหว่างจำนวนพีชคณิตกำลังสองและจำนวนตรรกยะและระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนตรรกยะทวิภาคได้

กล่าวได้ว่าความสัมพันธ์ทวิภาค ใดๆR มี ความหนาแน่นถ้าสำหรับxและyที่มีความสัมพันธ์กันใน R ทุกตัว จะมีzที่ทำให้xและ zและzและ yมี ความสัมพันธ์กันใน Rด้วย กล่าวอย่างเป็นทางการคือ:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$หรืออีกทางหนึ่ง ในแง่ขององค์ประกอบของRกับตัวมันเอง เงื่อนไขความหนาแน่นอาจแสดงได้เป็นR ⊆ ( R  ; R ) ^{[ 3 ]}

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความสัมพันธ์ทวิภาคRบนเซตXที่จะเป็นความสัมพันธ์หนาแน่นมีดังนี้:

• Rเป็นกริยาสะท้อน ;
• Rเป็นคำสะท้อนร่วม ;
• Rเป็นกริยาที่มีลักษณะคล้ายรีเฟล็กซีรีเซปซี รี
• R คือ พิกัดยูคลิดซ้ายหรือขวาหรือ
• Rเป็น เมทริกซ์ สมมาตรและกึ่งเชื่อมต่อและXมีองค์ประกอบอย่างน้อย 3 ตัว

ไม่มีข้อใดจำเป็นเลย ตัวอย่างเช่น มีความสัมพันธ์ R ที่ไม่สะท้อนกลับแต่มีความหนาแน่น ความสัมพันธ์ ที่ไม่ว่างเปล่าและมีความหนาแน่นไม่สามารถเป็น ความสัมพันธ์ แบบต่อต้านการถ่ายทอดได้

ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด < เป็นลำดับหนาแน่นก็ต่อเมื่อ < เป็นความสัมพันธ์หนาแน่น ความสัมพันธ์หนาแน่นที่เป็นทรานซิทีฟ ด้วย เรียกว่า ความสัมพันธ์ แบบ เอกลักษณ์

• เซตหนาแน่น — เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งเซตปิดของมันคือปริภูมิทั้งหมด
• หนาแน่นในตัวเอง — เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งไม่มีจุดโดดเดี่ยวอยู่ภายใน${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• ความหมายเชิงคริปเก — ความสัมพันธ์การเข้าถึงที่หนาแน่นสอดคล้องกับสัจพจน์${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

• David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, ตรรกะเชิงพลวัต , สำนักพิมพ์ MIT, 2000, ISBN 0-262-08289-6หน้า 6 เป็นต้นไป