ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด  วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งอ่อนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคน${\displaystyle a,b}$และ${\displaystyle S\neq \varnothing$ :) ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
Yแสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วยYในคอลัมน์ "สมมาตร" และ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ นิยามทั้งหมดล้วนต้องการความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน โดยปริยาย${\displaystyle R}$เป็นกริยาที่ต้องการกรรม : สำหรับทั้งหมด${\displaystyle a,b,c,}$ถ้า${\displaystyle aRb}$และ${\displaystyle bRc}$แล้ว${\displaystyle aRc.}$ คำจำกัดความของคำศัพท์บางคำอาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์บนเซตเรียกว่าเชื่อมโยงสมบูรณ์หรือทั้งหมดถ้ามันเชื่อมโยง (หรือ "เปรียบเทียบ") สมาชิกทุกคู่ที่แตกต่างกัน ของเซตในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง ในขณะที่เรียกว่า เชื่อมโยงอย่างแน่นหนาถ้ามันเชื่อมโยงสมาชิกทุก คู่ ดังที่อธิบายไว้ใน ส่วนคำศัพท์ด้านล่างคำศัพท์สำหรับคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้เป็นไปในทิศทางเดียวกัน แนวคิดของ "ทั้งหมด" นี้ไม่ควรสับสนกับความสัมพันธ์ทั้งหมดในความหมายที่ว่า สำหรับทุก${\displaystyle x\in X}$มี${\displaystyle y\in X}$ดังนั้น${\displaystyle x\mathrel {R} y}$(ดูความสัมพันธ์แบบอนุกรม )

ความเชื่อมโยงเป็นคุณสมบัติสำคัญในนิยามของลำดับสมบูรณ์ : ลำดับสมบูรณ์ (หรือลำดับเชิงเส้น) คือลำดับบางส่วนที่องค์ประกอบสองตัวใดๆ สามารถเปรียบเทียบกันได้ กล่าวคือ ความสัมพันธ์ของลำดับนั้นเชื่อมโยงกัน ในทำนองเดียวกันลำดับบางส่วนที่เข้มงวดซึ่งเชื่อมโยงกันก็คือลำดับสมบูรณ์ที่เข้มงวด ความสัมพันธ์จะเป็นลำดับสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นทั้งลำดับบางส่วนและเชื่อมโยงกันอย่างแน่นหนา ความสัมพันธ์จะเป็นลำดับสมบูรณ์ที่เข้มงวดก็ต่อเมื่อเป็นทั้งลำดับบางส่วนที่เข้มงวดและเชื่อมโยงกันเท่านั้น ลำดับสมบูรณ์ที่เข้มงวดไม่สามารถเชื่อมโยงกันอย่างแน่นหนาได้ (ยกเว้นในโดเมนว่าง)

อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า " เชื่อมต่อ"ในความหมายที่กว้างกว่ามาก ซึ่งใช้กับลำดับเหล่านั้นที่มีกราฟเปรียบเทียบเป็นกราฟเชื่อม ต่อเท่านั้น ตัวอย่างเช่นรั้วซึ่งไม่มีตัวอย่างใดที่ไม่ใช่ลำดับสมบูรณ์

ความสัมพันธ์${\displaystyle R}$ในฉาก${\displaystyle X}$เรียกว่าเชื่อมต่อเมื่อสำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle {\text{ if }}x\neq y{\text{ then }}x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x,}$$ หรือในทำนองเดียวกัน เมื่อสำหรับทั้งหมด${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{or}}\quad x=y.}$$

ความสัมพันธ์กับคุณสมบัติที่สำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x}$$ เรียกว่าเชื่อมต่อ กันอย่างแน่นหนา^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

อนุญาต${\displaystyle R}$เป็นความสัมพันธ์ที่เป็นเอกพันธุ์ต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ^{[ 14 ]}

• ${\displaystyle R}$มีความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้น
• ${\displaystyle U\subseteq R\cup R^{\top }}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$ไม่สมมาตร​

ที่ไหน${\displaystyle U}$คือความสัมพันธ์สากลและ${\displaystyle R^{\top }}$เป็นความสัมพันธ์ผกผันของ${\displaystyle R.}$

ต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ^{[ 14 ]}

• ${\displaystyle R}$เชื่อมต่อแล้ว;
• ${\displaystyle {\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$เป็นสมมาตรผกผัน

ที่ไหน${\displaystyle {\overline {R}}}$คือความสัมพันธ์แบบเติมเต็มของ${\displaystyle R}$,${\displaystyle I}$คือความสัมพันธ์เอกลักษณ์และ${\displaystyle R^{\top }}$เป็นความสัมพันธ์ผกผันของ${\displaystyle R}$.

ในการนำเสนอความก้าวหน้า รัสเซลล์ได้อ้างถึงหลักการพื้นฐานของการเชื่อมโยง:

เมื่อใดก็ตามที่อนุกรมถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดที่ไม่สมมาตร เราสามารถแสดงความเชื่อมโยงได้โดยเงื่อนไขที่ว่าพจน์สองพจน์ใดๆ ในอนุกรมของเราจะต้องมีความสัมพันธ์ก่อกำเนิด

• ความสัมพันธ์ของขอบ^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle E}$ของกราฟทัวร์นาเมนต์${\displaystyle G}$เป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันเสมอในเซตของ${\displaystyle G}$จุดยอดของ '
• ถ้าความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นเป็นความสัมพันธ์สมมาตร ความสัมพันธ์ นั้นก็คือความสัมพันธ์สากล
• ความสัมพันธ์จะมีความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์นั้นมีความเชื่อมโยงและสะท้อนกลับได้^{[พิสูจน์ 1 ]}
• ความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันบนเซต${\displaystyle X}$ไม่สามารถเป็นปฏิปักษ์ต่อการส่งผ่านได้หากเป็นเช่นนั้น${\displaystyle X}$มีอย่างน้อย 4 องค์ประกอบ^{[ 16 ]}บนเซตที่มี 3 องค์ประกอบ${\displaystyle \{a,b,c\},}$ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์${\displaystyle \{(a,b),(b,c),(c,a)\}}$มีคุณสมบัติทั้งสองอย่าง
• ถ้า${\displaystyle R}$เป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันบน${\displaystyle X,}$จากนั้นองค์ประกอบทั้งหมด หรือเกือบทั้งหมด ยกเว้นเพียงหนึ่งองค์ประกอบ${\displaystyle X}$อยู่ในช่วงของ${\displaystyle R.}$^{[พิสูจน์ 2 ]}ในทำนองเดียวกัน องค์ประกอบทั้งหมด หรือเกือบทั้งหมด ยกเว้นหนึ่งองค์ประกอบของ${\displaystyle X}$อยู่ในขอบเขตของ${\displaystyle R.}$

หลักฐาน