ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ (เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ภายใน ) บนเซตXคือความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างXกับตัวมันเอง กล่าวคือ เป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนX × X ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}โดยทั่วไปจะใช้คำว่า "ความสัมพันธ์บนX " ^{[ 4 ]}หรือ "ความสัมพันธ์ (ทวิภาค) เหนือX " ^{[ 5 ] [ 6 ]}ตัวอย่างของความสัมพันธ์เอกพันธุ์คือความสัมพันธ์ทางเครือญาติซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล

ความสัมพันธ์ภายใน (endorelation) ที่พบได้ทั่วไป ได้แก่ ลำดับ ( orders ) กราฟ ( graphs ) และความสมมูล (equivalences ) การศึกษาเฉพาะทางด้านทฤษฎีลำดับและทฤษฎีกราฟได้พัฒนาความเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ภายใน มีการใช้ศัพท์เฉพาะของทฤษฎีกราฟในการอธิบาย โดยกราฟธรรมดา (ไม่มีทิศทาง) ถือว่าสอดคล้องกับความสัมพันธ์สมมาตรและความสัมพันธ์ภายในทั่วไปสอดคล้องกับกราฟ ที่มี ทิศทาง ความสัมพันธ์ ภายใน Rสอดคล้องกับเมทริกซ์ตรรกะของ 0 และ 1 โดยที่นิพจน์xRy ( xมีความสัมพันธ์กับy ใน R ) สอดคล้องกับขอบระหว่างxและyในกราฟ และกับ 1 ในเมทริกซ์จัตุรัสของRในศัพท์ทางกราฟ เรียกว่าเมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix )

ความสัมพันธ์เอกพันธุ์เฉพาะบางประการบนเซตX (ซึ่งมีองค์ประกอบx ₁ , x ₂ ใดๆ ) มีดังนี้:

ความสัมพันธ์ที่ว่างเปล่า

E = ∅ ;นั่นคือ x ₁ Ex ₂จะไม่เป็นจริงเลย

ความสัมพันธ์สากล

U = X × X ;นั่นคือ x ₁ Ux ₂เป็นจริงเสมอ

ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ (ดูเพิ่มเติมที่ ฟังก์ชันเอกลักษณ์ )

I = {( x , x ) | x ∈ X };นั่นคือ x ₁ Ix ₂เป็นจริงก็ต่อเมื่อ x ₁ = x ₂เท่านั้น

การแสดงผลแบบเมทริกซ์ของความสัมพันธ์ "อยู่ติดกับ" บนชุดแผ่นเปลือกโลก

		อัฟ	หนึ่ง	อาร์	ออ	ซีเอ	บริษัท	ยู	ใน	จู	เอ็นเอ	นา	ปา	พีเอช	เอสเอ	สก	ดังนั้น
แอฟริกัน	อัฟ
แอนตาร์กติกา	หนึ่ง
อาหรับ	อาร์
ออสเตรเลีย	ออ
แคริบเบียน	ซีเอ
โคโคส	บริษัท
ยูเรเซีย	ยู
อินเดีย	ใน
ฮวน เด ฟูกา	จู
อเมริกาเหนือ	เอ็นเอ
นาซกา	นา
แปซิฟิก	ปา
ฟิลิปปินส์	พีเอช
อเมริกาใต้	เอสเอ
สกอตเทีย	สก
โซมาลี	ดังนั้น

แผ่นเปลือกโลกขนาดใหญ่ 16 แผ่น สัมผัสกันในลักษณะที่เป็นเนื้อเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์เชิงตรรกะโดยที่ 1 (แสดงด้วย " ") บ่งบอกถึงการสัมผัส และ 0 (" ") บ่งบอกถึงการไม่สัมผัส ตัวอย่างนี้แสดงถึงความสัมพันธ์แบบสมมาตร

คุณสมบัติสำคัญบางประการที่ความสัมพันธ์เอกพันธุ์RบนเซตXอาจมี ได้แก่:

สะท้อนกลับ

สำหรับทุกx ∈ X , xRxตัวอย่างเช่น ≥ เป็นความสัมพันธ์สะท้อน แต่ > ไม่ใช่

ไม่สะท้อนกลับ (หรือเข้มงวด )

สำหรับทุกx ∈ Xที่ไม่ใช่xRxตัวอย่างเช่น > เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อน แต่ ≥ ไม่ใช่

รีเฟล็กซี

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วx = y [ ^{7 ] ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์เหนือจำนวนเต็มที่แต่ละจำนวนคี่มีความสัมพันธ์กับตัวเองเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับร่วม ความสัมพันธ์ ความ}เท่าเทียมกันเป็นตัวอย่างเดียวของความสัมพันธ์ทั้งแบบสะท้อนและสะท้อนกลับร่วม และความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับร่วมใดๆ ก็เป็นเซตย่อยของความสัมพันธ์เอกลักษณ์

ซ้ายกึ่งสะท้อนกลับ

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วxRx

ขวากึ่งสะท้อน

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วyRy

กึ่งสะท้อนกลับ

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วxRxและyRyความสัมพันธ์จะเรียกว่ากึ่งสะท้อนได้ก็ต่อเมื่อเป็นกึ่งสะท้อนได้ทั้งทางซ้ายและทางขวา

ทางเลือกทั้ง 6 ข้อก่อนหน้านี้ยังไม่ครอบคลุมทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคxRyที่กำหนดโดยy = x²ไม่ใช่ทั้งแบบไม่สะท้อน ไม่ใช่แบบสะท้อนร่วม และไม่ใช่แบบสะท้อน เนื่องจากมีคู่⁽ 0, 0)และ(2, 4)แต่ไม่มี คู่ (2, 2)ตามลำดับ ข้อเท็จจริงสองข้อหลังนี้ยังตัดความเป็นไปได้ของความเป็นกึ่งสะท้อน (ในทุกรูปแบบ) ออกไปอีกด้วย

สมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วyRxตัวอย่างเช่น "เป็นญาติทางสายเลือดของ" เป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตร เพราะxเป็นญาติทางสายเลือดของyก็ต่อเมื่อyเป็นญาติทางสายเลือดของx

แอนติสมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyและyRxแล้วx = yตัวอย่างเช่น ≥ เป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตร เช่นเดียวกับ > แต่ ในความหมาย ที่ว่างเปล่า (เงื่อนไขในคำนิยามเป็นเท็จเสมอ) ^{[ 8 ]}

ไม่สมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้ว y ไม่Rxความสัมพันธ์จะเป็นอสมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นทั้งปฏิสมมาตรและไม่สะท้อน^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น > เป็นความสัมพันธ์อสมมาตร แต่ ≥ ไม่ใช่

ย้ำอีกครั้งว่า ทางเลือกทั้ง 3 ข้อก่อนหน้านี้ยังไม่ครอบคลุมทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในกรณีของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์xRyที่กำหนดโดยx > 2นั้น ไม่ใช่ทั้งความสัมพันธ์สมมาตรหรือความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร และยิ่งไม่ใช่ความสัมพันธ์อสมมาตรด้วยซ้ำ

สกรรมกริยา

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและyRzแล้วxRzความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อเป็นความสัมพันธ์แบบอสมมาตร^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น "เป็นบรรพบุรุษของ" เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด ในขณะที่ "เป็นพ่อแม่ของ" ไม่ใช่

ต่อต้านการขนส่ง

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและyRzแล้วxRz จะไม่เกิดขึ้น เลย

กริยาที่ต้องการกรรมร่วม

ถ้าส่วนเติมเต็มของRเป็นสมบัติถ่ายทอด กล่าวคือ สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRzแล้วxRyหรือyRzสมบัตินี้ใช้ในลำดับเทียมในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์

กึ่งทรานซิทีฟ

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและyRzแต่yRxและzRy ไม่ใช่ทั้งสอง อย่างแล้วxRzไม่ใช่zRx

การถ่ายทอดของความไม่สามารถเปรียบเทียบได้

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxและyไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้โดยสัมพันธ์กับRและถ้า y และ z ก็ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้โดยสัมพันธ์กับ R เช่นกันหลักการนี้ใช้ในการเรียงลำดับแบบอ่อน( weak orderings )

ย้ำอีกครั้งว่า ตัวเลือกทั้ง 5 ข้อก่อนหน้านี้ไม่ใช่ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์xRyถ้า ( y = 0หรือy = x + 1 ) ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติใดๆ เหล่านี้ ในทางกลับกัน ความสัมพันธ์ว่างเปล่าเป็นไปตามคุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้โดยปริยาย

หนาแน่น

สำหรับทุกx , y ∈ Xที่xRyจะมีบางz ∈ Xที่xRzและzRyสิ่งนี้ใช้ในลำดับหนาแน่น

เชื่อมต่อแล้ว

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าx ≠ yแล้วxRyหรือyRxคุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่า "สมบูรณ์" ซึ่งแตกต่างจากคำจำกัดความของ "สมบูรณ์ซ้าย/สมบูรณ์ขวา" ที่จะกล่าวถึงด้านล่าง

เชื่อมโยงอย่างแน่นหนา

สำหรับทุกx , y ∈ X , xRyหรือyRxคุณสมบัตินี้บางครั้งก็เรียกว่า "ทั้งหมด" ซึ่งแตกต่างจากคำจำกัดความของ "ทั้งหมดซ้าย/ขวา" ที่จะกล่าวถึงด้านล่าง

ไตรภาค

สำหรับทุกx , y ∈ X จะมีเพียง xRy , yRxหรือx = yเพียงข้อเดียวเท่านั้นที่เป็นจริงตัวอย่างเช่น > เป็นความสัมพันธ์แบบไตรภาคบนจำนวนจริง ในขณะที่ความสัมพันธ์ "หาร" บนจำนวนธรรมชาติไม่ใช่^{[ 11 ]}

ยูคลิดขวา (หรือเรียกสั้น ๆ ว่ายูคลิด )

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและxRzแล้วyRzตัวอย่างเช่น เครื่องหมาย = เป็นความสัมพันธ์แบบยุคลิด เพราะถ้าx = yและx = zแล้วy = z

ยูคลิดซ้าย

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าyRxและzRxแล้วyRz

มีเหตุผลที่ดี

เซตย่อยที่ไม่ว่างทุกเซตSของXจะมีองค์ประกอบขั้นต่ำที่เกี่ยวข้องกับRความเป็นรากฐานที่ดีหมายถึงเงื่อนไขของสายโซ่ที่ลดลง (นั่นคือ ไม่มีสายโซ่อนันต์...  x _n R ... Rx ₃ Rx ₂ Rx ₁ที่สามารถมีอยู่ได้) หากถือว่าสัจพจน์ของการเลือกที่ขึ้นอยู่กัน เงื่อนไขทั้งสองจะเทียบเท่ากัน ^{[ 12 ] [ 13 ]}

นอกจากนี้ คุณสมบัติทั้งหมดของความสัมพันธ์ทวิภาคโดยทั่วไปยังสามารถนำไปใช้กับความสัมพันธ์เอกพันธุ์ได้อีกด้วย:

เหมือนเซ็ต

สำหรับทุกx ∈ Xคลาส ของ yทั้งหมดที่ทำให้yRxเป็นเซต (ซึ่งจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่ออนุญาตให้มีความสัมพันธ์เหนือคลาสที่แท้จริงเท่านั้น)

ซ้าย-เอกลักษณ์

สำหรับทุกx , z ∈ X และทุกy ∈ Yถ้าxRyและzRyแล้วx = z

ยูนิวาเลนต์

สำหรับx ∈ X ทั้งหมด และy , z ∈ Y ^{ทั้งหมด}ถ้าxRyและxRzแล้วy = z ^{[ 14} ]

ผลรวม (เรียกอีกอย่างว่า ผลรวมด้านซ้าย)

สำหรับทุกx ∈ Xจะมีy ∈ Yที่ทำให้xRyคุณสมบัตินี้แตกต่างจากนิยามของการเชื่อมต่อ (หรือที่บางผู้เขียนเรียกว่า การ เชื่อมต่อทั้งหมด )

ฟังก์ชันทั่วถึง (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันรวมทางขวา)

สำหรับทุกy ∈ Yจะมีx ∈ X อยู่จริง ซึ่งxRy

ลำดับก่อนหน้า (Preorder)คือความสัมพันธ์ที่เป็นทั้งสะท้อนและถ่ายทอด ลำดับก่อนหน้าแบบสมบูรณ์ (Total preorder)หรือที่เรียกว่าลำดับก่อนหน้าเชิงเส้น (Linear preorder)หรือลำดับแบบอ่อน (Weak order ) คือความสัมพันธ์ที่เป็นทั้งสะท้อน ถ่ายทอด และเชื่อมโยงกัน (Connected)

ลำดับบางส่วนหรือที่เรียกว่าลำดับคือความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน และถ่ายทอดได้ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดหรือที่เรียกว่าลำดับที่เข้มงวดคือความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน และถ่ายทอดได้ลำดับทั้งหมดหรือที่เรียกว่าลำดับเชิง เส้น ลำดับแบบง่ายหรือห่วงโซ่คือความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน^{[ 15 ]}ลำดับทั้งหมดที่เข้มงวดหรือที่เรียกว่าลำดับเชิงเส้นที่เข้มงวดลำดับแบบง่ายที่เข้มงวดหรือห่วงโซ่ที่เข้มงวดคือความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน

ความสัมพันธ์สมมูลบางส่วนเป็นความสัมพันธ์ที่สมมาตรและถ่ายทอดได้ ส่วนความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับได้ สมมาตร และถ่ายทอดได้ นอกจากนี้ยังเป็นความสัมพันธ์ที่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และสมบูรณ์ด้วย เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้บ่งบอกถึงการสะท้อนกลับได้

ความสัมพันธ์แบบเอกภาคอาจเรียกว่าฟังก์ชันย่อยได้ฟังก์ชัน(ทั้งหมด)คือฟังก์ชันย่อยที่เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ทางซ้าย ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือฟังก์ชันย่อย) คือฟังก์ชัน ที่ตัวผกผันเป็นฟังก์ชันเอก ภาค ฟังก์ชันทั่วถึงคือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ทางขวา

นัยยะและความขัดแย้งระหว่างคุณสมบัติของความสัมพันธ์ทวิภาคที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซตXแล้ว ความสัมพันธ์ต่อไปนี้แต่ละข้อก็เป็นความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซตX เช่นกัน :

การปิดแบบสะท้อนกลับ , R ⁼

นิยามว่าR ⁼ = {( x , x ) | x ∈ X } ∪ Rหรือความสัมพันธ์สะท้อนที่เล็กที่สุดบนXที่มีR อยู่ ภายใน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าเท่ากับจุดตัดของความสัมพันธ์สะท้อนทั้งหมดที่มีR อยู่ ภายใน

การลดรูปสะท้อน , R ^≠

นิยามว่าR ^≠ = R \ {( x , x ) | x ∈ X } หรือ ความสัมพันธ์ ที่ไม่สะท้อนกลับที่ ใหญ่ที่สุด บนXที่มีอยู่ในR

การปิดแบบส่งผ่าน , R ⁺

นิยามว่าคือความสัมพันธ์ถ่ายทอดที่เล็กที่สุดบนXที่มีR อยู่ ภายใน ซึ่งจะเห็นได้ว่าเท่ากับจุดตัดของความสัมพันธ์ถ่ายทอดทั้งหมดที่มีR อยู่ ภายใน

การปิดแบบสะท้อนและถ่ายทอด , R *

กำหนดให้เป็นR * = ( R ⁺ ) ⁼ , ลำดับก่อนหลังที่เล็กที่สุดที่มีRอยู่

การปิดสมมาตรแบบสะท้อนและถ่ายทอดได้ , R ^≡

นิยามว่าคือความสัมพันธ์สมมูล ที่เล็กที่สุด เหนือXซึ่งประกอบด้วยR

การดำเนินการทั้งหมดที่กำหนดไว้ในหัวข้อ การดำเนินการในความสัมพันธ์ทวิภาคสามารถนำไปใช้กับความสัมพันธ์เอกพันธุ์ได้เช่นกัน

ความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยคุณสมบัติ

	การสะท้อนกลับ	สมมาตร	การถ่ายทอด	การเชื่อมต่อ	เครื่องหมาย	ตัวอย่าง
กราฟทิศทาง					→
กราฟแบบไม่มีทิศทาง		สมมาตร
การพึ่งพา	สะท้อนกลับ	สมมาตร
การแข่งขัน	ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง	ไม่สมมาตร				ลำดับชั้นทางสังคม
สั่งซื้อล่วงหน้า	สะท้อนกลับ		สกรรมกริยา		≤	ความพึงใจ
ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด	สะท้อนกลับ		สกรรมกริยา	เชื่อมต่อแล้ว	≤
คำสั่งซื้อบางส่วน	สะท้อนกลับ	แอนติสมมาตร	สกรรมกริยา		≤	ชุดย่อย
ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด	ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง	ไม่สมมาตร	สกรรมกริยา		<	ชุดย่อยที่เข้มงวด
คำสั่งซื้อทั้งหมด	สะท้อนกลับ	แอนติสมมาตร	สกรรมกริยา	เชื่อมต่อแล้ว	≤	เรียงตามลำดับตัวอักษร
ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด	ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง	ไม่สมมาตร	สกรรมกริยา	เชื่อมต่อแล้ว	<	เรียงตามลำดับตัวอักษรอย่างเคร่งครัด
ความสัมพันธ์สมมูลบางส่วน		สมมาตร	สกรรมกริยา
ความสัมพันธ์สมมูล	สะท้อนกลับ	สมมาตร	สกรรมกริยา		~, ≡	ความเท่าเทียมกัน

เซตของความสัมพันธ์เอกพันธุ์ทั้งหมดเหนือเซตXคือเซต2 ^{X × X}ซึ่งเป็นพีชคณิตบูลีนที่เสริมด้วยการผกผันของการแมปความสัมพันธ์ไปยังความสัมพันธ์ผกผันการพิจารณาการประกอบความสัมพันธ์เป็นการดำเนินการทวิภาคบนจะก่อให้เกิดโมโนอิดที่มีการผกผัน โดยที่องค์ประกอบเอกลักษณ์คือความสัมพันธ์เอกลักษณ์^{[ 16 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$

จำนวนความสัมพันธ์เอกพันธุ์ที่แตกต่างกันบน เซตที่มีสมาชิก nตัว คือ2 ^{n 2} (ลำดับA002416ในOEIS ):

โปรดทราบว่าS ( n , k )หมายถึงจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง

หมายเหตุ:

• จำนวนความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับเท่ากับจำนวนความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ
• จำนวนของลำดับย่อยที่เข้มงวด (ความสัมพันธ์ถ่ายทอดแบบไม่สะท้อนกลับ) มีจำนวนเท่ากับจำนวนของลำดับย่อยทั่วไป
• จำนวนคำสั่งซื้อแบบอ่อนที่เข้มงวดนั้นเท่ากับจำนวนคำสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด
• ยอดสั่งซื้อทั้งหมดคือยอดสั่งซื้อบางส่วนที่เป็นยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมดด้วย ดังนั้น จำนวนการสั่งซื้อล่วงหน้าที่ไม่ใช่ทั้งยอดสั่งซื้อบางส่วนและยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด จึงเท่ากับจำนวนการสั่งซื้อล่วงหน้า ลบด้วยจำนวนการสั่งซื้อบางส่วน ลบด้วยจำนวนการสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด บวกด้วยจำนวนการสั่งซื้อทั้งหมด: 0, 0, 0, 3 และ 85 ตามลำดับ
• จำนวนความสัมพันธ์สมมูลคือจำนวนพาร์ติชันซึ่งก็คือจำนวนเบลล์

ความสัมพันธ์เอกพันธุ์สามารถจัดกลุ่มเป็นคู่ๆ (ความสัมพันธ์, ส่วนเติมเต็ม ) ยกเว้นในกรณีที่n = 0 ซึ่ง ความสัมพันธ์นั้นจะเป็นส่วนเติมเต็มของตัวมันเอง ส่วนความสัมพันธ์ที่ไม่สมมาตรสามารถจัดกลุ่มเป็นสี่ๆ (ความสัมพันธ์, ส่วนเติมเต็ม, ตัวผกผัน , ส่วนเติมเต็มผกผัน)

• ความสัมพันธ์เชิงลำดับรวมถึงลำดับที่เข้มงวด :
  • มากกว่า
  • มากกว่าหรือเท่ากับ
  • น้อยกว่า
  • น้อยกว่าหรือเท่ากับ
  • แบ่ง (อย่างเท่าๆ กัน)
  • เซตย่อยของ
• ความสัมพันธ์สมมูล :
  • ความเท่าเทียมกัน
  • ขนานกับ (สำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรง )
  • ความเท่าเทียมกันหรือ "มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ"
  • ไอโซมอร์ฟิก
  • ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดเท่ากัน
• ความสัมพันธ์แบบอดทนเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับและสมมาตร:
  • ความสัมพันธ์แบบพึ่งพาความสัมพันธ์แบบความคลาดเคลื่อนที่จำกัด
  • ความสัมพันธ์อิสระซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์พึ่งพาบางอย่าง
• ความสัมพันธ์ทางเครือญาติ

• โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ทวิภาคไม่จำเป็นต้องเป็นความสัมพันธ์เอกพันธุ์เสมอไป มันถูกนิยามให้เป็นเซตย่อยR ⊆ X × YสำหรับเซตXและY ใดๆ ก็ตาม
• ความสัมพันธ์แบบจำกัด (Finitary relation)คือเซตย่อยR ⊆ X ₁ × ... × X _nสำหรับจำนวนธรรมชาติn บางจำนวน และเซตX ₁ , ..., X _n ใดๆ เรียกอีกอย่างว่า ความสัมพันธ์ แบบ n -ary