ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์จำกัดเหนือลำดับของเซตX ₁ , ..., X _nคือเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนX ₁ × ... × X _nกล่าวคือ เป็นเซตของn - tuple ( x ₁ , ..., x _n )โดยแต่ละ n-tuple เป็นลำดับขององค์ประกอบx _iในX _iที่ สอดคล้องกัน ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}โดยทั่วไป ความสัมพันธ์จะอธิบายความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างองค์ประกอบของn -tuple ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ " xหารลงตัวด้วยyและz " ประกอบด้วยเซตของสามสิ่งซึ่งเมื่อแทนค่าลงในx , yและzตามลำดับ จะทำให้ประโยคเป็นจริง

จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnที่ให้จำนวน "ตำแหน่ง" ในความสัมพันธ์เรียกว่าarity , adicityหรือdegreeของความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ที่มีn "ตำแหน่ง" เรียกว่า ความสัมพันธ์ n -ary , ความสัมพันธ์ n -adicหรือความสัมพันธ์ที่มีดีกรีnความสัมพันธ์ที่มีจำนวนตำแหน่งจำกัดเรียกว่าความสัมพันธ์แบบจำกัด (หรือเรียกง่ายๆ ว่าความสัมพันธ์ถ้าบริบทชัดเจน) นอกจากนี้ยังสามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังความสัมพันธ์แบบอนันต์ที่มีลำดับอนันต์ได้ อีกด้วย ^{[ 4 ​​]}

เมื่อวัตถุ คุณสมบัติ ประเภท หรือลักษณะสองอย่าง ถูกมองเห็นร่วมกันโดยจิตใจ และถูกเชื่อมโยงเข้าด้วยกัน การเชื่อมโยงนั้นเรียกว่า ความสัมพันธ์

เนื่องจากนิยามนี้ขึ้นอยู่กับเซตพื้นฐานX ₁ , ..., X _nดังนั้นRอาจนิยามได้อย่างเป็นทางการมากขึ้นเป็น ( n + 1 )-tuple ( X ₁ , ..., X _n , G )โดยที่Gซึ่งเรียกว่ากราฟของRเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนX 1 _× ... × X _n

เช่นเดียวกับที่มักทำกันในวิชาคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์เดียวกันถูกใช้เพื่ออ้างถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์และเซตพื้นฐาน ดังนั้นประโยค( x ₁ , ..., x _n ) ∈ Rมักถูกใช้เพื่อหมายถึง( x ₁ , ..., x _n ) ∈ Gอ่านว่า " x ₁ , ..., x _nมี ความสัมพันธ์กันใน R " และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์นำหน้าRx ₁ ⋯ x _nและสัญลักษณ์ต่อท้าย x 1 _⋯ x _n Rในกรณีที่R เป็นความ _{สัมพันธ์} ทวิภาค ประโยคเหล่านั้นจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ แทรก x 1 Rx _{2 ด้วยเช่นกัน}

ข้อควรพิจารณาต่อไปนี้มีผลบังคับใช้:

• เซตX _iเรียกว่าโดเมนที่iของR ^{[ 1} ] ในกรณีที่R เป็นความสัมพันธ์ ^แบบไบนารีX ₁ยังเรียกว่าโดเมนหรือเซตของการเริ่มต้นของRและX ₂ยังเรียกว่าโคโดเมนหรือเซตของปลายทางของR
• เมื่อองค์ประกอบของX _iเป็นความสัมพันธ์X _iเรียกว่าโดเมนที่ไม่เรียบ^ง่ายของR ^{[ 1} ]
• เซตของ∀ x _i ∈ X _iที่Rx ₁ ⋯ x _{i −1} x _i x _{i +1} ⋯ x _nสำหรับอย่างน้อยหนึ่ง( x ₁ , ..., x _n )เรียกว่าโดเมนนิยามที่ i หรือโดเมนแอคทีฟของR ^{[ 1 ]}ในกรณีที่Rเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี โดเมนนิยามแรกของมันจะเรียกว่าโดเมนนิยามหรือโดเมนแอคทีฟของRและโดเมนนิยามที่สองของมันจะเรียกว่าโคโดเมนนิยามหรือโคโดเมนแอคทีฟของR
• เมื่อ โดเมนที่ iของนิยามของRเท่ากับX _i R จะเรียกว่าเป็น ความ สัมพันธ์สมบูรณ์บนโดเมนที่i ของมัน (หรือบน X _iเมื่อไม่กำกวม) ในกรณีที่Rเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค เมื่อRเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์บนX ₁มันจะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์ทางซ้าย (หรือความสัมพันธ์แบบอนุกรมในกรณีพิเศษที่X ₁ = X ₂ ) และเมื่อRเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์บนX ₂มันจะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์สมบูรณ์ทางขวาหรือความสัมพันธ์ทั่วถึง
• เมื่อ∀ x ∀ y ∈ X _i . ∀ z ∈ X _j . xR _ij z ∧ yR _ij z ⇒ x = yโดยที่i ∈ I , j ∈ J , R _ij = π _ij Rและ{ I , J }เป็นพาร์ติชันของ{1, ..., n } R กล่าวได้ว่าเป็นเอกลักษณ์บน{ X _i } _{i ∈ I}และ{ X _i } _{i ∈ J}เรียกว่าคีย์หลัก^{[ 1 ]}ของRในกรณีที่R เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี เมื่อRเป็นเอกลักษณ์บน { X ₁ } ก็จะกล่าวได้ว่าเป็นเอกลักษณ์ทางซ้ายหรือแบบฉีดและเมื่อRเป็นเอกลักษณ์บน { X ₂ } ก็จะกล่าวได้ว่าเป็นแบบเอกภาคหรือเป็นเอกลักษณ์ทางขวา
• เมื่อX _i ทั้งหมดเป็นเซต XเดียวกันการเรียกRว่าความ สัมพันธ์ n -ary บนX นั้นง่ายกว่า เรียก ว่าความ สัมพันธ์เอกพันธุ์ (homogeneous relation ) หากไม่มีข้อจำกัดนี้Rจะเรียกว่าความสัมพันธ์ต่างพันธุ์ (heterogeneous relation )
• เมื่อใดก็ตามที่X _iว่างเปล่า ผลคูณคาร์ทีเซียนที่กำหนดก็จะว่างเปล่า และความสัมพันธ์เดียวที่มีอยู่เหนือลำดับของโดเมนดังกล่าวคือความสัมพันธ์ว่างเปล่าR = ∅

ให้โดเมนบูลีนBเป็นเซตที่มีสองสมาชิก เช่นB = {0, 1}ซึ่งสมาชิกสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าตรรกะ โดยทั่วไป0 = เท็จและ1 = จริงฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของRซึ่งเขียนแทนด้วยχ _Rคือฟังก์ชันที่มีค่าเป็นบูลีนχ _R : X ₁ × ... × X _n → Bซึ่งกำหนดโดยχ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 1ถ้าRx ₁ ⋯ x _nและχ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 0ในกรณีอื่น ๆ

ในคณิตศาสตร์ประยุกต์วิทยาการคอมพิวเตอร์และสถิติเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกฟังก์ชันที่มีค่าเป็นบูลีนว่าn -ary predicateจากมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมและทฤษฎีแบบจำลองความสัมพันธ์Rประกอบขึ้นเป็นแบบจำลองเชิงตรรกะหรือโครงสร้างเชิงสัมพันธ์ซึ่งทำหน้าที่เป็นหนึ่งในหลายๆการตีความ ที่เป็นไปได้ ของ สัญลักษณ์ n -ary predicate บางตัว

เนื่องจากความสัมพันธ์เกิดขึ้นในสาขาวิทยาศาสตร์หลายสาขา รวมถึงคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ หลายสาขา จึงทำให้มีการใช้คำศัพท์ที่หลากหลาย นอกเหนือจากการขยายแนวคิดหรือคำศัพท์เชิงความสัมพันธ์ไปสู่ทฤษฎีเซตแล้ว คำว่า "ความสัมพันธ์" ยังสามารถใช้เพื่ออ้างถึงหน่วยทางตรรกศาสตร์ที่สอดคล้องกันได้ ไม่ว่าจะเป็นความเข้าใจเชิงตรรกศาสตร์ซึ่งเป็นผลรวมของความหมายหรือคุณสมบัติเชิงนามธรรมที่องค์ประกอบทั้งหมดในความสัมพันธ์มีร่วมกัน หรือสัญลักษณ์ที่แสดงถึงองค์ประกอบและความหมายเหล่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น นักเขียนบางคนในกลุ่มหลังนี้ยังนำเสนอคำศัพท์ที่มีความหมายเป็นรูปธรรมมากขึ้น (เช่น "โครงสร้างเชิงความสัมพันธ์" สำหรับการขยายแนวคิดเชิงความสัมพันธ์ไปสู่ทฤษฎีเซต)

ความสัมพันธ์แบบนัลลารี (0-ary) มีสมาชิกเพียงสองตัวเท่านั้น คือ ความสัมพันธ์นัลลารีว่างเปล่า ซึ่งไม่เคยเป็นจริง และความสัมพันธ์นัลลารีสากล ซึ่งเป็นจริงเสมอ เนื่องจากมี 0-tuple เพียงหนึ่งเดียว คือ tuple ว่างเปล่า () และมีเพียงสองเซตย่อยของเซต (ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว) ของ 0-tuple ทั้งหมด บางครั้งความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ในการสร้างกรณีพื้นฐานของการให้เหตุผล แบบอุปนัย

ความสัมพันธ์แบบเอกภาค (1-ary) สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มของสมาชิก (เช่น กลุ่มผู้ได้รับรางวัลโนเบล ) ที่มีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกัน (เช่น การได้รับรางวัลโนเบล )

ฟังก์ชันศูนย์ทุกฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์แบบเอกภาค

ความสัมพันธ์ ทวิภาค (2-ary) เป็นรูปแบบความสัมพันธ์จำกัดที่นิยมศึกษามากที่สุด ความสัมพันธ์ทวิภาคเอกพันธุ์ (โดยที่X ₁ = X ₂ ) ได้แก่

• ความเท่าเทียมและความไม่เท่าเทียมแสดงด้วยเครื่องหมาย เช่น=และ<ในประโยคเช่น " 5 < 12 " หรือ
• การหารลงตัวแสดงด้วยเครื่องหมาย | ในประโยคเช่น " 13 | 143 "

ความสัมพันธ์ทวิภาคที่ไม่เหมือนกัน ได้แก่

• การเป็นสมาชิกของเซตแสดงด้วยเครื่องหมาย ∈ ในประโยคเช่น " 1 ∈ ℕ "

ความสัมพันธ์ แบบไตรภาค (3-ary) ได้แก่ฟังก์ชันทวิภาคซึ่งเชื่อมโยงอินพุตสองตัวกับเอาต์พุต โดเมนทั้งสามของความสัมพันธ์แบบไตรภาคที่เป็นเอกพันธุ์นั้นเป็นเซตเดียวกัน

พิจารณาความสัมพันธ์ไตรภาคR " xคิดว่าyชอบz " บนเซตของบุคคลP = { Alice, Bob, Charles, Denise }ซึ่งกำหนดโดย:

R = { (อลิซ, บ็อบ, เดนิส), (ชาร์ลส์, อลิซ, บ็อบ), (ชาร์ลส์, ชาร์ลส์, อลิซ), (เดนิส, เดนิส, เดนิส) }

Rสามารถแสดงแทนได้อย่างเทียบเท่าด้วยตารางต่อไปนี้:

ที่นี่ แต่ละแถวแสดงถึงสามสิ่งของRนั่นคือ มันแสดงข้อความในรูปแบบ " xคิดว่าyชอบz " ตัวอย่างเช่น แถวแรกระบุว่า "อลิซคิดว่าบ็อบชอบเดนิส" ทุกแถวแตกต่างกัน ลำดับของแถวไม่มีความสำคัญ แต่ลำดับของคอลัมน์มีความสำคัญ^{[ 1 ]}

ตารางข้างต้นยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ซึ่งเป็นสาขาที่มีทฤษฎีที่หยั่งรากในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์และการประยุกต์ใช้ใน การ จัดการข้อมูล^{[ 6 ]}อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ นักตรรกศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ มักจะมีแนวคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทั่วไปคืออะไร และประกอบขึ้นเป็นความสัมพันธ์เหล่านั้นอย่างไร ตัวอย่างเช่น ฐานข้อมูลได้รับการออกแบบมาเพื่อจัดการกับข้อมูลเชิงประจักษ์ ซึ่งโดยนิยามแล้วมีจำนวนจำกัด ในขณะที่ในทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ที่มีจำนวนสมาชิกอนันต์ (เช่น ความสัมพันธ์อนันต์) ก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน

ออกัสตัส เดอ มอร์แกน นักตรรกศาสตร์ในผลงานที่ตีพิมพ์ราวปี ค.ศ. 1860 เป็นคนแรกที่อธิบายแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์ในความหมายที่คล้ายคลึงกับในปัจจุบัน นอกจากนี้เขายังได้กล่าวถึงผลลัพธ์เชิงรูปแบบแรกในทฤษฎีความสัมพันธ์ด้วย (ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับเดอ มอร์แกนและความสัมพันธ์ได้ใน Merrill 1990)

ชาร์ลส์ เพียร์ ซ , ก็อตต์ล็อบ เฟรเก , จอร์จ แคนเตอร์ , ริชาร์ด เดเดคินด์และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้พัฒนาทฤษฎีความสัมพันธ์ขึ้นมา แนวคิดหลายอย่างของพวกเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับความสัมพันธ์ที่เรียกว่าลำดับได้ถูกสรุปไว้ในหนังสือหลักการทางคณิตศาสตร์ (The Principles of Mathematics ) (1903) ซึ่งเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ได้นำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้โดยไม่เสียค่าใช้จ่ายใดๆ

ในปี พ.ศ. 2513 เอ็ดการ์ คอดด์ได้เสนอแบบจำลองเชิงสัมพันธ์สำหรับฐานข้อมูลซึ่งถือเป็นการคาดการณ์ถึงการพัฒนาระบบจัดการฐานข้อมูล^{[ 1 ]}