ในทฤษฎีจำนวนจำนวนเต็มเกาส์เซียนคือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการเป็นจำนวนเต็ม ทั้งคู่ จำนวนเต็มเกาส์เซียน เมื่อบวกและคูณจำนวนเชิงซ้อนตามปกติจะก่อให้เกิดโดเมนอิน ทิกรั ลซึ่งมักเขียนเป็นหรือ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$

จำนวนเต็มเกาส์เซียนมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับจำนวนเต็มทั่วไป: พวกมันก่อตัวเป็นโดเมนแบบยุคลิดและด้วยเหตุนี้จึงมีการหารแบบยุคลิดและอัลกอริทึมแบบยุคลิดซึ่งหมายความว่ามีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันและคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอีกมากมาย อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มเกาส์เซียนไม่มีลำดับสมบูรณ์ที่สอดคล้องกับเลขคณิต

จำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตและก่อตัวเป็นวงแหวนที่ง่ายที่สุดของจำนวนเต็มกำลังสอง

จำนวนเต็มเกาส์เซียนตั้งชื่อตามคาร์ล ฟรีดริช เกาส์นัก คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

จำนวนเต็มเกาส์เซียนคือเซต^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ โดยที่ }}i^{2}=-1.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มเกาส์เซียนคือจำนวนเชิงซ้อนที่ ส่วน จริงและส่วนจินตนาการเป็นจำนวนเต็ม ทั้งคู่ เนื่องจากจำนวนเต็มเกาส์เซียนปิดภายใต้การบวกและการคูณ จึงก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ ซึ่งเป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจึงเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลเมื่อพิจารณาภายในระนาบเชิงซ้อน จำนวนเต็มเกาส์เซียนจะประกอบเป็นโครงข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2มิติ

จำนวนเชิงซ้อนสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนa + biคือจำนวนเชิงซ้อนa − bi ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มเกาส์เซียน a + bi คือ ผลคูณ ของจำนวนเต็มเกาส์เซียนนั้นกับจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมัน ${\displaystyle N(a+bi)}$

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

ค่ามาตรฐานของจำนวนเต็มเกาส์เซียนจึงเป็นกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ ของมัน ในรูปจำนวนเชิงซ้อน ค่ามาตรฐานของจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังสองสองค่าตามทฤษฎีบทผลรวมของกำลังสองค่ามาตรฐานไม่สามารถมีตัวประกอบในการแยกตัวประกอบเฉพาะ ของมัน ที่และเป็นจำนวนคี่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่ามาตรฐานนั้นไม่สอดคล้องกับ 3 มอดูล 4) ${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$${\displaystyle k}$

บรรทัดฐานเป็นแบบคูณนั่นคือมี^{[ 3 ]}

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}$

สำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียนทุกคู่zและwสามารถแสดงได้โดยตรง หรือโดยใช้คุณสมบัติการคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

หน่วย ของ วงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน (นั่นคือจำนวนเต็มเกาส์เซียนซึ่งตัวผกผันการคูณ ก็เป็นจำนวนเต็มเกา ^ส์เซียนเช่นกัน) คือจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่มีนอร์ม 1 นั่นคือ 1, −1, iและ− i ^[ 4 ^]

จำนวนเต็มเกาส์เซียนมีการหารแบบยุคลิด (การหารที่มีเศษเหลือ) คล้ายกับการหารจำนวนเต็มและพหุนามทำให้จำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโดเมนแบบยุคลิดและหมายความว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนมีคุณสมบัติสำคัญหลายอย่างร่วมกับจำนวนเต็มและพหุนาม เช่น การมีอยู่ของ อัลกอริทึม แบบยุคลิดสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมมากเอกลักษณ์ของเบซูต์คุณสมบัติของอุดมคติหลักบทพิสูจน์ของยุคลิดทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบเฉพาะและทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนซึ่งทั้งหมดนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การหารแบบยุคลิดเท่านั้น

อัลกอริทึมการหารแบบยุคลิดรับตัวตั้งหาร aและตัวหารb ≠ 0ในวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนและให้ผลลัพธ์เป็นผลหารqและเศษเหลือrโดยที่

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{และ}}\quad N(r)<N(b).}$

อันที่จริงแล้ว เราอาจทำให้ส่วนที่เหลือเล็กลงได้:

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{และ}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

แม้จะมีความไม่เท่าเทียมกันที่ดีขึ้นแล้วก็ตาม ผลหารและเศษเหลือก็ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์เสมอไป แต่เราสามารถปรับปรุงตัวเลือกเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นเอกลักษณ์ได้

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ อาจพิจารณาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนx + iy = ⁠เอ/ขมีจำนวนเต็ม mและ nที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งทำให้−1/2< x − m ≤ ⁠​1/2และ −​​1/2⁠ < y − n ≤ ⁠1/2และด้วยเหตุนี้ N ( x − m + i ( y − n )) ≤ ⁠1/2เมื่อกำหนดให้ q = m + inจะได้ว่า

${\displaystyle a=bq+r,}$

กับ

${\displaystyle r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},}$

และ

${\displaystyle N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

การเลือกx − mและy − nในช่วงกึ่งเปิดเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับความไม่ซ้ำกัน นิยามของการหารแบบยุคลิดนี้สามารถตีความในเชิงเรขาคณิตในระนาบเชิงซ้อนได้ (ดูรูป) โดยสังเกตว่าระยะห่างจากจำนวนเชิงซ้อนξไปยังจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่ใกล้ที่สุดมีค่าไม่เกิน⁠√ 2/2[ ⁵ ]^​​

เนื่องจากริงGของจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโดเมนแบบยุคลิด ดังนั้นGจึงเป็นโดเมนไอเดียลหลักซึ่งหมายความว่าไอเดียล ทุกตัว ของGเป็น ไอเดีย ลหลักกล่าว คือ ไอเดียลIคือเซตย่อยของริงRโดยที่ผลรวมของสมาชิกทุกตัวในIและผลคูณของสมาชิกในIกับสมาชิกในR ทุกตัว เป็นสมาชิกในI ไอเดีย ลเป็นไอเดียลหลักถ้ามันประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดของสมาชิกg ตัวเดียว นั่นคือ มันมีรูปแบบ

${\displaystyle \{gx\mid x\in G\}.}$

ในกรณีนี้ กล่าวได้ว่าอุดมคติถูกสร้างขึ้นโดยgหรือว่าgเป็นตัวสร้างอุดมคติ

ไอเดียล Iทุกตัวในวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นไอเดียลหลัก เพราะถ้าเลือกสมาชิกg ที่ไม่ใช่ศูนย์ใน Iซึ่งมีบรรทัดฐานน้อยที่สุด สำหรับทุกสมาชิกxในIเศษเหลือจากการหารแบบยุคลิดของxด้วยgก็จะอยู่ในI ด้วย และมีบรรทัดฐานที่เล็กกว่าบรรทัดฐานของgเนื่องจากการเลือกgบรรทัดฐานนี้จึงเป็นศูนย์ ดังนั้นเศษเหลือจึงเป็นศูนย์ด้วย กล่าวคือx = qgโดยที่qคือผลหาร

สำหรับg ใดๆ ไอเดียลที่สร้างโดยgจะถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิก ใดๆ ที่เกี่ยวข้อง กับg ด้วยเช่นกัน นั่นคือg , gi , − g , − gi ; ไม่มีสมาชิกอื่นใดที่สร้างไอเดียลเดียวกันได้ เนื่องจากตัวสร้างไอเดียลทั้งหมดมีค่าบรรทัดฐานเดียวกัน ดังนั้นค่าบรรทัดฐานของไอเดียลจึงเป็นค่าบรรทัดฐานของตัวสร้างไอเดียลใดๆ ของมัน

ในบางสถานการณ์ การเลือกตัวสร้างสำหรับแต่ละไอเดียลเพียงครั้งเดียวก็มีประโยชน์ มีสองวิธีคลาสสิกในการทำเช่นนั้น โดยทั้งสองวิธีพิจารณาไอเดียลที่มีนอร์มเป็นเลขคี่ก่อน ถ้า^g = a + bi มีนอร์มเป็นเลขคี่^a² + b² แสดง ว่า aหรือbตัวใดตัวหนึ่งเป็นเลขคี่ และอีกตัวเป็นเลขคู่ ดังนั้นg จึง มีไอเดียลเพียงหนึ่งเดียวที่มีส่วนจริงaเป็นเลขคี่และเป็นบวก ในบทความดั้งเดิมของเขาเกาส์ได้เลือกอีกวิธีหนึ่ง โดยเลือกไอเดียลที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเศษเหลือจากการหารด้วย2 + 2i เท่ากับหนึ่ง ในความเป็นจริง เนื่องจากN (2 + 2i ) = 8นอร์มของเศษเหลือจึงไม่เกิน 4 เนื่องจากนอร์มนี้เป็นเลขคี่ และ 3 ไม่ใช่นอร์มของจำนวนเต็มเกาส์เซียน นอร์มของเศษเหลือจึงเป็นหนึ่ง นั่นคือ เศษเหลือเป็นหน่วย เมื่อคูณg ด้วยตัวผกผันของหน่วยนี้ จะพบไอเดียลที่มีเศษเหลือเป็นหนึ่งเมื่อ หาร ด้วย2 + 2i

ถ้าค่ามาตรฐานของgเป็นจำนวนคู่ แล้วg = 2k ^hหรือ g = 2k ^h ( 1 + i )โดยที่kเป็นจำนวนเต็มบวก และN ( h )เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น เราจึงเลือกตัวเชื่อมโยงของgเพื่อให้ได้hที่สอดคล้องกับการเลือกตัวเชื่อมโยงสำหรับองค์ประกอบที่มีค่ามาตรฐานเป็นจำนวนคี่

เนื่องจากจำนวนเต็มเกาส์เซียนก่อให้เกิดโดเมนอุดมคติหลักพวกมันจึงก่อให้เกิดโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ด้วย ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนจะไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ (กล่าวคือ มันไม่ใช่ผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่หน่วย สองจำนวน ) ก็ต่อเมื่อมันเป็นจำนวนเฉพาะ (กล่าวคือ มันสร้างอุดมคติเฉพาะ )

จำนวนเฉพาะของZ [ i ]เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนจำนวนร่วมของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนก็เป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนเช่นกัน จำนวนสังยุคของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนก็เป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนเช่นกัน (ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริงและแกนจินตนาการ)

จำนวนเต็มบวกจะเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 3 มอดูล 4 (กล่าวคือ สามารถเขียนได้เป็น4n + 3โดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ) (ลำดับA002145ในOEIS ) จำนวนเฉพาะอื่นๆ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเกาส์เซียน แต่แต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนสังยุคสอง จำนวน

จำนวนเต็มเกาส์เซียนa + biเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• โดย ที่ค่าใด ค่าหนึ่งของaและbเป็นศูนย์ และค่าสัมบูรณ์ของอีกค่าหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบ4n + 3 (โดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ) หรือ
• ^{ทั้งสอง ค่า}ไม่เป็นศูนย์ และa² + b²เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งจะไม่มีทางอยู่ในรูป4n + 3 ⁾

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มเกาส์เซียนmจะเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนก็ต่อเมื่อค่ามาตรฐานของมันเป็นจำนวนเฉพาะ หรือmเป็นผลคูณของหน่วย ( ±1, ± i ) กับจำนวนเฉพาะในรูปแบบ4 n + 3

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีสามกรณีสำหรับการแยกตัวประกอบของจำนวนธรรมชาติเฉพาะpในจำนวนเต็มเกาส์เซียน:

• ถ้าpสอดคล้องกับ 3 มอดูล 4 แล้ว p จะเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน ในภาษาของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต จะกล่าวได้ว่า pเป็นจำนวนเฉื่อยในจำนวนเต็มเกาส์เซียน
• ถ้าpสอดคล้องกับ 1 มอดูล 4 แล้ว p จะเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนกับจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนสังยุคของมัน ซึ่งทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนที่ไม่เกี่ยวข้องกัน (ไม่มีตัวใดเป็นผลคูณของอีกตัวหนึ่งกับหน่วย) กล่าวได้ว่า pเป็นจำนวนเฉพาะที่แยกส่วนได้ในจำนวนเต็มเกาส์เซียน ตัวอย่างเช่น5 = (2 + i )(2 − i )และ13 = (3 + 2 i )( 3 − 2 i )
• ถ้าp = 2เราจะได้2 = (1 + i )(1 − i ) = i (1 − i ) ² ; นั่นคือ 2 เป็นผลคูณของกำลังสองของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนกับหน่วย; มันเป็น จำนวนเฉพาะแตกแขนงเพียงตัวเดียวในจำนวนเต็มเกาส์เซียน

สำหรับโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ทุก โดเมน จำนวนเต็มเกาส์เซียนทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของหน่วยและจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน และการแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบ และการแทนที่จำนวนเฉพาะใดๆ ด้วยจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวข้อง (พร้อมกับการเปลี่ยนแปลงหน่วยตัวประกอบที่สอดคล้องกัน)

หากเลือกจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนคงที่หนึ่งตัวสำหรับแต่ละชั้นสมมูลของจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวข้อง และใช้เฉพาะจำนวนเฉพาะที่เลือกไว้เหล่านี้ในการแยกตัวประกอบ ก็จะได้การแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันจนถึงลำดับของตัวประกอบ ด้วยตัวเลือกที่กล่าวมาข้างต้นการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันที่ได้จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

โดยที่uคือหน่วย (นั่นคือu ∈ {1, −1, i , − i } ), e ₀และkเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ, e ₁ , …, e _kเป็นจำนวนเต็มบวก และp ₁ , …, p _kเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนที่แตกต่างกัน โดยขึ้นอยู่กับการเลือกผู้ร่วมงานที่เลือกไว้

• p k = a _k + ib _kโดยที่a _เป็นเลขคี่และบวก และbเป็นเลขคู่
• หรือเศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของp _kด้วย2 + 2 iเท่ากับ 1 (นี่คือตัวเลือกดั้งเดิมของเกาส์^{[ 6 ]} )

ข้อดีของตัวเลือกที่สองคือ ตัวแปรที่เลือกนั้นมีพฤติกรรมที่ดีภายใต้ผลคูณสำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่มีนอร์มคี่ ในทางกลับกัน ตัวแปรที่เลือกสำหรับจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนจริงนั้นเป็นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบของ 231 ในจำนวนเต็ม และด้วยตัวเลือกตัวแปรแรกคือ3 × 7 × 11 ในขณะที่การแยกตัว ประกอบด้วยตัวเลือกที่สอง คือ(−1) × (−3) × (−7) × (−11)

ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะเกาส์เซียนคือฟิลด์ของเศษส่วนของวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน ประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการเป็นจำนวนตรรกยะ ทั้ง คู่

วงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน คือการปิดเชิงอินทิกรัลของจำนวนเต็มในจำนวนตรรกยะเกาส์เซียน

นั่นหมายความว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นจำนวนเต็มกำลังสองและจำนวนตรรกยะเกาส์เซียนเป็นจำนวนเต็มเกาส์เซียนก็ต่อเมื่อมันเป็นคำตอบของสมการ

${\displaystyle x^{2}+cx+d=0,}$

โดยที่cและdเป็นจำนวนเต็ม ที่จริงแล้วa + biคือคำตอบของสมการ

${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}$

และสมการนี้จะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อaและbเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่

สำหรับโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันใดๆ ตัวหารร่วมมาก ( gcd)ของจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวนaและbคือจำนวนเต็มเกาส์เซียนdที่เป็นตัวหารร่วมของaและbซึ่งมีตัวหารร่วมทั้งหมดของaและbเป็นตัวหารด้วย d (โดยที่|แทน ความสัมพันธ์ การหารลงตัว )

• d | aและ d | bและ
• c | aและ c | bหมายความว่า c | d

ดังนั้น คำว่า"มากที่สุด"จึงหมายถึงความสัมพันธ์ของการหารลงตัว ไม่ใช่การเรียงลำดับของวงแหวน (สำหรับจำนวนเต็ม ความหมายทั้งสองของคำว่า " มากที่สุด"ตรงกัน)

ในเชิงเทคนิคแล้ว ตัวหารร่วมมากที่สุดของaและbคือตัวสร้างของไอเดียลที่สร้างโดยaและb (ลักษณะเฉพาะนี้ใช้ได้กับโดเมนไอเดียลหลักแต่โดยทั่วไปแล้วใช้ไม่ได้กับโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ)

ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวนนั้นไม่ซ้ำกัน แต่สามารถกำหนดได้จนถึงการคูณด้วยหน่วย กล่าวคือ เมื่อกำหนดตัวหารร่วมมากdของaและbแล้ว ตัวหารร่วมมากของaและbคือd , − d , idและ− id

มีหลายวิธีในการคำนวณหาตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวนaและbเมื่อทราบการแยกตัวประกอบเฉพาะของaและbแล้ว

${\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},}$

โดยที่จำนวนเฉพาะp และ_mไม่มีความสัมพันธ์กันเป็นคู่ๆ และเลขชี้กำลังμ และ_mไม่มีความสัมพันธ์กัน ตัวหารร่วมมากที่สุดคือ

${\displaystyle \prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},}$

กับ

${\displaystyle \lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).}$

น่าเสียดายที่ ยกเว้นในกรณีที่ง่ายๆ การแยกตัวประกอบเฉพาะนั้นคำนวณได้ยาก และอัลกอริทึมแบบยุคลิดนำไปสู่การคำนวณที่ง่ายกว่า (และเร็วกว่า) มาก อัลกอริทึมนี้ประกอบด้วยการแทนที่อินพุต( a , b )ด้วย( b , r )โดยที่rคือเศษเหลือจากการหารแบบยุคลิดของaด้วยbและทำซ้ำการดำเนินการนี้จนกว่าจะได้เศษเหลือเป็นศูนย์ นั่นคือคู่( d , 0)กระบวนการนี้จะสิ้นสุดลง เนื่องจากในแต่ละขั้นตอน ค่ามาตรฐานของจำนวนเต็มเกาส์เซียนตัวที่สองจะลดลงd ที่ได้ จะเป็นตัวหารร่วมมาก เนื่องจาก (ในแต่ละขั้นตอน) bและr = a − bqมีตัวหารเดียวกันกับaและbดังนั้นจึงเป็นตัวหารร่วมมากเดียวกัน

วิธีการคำนวณนี้ใช้ได้เสมอ แต่ไม่ง่ายเท่ากับการคำนวณจำนวนเต็มเนื่องจากการหารแบบยุคลิดมีความซับซ้อนกว่า ดังนั้นจึงมักนิยมใช้วิธีที่สามสำหรับการคำนวณด้วยมือ วิธีนี้ประกอบด้วยการสังเกตว่าค่ามาตรฐานN ( d )ของตัวหารร่วมมากของaและbเป็นตัวหารร่วมของN ( a ) , N ( b )และN ( a + b )เมื่อตัวหารร่วมมากD ของจำนวนเต็มทั้งสามนี้มีตัวประกอบน้อย การทดสอบหาตัวหารร่วมของจำนวนเต็มเกาส์เซียนทั้งหมดที่มีค่ามาตรฐานหาร D ลงตัว นั้น ทำได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ถ้าa = 5 + 3iและb = 2 − 8i จะได้N ( a ) = 34 , N ( b ) = 68และN ( a + b ) = 74เนื่องจากตัวหารร่วมมากที่สุดของค่ามาตรฐานทั้งสามคือ 2 ดังนั้นตัวหารร่วมมากที่สุดของaและbจึงมีค่ามาตรฐานเป็น 1 หรือ 2 และเนื่องจากจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่มีค่ามาตรฐาน 2 จะต้องมีความสัมพันธ์กับ1 + iและเนื่องจาก1 + iหารaและb ลงตัว ดังนั้นตัวหารร่วมมากที่สุดจึงเป็น1 + i

ถ้าแทนb ด้วยค่าสังยุคของมัน b = 2 + 8 iแล้ว ตัวหารร่วมมากที่สุดของค่ามาตรฐานทั้งสามคือ 34 ซึ่งเป็นค่ามาตรฐานของa ดังนั้น จึง อาจเดาได้ว่าตัวหารร่วมมากที่สุดคือaนั่นคือa | bในความเป็นจริงแล้ว2 + 8 i = (5 + 3 i )(1 + i )

กำหนดให้จำนวนเต็มเกาส์เซียนz₀เรียกว่าโมดูลัสจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวนz₁ _และz₂จะสมมูลกันในโมดูลัส_{z₀ ถ้าผลต่าง ของ}ทั้ง_{สองจำนวน}เป็นพหุคูณของz₀กล่าวคือ ถ้ามีจำนวนเต็มเกาส์เซียน_q ที่ทำให้z₁ − z₂ = _qz₀ กล่าว อีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวนจะสมมูลกันในโมดูลัส_{z₀ ถ้า}ผล_{ต่าง ของ} ทั้ง สอง _{จำนวน}อยู่ในอุดมคติ ที่ สร้าง โดยz₀ซึ่งเขียนแทนด้วยz₁ ≡ z₂ ( mod _{z₀ )}

ความสอดคล้องมอดูลz ₀คือความสัมพันธ์สมมูล (เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ความสอดคล้อง ) ซึ่งกำหนดการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนออกเป็นชั้นสมมูลซึ่งในที่นี้เรียกว่าชั้นความสอดคล้องหรือชั้นเศษเหลือเซตของชั้นเศษเหลือมักจะเขียนแทนด้วยZ [ i ]/ z ₀ Z [ i ]หรือZ [ i ]/ ⟨ z ₀ ⟩หรือเขียนง่ายๆ ว่าZ [ i ] / z ₀

ชั้นเศษเหลือของจำนวนเต็มเกาส์เซียนaคือเซต

${\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}}$

ของ จำนวนเต็ม เกาส์เซียนทั้งหมดที่สอดคล้องกับaดังนั้นa = bก็ต่อเมื่อa ≡ b (mod z ₀ )

การบวกและการคูณเข้ากันได้กับความสอดคล้อง หมายความว่าa ₁ ≡ b ₁ (mod z ₀ )และa ₂ ≡ b ₂ (mod z ₀ )หมายความว่าa ₁ + a ₂ ≡ b ₁ + b ₂ (mod z ₀ )และa ₁ a ₂ ≡ b ₁ b ₂ (mod z ₀ ) สิ่งนี้กำหนดการ ดำเนินการที่ชัดเจน(ซึ่งเป็นอิสระจากการเลือกตัวแทน) บนชั้นเศษเหลือ:

${\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{และ}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.}$

ด้วยการดำเนินการเหล่านี้ ชั้นเศษเหลือจะก่อตัวเป็นวงแหวนสลับที่ได้ซึ่งก็คือวงแหวนผลหารของจำนวนเต็มเกาส์เซียนโดยอุดมคติที่สร้างโดยz ₀ซึ่งตามธรรมเนียมแล้วเรียกว่าวงแหวนชั้นเศษเหลือโมดูลั ส z ₀ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูวงแหวนผลหาร )

• สำหรับโมดูลัส 1 + i นั้น มีคลาสเศษเหลืออยู่สองคลาสอย่างแน่นอนคือ0 = {0, ±2, ±4,…,±1 ± i , ±3 ± i ,…} (ทั้งหมดเป็นพหุคูณของ1 + i ) และ1 = {±1, ±3, ±5,…, ± i , ±2 ± i ,…}ซึ่งก่อให้เกิดรูปแบบตารางหมากรุกในระนาบเชิงซ้อน คลาสทั้งสองนี้จึงก่อให้เกิดวงแหวนที่มีสององค์ประกอบ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วคือ ฟิลด์ ฟิลด์เดียว (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ที่มีสององค์ประกอบ และอาจระบุได้ว่าเป็นจำนวนเต็มโมดูลัส 2คลาสทั้งสองนี้อาจถือได้ว่าเป็นการขยายความของการแบ่งจำนวนเต็มออกเป็นจำนวนคู่และจำนวนคี่ ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่ามี จำนวนเต็มเกาส์เซียน คู่และจำนวนคี่ (เกาส์เซียนแบ่งจำนวนเต็มเกาส์เซียนคู่เพิ่มเติมออกเป็นจำนวนคู่คือจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว และจำนวนครึ่งคู่ )
• สำหรับโมดูลัส 2 มีชั้นเศษเหลืออยู่สี่ชั้น ได้แก่0 , 1 , i , 1 + iซึ่งประกอบกันเป็นวงแหวนที่มีสมาชิกสี่ตัว โดยที่x = − xสำหรับทุกxดังนั้นวงแหวนนี้จึงไม่สมมาตรกับวงแหวนของจำนวนเต็มโมดูลัส 4 ซึ่งเป็นวงแหวนที่มีสมาชิกสี่ตัวเช่นกัน เนื่องจากมี1 + i ² = 0ดังนั้นวงแหวนนี้จึงไม่ใช่ฟิลด์จำกัดที่มีสมาชิกสี่ตัว และไม่ใช่ผลคูณโดยตรงของวงแหวนของจำนวนเต็มโมดูลัส 2 สองวง
• สำหรับโมดูลัส2 + 2i = ( i − 1) ³จะมีคลาสเศษเหลือแปดคลาส ได้แก่0 , ±1 , ± i , 1 ± i , 2โดยที่สี่คลาสประกอบด้วยจำนวนเต็มเกาส์เซียนคู่เท่านั้น และอีกสี่คลาสประกอบด้วยจำนวนเต็มเกาส์เซียนคี่เท่านั้น

เมื่อกำหนดค่าสัมบูรณ์z ₀แล้ว สมาชิกทั้งหมดในกลุ่มเศษเหลือจะมีเศษเหลือเดียวกันสำหรับการหารแบบยุคลิดด้วยz ₀โดยมีเงื่อนไขว่าต้องใช้การหารที่มีผลหารและเศษเหลือที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้วดังนั้น การแจงนับกลุ่มเศษเหลือจึงเทียบเท่ากับการแจงนับเศษเหลือที่เป็นไปได้ สามารถทำได้ในเชิงเรขาคณิตด้วยวิธีต่อไปนี้

ในระนาบเชิงซ้อนเราอาจพิจารณาตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งช่องสี่เหลี่ยมแต่ละช่องถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรงสองเส้น

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}}$

โดยที่sและtเป็นจำนวนเต็ม (เส้นสีน้ำเงินในรูป) ซึ่งแบ่งระนาบออกเป็น รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสกึ่งเปิด (โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็ม)

${\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.}$

ช่วงกึ่งเปิดที่ปรากฏในนิยามของQ _mnได้รับการเลือกเพื่อให้จำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนอยู่ในกำลังสองเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น กล่าวคือ กำลังสองQ _mnก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของระนาบเชิงซ้อน

${\displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.}$

นี่หมายความว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนทุกตัวจะสมมูลกันเมื่อหารด้วยz₀ _{โดย ที่ z₀}เท่ากับจำนวนเต็มเกาส์เซียนเพียงตัวเดียวในQ₀₀ (สี่เหลี่ยมสีเขียวในรูป) ซึ่งก็คือเศษเหลือจากการหารด้วยz₀ นั่นเอง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ชั้นเศษเหลือทุกชั้น _จะ มี สมาชิก เพียงหนึ่งตัวในQ₀₀ _{เท่านั้น}

จำนวนเต็มเกาส์เซียนในQ ₀₀ (หรือในขอบเขต ของมัน ) บางครั้งเรียกว่าเศษเหลือขั้นต่ำเนื่องจากค่าบรรทัดฐานของพวกมันไม่มากกว่าค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มเกาส์เซียนอื่นใดในกลุ่มเศษเหลือเดียวกัน (เกาส์เรียกพวกมันว่าเศษเหลือที่เล็กที่สุดอย่างแท้จริง )

จากสิ่งนี้ เราสามารถอนุมานได้โดยการพิจารณาทางเรขาคณิตว่า จำนวนชั้นเศษเหลือมอดูลของจำนวนเต็มเกาส์เซียนz ₀ = a + biเท่ากับค่ามาตรฐานN ( z ₀ ) = a ² + b ² (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนเต็ม จำนวนชั้นเศษเหลือมอดูล nคือค่าสัมบูรณ์| n | ของมัน )

วงแหวนชั้นเศษเหลือมอดูลจำนวนเต็มเกาส์เซียนz ₀เป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน ${\displaystyle z_{0}}$

ถ้าz ₀เป็นจำนวนเฉพาะที่แยกส่วนได้ หรือจำนวนเฉพาะที่แตกแขนง1 + i (นั่นคือ ถ้าค่าปกติN ( z ₀ )เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งก็คือ 2 หรือจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 1 มอดูล 4) แล้วฟิลด์ชั้นเศษเหลือจะมีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเฉพาะ (นั่นคือN ( z ₀ ) ) ดังนั้นจึงสมสัณฐาน กับ ฟิลด์ ของจำนวนเต็มมอดูลN ( z ₀ )

ในทางกลับกัน ถ้าz ₀เป็นจำนวนเฉพาะเฉื่อย (นั่นคือN ( z ₀ ) = p ²เป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะ ซึ่งสอดคล้องกับ 3 มอดูล 4) แล้วฟิลด์ชั้นเศษเหลือจะมี สมาชิก p ²ตัว และเป็นส่วนขยาย ของ ฟิลด์จำนวนเฉพาะที่มีดีกรี 2 (มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นไอโซมอร์ฟิซึม) ที่มี สมาชิก pตัว (จำนวนเต็มมอดูล p )

ทฤษฎีบทหลายข้อ (และบทพิสูจน์) สำหรับโมดูลัสของจำนวนเต็มสามารถถ่ายทอดไปยังโมดูลัสของจำนวนเต็มเกาส์เซียนได้โดยตรง หากเราแทนที่ค่าสัมบูรณ์ของโมดูลัสด้วยค่าบรรทัดฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลุ่มชั้นเศษเหลือดั้งเดิม (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มการคูณของจำนวนเต็มโมดูลัสn ) และฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์กลุ่มชั้นเศษเหลือดั้งเดิมของโมดูลัสzถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของชั้นเศษเหลือ ซึ่งประกอบด้วยชั้นเศษเหลือa ทั้งหมด ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับzกล่าวคือ( a , z ) = 1เห็นได้ชัดว่าระบบนี้สร้างกลุ่มการคูณจำนวนสมาชิกของกลุ่มนี้จะถูกแทนด้วยϕ ( z ) (ในทำนองเดียวกันกับฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์φ ( n )สำหรับจำนวนเต็มn )

สำหรับจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน จะได้ว่าϕ ( p ) = | p | ² − 1 ทันที และสำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียนประกอบใดๆ

${\displaystyle z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}}$

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถหาได้ดังนี้

${\displaystyle \phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)}$

โดยที่ผลคูณนั้นสร้างขึ้นจากตัวหารเฉพาะp _m ทั้งหมด ของz (โดยที่ν _m > 0 ) นอกจากนี้ ทฤษฎีบทสำคัญของออยเลอร์ยังสามารถถ่ายทอดได้โดยตรง:

สำหรับทุกค่า aที่มี( a , z ) = 1จะเป็นจริงว่าa ^{ϕ ( z )} ≡ 1 ( mod z )

วงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนได้รับการแนะนำโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ในเอกสารวิจัยฉบับที่สองของเขาเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบควอติก (1832) ^{[ 7 ]}ทฤษฎีบทความสัมพันธ์แบบควอติก (ซึ่งเขาพิสูจน์ได้สำเร็จเป็นครั้งแรกในปี 1796) เชื่อมโยงความสามารถในการแก้สมการx ² ≡ q (mod p )กับx ² ≡ p (mod q )ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์แบบลูกบาศก์เชื่อมโยงความสามารถในการแก้สมการx ³ ≡ q (mod p )กับx ³ ≡ p (mod q )และความสัมพันธ์แบบไบควอติก (หรือควอติก) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างx ⁴ ≡ q (mod p )และx ⁴ ≡ p ( mod q )เกาส์ค้นพบว่ากฎการแลกเปลี่ยนแบบกำลังสองและส่วนเสริมของกฎนั้น สามารถกล่าวและพิสูจน์ได้ง่ายกว่าเมื่อกล่าวถึง "จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด" (เช่น จำนวนเต็มเกาส์เซียน) มากกว่าเมื่อกล่าวถึงจำนวนเต็มธรรมดา (เช่น จำนวนเต็ม)

ในเชิงอรรถ เขาระบุว่าจำนวนเต็มของไอเซนสไตน์เป็นโดเมนตามธรรมชาติสำหรับการกล่าวและพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบผกผันกำลังสามและชี้ให้เห็นว่าส่วนขยายที่คล้ายกันของจำนวนเต็มเหล่านี้เป็นโดเมนที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาเกี่ยวกับกฎความสัมพันธ์แบบผกผันระดับสูง

งานวิจัยชิ้นนี้ไม่เพียงแต่แนะนำจำนวนเต็มเกาส์เซียนและพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเท่านั้น แต่ยังแนะนำคำศัพท์ต่างๆ เช่น นอร์ม หน่วย หลัก และสัมพันธ์ ซึ่งปัจจุบันเป็นมาตรฐานในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตอีกด้วย

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนในระนาบ

• ปัญหาวงกลมของเกาส์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มเกาส์โดยตรง แต่ถามถึงจำนวนจุดแลตติซที่เป็นจำนวนเต็มภายในวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนดและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ซึ่งเทียบเท่ากับการหาจำนวนเต็มเกาส์ที่มีค่าบรรทัดฐานน้อยกว่าค่าที่กำหนด

นอกจากนี้ยังมีข้อสันนิษฐานและปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนอยู่ สองในนั้นได้แก่:

• แกนจริงและแกนจินตนาการมีเซตของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนอนันต์ 3, 7, 11, 19, ... และตัวที่เกี่ยวข้อง มีเส้นอื่นใดอีกบ้างที่มีจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนอนันต์อยู่บนเส้นนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนอนันต์ในรูปแบบ1 + kiหรือไม่? ^{[ 8 ]}
• เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินไปสู่อนันต์โดยใช้จำนวนเฉพาะเกาส์เซียนเป็นก้าวเดินและก้าวเดินด้วยความยาวที่จำกัดสม่ำเสมอ? นี่คือ ปัญหา คูเมืองเกาส์เซียนซึ่งถูกตั้งขึ้นในปี 1962 โดยBasil Gordonและยังคงไม่มีคำตอบ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• จำนวนเต็มพีชคณิต
• สนามไซโคลโทมิก
• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• ไอเซนสไตน์ ไพรม์
• ควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน
• การพิสูจน์ความสัมพันธ์แบบกำลังสอง
• จำนวนเต็มกำลังสอง
• การแยกไอเดียลเฉพาะในส่วนขยายกาโลอิสอธิบายโครงสร้างของไอเดียลเฉพาะในจำนวนเต็มเกาส์เซียน
• ตารางการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มแบบเกาส์เซียน

• เอกสาร สรุปของ IMOเกี่ยวกับการขยายกำลังสองและจำนวนเต็มเกาส์เซียนในการแก้ปัญหา
• Keith Conrad, จำนวนเต็มเกาส์เซียน