ในทางคณิตศาสตร์นอร์ม(ฟิลด์)คือการแมปแบบเฉพาะอย่างหนึ่งที่กำหนดไว้ในทฤษฎีฟิลด์ซึ่งแมปองค์ประกอบของฟิลด์ ที่ใหญ่กว่า ไปยังฟิลด์ ย่อย

ให้Kเป็นฟิลด์ และLเป็นส่วนขยายจำกัด (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิต ) ของ K

ดังนั้น ฟิลด์Lจึงเป็นปริภูมิ เวกเตอร์มิติจำกัด เหนือK

การคูณด้วยαซึ่งเป็นสมาชิกของ L

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

เป็นการแปลงเชิงเส้น K ของปริภูมิเวกเตอร์นี้ไปยังตัวมันเอง

บรรทัดฐานN L _{/ K} ( α ) ถูกกำหนดให้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ_การแปลงเชิงเส้นนี้^{[ 1 ]}

ถ้าL / Kเป็นส่วนขยายแบบกาโลอิสเราสามารถคำนวณค่าบรรทัดฐานของα ∈ L ได้ โดยใช้ผลคูณของค่าสังยุคกาโลอิส ทั้งหมด ของα :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\!\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\!\!\sigma (\alpha ),}$

โดยที่ Gal( L / K )หมายถึงกลุ่มกาโลอิสของL / K ^{[ 2 ]} (โปรดทราบว่าอาจมีการซ้ำกันในเงื่อนไขของผลคูณ)

สำหรับฟิลด์ส่วนขยายทั่วไปL / Kและα ที่ไม่เป็นศูนย์ ในLให้σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) เป็นรากของพหุนามขั้นต่ำของαเหนือK (รากที่ระบุพร้อมความซ้ำซ้อนและอยู่ในฟิลด์ส่วนขยายบางส่วนของL ); แล้ว

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )={\biggl (}\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ){\biggr )}^{[L:K(\alpha )]}}$.

ถ้าL / Kเป็นเมทริกซ์แยกส่วนได้รากแต่ละตัวจะปรากฏเพียงครั้งเดียวในผลคูณ (ถึงแม้ว่าเลขชี้กำลังหรือดีกรี [ L : K ( α )] อาจจะยังมากกว่า 1 ก็ตาม)

หนึ่งในตัวอย่างพื้นฐานของบรรทัดฐานมาจากส่วนขยายของฟิลด์กำลังสองโดยที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a}$

จากนั้น แผนที่การคูณด้วยบนองค์ประกอบคือ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

องค์ประกอบดังกล่าวสามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

เนื่องจากมีการแยกส่วนผลรวมโดยตรงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เมทริกซ์ของคือ ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

และค่ามาตรฐานคือเนื่องจากมันคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

พิจารณาฟิลด์ ตัวเลข${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

กลุ่มกาโลอิสของเหนือมีลำดับและถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่ส่งไปยังดังนั้นค่าบรรทัดฐานของคือ: ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

ค่ามาตรฐานของสนามสามารถหาได้โดยไม่ต้องใช้กลุ่มกาโลอิสด้วยเช่นกัน

กำหนดค่าพื้นฐานของเช่น: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

จากนั้นการคูณด้วยตัวเลขจะส่ง ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1}$ถึงและ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ถึง.${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของ "การคูณด้วย" คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ส่งเวกเตอร์ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$(ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบพื้นฐานแรก เช่น 1) ถึง,${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$(ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบพื้นฐานที่สอง เช่น) ถึง,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

เช่น:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ −1

ตัวอย่างง่ายๆ อีกประเภทหนึ่งมาจากส่วนขยายของฟิลด์ในรูปแบบที่การแยกตัวประกอบเฉพาะของฟิลด์นั้นไม่มีกำลังลำดับที่ n สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ที่กำหนดไว้ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

แผนที่การคูณด้วยขององค์ประกอบคือ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

การให้เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

ตัวกำหนดจะให้บรรทัดฐาน

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

ค่ามาตรฐานของฟิลด์จากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนจริงส่ง

x + iy

ถึง

x ² + y ² ,

เนื่องจากกลุ่มกาโลอิสของมีองค์ประกอบสอง ตัว${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• องค์ประกอบเอกลักษณ์และ
• การคอนจูเกชันเชิงซ้อน

และเมื่อนำผลคูณมาจะได้( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ²

ให้L = GF( q ⁿ ) เป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์จำกัดK = GF( q )

เนื่องจากL / Kเป็นส่วนขยายของ Galois ถ้าαอยู่ในLแล้วค่าปกติของαคือผลคูณของ Galois conjugates ทั้งหมดของαนั่นคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

ในการตั้งค่านี้เรามีคุณสมบัติเพิ่มเติม^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

คุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันบรรทัดฐานใช้ได้กับส่วนขยายจำกัดใดๆ^{[ 5 ] [ 6 ]}

นอร์มN _{L / K}  : L * → K * คือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มการคูณของLไปยังกลุ่มการคูณของKนั่นคือ

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

นอกจากนี้ หาก: ${\displaystyle a\in K}$

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L,}$และ

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

นอกจากนี้ ค่ามาตรฐานยังทำงานได้ดีในหอคอยของสนามต่างๆ :

ถ้าMเป็นส่วนขยายจำกัดของLแล้ว ค่าบรรทัดฐานจากMไปยังKก็คือการประกอบกันของค่าบรรทัดฐานจากMไปยังLกับค่าบรรทัดฐานจากLไปยังKกล่าวคือ

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

ค่ามาตรฐานขององค์ประกอบในส่วนขยายฟิลด์ใดๆ สามารถลดทอนให้เหลือการคำนวณที่ง่ายขึ้นได้ หากทราบระดับของส่วนขยายฟิลด์นั้นแล้ว นี่คือ

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^{[ 6 ]}

ตัวอย่างเช่น สำหรับการขยายฟิลด์ค่ามาตรฐานของคือ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

เนื่องจากระดับการขยายตัวของสนามคือ. ${\displaystyle L/K(\alpha )}$${\displaystyle 2}$

สำหรับวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนพีชคณิตสมาชิกจะเป็นหน่วยก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

ที่ไหน

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

ดังนั้น ฟิลด์จำนวนใดๆที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มประกอบด้วย ฟิลด์จำนวน นั้น ก็จะถือว่าฟิลด์จำนวนนั้นเป็นหน่วย ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$

ค่ามาตรฐานของจำนวนเต็มพีชคณิตก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน เนื่องจากมีค่าเท่ากับ (โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย) ค่าคงที่ของพหุนามลักษณะเฉพาะ

ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเรายังกำหนดบรรทัดฐานสำหรับไอเดียล ด้วย โดยทำในลักษณะที่ว่า ถ้าIเป็นไอเดียลที่ไม่เป็นศูนย์ของO _Kซึ่งเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนK N ( I ) คือจำนวนของชั้นเศษเหลือใน — กล่าวคือ จำนวนสมาชิกของวงแหวนจำกัด นี้ ดังนั้นบรรทัดฐานของไอเดียล นี้ จึงเป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ ${\displaystyle O_{K}/I}$

เมื่อIเป็นไอเดียลหลักαO _Kแล้วN ( I ) จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของนอร์มของQของαโดยที่αเป็น จำนวนเต็มพีชคณิต

• ร่องรอยภาคสนาม
• บรรทัดฐานในอุดมคติ
• แบบฟอร์มมาตรฐาน