ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์คือเซตที่การบวกการลบ การคูณและการหารถูกกำหนดและมีพฤติกรรมเหมือนกับการดำเนินการที่สอดคล้องกันบนจำนวนตรรกยะดังนั้นฟิลด์จึงเป็นโครงสร้างพีชคณิต พื้นฐาน ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิตทฤษฎีจำนวนและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

ฟิลด์ที่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุด ได้แก่ ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ฟิลด์ของจำนวนจริงและฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ฟิลด์อื่นๆ อีกมากมาย เช่นฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิตฟิลด์จำนวนพีชคณิตฟิลด์จำกัดและฟิลด์p -adic ก็ถูกนำมาใช้และศึกษากันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต พีชคณิต

ทฤษฎีสนามพิสูจน์ว่าการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมนั้นไม่สามารถทำได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียวทฤษฎีกาลัวส์ซึ่งอุทิศให้กับการทำความเข้าใจสมมาตรของส่วนขยายสนาม ได้ให้การพิสูจน์ที่งดงามของทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี ที่ว่า สมการกำลังห้าทั่วไปไม่สามารถแก้ได้ด้วยรากที่สอง

ฟิลด์เป็นแนวคิดพื้นฐานในหลายสาขาคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงสาขาต่างๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่อาศัยฟิลด์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม ทฤษฎีบทพื้นฐานในการวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของฟิลด์จำนวนจริง ที่สำคัญที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ทางพีชคณิต ฟิลด์ใดๆ ก็สามารถใช้เป็นสเกลาร์สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งเป็นบริบททั่วไปมาตรฐานสำหรับพีชคณิตเชิงเส้น ฟิลด์จำนวนซึ่งเป็นญาติของฟิลด์จำนวนตรรกยะ ได้รับการศึกษาอย่างลึกซึ้งในทฤษฎีจำนวนฟิลด์ฟังก์ชันสามารถช่วยอธิบายคุณสมบัติของวัตถุทางเรขาคณิต ฟิลด์จำกัดใช้สำหรับรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดและการเข้ารหัสลับ

โดยทั่วไปแล้ว ฟิลด์คือเซตที่มีการดำเนินการ บวก a + bและการดำเนินการคูณa ⋅ bซึ่งทำงานเหมือนกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริงข้อกำหนดรวมถึงการมีตัวผกผันการบวก−aสำหรับแต่ละสมาชิกaและตัวผกผันการคูณb ⁻¹สำหรับแต่ละสมาชิกb ที่ ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดการดำเนินการผกผัน ได้ เช่น การลบa − bและการหารa / bเป็นa − b = a + (−b )และ a / b = a ⋅ b −1 ^บ่อยครั้งที่ผลคูณa ⋅ bจะถูกแทนด้วยการวางติดกันเป็น ab

ในทางรูปธรรม ฟิลด์คือเซตFพร้อมด้วยการดำเนินการทวิภาคสองอย่างบนFซึ่งเรียกว่าการบวกและการคูณ โดยต้องเป็นไปตามสัจพจน์ที่ระบุไว้ด้านล่าง^{[ 1 ]}การดำเนินการทวิภาคบนFคือการแมปF × F → Fโดยจะส่งคู่ลำดับขององค์ประกอบในFไปยังองค์ประกอบที่กำหนดเฉพาะในF [ ^{2 ] [ 3 ] ผลลัพธ์}ของการบวกaและbเรียกว่าผลรวมของaและbและเขียนแทนด้วยa + bผลลัพธ์ของการคูณaและbเรียกว่าผลคูณของaและbและเขียนแทนด้วยa ⋅ bการดำเนินการเหล่านี้ต้องเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของฟิลด์

สัจพจน์เหล่านี้จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบa , b , c ทั้งหมด ของฟิลด์F :

• คุณสมบัติการสลับที่ของการบวกและการคูณ: a + ( b + c ) = ( a + b ) + cและa ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c
• คุณสมบัติการสลับที่ของการบวกและการคูณ: a + b = b + aและa ⋅ b = b ⋅ a
• เอกลักษณ์การบวกและ การคูณ : มีสมาชิกที่แตกต่างกัน0และ1ในFซึ่งทำให้a + 0 = aและa ⋅ 1 = a
• ตัวผกผันการบวก : สำหรับทุกaในFจะมีองค์ประกอบในFซึ่งเขียนแทนด้วย −aเรียกว่าตัวผกผันการบวกของaโดยที่a + (−a ) = 0
• ตัวผกผันการคูณ : สำหรับทุกa ≠ 0ในFจะมีองค์ประกอบในFซึ่งแทนด้วยa ⁻¹หรือ1/ aเรียกว่าตัวผกผันการคูณของaโดยที่a ⋅ a ⁻¹ = 1
• คุณสมบัติการแจกแจงของการคูณเหนือการบวก: a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) .

นิยามที่เทียบเท่ากันแต่กระชับกว่าคือ: ฟิลด์คือเซตที่มีการดำเนินการสลับที่สองอย่าง เรียกว่าการบวกและการคูณ โดยที่

• เป็นกลุ่มภายใต้การบวก โดยมีเอกลักษณ์การบวกที่เรียกว่า0 ;
• องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จะรวมตัวกันเป็นกลุ่มภายใต้การคูณ และ
• การคูณกระจายได้ดีกว่าการบวก

กล่าวโดยสรุปยิ่งกว่านั้น ฟิลด์คือวงแหวนสลับที่ซึ่ง0 ≠ 1และสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดสามารถผกผันได้ภายใต้การคูณ

ฟิลด์ยังสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน แต่เทียบเท่ากัน อีกทางเลือกหนึ่งคือสามารถกำหนดฟิลด์โดยใช้การดำเนินการไบนารีสี่อย่าง (การบวก การลบ การคูณ และการหาร) และคุณสมบัติที่จำเป็นการหารด้วยศูนย์ นั้น ถูกยกเว้นตามคำนิยาม^{[ 4 ]}เพื่อหลีกเลี่ยงตัวบ่งปริมาณการมีอยู่ฟิลด์สามารถกำหนดได้โดยใช้การดำเนินการไบนารีสองอย่าง (การบวกและการคูณ) การดำเนินการเอกภาคสองอย่าง (ซึ่งให้ผลผกผันการบวกและการคูณตามลำดับ) และ การดำเนินการ ศูนย์ สองอย่าง (ค่าคงที่0และ1 ) การดำเนินการเหล่านี้อยู่ภายใต้เงื่อนไขข้างต้น การหลีกเลี่ยงตัวบ่งปริมาณการมีอยู่มีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์และการคำนวณ [ ^{5 ] อาจ}กำหนดฟิลด์โดยใช้การดำเนินการไบนารีสองอย่างเดียวกัน การดำเนินการเอกภาคหนึ่งอย่าง (ผลผกผันการคูณ) และค่าคงที่สองค่า (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) 1 และ −1 ได้เช่นกัน^{เนื่องจาก} 0 = 1 + (−1)และ− a = (−1) a [ ^{a ]}

จำนวนตรรกยะถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นเวลานานก่อนการพัฒนาสาขาวิชาต่างๆ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนa / bโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มและb ≠ 0 ตัวผกผันการบวกของเศษส่วนดังกล่าวคือ−a / bและตัวผกผันการคูณ (โดยที่a ≠ 0 ) คือb / aซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

สัจพจน์สนามที่จำเป็นในเชิงนามธรรมจะลดลงเหลือคุณสมบัติมาตรฐานของจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น กฎการกระจายสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

จำนวนจริงRเมื่อใช้การดำเนินการบวกและการคูณตามปกติ ก็สามารถประกอบเป็นฟิลด์ได้เช่นกัน ส่วนจำนวนเชิงซ้อนCประกอบด้วยนิพจน์

a + biโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง

โดยที่iคือหน่วยจินตนาการ กล่าวคือ จำนวน (ที่ไม่ใช่จำนวนจริง) ที่สอดคล้อง^กับi² = −1การบวกและการคูณจำนวนจริงถูกนิยามในลักษณะที่นิพจน์ประเภทนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของฟิลด์ทั้งหมด และดังนั้นจึงใช้ได้กับCตัวอย่างเช่น กฎการกระจายบังคับใช้

( a + bi )( c + di ) = ac + bci + adi + bdi ² = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i .

เป็นที่ประจักษ์ได้ทันทีว่านี่เป็นการแสดงออกในรูปแบบข้างต้นอีกครั้ง ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟิลด์ จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงในเชิงเรขาคณิตได้เป็นจุดบนระนาบโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดโดยจำนวนจริงของการแสดงออก หรือเป็นลูกศรจากจุดกำเนิดไปยังจุดเหล่านี้ โดยระบุด้วยความยาวและมุมที่ล้อมรอบด้วยทิศทางที่ชัดเจน การบวกจึงสอดคล้องกับการรวมลูกศรเข้ากับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เข้าใจง่าย (การบวกพิกัดคาร์ทีเซียน) และการคูณนั้น – โดยไม่ชัดเจนนัก – คือการรวมการหมุนและการปรับขนาดของลูกศร (การบวกมุมและการคูณความยาว) ฟิลด์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนถูกนำไปใช้ในคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ วิศวกรรม สถิติ และสาขาวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

ในสมัยโบราณ ปัญหาทางเรขาคณิตหลายประการเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ (หรือเป็นไปไม่ได้) ในการสร้างจำนวนบางจำนวนด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดตัวอย่างเช่น ชาวกรีกไม่ทราบว่าโดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุมที่กำหนดออกเป็นสามส่วนด้วยวิธีนี้ ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ฟิลด์ของจำนวนที่สร้างได้ [ ^{7 ] จำนวน}ที่สร้างได้จริง ตามคำจำกัดความ คือ ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่สามารถสร้างได้จากจุด 0 และ 1 ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัดโดยใช้วงเวียนและไม้บรรทัด เท่านั้น จำนวนเหล่านี้ ซึ่งมีการดำเนินการของฟิลด์ของจำนวนจริง จำกัดเฉพาะจำนวนที่สร้างได้ ก่อให้เกิดฟิลด์ ซึ่งรวมถึงฟิลด์Qของจำนวนตรรกยะอย่างถูกต้อง ภาพประกอบแสดงการสร้างรากที่สองของจำนวนที่สร้างได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องอยู่ในQใช้การกำหนดชื่อในภาพประกอบ สร้างส่วนของเส้นตรงAD , DBและครึ่งวงกลมเหนือAB (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางO ) ซึ่งตัดกับ เส้น ตั้งฉากผ่านDที่จุดCที่ระยะห่างจากB พอดี เมื่อBDมีความยาวหนึ่ง ${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$

ไม่ใช่ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนจะสามารถสร้างได้ สามารถแสดงได้ว่าไม่ใช่จำนวนที่สร้างได้ ซึ่งหมายความว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรูปทรงที่มีความยาวด้านเท่ากับทรงลูกบาศก์ที่มีปริมาตร 2³ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ซึ่งเป็นอีกปัญหาหนึ่งที่ชาวกรีกโบราณตั้งขึ้น ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

นอกจากระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนตรรกยะแล้ว ยังมีตัวอย่างของฟิลด์อื่นๆ ที่ไม่คุ้นเคยนัก ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นฟิลด์ที่ประกอบด้วยสมาชิกสี่ตัว เรียกว่าO , I , AและBการเลือกใช้สัญลักษณ์นี้ทำให้Oทำหน้าที่เป็นสมาชิกเอกลักษณ์การบวก (แทนด้วย 0 ในสัจพจน์ข้างต้น) และIเป็นสมาชิกเอกลักษณ์การคูณ (แทนด้วย1ในสัจพจน์ข้างต้น) สัจพจน์ของฟิลด์สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ทฤษฎีฟิลด์เพิ่มเติม หรือโดยการคำนวณโดยตรง ตัวอย่างเช่น

A ⋅ ( B + A ) = A ⋅ I = Aซึ่งเท่ากับ A ⋅ B + A ⋅ A = I + B = Aตามที่กำหนดโดยคุณสมบัติการกระจาย

ฟิลด์นี้เรียกว่าฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์กาโลอิสที่มีสี่องค์ประกอบ และใช้สัญลักษณ์F ₄หรือGF(4) [ ^{8 ] เซต}ย่อยที่ประกอบด้วยOและI (ไฮไลต์ด้วยสีแดงในตารางทางด้านขวา) ก็เป็นฟิลด์เช่นกัน เรียกว่าฟิลด์ไบนารีF ₂หรือGF(2 )

ในส่วนนี้Fหมายถึงฟิลด์ใดๆ และaกับbคือสมาชิก ใด ๆ ของF

หนึ่งมีa ⋅ 0 = 0และ− a = (−1) ⋅ a . ^{[ 9 ]}

ถ้าab = 0แล้วaหรือbต้องเป็น0เนื่องจากถ้าa ≠ 0แล้ว b = ( a ⁻¹ a ) b = a ⁻¹ ( ab ) = a ⁻¹ ⋅ 0 = 0ซึ่งหมายความว่าทุกฟิลด์เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัล

นอกจากนี้ คุณสมบัติต่อไปนี้ยังเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบaและb ใดๆ ด้วย :

−0 = 0

1 ⁻¹ = 1

−(− a ) = a

( a ⁻¹ ) ⁻¹ = aถ้าa ≠ 0

(− a ) ⋅ b = a ⋅ (− b ) = −( a ⋅ b )

สัจพจน์ของฟิลด์Fบ่งชี้ว่าฟิลด์นั้นเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มบวกของฟิลด์ และบางครั้งจะใช้สัญลักษณ์( F , +) แทน เมื่อการใช้เพียงFอาจทำให้เกิดความสับสน

ในทำนองเดียวกัน สมาชิก ที่ไม่เป็นศูนย์ของF จะ ก่อ ตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ เรียกว่ากลุ่มการคูณและใช้สัญลักษณ์หรือเพียงแค่หรือF ^×${\displaystyle (F\smallsetminus \{0\},\cdot )}$${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$

ดังนั้น ฟิลด์อาจถูกนิยามว่าเป็นเซตFที่มีโอเปอเรชันสองอย่าง ได้แก่ การบวกและการคูณ โดยที่Fเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวกเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ (โดยที่ 0 คือสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก) และการคูณมีการกระจายตัวเหนือการบวก^{[ b ]}ดังนั้น จึงสามารถได้ข้อความพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับฟิลด์โดยการใช้ข้อเท็จจริงทั่วไปของกลุ่มตัวอย่างเช่น ตัวผกผันการบวกและการคูณ− aและa ⁻¹ถูกกำหนดโดยaอย่าง ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$

ข้อกำหนด1 ≠ 0ถูกกำหนดขึ้นตามธรรมเนียมเพื่อไม่รวมวงแหวนที่ไม่สำคัญซึ่งประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียว อันที่จริง สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของวงแหวนที่ไม่สำคัญ (ไม่มีเลย) ไม่ได้ก่อตัวเป็นกลุ่ม เนื่องจากกลุ่มจะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัว^{[ c ]}

ทุกกลุ่มย่อย จำกัด ของกลุ่มการคูณของฟิลด์เป็นกลุ่มวัฏจักร (ดูรากของเอกภาพ § กลุ่มวัฏจักร )

นอกจากการคูณของสมาชิกสองตัวในFแล้ว ยังสามารถกำหนดผลคูณn ⋅ aของสมาชิกa ใดๆ ในFกับจำนวนเต็ม บวก nให้เป็นผลรวม n เท่าได้อีกด้วย

a + a + ... + a (ซึ่งเป็นองค์ประกอบของ F .)

ถ้าไม่มีจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่ทำให้

n ⋅ 1 = 0 ,

จากนั้นFจะมีลักษณะเฉพาะ เป็น0 ^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะQมีลักษณะเฉพาะเป็น 0 เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มบวกnใดเป็นศูนย์ มิฉะนั้น หากมีจำนวนเต็มบวกnที่สอดคล้องกับสมการนี้ จำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดดังกล่าวสามารถแสดงได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์pและฟิลด์นั้นจะมีลักษณะเฉพาะ เป็น pตัวอย่างเช่น ฟิลด์F ₄มีลักษณะเฉพาะเป็น 2เนื่องจาก (ในสัญลักษณ์ของตารางการบวกข้างต้น) I + I = O

ถ้าFมีลักษณะเฉพาะpแล้วp ⋅ a = 0สำหรับทุกaในFซึ่งหมายความว่า

( a + b ) ^p = a ^p + b ^p ,

เนื่องจาก สัมประสิทธิ์ทวินามอื่นๆ ทั้งหมดที่ปรากฏในสูตรทวินามนั้นหารด้วยp ลงตัว ในที่นี้a ^p  := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( ตัวประกอบ pตัว) คือ กำลังที่ pกล่าวคือ ผลคูณ p เท่าขององค์ประกอบaดังนั้นแผนที่ฟรอเบนิอุส

F → F  : x ↦ x ^p

เข้ากันได้กับการบวกในF (และยังเข้ากันได้กับการคูณด้วย) และด้วยเหตุนี้จึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์^{[ 12 ]}การมีอยู่ของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้ทำให้ฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะpแตกต่างจากฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ0อย่าง มาก

ฟิลด์ย่อย Eของฟิลด์Fคือเซตย่อยของFที่เป็นฟิลด์โดยสัมพันธ์กับการดำเนินการของฟิลด์Fหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งEคือเซตย่อยของFที่มี1 อยู่ และปิดภายใต้การบวก การคูณ ตัวผกผันการบวก และตัวผกผันการคูณของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ นั่นหมายความว่า1 ∊ Eสำหรับทุกa , b ∊ Eทั้งa + bและa ⋅ bอยู่ในEและสำหรับทุกa ≠ 0ในEทั้ง−a และ 1/ aอยู่ใน E

โฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์คือแผนที่φ : E → Fระหว่างสองฟิลด์ โดยที่φ ( e ₁ + e ₂ ) = φ ( e ₁ ) + φ ( e ₂ ) , φ ( e ₁ e ₂ ) = φ ( e ₁ ) φ ( e ₂ )และφ (1 _E ) = 1 _Fโดยที่e ₁และe ₂เป็นสมาชิกใดๆ ของEโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์ทั้งหมดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่ง ^{[ 13 ]}ถ้าφ เป็น ฟังก์ชันทั่วถึงด้วยจะเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึม (หรือฟิลด์EและFเรียกว่าไอโซมอร์ฟิก)

ฟิลด์เรียกว่าฟิลด์เฉพาะถ้าไม่มีฟิลด์ย่อยที่แท้จริง (กล่าวคือ เล็กกว่าอย่างเคร่งครัด) ฟิลด์F ใดๆ ก็ มีฟิลด์เฉพาะอยู่ด้วย ถ้าลักษณะเฉพาะของFคือp (จำนวนเฉพาะ) ฟิลด์เฉพาะนั้นจะสมสัณฐานกับฟิลด์จำกัดF _pที่แนะนำไว้ด้านล่าง มิฉะนั้นฟิลด์เฉพาะนั้นจะสมสัณฐาน^กับQ [ ^{14 ]}

ฟิลด์จำกัด (หรือเรียกว่าฟิลด์กาโลอิส ) คือฟิลด์ที่มีสมาชิกจำนวนจำกัด ซึ่งจำนวนสมาชิก _นี้เรียกว่าอันดับของฟิลด์ ตัวอย่างเบื้องต้นF₄ ที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นฟิลด์ที่มีสมาชิกสี่ตัว ฟิลด์ย่อยF₂ ของมัน คือฟิลด์ที่เล็กที่สุด เพราะตามนิยามแล้ว ฟิลด์จะต้องมีสมาชิกที่แตกต่างกันอย่างน้อยสอง_ตัวคือ 0และ1

ฟิลด์จำกัดที่ง่ายที่สุด ซึ่งมีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะ สามารถเข้าถึงได้โดยตรงที่สุดโดยใช้เลขคณิตแบบมอดูลาร์สำหรับจำนวนเต็มบวกn ที่กำหนดไว้ เลขคณิต "มอดูลาร์n " หมายถึงการทำงานกับตัวเลขเหล่านั้น

Z / n Z = {0, 1, ..., n − 1}

การบวกและการคูณในเซตนี้ทำได้โดยการดำเนินการดังกล่าวในเซต จำนวนเต็ม Zหารด้วยnและนำเศษเหลือมาเป็นผลลัพธ์ การสร้างนี้จะได้ฟิลด์ก็ต่อเมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะ เท่านั้น ตัวอย่างเช่น การใช้จำนวนเฉพาะn = 2 จะได้ ฟิลด์F₂ ที่กล่าวถึงข้างต้น สำหรับn = 4และโดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนประกอบ ใดๆ (กล่าวคือ จำนวนn ใด _ๆที่สามารถแสดงเป็นผลคูณn = r ⋅ s ของจำนวนธรรมชาติสอง จำนวนที่เล็กกว่าอย่างเคร่งครัด) Z / nZไม่ใช่ฟิลด์: ผลคูณของสมาชิกสองตัวที่ไม่เป็นศูนย์คือศูนย์ เนื่องจากr ⋅ s = 0ในZ / nZซึ่งดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้นป้องกัน ไม่ให้ Z / nZเป็นฟิลด์ ฟิลด์Z / pZ ที่มี สมาชิก p _ตัว (โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ) ที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้ มักจะใช้สัญลักษณ์ Fp

ฟิลด์จำกัดทุกฟิลด์Fมีองค์ประกอบq = p ⁿ โดยที่ pเป็นจำนวนเฉพาะและn ≥ 1ข้อความนี้เป็นจริงเนื่องจากFสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์เฉพาะของมันมิติของปริภูมิเวกเตอร์นี้จำเป็นต้องมีค่าจำกัด เช่นnซึ่งหมายถึงข้อความที่กล่าวอ้าง^{[ 15 ]}

สามารถสร้างฟิลด์ที่มี สมาชิก q = p ⁿ ได้โดยใช้ ฟิลด์แยกส่วนของพหุนาม

f ( x ) = x ^q − x .

ฟิลด์แยกดังกล่าวเป็นส่วนขยายของF _pซึ่งพหุนามfมี ศูนย์ qตัว นั่นหมายความว่าfมีศูนย์มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เนื่องจากดีกรีของfคือqสำหรับq = 2 ² = 4สามารถตรวจสอบได้ทีละกรณีโดยใช้ตารางการคูณข้างต้นว่าองค์ประกอบทั้งสี่ของF ₄สอดคล้องกับสมการx ⁴ = xดังนั้นพวกมันจึงเป็นศูนย์ของfในทางตรงกันข้าม ในF 2 _fมีศูนย์เพียงสองตัว (คือ0และ1 ) ดังนั้นfจึงไม่แยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นในฟิลด์ที่เล็กกว่านี้ เมื่ออธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีฟิลด์ จะสามารถแสดงได้ว่าฟิลด์จำกัดสองฟิลด์ที่มีอันดับเดียวกันนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน^{[ 16 ]}ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟิลด์ จำกัดที่มีองค์ประกอบq ตัว ซึ่งแสดงด้วย F _qหรือGF( q )

ในอดีต สาขาวิชาพีชคณิตสามสาขานำไปสู่แนวคิดของฟิลด์ ได้แก่ ปัญหาของการแก้สมการพหุนามทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและ เรขาคณิต เชิงพีชคณิต^{[ 17 ]}ขั้นตอนแรกสู่แนวคิดของฟิลด์เกิดขึ้นในปี 1770 โดยโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ซึ่งสังเกตว่าการสลับศูนย์x ₁ , x ₂ , x ₃ของพหุนามกำลัง สาม ในนิพจน์

( x ₁ + ωx ₂ + ω ² x ₃ ) ³

(โดยที่ωเป็นรากที่สามของเอกภาพ ) จะให้ค่าเพียงสองค่าเท่านั้น ด้วยวิธีนี้ ลากรองจ์ได้อธิบายแนวคิดของวิธีการแก้ปัญหาแบบคลาสสิกของScipione del FerroและFrançois Vièteซึ่งดำเนินการโดยการลดสมการกำลังสามสำหรับx ที่ไม่ทราบค่า ให้เป็นสมการกำลังสองสำหรับ^x³ [ 18 ^{]ร่วมกับ}การสังเกตที่คล้ายกันสำหรับสมการดีกรี 4ลากรองจ์จึงเชื่อมโยงสิ่งที่ในที่สุดกลายเป็นแนวคิดของฟิลด์และแนวคิดของกลุ่ม^{[ 19 ]} Vandermondeในปี 1770 เช่นกัน และในระดับที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นCarl Friedrich GaussในDisquisitiones Arithmeticae (1801) ของเขา ได้ศึกษาสมการ

x ^p = 1

สำหรับจำนวนเฉพาะpและอีกครั้งโดยใช้ภาษาสมัยใหม่กลุ่ม Galois แบบวัฏจักรที่ได้ Gauss สรุปว่าสามารถสร้างรูปp เหลี่ยม ปกติ ได้ถ้า p = 2 ^{2 k} + 1โดยอาศัยงานของ Lagrange, Paolo Ruffiniอ้าง (1799) ว่าสมการกำลังห้า (สมการพหุนามดีกรี5 ) ไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีพีชคณิต อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งของเขายังไม่สมบูรณ์ ช่องว่างเหล่านี้ได้รับการเติมเต็มโดยNiels Henrik Abelในปี 1824 ^{[ 20 ]} Évariste Galoisในปี 1832 ได้คิดค้นเกณฑ์ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสมการพหุนามที่จะสามารถแก้ได้ด้วยวิธีพีชคณิต ซึ่งเป็นการสร้างสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎี Galoisในปัจจุบัน ทั้ง Abel และ Galois ทำงานกับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าฟิลด์จำนวนพีชคณิตแต่พวกเขาไม่ได้คิดถึงแนวคิดที่ชัดเจนของฟิลด์หรือกลุ่ม

ในปี พ.ศ. 2414 Richard Dedekind ได้นำเสนอ คำภาษาเยอรมัน ว่า Körperสำหรับเซตของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ปิดภายใต้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่ซึ่งหมายถึง "ร่างกาย" หรือ "กลุ่ม" (เพื่อแนะนำถึงสิ่งที่มีลักษณะปิดแบบอินทรีย์) คำว่า "field" ในภาษาอังกฤษได้รับการนำเสนอโดยMoore (พ.ศ. 2436 ) ^{[ 21 ]}

โดยคำว่า "ฟิลด์" ในที่นี้หมายถึงระบบจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนอนันต์ทุกระบบ ซึ่งปิดสนิทและสมบูรณ์แบบจนกระทั่งการบวก การลบ การคูณ และการหารจำนวนใดๆ สองจำนวนในระบบนี้จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนในระบบนั้นอีกครั้ง

ในปี พ.ศ. 2424 Leopold Kroneckerได้กำหนดสิ่งที่เขาเรียกว่าโดเมนของความมีเหตุผลซึ่งเป็นฟิลด์ของเศษส่วนเชิงตรรกะในแง่สมัยใหม่ แนวคิดของ Kronecker ไม่ได้ครอบคลุมฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตทั้งหมด (ซึ่งเป็นฟิลด์ในความหมายของ Dedekind) แต่ในทางกลับกันนั้นมีความเป็นนามธรรมมากกว่าของ Dedekind ตรงที่ไม่ได้ตั้งสมมติฐานเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับธรรมชาติขององค์ประกอบของฟิลด์ Kronecker ตีความฟิลด์เช่นQ (π)ในเชิงนามธรรมว่าเป็นฟิลด์ฟังก์ชันเชิงตรรกะQ ( X )ก่อนหน้านี้ ตัวอย่างของจำนวนอดิศัยเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่ผลงานของJoseph Liouville ในปี พ.ศ. 2487 จนกระทั่ง Charles Hermite (พ.ศ. 2416) และFerdinand von Lindemann (พ.ศ. 2425) พิสูจน์ความเป็นอดิศัยของeและπตามลำดับ^{[ 23 ]}

นิยามที่ชัดเจนครั้งแรกของฟิลด์นามธรรมมาจากWeber (1893) [ ^{24 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของHeinrich Martin Weber รวมถึงฟิลด์ F _pด้วยGiuseppe Veronese (1891) ศึกษาฟิลด์ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม ซึ่งนำไปสู่การที่ Hensel (1904)แนะนำฟิลด์ของ จำนวน p -adic Steinitz (1910)สังเคราะห์ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีฟิลด์นามธรรมที่สะสมมาจนถึงปัจจุบัน เขาศึกษาคุณสมบัติของฟิลด์ในเชิงสัจพจน์และกำหนดแนวคิดทางทฤษฎีฟิลด์ที่สำคัญหลายประการ ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ที่กล่าวถึงในส่วนทฤษฎี Galoisการสร้างฟิลด์และแนวคิดพื้นฐานสามารถพบได้ในงานของ Steinitz Artin & Schreier (1927)เชื่อมโยงแนวคิดของการเรียงลำดับในฟิลด์และด้วยเหตุนี้ พื้นที่ของการวิเคราะห์ จึงเชื่อมโยงกับคุณสมบัติทางพีชคณิตล้วนๆ^{[ 25 ]} Emil Artin ได้พัฒนาทฤษฎี Galois ขึ้นใหม่ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2461 ถึง พ.ศ. 2485 โดยขจัดความขึ้นอยู่กับทฤษฎีองค์ประกอบดั้งเดิม

วงแหวนสลับที่คือเซตที่มีการดำเนินการบวกและการคูณ และเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของฟิลด์ ยกเว้นการมีอยู่ของตัวผกผันการคูณ^{a −1 [ 26} ] ^{ตัวอย่างเช่น}จำนวนเต็ม^Zสร้างวงแหวนสลับที่ แต่ไม่ใช่ฟิลด์: ส่วนกลับของจำนวนเต็มnไม่ใช่จำนวนเต็ม เว้นแต่n = ± 1

ในลำดับชั้นของโครงสร้างพีชคณิต ฟิลด์สามารถกำหนดลักษณะได้ว่าเป็นวงแหวนสลับที่Rซึ่งทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เป็นหน่วย (ซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบสามารถผกผันได้) ในทำนองเดียวกัน ฟิลด์เป็นวงแหวนสลับที่ที่มี อุดมคติที่แตกต่างกันสองแบบอย่างแม่นยำคือ(0)และRฟิลด์ยังเป็นวงแหวนสลับที่(0)เป็นอุดมคติ เฉพาะเพียงอย่างเดียวอย่างแม่นยำอีก ด้วย

เมื่อกำหนดริงสลับที่Rแล้ว มีสองวิธีในการสร้างฟิลด์ที่เกี่ยวข้องกับRกล่าวคือ มีสองวิธีในการปรับเปลี่ยนR เพื่อให้ สมาชิก ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดสามารถผกผันได้: การสร้างฟิลด์เศษส่วน และการสร้างฟิลด์เศษเหลือ ฟิลด์เศษส่วนของZคือQ ซึ่ง _เป็นจำนวนตรรกยะ ในขณะที่ฟิลด์เศษเหลือของZคือฟิลด์จำกัดFp

กำหนดให้โดเมนจำนวนเต็มRฟิลด์เศษส่วนQ ( R ) ของ R ถูกสร้างขึ้นจากเศษส่วนของสมาชิกสองตัวในRเช่นเดียวกับ การสร้าง Qจากจำนวนเต็ม กล่าวคือ สมาชิกของQ ( R )คือเศษส่วนa / bโดยที่aและbอยู่ในRและb ≠ 0เศษส่วนa / bและc / dจะเท่ากันก็ต่อเมื่อad = bcการดำเนินการกับเศษส่วนทำงานเหมือนกับการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

เป็นการแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า หากวงแหวนเป็นโดเมนอินทิกรัล เซตของเศษส่วนจะก่อตัวเป็นฟิลด์^{[ 27 ]}

ฟิลด์F ( x )ของเศษส่วนตรรกยะเหนือฟิลด์ (หรือโดเมนอินทิกรัล) Fคือฟิลด์ของเศษส่วนของวงแหวนพหุนามF [ x ]ฟิลด์F (( x ))ของอนุกรมลอเรนต์ อย่างเป็นทางการ

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}\ (k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)}$

เหนือฟิลด์Fคือฟิลด์ของเศษส่วนของริงF [[ x ]]ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม (ซึ่งk ≥ 0 ) เนื่องจากอนุกรมลอเรนต์ใดๆ ก็เป็นเศษส่วนของอนุกรมกำลังหารด้วยกำลังของx (ตรงข้ามกับอนุกรมกำลังใดๆ) การแสดงเศษส่วนจึงมีความสำคัญน้อยกว่าในสถานการณ์นี้

นอกจากฟิลด์เศษส่วนซึ่งฝังR เข้าไปในฟิลด์ แบบหนึ่งต่อ หนึ่งแล้ว ยังสามารถได้รับฟิลด์จากวงแหวนสลับที่Rโดยใช้แผนที่แบบทั่วถึงไปยังฟิลด์Fฟิลด์ใดๆ ที่ได้มาด้วยวิธีนี้คือผลหารR / mโดยที่mคืออุดมคติสูงสุดของRถ้าR มี ^{อุดมคติ} สูงสุด m เพียงอุดมคติเดียว ฟิลด์นี้เรียกว่าฟิลด์เศษเหลือของR ^{[ 28} ]

ไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามเดี่ยวfในวงแหวนพหุนามR = E [ X ] (เหนือฟิลด์E ) จะเป็นไอเดียลสูงสุดก็ต่อเมื่อfไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในE กล่าว คือ ถ้าfไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของพหุนามสองตัวในE [ X ] ที่มี ดีกรีน้อยกว่าได้ซึ่งจะให้ฟิลด์

K = E [ X ] / ( f ( X ))

ฟิลด์ Kนี้ประกอบด้วยองค์ประกอบx (กล่าวคือคลาสเศษเหลือของX ) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ

f ( x ) = 0.

ตัวอย่างเช่นCได้มาจากRโดยการเพิ่มสัญลักษณ์หน่วยจินตนาการiซึ่งสอดคล้องกับf ( i ) = 0โดยที่f ( X ) = X² + 1ยิ่งไปกว่านั้นfไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนRซึ่งหมายความว่าแผนที่ที่ส่งพหุนามf ( X ) ∊ R [ X ]ไปยังf ( i ) ^จะให้ผลลัพธ์เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \mathbf {R} [X]{\big /}\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .}$

สามารถสร้างฟิลด์ภายในฟิลด์คอนเทนเนอร์ที่ใหญ่กว่าได้ สมมติว่ากำหนดฟิลด์Eและฟิลด์Fที่มีEเป็นฟิลด์ย่อย สำหรับองค์ประกอบx ใดๆ ของFจะมีฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดของFที่มีEและxเรียกว่าฟิลด์ย่อยของFที่สร้างโดยxและแสดงด้วยE ( x ) [ ^{29 ] การ}เปลี่ยนจากEไปเป็นE ( x )เรียกว่าการเพิ่มองค์ประกอบ ลง ในEโดยทั่วไปแล้ว สำหรับเซตย่อยS ⊂ Fจะมีฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดของFที่มีEและSแสดงด้วย E ( S )

คอมโพซิตัมของสองซับฟิลด์EและE ′ของฟิลด์F ใดๆ คือซับฟิลด์ที่เล็กที่สุดของFที่ประกอบด้วยทั้งEและE ′ คอมโพซิตั ^มนี้สามารถใช้สร้างซับฟิลด์ที่ใหญ่ที่สุดของFที่ตรงตามคุณสมบัติบางอย่างได้ เช่น ซับฟิลด์ที่ใหญ่ที่สุดของFซึ่งในภาษาที่แนะนำด้านล่างนี้ เป็นพีชคณิตเหนือE [ ^{d ]}

แนวคิดของฟิลด์ย่อยE ⊂ Fสามารถพิจารณาได้จากมุมมองตรงกันข้ามเช่นกัน โดยอ้างถึงFว่าเป็นส่วนขยายของฟิลด์ (หรือเพียงแค่ส่วนขยาย) ของEซึ่งแสดงด้วย

F / E ,

และอ่าน " FทับE "

ข้อมูลพื้นฐานของการขยายฟิลด์คือระดับ[ F  : E ]กล่าวคือ มิติของFในฐานะ ปริภูมิเวกเตอร์ Eซึ่งสอดคล้องกับสูตร^{[ 30 ]}

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

ส่วนขยายที่มีดีกรีจำกัดเรียกว่าส่วนขยายจำกัด ส่วนขยายC / RและF₄ / _F₂มีดีกรี2ในขณะที่R _/ Qเป็นส่วนขยายอนันต์

แนวคิดสำคัญในการศึกษาการขยายฟิลด์F / Eคือองค์ประกอบพีชคณิตองค์ประกอบx ∈ Fเป็นองค์ประกอบพีชคณิตเหนือEถ้ามันเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในEกล่าวคือ ถ้ามันสอดคล้องกับสมการพหุนาม

e _n x ⁿ + e _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + e ₁ x + e ₀ = 0 ,

โดยที่e _n , ..., e ₀ในEและe _n ≠ 0ตัวอย่างเช่นหน่วยจินตนาการiในCเป็นพีชคณิตเหนือRและแม้กระทั่งเหนือQเนื่องจากสอดคล้องกับสมการ

i ² + 1 = 0 .

ส่วนขยายฟิลด์ที่ทุกองค์ประกอบของFเป็นพีชคณิตเหนือEเรียกว่าส่วนขยายพีชคณิตส่วนขยายจำกัดใดๆ จำเป็นต้องเป็นพีชคณิต ดังที่สามารถอนุมานได้จากสูตรการคูณข้างต้น^{[ 31 ]}

ฟิลด์ย่อยE ( x )ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบxดังที่กล่าวมาข้างต้น เป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตของEก็ต่อเมื่อxเป็นองค์ประกอบเชิงพีชคณิต กล่าวคือ ถ้าxเป็นองค์ประกอบเชิงพีชคณิต องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของE ( x )ก็จะเป็นองค์ประกอบเชิงพีชคณิตด้วยเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ระดับของส่วนขยายE ( x )/ Eกล่าวคือ มิติของE ( x )ในฐานะ ปริภูมิเวกเตอร์ Eเท่ากับระดับต่ำสุดnที่มีสมการพหุนามที่เกี่ยวข้องกับxดังที่กล่าวมาข้างต้น ถ้าระดับนี้คือnแล้วองค์ประกอบของE ( x )จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k},\ \ a_{k}\in E.}$

ตัวอย่างเช่น ฟิลด์Q ( i )ของจำนวนตรรกยะเกาส์เซียนคือฟิลด์ย่อยของCที่ประกอบด้วยจำนวนทั้งหมดในรูปแบบa + biโดยที่aและbเป็นจำนวนตรรกยะ: ไม่จำเป็นต้องพิจารณาพจน์ในรูปแบบi² (และในทำนองเดียวกันสำหรับเลขชี้กำลังที่สูงกว่า) เนื่องจากa + bi + ci²สามารถลดรูปเป็น a − c + ^{bi ได้}

ขอบเขตของเศษส่วนตรรกยะE ( X ) ที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งXเป็นตัวแปรไม่กำหนดไม่ใช่ส่วนขยายเชิงพีชคณิตของEเนื่องจากไม่มีสมการพหุนามใดที่มีสัมประสิทธิ์ในEที่มีรากเป็นXองค์ประกอบ เช่นXซึ่งไม่ใช่พีชคณิต เรียกว่า องค์ประกอบ อดิศัยโดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรไม่กำหนดXและกำลังของมันไม่มีปฏิสัมพันธ์กับองค์ประกอบของEสามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายกันได้กับชุดของตัวแปรไม่กำหนด แทนที่จะใช้เพียงตัวเดียว

อีกครั้งหนึ่ง ส่วนขยายฟิลด์E ( x )/ Eที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นตัวอย่างสำคัญ: ถ้าxไม่ใช่พีชคณิต (กล่าวคือxไม่ใช่รากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในE ) แล้วE ( x )จะสมสัณฐานกับE ( X )ความสมสัณฐานนี้ได้มาจากการแทนค่าxลงในXด้วยเศษส่วนตรรกยะ

เซตย่อยSของฟิลด์Fเป็นฐานทรานสเซนเดนซ์หากเป็นอิสระทางพีชคณิต (ไม่สอดคล้องกับความสัมพันธ์พหุนามใดๆ) เหนือEและหากFเป็นส่วนขยายทางพีชคณิตของE ( S )ส่วนขยายฟิลด์ใดๆF / Eมีฐานทรานสเซนเดนซ์^{[ 32 ]}ดังนั้น ส่วนขยายฟิลด์สามารถแบ่งออกเป็นส่วนขยายในรูปแบบE ( S )/ E ( ส่วนขยายทรานสเซนเดนซ์บริสุทธิ์ ) และส่วนขยายทางพีชคณิต

ฟิลด์จะเรียกว่าฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตหากไม่มีส่วนขยายเชิงพีชคณิตที่ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากไม่มีสมการพหุนาม ใดๆ

f _n x ⁿ + f _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + f ₁ x + f ₀ = 0โดยมีสัมประสิทธิ์ f _n , ..., f ₀ ∈ F , n > 0 ,

มีคำตอบx ∊ F [ ^{33 ]}ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต C ปิดทางพีชคณิต กล่าวคือ สมการ^พหุ นาม ใดๆที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีคำตอบเชิงซ้อน จำนวนตรรกยะและจำนวนจริงไม่ปิดทางพีชคณิตเนื่องจากสมการ

x ² + 1 = 0

ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนจริง ฟิลด์ที่ประกอบด้วยFเรียกว่าส่วนปิดเชิงพีชคณิตของFถ้ามันเป็นฟิลด์เชิงพีชคณิตเหนือF (โดยคร่าวๆ คือ ไม่ใหญ่เกินไปเมื่อเทียบกับF ) และเป็นส่วนปิดเชิงพีชคณิต (ใหญ่พอที่จะบรรจุคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้)

จากที่กล่าวมาข้างต้นCคือส่วนปิดเชิงพีชคณิตของR การที่ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์ F บางฟิลด์ เป็นส่วนขยายจำกัดของFนั้นค่อนข้างพิเศษเพราะตามทฤษฎีบท Artin–Schreierระดับของส่วนขยายนี้จะต้องเท่ากับ2และFนั้นสมมูลเชิงพื้นฐานกับRฟิลด์ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าฟิลด์ ปิดจริง

ฟิลด์F ใดๆ ก็ตาม มีส่วนปิดเชิงพีชคณิต ซึ่งยิ่งไปกว่านั้นยังมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม (ที่มีเอกลักษณ์) โดยทั่วไปจะเรียกว่าส่วนปิดเชิงพีชคณิตและใช้สัญลักษณ์Fตัวอย่างเช่น ส่วนปิดเชิงพีชคณิตQของQเรียกว่าฟิลด์ของจำนวนเชิงพีชคณิตฟิลด์Fมักจะค่อนข้างไม่ชัดเจน เนื่องจากการสร้างต้องใช้ทฤษฎีบทอัลตราฟิลเตอร์ซึ่งเป็นสัจพจน์เชิงเซตที่อ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือก [ ^{34 ] ใน}แง่นี้ ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของF _qนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ มันคือการรวมกันของฟิลด์จำกัดที่มีF _q (ฟิลด์ที่มีอันดับq ⁿ ) สำหรับฟิลด์ปิดเชิง พีชคณิต F ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะ0ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์F (( t ))ของอนุกรมลอเรนต์คือฟิลด์ของ^{อนุกรม}ปุยเซอซ์ซึ่งได้มาจากการต่อรากของt [ ^{35 ]}

เนื่องจากขอบเขตเป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์และสาขาอื่นๆ แนวคิดนี้จึงได้รับการปรับปรุงแก้ไขหลายครั้งเพื่อให้เหมาะสมกับความต้องการของสาขาคณิตศาสตร์เฉพาะด้านต่างๆ

ฟิลด์Fเรียกว่าฟิลด์เรียงลำดับถ้าสมาชิกสองตัวใดๆ สามารถเปรียบเทียบกันได้ โดยที่x + y ≥ 0และxy ≥ 0เมื่อใดก็ตามที่x ≥ 0และy ≥ 0ตัวอย่างเช่น จำนวนจริงเป็นฟิลด์เรียงลำดับ โดยมีการเรียงลำดับตามปกติ  คือ ≥ ทฤษฎีบท Artin –Schreierกล่าวว่า ฟิลด์สามารถเรียงลำดับได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟิลด์จริงเชิงรูปธรรมซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็ตาม

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

มีคำตอบเดียวคือx ₁ = x ₂ = ⋯ = x _n = 0 [ ^{36 ] เซต}ของลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนฟิลด์F ที่กำหนดไว้ จะสมสัณฐานกับเซตของโฮโมมอร์ฟิซึมของ วงแหวนจาก วงแหวนวิทท์W( F )ของรูปแบบกำลังสองเหนือFไปยังZ ^{[ 37 ]}

ฟิลด์อาร์คิมีเดียนคือฟิลด์เรียงลำดับซึ่งสำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีนิพจน์จำกัดอยู่

1 + 1 + ⋯ + 1

ซึ่งมีค่ามากกว่าองค์ประกอบนั้น กล่าว คือ ไม่มีองค์ประกอบอนันต์ หรืออีกนัยหนึ่ง ฟิลด์นั้นไม่มี องค์ประกอบ ขนาดเล็กมาก (องค์ประกอบที่เล็กกว่าจำนวนตรรกยะทั้งหมด) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟิลด์นั้นสม isomorphic กับฟิลด์ย่อยของR

ฟิลด์ที่มีลำดับจะเรียกว่าสมบูรณ์แบบเดเดคินด์ได้ก็ต่อเมื่อขอบเขตบนขอบเขตล่าง (ดูการตัดแบบเดเดคินด์ ) และลิมิตทั้งหมด ซึ่งควรจะมีอยู่ มีอยู่จริง ในทางที่เป็นทางการมากขึ้นเซตย่อยที่มีขอบเขตแต่ละเซตของFจะต้องมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด ฟิลด์ที่สมบูรณ์ใดๆ ก็ตามจำเป็นต้องเป็นฟิลด์อาร์คิมีเดียน^{[ 38 ]}เนื่องจากในฟิลด์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนใดๆ ก็ตาม จะไม่มีทั้งอนันต์เล็กที่สุดหรือจำนวนตรรกยะบวกที่น้อยที่สุด ดังนั้นลำดับ1/2, 1/3, 1/4, ...ซึ่งทุกองค์ประกอบมีค่ามากกว่าอนันต์เล็กทุกตัว จึงไม่มีลิมิต

เนื่องจากฟิลด์ย่อยที่เหมาะสมทุกฟิลด์ของจำนวนจริงยังมีช่องว่างดังกล่าวด้วยRจึงเป็นฟิลด์เรียงลำดับที่สมบูรณ์เพียงหนึ่งเดียว ยกเว้นไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 39 ]}ผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการในแคลคูลัสเป็นผลโดยตรงจากลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงนี้

จำนวน ไฮเปอร์เรียลR ^*เป็นฟิลด์ที่มีลำดับซึ่งไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียน มันเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงที่ได้มาจากการรวมจำนวนอนันต์และจำนวนอนันต์เล็ก จำนวนเหล่านี้มีขนาดใหญ่กว่าและเล็กกว่าจำนวนจริงใดๆ ตามลำดับ จำนวนไฮเปอร์เรียลเป็นพื้นฐานสำคัญของ การวิเคราะห์ แบบ ไม่มาตรฐาน

การปรับปรุงแนวคิดของฟิลด์อีกประการหนึ่งคือฟิลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งเซตFเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่การดำเนินการทั้งหมดของฟิลด์ (การบวก การคูณ แผนที่a ↦ − aและa ↦ a ⁻¹ ) เป็นแผนที่ต่อเนื่องเมื่อเทียบกับทอพอโลยีของปริภูมิ^{[ 40 ]} ทอพอโลยีของฟิลด์ทั้งหมดที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ถูกเหนี่ยวนำมาจากเมตริกนั่นคือฟังก์ชัน

d  : F × F → R ,

ซึ่งใช้วัดระยะ ห่างระหว่างองค์ประกอบสองตัวใดๆ ของF

การเติมเต็มฟิลด์Fเป็นอีกฟิลด์หนึ่งซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้เติมเต็ม "ช่องว่าง" ในฟิลด์ F เดิมหากมีอยู่ ตัวอย่างเช่น จำนวนอตรรกยะใดๆx เช่นx = √2ถือเป็น "ช่องว่าง" ในฟิลด์Qของจำนวนตรรกยะ ในแง่ที่ว่ามันไม่ได้อยู่ในQแต่มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ ที่อยู่ใกล้เคียงกับมันมากพอสมควรตามระยะทางที่กำหนดโดยค่าสัมบูรณ์ การเติมเต็มฟิลด์Qสำหรับเมตริกที่กำหนดโดยค่าสัมบูรณ์คือฟิลด์ของจำนวนจริงRและการสร้างจำนวนจริงผ่านลำดับโคชีนั้นประกอบด้วยการแนะนำจำนวนใหม่เพื่อเติมเต็มช่องว่างทั้งหมดเหล่านั้นเป็นหลัก

ฟิลด์Q _pใช้ในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์p -adic การ ปิดเชิงพีชคณิตQ _pมีบรรทัดฐานที่ไม่ซ้ำกันซึ่งขยายบรรทัดฐานบนQ _pแต่ไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม การทำให้สมบูรณ์ของการปิดเชิงพีชคณิตนี้เป็นการปิดเชิงพีชคณิต เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับจำนวนเชิงซ้อน จึงบางครั้งเรียกว่า^{จำนวน} p-adic เชิงซ้อนและใช้สัญลักษณ์C _p ^{[ 41} ]

ฟิลด์โทโพโลยีต่อไปนี้เรียกว่าฟิลด์ท้องถิ่น : ^{[ 42 ] [ e ]}

• ส่วนขยายจำกัดของQ _p (ฟิลด์เฉพาะที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์)
• ส่วนขยายจำกัดของF _p (( t ))ฟิลด์ของอนุกรมลอเรนต์เหนือF _p (ฟิลด์ท้องถิ่นที่มีลักษณะเฉพาะp )

ฟิลด์ท้องถิ่นทั้งสองประเภทนี้มีความคล้ายคลึงกันพื้นฐานบางประการ ในความสัมพันธ์นี้ องค์ประกอบp ∈ Q _pและt ∈ F _p (( t )) (เรียกว่าตัวทำให้เป็นเอกรูป ) สอดคล้องกัน การแสดงออกครั้งแรกของสิ่งนี้เกิดขึ้นในระดับพื้นฐาน: องค์ประกอบของทั้งสองฟิลด์สามารถแสดงเป็นอนุกรมกำลังในตัวทำให้เป็นเอกรูปได้ โดยมีสัมประสิทธิ์ในF _p (อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในการบวกในQ _pนั้นใช้การทดซึ่งไม่ใช่กรณีในF _p (( t )) ดังนั้น ฟิลด์เหล่านี้จึงไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน) ข้อเท็จจริงต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าความคล้ายคลึงกันที่ผิวเผินนี้ลึกซึ้งกว่านั้นมาก:

• ข้อความ ลำดับที่หนึ่งใดๆที่เป็นจริงสำหรับQ _p เกือบทั้งหมด ก็จะเป็นจริงสำหรับF _p (( t )) เกือบทั้งหมด เช่นกัน การประยุกต์ใช้สิ่งนี้คือทฤษฎีบท Ax–Kochenที่อธิบายถึงศูนย์ของพหุนามเอกพันธุ์ในQ _p
• ส่วนขยายที่แตกแขนงอย่างเชื่องช้าของทั้งสองสาขามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งกันและกัน
• การเชื่อมต่อ รากกำลังpใดๆ ของ p (ในQ _p ) ตามลำดับของt (ในF _p (( t )) ) จะให้ส่วนขยาย (อนันต์) ของฟิลด์เหล่านี้ที่เรียกว่าฟิลด์เพอร์เฟกทอยด์ที่น่าสนใจคือ กลุ่มกาโลอิสของฟิลด์ทั้งสองนี้เป็นไอโซมอร์ฟิก ซึ่งเป็นการมองเห็นครั้งแรกของความขนานที่น่าทึ่งระหว่างฟิลด์ทั้งสองนี้: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbf {Q} _{p}{\bigl (}p^{1/p^{\infty }}{\bigr )}\right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbf {F} _{p}((t)){\bigl (}t^{1/p^{\infty }}{\bigr )}\right).}$$

ฟิลด์เชิงอนุพันธ์คือฟิลด์ที่มีอนุพันธ์นั่นคือ ตัวดำเนินการDซึ่ง สำหรับองค์ประกอบ aและb ทั้งหมดของฟิลด์^{[ 44 ]} ตัวอย่างเช่น ฟิลด์R ( X )ร่วมกับตัวดำเนินการอนุพันธ์มาตรฐานDบนพหุนาม ก่อให้เกิดฟิลด์เชิงอนุพันธ์ ฟิลด์เหล่านี้มีความสำคัญต่อทฤษฎี Galois เชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎี Galois ที่เกี่ยวข้องกับ สมการ เชิง อนุพันธ์เชิงเส้น$${\displaystyle \mathbf {D} (ab)=\mathbf {D} (a)b+a\mathbf {D} (b)}$$

ทฤษฎีกาโลอิสศึกษาการขยายเชิงพีชคณิตของฟิลด์โดยการศึกษาความสมมาตรในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการคูณ แนวคิดที่สำคัญในด้านนี้คือแนวคิดของการขยายกาโลอิสแบบจำกัดF / Eซึ่งตามคำนิยามแล้วคือการขยายที่แยกได้และปกติทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิมแสดงให้เห็นว่าการขยายที่แยกได้แบบจำกัดนั้นจำเป็นต้องเรียบง่ายกล่าวคืออยู่ในรูปแบบ

F = E [ X ] / f ( X ) ,

โดยที่fเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ดังข้างต้น) ^{[ 45 ]}สำหรับการขยายดังกล่าว การเป็นปกติและแยกได้หมายความว่าศูนย์ทั้งหมดของfอยู่ในFและfมีเพียงศูนย์แบบง่ายเท่านั้น เงื่อนไขหลังนี้เป็นไปตามเสมอหากEมีลักษณะเฉพาะ 0

สำหรับการขยายกาโลอิสแบบจำกัดกลุ่มกาโลอิสGal( F / E )คือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ของFที่เป็นศูนย์บนE (กล่าวคือไบเจกชันσ  : F → Fที่รักษาการบวกและการคูณ และส่งองค์ประกอบของEไปยังตัวมันเอง) ความสำคัญของกลุ่มนี้มาจากทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสซึ่งสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ที่ชัดเจน ระหว่างเซตของกลุ่มย่อยของGal( F / E )และเซตของการขยายระดับกลางของการขยายF / E ^{[ 46} ] โดยอาศัยการจับคู่นี้ คุณสมบัติทางทฤษฎีกลุ่มจะถูกแปลเป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับฟิลด์ ตัวอย่างเช่น หากกลุ่มกาโลอิสของการขยายกา ^โลอิสข้างต้นไม่สามารถแก้ได้ (ไม่สามารถสร้างจากกลุ่มอาเบล ) แล้วศูนย์ของf จะไม่สามารถแสดงในรูปของการบวก การคูณ และราก กล่าวคือ นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ ตัวอย่างเช่นกลุ่มสมมาตรS _nไม่สามารถหาคำตอบได้สำหรับn ≥ 5ดังนั้น ดังที่สามารถแสดงได้ รากของพหุนามต่อไปนี้ไม่สามารถแสดงได้ด้วยผลบวก ผลคูณ และราก สำหรับพหุนามตัวสุดท้าย ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{~}}}$

f ( X ) = X ⁵ − 4 X + 2 (และ E = Q ), ^{[ 47 ]}

f ( X ) = X ⁿ + a _{n −1} X ^{n −1} + ⋯ + a ₀ (โดยที่ fถือเป็นพหุนามใน E ( a ₀ , ..., a _{n −1} )สำหรับค่าที่ไม่แน่นอนบาง ค่า a _i , Eเป็นฟิลด์ใดๆ และ n ≥ 5 )

ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์มักไม่ใช่ฟิลด์ ตัวอย่างเช่น ส่วนขยายจำกัดF / Eที่มีดีกรีnจะเป็นส่วนขยายกาโลอิสก็ต่อเมื่อมีการสมสัณฐานของพีชคณิต F

F ⊗ _E F ≅ F ⁿ .

ข้อเท็จจริงนี้เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎี Galois ของ Grothendieckซึ่งเป็นการขยายทฤษฎี Galois อย่างกว้างขวางที่สามารถนำไปใช้กับวัตถุพีชคณิตเรขาคณิตได้^{[ 48 ]}

ตัวแปรพื้นฐานของฟิลด์Fประกอบด้วยลักษณะเฉพาะและระดับการข้ามของFเหนือฟิลด์เฉพาะของมัน โดยระดับการข้ามจะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนองค์ประกอบสูงสุดในFที่เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือฟิลด์เฉพาะ ฟิลด์ปิดทางพีชคณิตสองฟิลด์EและFจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ต่อเมื่อข้อมูลทั้งสองนี้ตรงกัน^{[ 49 ]}ซึ่งหมายความว่า ฟิลด์ปิดทางพีชคณิตที่นับ ไม่ได้ สองฟิลด์ใดๆ ที่มี ขนาดเท่ากันและลักษณะเฉพาะเดียวกันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ตัวอย่างเช่นQ _p , C _pและCเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน (แต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะฟิลด์ทางทอพอโลยี)

ในทฤษฎีแบบจำลองซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ฟิลด์ EและFสองฟิลด์เรียกว่าสมมูลกันโดยพื้นฐานถ้าข้อความทางคณิตศาสตร์ทุกข้อความที่เป็นจริงสำหรับEก็เป็นจริงสำหรับFและในทางกลับกัน ข้อความทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะต้องเป็น ประโยค อันดับหนึ่ง (เกี่ยวข้องกับ0 , 1 , การบวก และการคูณ) ตัวอย่างทั่วไป สำหรับn > 0โดย ที่ nเป็นจำนวนเต็ม คือ

φ ( E ) = "พหุนามใดๆ ที่มีดีกรี nใน Eจะมีรากอยู่ใน E "

ชุดของสูตรดังกล่าวสำหรับn ทั้งหมด แสดงให้เห็นว่า Eปิดทางพีชคณิตหลักการของ Lefschetzระบุว่าCเทียบเท่ากับฟิลด์ปิดทางพีชคณิตF ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ข้อความคงที่φ ใดๆ จะเป็นจริงในCก็ต่อเมื่อข้อความนั้นเป็นจริงในฟิลด์ปิดทางพีชคณิตใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะสูงเพียงพอ^{[ 50 ]}

ถ้าUเป็นอัลตราฟิลเตอร์บนเซตIและF _iเป็นฟิลด์สำหรับทุกiในIอัลตราโปรดักต์ของF _iที่เกี่ยวข้องกับUจะเป็นฟิลด์^{[ 51 ]}มันถูกแสดงด้วย

ulim _{i →∞} F _i ,

เนื่องจากมีพฤติกรรมในหลายลักษณะเหมือนกับลิมิตของฟิลด์F _i : ทฤษฎีบทของ Łośกล่าวว่าข้อความลำดับแรกใดๆ ที่ใช้ได้กับF _i ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ก็จะใช้ได้กับอัลตราโปรดักต์ด้วย เมื่อนำไปใช้กับประโยค φข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่ามีไอโซมอร์ฟิซึม^{[ f ]}

${\displaystyle \operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .}$

ทฤษฎีบท Ax–Kochen ที่กล่าวถึงข้างต้นก็เป็นผลมาจากสิ่งนี้เช่นกัน และจากการสมมาตรของอัลตราโปรดักต์ (ในทั้งสองกรณี ครอบคลุมจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด )

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t )) .

นอกจากนี้ ทฤษฎีแบบจำลองยังศึกษาคุณสมบัติเชิงตรรกะของฟิลด์ประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท เช่นฟิลด์ปิดจริงหรือฟิลด์เอกซ์โพเนนเชียล (ซึ่งมีฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลexp : F → F ^× ) ^{[ 52 ]}

สำหรับฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต (หรือไม่ปิดแบบแยกได้) กลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์Gal( F )มีความสำคัญอย่างยิ่ง: โดยขยายกรณีของส่วนขยายกาโลอิสจำกัดที่กล่าวไว้ข้างต้น กลุ่มนี้ควบคุม_ส่วน ขยายแบบแยกได้จำกัด ทั้งหมดของFด้วยวิธีการพื้นฐาน สามารถแสดงได้ว่ากลุ่มGal( Fq )เป็นกลุ่ม Prüferซึ่งเป็นการเติมเต็มแบบโปรไฟไนต์ของ Z ข้อความนี้ครอบคลุมข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนขยายเชิงพีชคณิตเพียงอย่างเดียวของ Gal(Fq) คือฟิลด์ Gal(Fqn)สำหรับn > ₀และกลุ่มกาโลอิสของ_{ส่วน^ขยาย}จำกัดเหล่านี้กำหนดโดย

Gal( F _{q ⁿ} / F _q ) = Z / n Z .

คำอธิบายในแง่ของตัวสร้างและความสัมพันธ์ยังเป็นที่รู้จักสำหรับกลุ่มกาโลอิสของ ฟิลด์จำนวน p -adic (ส่วนขยายจำกัดของQ _p ) ^{[ 53 ]}

การแทนกลุ่มกาโลอิสและกลุ่มที่เกี่ยวข้อง เช่นกลุ่มไวล์เป็นพื้นฐานในหลายสาขาของเลขคณิต เช่นโปรแกรมแลงแลนด์การศึกษาโคฮอโมโลยีของการแทนดังกล่าวทำได้โดยใช้ โคฮอโมโลยี ของกาโลอิส^{[ 54 ]}ตัวอย่างเช่นกลุ่มบราวเออร์ซึ่งโดยทั่วไปนิยามว่าเป็นกลุ่มของพีชคณิตFแบบง่ายส่วนกลางสามารถตีความใหม่ได้ว่าเป็นกลุ่มโคฮอโมโลยีของกาโลอิส กล่าวคือ

Br( F ) = H ² ( F , G _m ) .

ทฤษฎี K ของ Milnorนิยามได้ดังนี้

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .}$

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของเศษเหลือของบรรทัดฐานซึ่งพิสูจน์โดยวลาดิมีร์ โวเอโวดสกี ราวปี 2000 เชื่อมโยงสิ่งนี้กับโคฮอโมโลยีของกาโลอิสโดยอาศัยไอโซมอร์ฟิ ซึม

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).}$

ทฤษฎี K ทางพีชคณิตเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟิลด์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น กระบวนการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันนำไปสู่ไอโซมอร์ฟิซึมK ₁ ( F ) = F ^×ทฤษฎีบทของมัตสึโมโตะแสดงให้เห็นว่าK ₂ ( F )สอดคล้องกับK ₂ ^M ( F ) ในระดับที่สูงขึ้น ทฤษฎี K จะแตกต่างจากทฤษฎี K ของมิลเนอร์และยังคงคำนวณได้ยากโดยทั่วไป

ถ้าa ≠ 0แล้วสมการจะเป็น ดังนี้

ax = b

มีคำตอบเฉพาะxในฟิลด์Fกล่าวคือผลที่ตามมาโดยตรงจากนิยามของฟิลด์นี้เป็นพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้นตัวอย่างเช่น เป็นส่วนประกอบสำคัญของการกำจัดแบบเกาส์เซียน^และของบทพิสูจน์ว่าปริภูมิเวกเตอร์ ใด ๆ มีฐาน [ ^{55 ]}${\displaystyle x=a^{-1}b.}$

ทฤษฎีของโมดูล (ซึ่งเป็นอนาล็อกของปริภูมิเวกเตอร์เหนือริงแทนที่จะเป็นฟิลด์) นั้นซับซ้อนกว่ามาก เนื่องจากสมการข้างต้นอาจมีหลายคำตอบหรือไม่มีคำตอบเลย โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบสมการเชิงเส้นเหนือริงนั้นยากต่อการแก้มากกว่าในกรณีของฟิลด์ แม้แต่ในกรณีที่ง่ายที่สุดของริงZของจำนวนเต็มก็ตาม

วิธีการเข้ารหัสลับที่ใช้กันอย่างแพร่หลายวิธีหนึ่ง ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า การยกกำลังแบบไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ การคำนวณ

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( nตัวประกอบ สำหรับจำนวนเต็ม n ≥ 1 )

ในฟิลด์จำกัดขนาดใหญ่Fq _การคำนวณสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นการดำเนินการผกผัน กล่าวคือ การหาคำตอบnของสมการ

a ⁿ = b .

ในการเข้ารหัสด้วยเส้นโค้งวงรีการคูณในฟิลด์จำกัดจะถูกแทนที่ด้วยการบวกจุดบนเส้นโค้งวงรี กล่าวคือ ผลเฉลยของสมการในรูปแบบ

y ² = x ³ + ax + b .

ฟิลด์จำกัดยังถูกนำไปใช้ในทฤษฎีการเข้ารหัสและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง อีก ด้วย

ฟังก์ชันบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี ที่เหมาะสม Xในฟิลด์Fสามารถบวกและคูณกันได้แบบจุดต่อจุด เช่น ผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันถูกกำหนดโดยผลคูณของค่าของฟังก์ชันเหล่านั้นภายในโดเมน:

( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

สิ่งนี้ทำให้ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นพีชคณิต สลับที่แบบF

ในการมีฟิลด์ของฟังก์ชัน จำเป็นต้องพิจารณาพีชคณิตของฟังก์ชันที่เป็นโดเมนจำนวนเต็มในกรณีนี้ อัตราส่วนของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน กล่าวคือ นิพจน์ในรูปแบบ

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

ก่อให้เกิดสาขาหนึ่งขึ้นมา เรียกว่า สาขาของฟังก์ชัน

ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นในสองกรณีหลัก เมื่อXเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนXในกรณีนี้ เราจะพิจารณาพีชคณิตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ ฟิก นั่น คือ ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อัตราส่วนของฟังก์ชันเหล่านี้จะก่อให้เกิดฟิลด์ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนX

ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตีเชิงพีชคณิตX (วัตถุทางเรขาคณิตที่นิยามว่าเป็นศูนย์ร่วมของสมการพหุนาม) ประกอบด้วยอัตราส่วนของฟังก์ชันปกติ กล่าว คือ อัตราส่วนของฟังก์ชันพหุนามบนวาไรตีนั้น ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ฟังก์ชันของปริภูมิ เวกเตอร์ nมิติF ⁿเหนือฟิลด์FคือF ( x ₁ , ..., x _n ) : ฟิลด์ที่ประกอบด้วยอัตราส่วนของพหุนามใน ตัวแปร nตัวเหนือFฟิลด์ฟังก์ชันของXเหมือนกับฟิลด์ฟังก์ชันของ ซับวาไรตี แบบเปิดหนาแน่นใดๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟิลด์ฟังก์ชันไม่ไวต่อการแทนที่Xด้วยซับวาไรตีที่เล็กกว่า (เล็กน้อย)

ฟิลด์ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมและความสมมูลแบบไบราชันนัลของวาไรตี้ ดังนั้นจึงเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการศึกษาวาไรตี้พีชคณิตนามธรรมและการจำแนกวาไรตี้พีชคณิต ตัวอย่างเช่นมิติซึ่งเท่ากับระดับการข้ามของF ( X )ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ความสมมูลแบบไบราชันนัล^{[ 56 ]}สำหรับเส้นโค้ง (เช่น มิติเป็นหนึ่ง) ฟิลด์ฟังก์ชันF ( X )อยู่ใกล้กับX มาก : ถ้าXเรียบและเหมาะสม (อนาล็อกของการเป็นคอมแพ็กต์ ) Xสามารถสร้างใหม่ได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมจากฟิลด์ฟังก์ชันของมัน^{[ g ]} ในมิติที่สูงกว่า ฟิลด์ฟังก์ชันจะจดจำข้อมูลเกี่ยวกับ Xน้อยลง แต่ยังคงมีความสำคัญการศึกษาฟิลด์ฟังก์ชันและความหมายทางเรขาคณิตในมิติที่สูงกว่าเรียกว่าเรขาคณิตแบบไบราชันนัลโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำพยายามที่จะระบุวาไรตี้พีชคณิตที่ง่ายที่สุด (ในความหมายที่แม่นยำบางอย่าง) ด้วยฟิลด์ฟังก์ชันที่กำหนดไว้

ฟิลด์ทั่วโลกกำลังได้รับความสนใจอย่างมากในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงเลขคณิต_โดยนิยามแล้ว ฟิลด์ทั่วโลกคือฟิลด์จำนวน (ส่วนขยายจำกัดของQ ) หรือฟิลด์ฟังก์ชันเหนือFq (ส่วนขยายจำกัดของFq ( t ) ) เช่นเดียวกับฟิลด์เฉพาะที่ ฟิลด์ทั้งสองประเภทนี้มีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันหลายประการ แม้ว่าจะมีลักษณะเฉพาะเป็น₀และลักษณะเฉพาะเป็นบวกตามลำดับก็ตามการเปรียบเทียบกับฟิลด์ฟังก์ชัน นี้ สามารถช่วยกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ โดยมักจะเริ่มจากการทำความเข้าใจคำถามเกี่ยวกับฟิลด์ฟังก์ชันก่อน แล้วจึงค่อยพิจารณากรณีของฟิลด์จำนวน ซึ่งมักจะยากกว่า ตัวอย่างเช่นสมมติฐานของรีมันน์เกี่ยวกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (ซึ่งยังไม่ได้รับการแก้ไขในปี 2017) สามารถถือได้ว่าขนานไปกับสมมติฐานของไวล์ (ซึ่งพิสูจน์ได้ในปี 1974 โดยปิแอร์ เดลิญ )

ฟิลด์ไซโคลโทมิกเป็นหนึ่งในฟิลด์จำนวนที่ได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นที่สุด ฟิลด์เหล่านี้มีรูปแบบQ ( ζ _n )โดยที่ζ _n เป็นราก ที่nดั้งเดิมของเอกภาพ กล่าวคือ จำนวนเชิงซ้อนζที่สอดคล้อง กับ ζ ⁿ = 1และζ ^m ≠ 1สำหรับทุก0 < m < n [ ^{57 ]}สำหรับnที่เป็น จำนวน เฉพาะปกติKummerใช้ฟิลด์ไซโคลโทมิกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งยืนยัน ^ว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับสมการ

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

ฟิลด์ท้องถิ่นเป็นการเติมเต็มของฟิลด์ทั่วโลกทฤษฎีบทของ Ostrowskiยืนยันว่าการเติมเต็มเพียงอย่างเดียวของQซึ่งเป็นฟิลด์ทั่วโลก คือฟิลด์ท้องถิ่นQ _pและRการศึกษาคำถามทางคณิตศาสตร์ในฟิลด์ทั่วโลกบางครั้งอาจทำได้โดยการพิจารณาคำถามที่เกี่ยวข้องในระดับท้องถิ่น เทคนิคนี้เรียกว่าหลักการท้องถิ่น-ทั่วโลกตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Hasse–Minkowskiลดปัญหาการหาคำตอบเชิงตรรกะของสมการกำลังสองลงเหลือเพียงการแก้สมการเหล่านี้ในRและQ _pซึ่งสามารถอธิบายคำตอบได้อย่างง่ายดาย^{[ 58 ]}

ต่างจากฟิลด์ท้องถิ่น กลุ่มกาโลอิสของฟิลด์ทั่วโลกไม่เป็นที่รู้จักทฤษฎีกาโลอิสผกผันศึกษาปัญหา (ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข) ว่ากลุ่มจำกัดใด ๆ เป็นกลุ่มกาโลอิสGal( F / Q )สำหรับฟิลด์จำนวนF บางฟิลด์ หรือ ไม่ ^{[ 59 ]}ทฤษฎีฟิลด์คลาสอธิบายส่วนขยายแบบอาเบล กล่าว คือ ส่วนขยายที่มีกลุ่มกาโลอิสแบบอาเบล หรือเทียบเท่ากับกลุ่มกาโลอิสแบบอาเบลของฟิลด์ทั่วโลก ข้อความคลาสสิก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์ อธิบายส่วนขยาย Q ^ab แบบ อาเบลสูงสุดของQ : มันคือฟิลด์

Q ( ζ _n , n ≥ 2)

ได้มาจากการรวมรากที่ nดั้งเดิมทั้งหมดของเอกภาพJugendtraum ของ Kroneckerต้องการคำอธิบายที่ชัดเจนในทำนองเดียวกันของF ^abสำหรับฟิลด์จำนวนทั่วไปFสำหรับฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการ , , d > 0ทฤษฎีการคูณเชิงซ้อนอธิบายF ^abโดยใช้เส้นโค้งวงรีสำหรับฟิลด์จำนวนทั่วไป ยังไม่มีคำอธิบายที่ชัดเจนเช่นนั้น ${\displaystyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$

นอกเหนือจากโครงสร้างเพิ่มเติมที่ฟิลด์อาจมีแล้ว ฟิลด์ยังยอมรับแนวคิดอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องต่างๆ อีกด้วย เนื่องจากในฟิลด์ใดๆ0 ≠ 1ฟิลด์ใดๆ ก็มีอย่างน้อยสององค์ประกอบ อย่างไรก็ตาม มีแนวคิดของฟิลด์ที่มีองค์ประกอบเดียวซึ่งเสนอให้เป็นลิมิตของฟิลด์จำกัดF _pเมื่อpเข้าใกล้1 ^[ 60 ^{] นอกจากวงแหวนการหาร แล้ว}ยังมีโครงสร้างพีชคณิตที่อ่อนกว่าอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์ เช่นควาซิฟิลด์ เนียร์ฟิลด์และเซมิฟิลด์

นอกจากนี้ยังมีคลาสที่เหมาะสมที่มีโครงสร้างฟิลด์ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าฟิลด์ที่มีตัวอักษร 'F' ตัวใหญ่ตัวเลขเหนือจริงก่อตัวเป็นฟิลด์ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง และจะเป็นฟิลด์ได้หากไม่ใช่เพราะเป็นคลาสที่เหมาะสม ไม่ใช่เซต ตัวเลข ซึ่งเป็นแนวคิดจากทฤษฎีเกมก็ก่อตัวเป็นฟิลด์เช่นกัน^{[ 61 ]}

การละเว้นสัจพจน์หนึ่งข้อหรือหลายข้อในนิยามของฟิลด์นำไปสู่โครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น วงแหวนสลับที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของฟิลด์ทั้งหมด ยกเว้นการมีอยู่ของตัวผกผันการคูณ การละเว้นคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณนำไปสู่แนวคิดของวงแหวนหารหรือฟิลด์เฉียงบางครั้งคุณสมบัติการเชื่อมโยงก็อ่อนลงด้วย ในอดีต วงแหวนหารบางครั้งถูกเรียกว่า "ฟิลด์" ในขณะที่ฟิลด์ถูกเรียกว่า "ฟิลด์สลับที่" วงแหวนหารเพียงอย่างเดียวที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์R มิติจำกัดคือ RเองC (ซึ่งเป็นฟิลด์) และควอเทอร์เนียนH (ซึ่งการคูณไม่สลับที่) ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทโฟรเบนิอุส อ็อกโทเนียนOซึ่งการคูณไม่สลับที่และไม่เชื่อมโยงกัน เป็น พีชคณิตหาร ทางเลือกแบบ มีบรรทัดฐาน แต่ไม่ใช่วงแหวนหาร ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการพิสูจน์โดยใช้วิธีการทางพีชคณิตเชิงโทโพโลยีในปี พ.ศ. 2501 โดยMichel Kervaire , Raoul BottและJohn Milnor ^{[ 62 ]}

ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของเวดเดอร์เบิร์นกล่าวว่าวงแหวนหาร จำกัดทั้งหมด เป็นฟิลด์

วิกิบุ๊กเรื่องพีชคณิตนามธรรมมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ฟิลด์