ตัวทด (เลขคณิต)

Q: คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ทฤษฎีบทของคุมเมอร์ กล่าวว่า จำนวนทดที่เกิดขึ้นในการบวกเลขสองจำนวนในฐาน 0 จะเท่ากับเลขชี้กำลังของกำลังสูงสุดของ การหาร สัมประสิทธิ์ทวินาม ที่ กำหนด พี {\displaystyle p} พี {\displaystyle p}

ในวิชาเลขคณิตเบื้องต้นตัวทดคือตัวเลขที่ถูกย้ายจากหลัก หนึ่ง ไปยังอีกหลักหนึ่งที่มีตัวเลขสำคัญกว่า มันเป็นส่วนหนึ่งของวิธีการ บวกเลข มาตรฐาน โดยเริ่มจากตัวเลขขวาสุดแล้วทดไปทางซ้าย ตัวอย่างเช่น เมื่อบวก 6 กับ 7 ได้ 13 เลข "3" จะอยู่ในหลักเดียวกัน และเลข "1" จะถูกทดไปทางซ้าย เมื่อใช้ในการลบ การดำเนินการนี้เรียกว่าการ ยืม

ใน คณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมการทดเลขเป็นสิ่งที่สำคัญในขณะที่หลักสูตรคณิตศาสตร์ปฏิรูปไม่ได้เน้นวิธีการใดวิธีการหนึ่งโดยเฉพาะเพื่อหาคำตอบที่ถูกต้อง

การทดเลขปรากฏให้เห็นบ้างในคณิตศาสตร์ขั้นสูงเช่นกัน ในด้านการคำนวณ การทดเลขเป็นฟังก์ชันสำคัญของวงจร บวกเลข

การคำนวณด้วยมือ

ตัวอย่างทั่วไปของการทดเลขคือการบวกเลขโดยใช้ดินสอและกระดาษดังต่อไปนี้:

¹ 27 + 59 ---- 86

7 + 9 = 16 และเลข1คือตัวทด

สิ่งที่ตรงกันข้ามคือการยืมเช่น

⁻¹ 47 − 19 ---- 28

ในที่นี้7 − 9 = −2ดังนั้นลองทำ(10 − 9) + 7 = 8แล้วเลข 10 ได้มาจากการ "ยืม" 1 จากหลักถัดไปทางซ้าย มีสองวิธีที่นิยมสอนกันโดยทั่วไป:

เลขสิบจะถูกเลื่อนจากหลักถัดไปทางซ้าย ทำให้ในตัวอย่างนี้มี3 − 1ในหลักสิบ ตามวิธีการนี้ คำว่า "ยืม" จึงเป็นคำที่ไม่ถูกต้องเพราะเลขสิบนั้นไม่เคยถูกจ่ายคืน
เลขสิบจะถูกคัดลอกจากหลักถัดไปทางซ้าย แล้ว "จ่ายคืน" โดยการบวกกับตัวลบในหลักที่ "ยืม" มา ซึ่งในตัวอย่างนี้จะได้4 − (1 + 1)ในหลักสิบ

การศึกษาคณิตศาสตร์

ตามธรรมเนียมแล้ว การทดเลขจะสอนในการบวกเลขหลายหลักในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 หรือปลายปีแรก อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 20 หลักสูตรการเรียนการสอนที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในสหรัฐอเมริกา เช่นTERCได้ละเว้นการสอนวิธีการทดเลขแบบดั้งเดิม และหันไปใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่คิดค้นขึ้นใหม่ รวมถึง วิธีการที่ใช้การระบายสี อุปกรณ์ประกอบการเรียน และแผนภูมิ การละเว้นดังกล่าวได้รับการวิพากษ์วิจารณ์จากกลุ่มต่างๆ เช่นMathematically Correctและบางรัฐและเขตการศึกษาได้ยกเลิกการทดลองนี้ไปแล้ว แม้ว่าจะยังคงมีการใช้งานอย่างแพร่หลายอยู่ก็ตาม

คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ทฤษฎีบทของคุมเมอร์กล่าวว่า จำนวนทดที่เกิดขึ้นในการบวกเลขสองจำนวนในฐาน 0 จะเท่ากับเลขชี้กำลังของกำลังสูงสุดของ การหาร สัมประสิทธิ์ทวินามที่ กำหนด $p$ $p$

เมื่อนำตัวเลขสุ่มหลายหลักมาบวกกัน สถิติของตัวเลขทดจะมีความสัมพันธ์ที่ไม่คาดคิดกับจำนวนออยเลอร์และสถิติของการเรียงสับเปลี่ยนแบบริฟเฟิลชัฟเฟิล^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

ในพีชคณิตนามธรรมการดำเนินการทดสำหรับจำนวนสองหลักสามารถกำหนดเป็นทางการได้โดยใช้ภาษาของ โคฮอโมโล ยีกลุ่ม^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}มุมมองนี้สามารถนำไปใช้กับลักษณะเฉพาะทางเลือกของจำนวนจริงได้^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

เครื่องคิดเลขเชิงกล

การทดเลขเป็นหนึ่งในความท้าทายพื้นฐานที่นักออกแบบและผู้สร้างเครื่องคิดเลขเชิงกล ต้องเผชิญ พวกเขาต้องเผชิญกับความยากลำบากพื้นฐานสองประการ: ประการแรก เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าการทดเลขอาจต้องเปลี่ยนตัวเลขหลายหลัก: ในการบวก 1 กับ 999 เครื่องจะต้องเพิ่มตัวเลขถึง 4 หลักที่แตกต่างกัน ความท้าทายอีกประการหนึ่งคือข้อเท็จจริงที่ว่าการทดเลขอาจ "เกิดขึ้น" ก่อนที่ตัวเลขถัดไปจะเสร็จสิ้นการบวก

เครื่องคิดเลขเชิงกลส่วนใหญ่ใช้การคำนวณตัวทดโดยการประมวลผลรอบการทดแยกต่างหากหลังจากทำการบวกเสร็จสิ้นแล้ว ในระหว่างการบวก ตัวทดแต่ละตัวจะถูก "ส่งสัญญาณ" แทนที่จะทำการคำนวณจริง และในระหว่างรอบการทด เครื่องจะเพิ่มค่าตัวเลขที่อยู่เหนือตัวเลขที่ "ถูกส่งสัญญาณ" การดำเนินการนี้จะต้องทำตามลำดับ โดยเริ่มจากหลักหน่วย จากนั้นหลักสิบ หลักร้อย และอื่นๆ เนื่องจาก1การบวกตัวทดอาจทำให้เกิดตัวทดใหม่ในตัวเลขถัดไป

เครื่องคำนวณบางชนิด โดยเฉพาะเครื่องคิดเลขของปาสคาลซึ่งเป็นเครื่องคิดเลขเครื่องที่สองที่รู้จักกัน และเป็นเครื่องที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงเหลืออยู่ ใช้หลักการที่แตกต่างออกไป กล่าวคือ การเพิ่มค่าตัวเลขจาก 0 เป็น 9 จะไปกระตุ้นกลไกเพื่อเก็บพลังงาน และการเพิ่มค่าครั้งต่อไป ซึ่งเปลี่ยนค่าตัวเลขจาก 9 เป็น 0 จะปล่อยพลังงานนี้ออกมาเพื่อเพิ่มค่าตัวเลขถัดไปอีก 1 ปาสคาลใช้ตุ้มน้ำหนักและแรงโน้มถ่วงในเครื่องของเขา เครื่องคำนวณอีกเครื่องหนึ่งที่ใช้หลักการคล้ายกันคือ เครื่องคิดเลข Comptometer ที่ประสบความสำเร็จอย่างมากในศตวรรษที่ 19 ซึ่งใช้สปริงแทนตุ้มน้ำหนัก

เครื่องจักรนวัตกรรมบางเครื่องใช้ระบบส่งกำลังแบบต่อเนื่อง: การเพิ่ม 1 ให้กับตัวเลขใดๆ จะทำให้ตัวเลขถัดไปเลื่อนไป 1/10 (ซึ่งจะทำให้ตัวเลขถัดไปเลื่อนไป 1/100 และต่อไปเรื่อยๆ) เครื่องคิดเลขยุคแรกๆ ที่มีนวัตกรรมบางเครื่อง โดยเฉพาะ เครื่องคิดเลข Chebyshevจากปี 1870 ^{[ 10 ]}และการออกแบบโดย Selling ^{[ 11 ]}จากปี 1886 ใช้ระบบนี้ แต่ก็ไม่ประสบความสำเร็จ ในช่วงต้นทศวรรษ 1930 เครื่องคิดเลข Marchantได้นำระบบส่งกำลังแบบต่อเนื่องมาใช้และประสบความสำเร็จอย่างมาก โดยเริ่มจากเครื่องคิดเลขที่มีชื่อว่า "Silent Speed" Marchant (ต่อมากลายเป็นSCM Corporation ) ยังคงใช้และปรับปรุงระบบนี้ต่อไป และสร้างเครื่องคิดเลขแบบส่งกำลังแบบต่อเนื่องที่มีความเร็วที่ไม่มีใครเทียบได้ จนถึงปลายทศวรรษ 1960 ซึ่งเป็นช่วงสิ้นสุดยุคของเครื่องคิดเลขเชิงกล

การคำนวณ

เมื่อพูดถึงวงจรดิจิทัลเช่น วงจรบวกเลข คำว่า " carry"ก็ถูกใช้ในความหมายที่คล้ายคลึงกัน

ในคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่ ค่า carry จากบิตที่มีค่ามากที่สุดในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ (หรือบิตที่เลื่อนออกมาจากการดำเนินการเลื่อนบิต) จะถูกเก็บไว้ในบิต carry พิเศษ ซึ่งสามารถใช้เป็น carry-in สำหรับการคำนวณเลขคณิตความแม่นยำสูง หรือใช้ทดสอบและควบคุมการทำงานของโปรแกรมคอมพิวเตอร์บิต carryเดียวกันนี้โดยทั่วไปยังใช้เพื่อระบุการยืมในการลบด้วย แม้ว่าความหมายของบิตจะกลับด้านเนื่องจากผลของ เลขคณิต แบบ two's complementโดยปกติแล้ว ค่าบิต carry เป็น "1" หมายความว่าการบวกเกินขีดจำกัดของALUและต้องนำมาพิจารณาเมื่อบวกคำข้อมูลที่มีความยาวมากกว่า CPU สำหรับการดำเนินการลบ มีการใช้ข้อกำหนดสองแบบ (ตรงกันข้าม) เนื่องจากเครื่องส่วนใหญ่จะตั้งค่าแฟล็ก carry เมื่อมีการยืม ในขณะที่บางเครื่อง (เช่น 6502 และ PIC) จะรีเซ็ตแฟล็ก carry เมื่อมีการยืม (และในทางกลับกัน)

การทดค่าอาจนำไปสู่ค่าเกินขีดจำกัดของจำนวนเต็มได้

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "แครี่" . แมธเวิลด์ .
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ยืม" . แมธเวิลด์ .
การขนส่ง - nLab

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]