ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์เป็นปริภูมิเอดิกชนิดพิเศษ ซึ่งปรากฏในการศึกษาปัญหาของ " ลักษณะ ผสม " เช่นฟิลด์เฉพาะที่มีลักษณะ เป็นศูนย์ ซึ่งมีฟิลด์ตกค้างที่มีลักษณะเป็นจำนวนเฉพาะp

ฟิลด์เพอร์เฟคทอยด์คือฟิลด์โทโพโลยี สมบูรณ์ K ซึ่ง โทโพโลยีของมันถูกกำหนดโดยการประเมินค่า แบบไม่ต่อเนื่อง ที่มีอันดับ 1 โดยที่เอนโดมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุส Φ เป็นการส่งทั่วถึงบนK °/ pโดยที่K ° หมายถึงวงแหวน ขององค์ประกอบที่มีขอบเขตกำลัง

พื้นที่เพอร์เฟคทอยด์อาจใช้เพื่อ (และถูกคิดค้นขึ้นเพื่อ) เปรียบเทียบสถานการณ์ลักษณะผสมกับสถานการณ์ลักษณะจำกัดล้วนๆ เครื่องมือทางเทคนิคสำหรับการทำให้สิ่งนี้แม่นยำยิ่งขึ้นคือความสมมูลของการเอียงและทฤษฎีบทความบริสุทธิ์เกือบสมบูรณ์ แนวคิดเหล่านี้ได้รับการแนะนำในปี 2012 โดยPeter Scholze ^{[ 1 ]}

สำหรับฟิลด์เพอร์เฟคทอยด์K ใดๆ จะมีค่าเอียงK ^♭ซึ่งเป็นฟิลด์เพอร์เฟคทอยด์ที่มีลักษณะเฉพาะp ที่จำกัด โดยสามารถนิยามได้เป็น เซต ดังนี้

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.}$

กล่าวอย่างชัดเจน สมาชิกของK ^♭คือลำดับ อนันต์ ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) ของสมาชิกของKโดยที่x _i = x^พี_{ไอ +1}การคูณในK ^♭ถูกกำหนดเป็นเทอมต่อเทอม ในขณะที่การบวกมีความซับซ้อนกว่า ถ้าKมีลักษณะเฉพาะที่จำกัด แล้วK ≅ K ^♭ถ้าKเป็นการเติมเต็มp -adic ของแล้วK ^♭เป็นการ เติมเต็ม t - adic ของ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$

มีแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเพอร์เฟคทอย ด์ และปริภูมิเพอร์ เฟคทอยด์ เหนือฟิลด์เพ อร์เฟ คทอยด์Kซึ่งคล้ายคลึงกับพีชคณิตสลับที่และสกีมเหนือ ฟิลด์ การดำเนินการเอียงขยายไปถึงวัตถุเหล่านี้ ถ้าXเป็นปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์เหนือฟิลด์เพอร์เฟ คทอยด์ Kแล้ว เราสามารถสร้างปริภูมิเพอร์เฟ คทอยด์ X ^♭เหนือK ^♭ ได้ ความสมมูลของการเอียงเป็นทฤษฎีบทที่ฟังก์ชันการเอียง( - ) ^♭ เหนี่ยว นำให้เกิดความสมมูลของหมวดหมู่ระหว่างปริภูมิเพอร์เฟ คทอยด์เหนือ Kและปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์เหนือK ^{♭ โปรดทราบว่าในขณะที่ฟิลด์เพอร์เฟคทอยด์ที่มีลักษณะเฉพาะจำกัดอาจมี "untilts" ที่ไม่} เหมือนกันหลายตัวหมวดหมู่ของปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์เหนือฟิลด์เหล่านั้นจะสมมูลกันทั้งหมด

ความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่นี้เคารพคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการของมอร์ฟิซึม คุณสมบัติหลายประการของมอร์ฟิซึมของสกีมมีอนาล็อกสำหรับมอร์ฟิซึมของปริภูมิอะ ดิก ทฤษฎี บทความบริสุทธิ์เกือบสมบูรณ์สำหรับปริภูมิเพอร์เฟกทอยด์เกี่ยวข้องกับมอร์ฟิ ซึมเอทาล จำกัด เป็นการวางนัยทั่วไปของ ทฤษฎีบทความบริสุทธิ์เกือบสมบูรณ์ของ ฟัลติงส์ในทฤษฎีฮอดจ์p-อะดิกชื่อนี้อ้างอิงถึงคณิตศาสตร์เกือบสมบูรณ์ซึ่งใช้ในการพิสูจน์ และทฤษฎีบทคลาสสิกที่เกี่ยวข้องห่างไกลเกี่ยวกับความบริสุทธิ์ของโลคัสสาขา^{[ 2 ]}

ประโยคนี้มีสองส่วน ให้Kเป็นฟิลด์เพอร์เฟคทอยด์

• ถ้าX → Yเป็นมอร์ฟิซึมเอทาลจำกัดของปริภูมิอะดิกเหนือKและYเป็นเพอร์เฟคทอยด์แล้วXก็เป็นเพอร์เฟคทอยด์ด้วย
• มอร์ฟิซึมX → Yของปริภูมิเพอร์เฟกทอยด์เหนือK เป็นเอทาลจำกัดก็ต่อเมื่อทิลต์X ^♭ → Y ^♭เป็นเอทาลจำกัดเหนือK ^♭

เนื่องจากแผนที่เอทาลจำกัดไปยังฟิลด์เป็นส่วนขยายฟิลด์ที่แยกได้ จำกัดอย่างแท้จริง ทฤษฎีบทความบริสุทธิ์เกือบสมบูรณ์จึงบ่งชี้ว่าสำหรับฟิลด์เพอร์เฟกทอยด์K ใดๆ กลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของKและK ^♭ นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน

• สนามที่สมบูรณ์แบบ

• Bhatt, Bhargav . "พื้นที่เพอร์เฟคทอยด์คืออะไร?" (PDF) . วารสารของ AMS . สืบค้นเมื่อ2 มกราคม 2020 .
• "ปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์" คืออะไร?" . MathOverflow .
• พื้นฐานของพื้นที่เพอร์เฟคทอยด์โดย แมทธิว มอร์โรว์
• ปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์แบบลีน นิยาม ของปริภูมิเพอร์เฟคทอยด์ที่ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการใน ตัวพิสูจน์ทฤษฎีบทแบบลีน