ในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต มอร์ฟิซึมจำกัดระหว่างวาไรตี้แอฟฟิน สองตัว คือแผนที่ปกติ หนาแน่น ซึ่งเหนี่ยวนำการรวมไอโซมอร์ฟิกระหว่างวงแหวนพิกัด ของพวกมัน โดยที่เป็นจำนวนเต็มเหนือ^{[ 1 ]}คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปยังวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟ ได้ โดยที่แผนที่ปกติระหว่างวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟจะเป็นแบบจำกัดหากจุดใด ๆมีบริเวณใกล้เคียงแอฟฟิน V โดยที่เป็นแอฟฟินและเป็นแผนที่จำกัด (เมื่อพิจารณาจากคำจำกัดความก่อนหน้านี้ เนื่องจากอยู่ระหว่างวาไรตี้แอฟฟิน) ^{[ 2 ]}${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$${\displaystyle k\left[X\right]}$${\displaystyle k\left[Y\right]}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$${\displaystyle f\colon U\to V}$

มอร์ฟิซึมf : X → Yของสกีมเรียกว่า มอร์ฟิซึมจำกัด ถ้าYมีการคลุมแบบเปิดโดยสกีมเชิงเส้นตรง

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}$

โดย ที่สำหรับแต่ละi

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

เป็นซับสกีมแอฟฟินแบบเปิด Spec A _iและการจำกัดfไปยังU _iซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

ทำให้A _iเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือB _i (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพีชคณิต B i _ที่จำกัด ) ^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่าXเป็นค่าจำกัดเหนือY

ในความเป็นจริงfมีค่าจำกัดก็ต่อเมื่อสำหรับซับสกีมแอฟฟินแบบเปิดV = Spec BในY ทุกอันภาพผกผันของVในXมีค่าแอฟฟินในรูปแบบ Spec Aโดยที่Aเป็นโมดูลBที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด^{[ 4 ]}

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟิลด์k ใดๆ เป็นมอร์ฟิซึมจำกัด เนื่องจากเป็นโมดูล ในทางเรขาคณิต เห็นได้ชัดว่าเป็นมอร์ฟิซึมจำกัด เนื่องจากเป็นการปกคลุมแบบแผ่น n แผ่นที่แตกแขนงของเส้นตรงเชิงเส้นตรงซึ่งเสื่อมสภาพที่จุดกำเนิด ในทางตรงกันข้าม การรวมA ¹ − 0 เข้าไปในA ¹ไม่ใช่มอร์ฟิซึมจำกัด (อันที่จริงวงแหวนพหุนามลอเรนต์k [ y , y ⁻¹ ] ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูลเหนือk [ y ]) สิ่งนี้จำกัดสัญชาตญาณทางเรขาคณิตของเราไว้เฉพาะตระกูลแบบทั่วถึงที่มีไฟเบอร์ จำกัด${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$${\displaystyle k[t]}$

• การประกอบกันของมอร์ฟิซึมจำกัดสองตัวจะมีค่าจำกัด
• การเปลี่ยนฐานใดๆของมอร์ฟิซึมจำกัดf : X → Yนั้นเป็นมอร์ฟิซึมจำกัด นั่นคือ ถ้าg : Z → Yเป็นมอร์ฟิซึมของสกีมใดๆ แล้วมอร์ฟิซึมที่ได้X × _Y Z → Zนั้นเป็นมอร์ฟิซึมจำกัด ซึ่งสอดคล้องกับข้อความทางพีชคณิตต่อไปนี้: ถ้าAและC เป็นพีชคณิต B (แบบสลับที่ได้) และAถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ โมดูล Bแล้วผลคูณเทนเซอร์A ⊗ _B Cจะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ โมดูล Cอันที่จริง ตัวสร้างสามารถเลือกได้ว่าเป็นองค์ประกอบa _i ⊗ 1 โดยที่a _iคือตัวสร้างที่กำหนดให้ของAในฐานะโมดูลB
• การฝังแบบปิดเป็นการฝังแบบจำกัด เนื่องจากกำหนดโดยA → A / I ในระดับท้องถิ่น โดยที่Iคือไอเดียล (ส่วนของชีฟไอเดียล ) ที่สอดคล้องกับสับสกีมแบบปิด
• มอร์ฟิซึมจำกัดปิด ดังนั้น (เนื่องจากความเสถียรภายใต้การเปลี่ยนฐาน) จึงเหมาะสม^{[ 4 ]}สิ่งนี้เป็นผลมาจาก ทฤษฎีบท การขึ้นไปของ Cohen-Seidenberg ในพีชคณิตสลับที่
• มอร์ฟิซึมจำกัดมีไฟเบอร์จำกัด (นั่นคือ เป็นแบบกึ่งจำกัด ) ^{[ 4 ]}สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับฟิลด์kพีชคณิตkจำกัดทุกตัว เป็น วงแหวนอาร์ทิเนียนข้อความที่เกี่ยวข้องคือสำหรับมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงจำกัดf : X → Yนั้นXและY มี มิติเดียวกัน
• โดยDeligneมอร์ฟิซึมของสกีมจะเป็นแบบจำกัดก็ต่อเมื่อเป็นแบบที่เหมาะสมและกึ่งจำกัด^{[ 5 ]} Grothendieckได้แสดงให้เห็นแล้วว่ามอร์ฟิซึมf : X → Y นั้น เป็นการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่นซึ่งเป็นผลมาจากสมมติฐานอื่นๆ หากYเป็นโนเธอร์เรียน^{[ 6 ]}
• มอร์ฟิซึมจำกัดเป็นทั้งแบบโปรเจคทีฟและแอฟฟิน^{[ 4 ]}

• อภิธานศัพท์เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
• มอร์ฟิซึมของประเภทจำกัด