นี่คืออภิธานศัพท์เกี่ยวกับเลขคณิตและเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ในทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาที่พัฒนามาจากการศึกษาแบบดั้งเดิมของสมการไดโอแฟนไทน์ครอบคลุมส่วนใหญ่ของทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีส่วนใหญ่อยู่ในรูปของข้อสันนิษฐาน ที่เสนอ ซึ่งสามารถเชื่อมโยงกันได้ในระดับความทั่วไปต่างๆ
เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์โดยทั่วไปคือการศึกษาเกี่ยวกับวาไรตี้เชิงพีชคณิตVบนฟิลด์Kซึ่งถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดบนฟิลด์เฉพาะ ของมัน—รวมถึง ฟิลด์จำนวนและฟิลด์จำกัด ซึ่งเป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ—และบนฟิลด์เฉพาะที่ในบรรดาวาไรตี้เหล่านั้น มีเพียงจำนวนเชิงซ้อน เท่านั้น ที่เป็นวาไรตี้ปิดเชิง พีชคณิต บนฟิลด์ Kอื่นๆการมีอยู่ของจุดในVที่มีพิกัดอยู่ในKเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์และศึกษาเพิ่มเติมในฐานะหัวข้อพิเศษ แม้จะทราบเรขาคณิตของV แล้ว ก็ตาม
เรขาคณิตเชิงเลขคณิตสามารถนิยามได้โดยทั่วไปว่าเป็นการศึกษาแผนผังประเภทจำกัดเหนือสเปกตรัมของวงแหวนจำนวนเต็ม[ 1 ] เรขาคณิตเชิงเลขคณิตยังได้รับการ นิยามว่าเป็นการประยุกต์ใช้เทคนิคของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกับปัญหาในทฤษฎีจำนวน[ 2 ]
ดูเพิ่มเติมได้ในอธิบายศัพท์ทฤษฎีจำนวนที่อภิธาน ศัพท์ทฤษฎีจำนวน
เอ
การคาดการณ์ของ ABCสมมติฐาน abcของMasser และ Oesterlé พยายามที่จะอธิบายให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกันในสมการa + b = cตัวอย่างเช่น 3 + 125 = 128 แต่เลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะในที่นี้เป็นข้อยกเว้นกลุ่มเรียนอาราเคโลฟกลุ่มคลาส Arakelovเป็นกลุ่มคลาสแบบเดียวกับกลุ่มคลาสอุดมคติหรือกลุ่มคลาสตัวหารสำหรับ ตัว หารArakelov [ 3 ]ตัวหารอาราเคโลฟตัวหาร Arakelov (หรือตัวหารที่สมบูรณ์[ 4 ] ) บนฟิลด์ทั่วโลกเป็นการขยายแนวคิดของตัวหารหรืออุดมคติเศษส่วนเป็นผลรวมเชิงเส้นอย่างเป็นทางการของตำแหน่งของฟิลด์ โดยตำแหน่งจำกัดจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และตำแหน่งอนันต์จะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง[ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]ความสูงของอาราเคโลฟความสูงของ Arakelov บนพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตคือฟังก์ชันความสูง ทั่วโลก ที่มีส่วนประกอบท้องถิ่นที่มาจากเมตริก Fubini–Studyบนฟิลด์อาร์คิมีเดียนและเมตริกปกติบนฟิลด์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน[ 7 ] [ 8 ]ทฤษฎีอาราเคโลฟทฤษฎีของอาราเคโลฟเป็นแนวทางหนึ่งในเรขาคณิตเชิงเลขคณิตที่รวมเอา 'จำนวนเฉพาะอนันต์' ไว้โดยชัดเจนเลขคณิตของวาไรตี้อาเบเลียนดูบทความหลักเรื่องเลขคณิตของวาไรตี้อาเบเลียนฟังก์ชัน L ของอาร์ตินฟังก์ชัน L ของ Artin ถูกกำหนดขึ้นสำหรับ ตัวแทน Galoisทั่วไปการนำโคฮอโมโลยีแบบ étale มาใช้ ในช่วงทศวรรษ 1960 ทำให้ฟังก์ชัน L ของ Hasse–Weilสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชัน L ของ Artin สำหรับตัวแทน Galois บนกลุ่มโคฮอโมโลยี l-adicบี
- การลดลงที่ไม่ดี
- พบส่วนลดดีๆ
- ข้อสันนิษฐานของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
- ข้อสันนิษฐาน ของBirch และ Swinnerton-Dyerเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีตั้งสมมติฐานถึงความเชื่อมโยงระหว่างอันดับของเส้นโค้งวงรีกับอันดับของขั้วของฟังก์ชัน L ของ Hasse–Weil ถือเป็นจุดสำคัญในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 1960 โดยมีผลลัพธ์ต่างๆ เช่นทฤษฎีบท Coates–WilesทฤษฎีบทGross–ZagierและทฤษฎีบทKolyvagin [ 9 ]
ซี
ความสูงมาตรฐานความสูงมาตรฐานบนวาไรตี้อาเบเลียนคือฟังก์ชันความสูงที่เป็นรูปแบบกำลังสองที่ โดดเด่น ดูความสูงของเนรอง-เทตวิธีการของชาโบตีวิธีของ Chabautyซึ่งอิงตาม ฟังก์ชันวิเคราะห์ p -adic เป็นการประยุกต์ใช้พิเศษ แต่สามารถพิสูจน์กรณีของข้อสันนิษฐานของ Mordellสำหรับเส้นโค้งที่มีอันดับของ Jacobian น้อยกว่ามิติของมันได้ วิธีนี้พัฒนาแนวคิดมาจากวิธีของThoralf Skolem สำหรับ ทอรัสเชิงพีชคณิต (วิธีเก่าอื่นๆ สำหรับปัญหาไดโอแฟนไทน์ ได้แก่วิธีของ Runge )ทฤษฎีบทโคตส์-ไวลส์ทฤษฎีบท Coates –Wilesระบุว่าเส้นโค้งวงรีที่มีการคูณเชิงซ้อนด้วยฟิลด์กำลังสองจินตนาการที่มีหมายเลขชั้น 1 และอันดับ บวก จะมีฟังก์ชัน Lที่มีศูนย์ที่s = 1 นี่เป็นกรณีพิเศษของการคาดการณ์ของ Birch และ Swinnerton - Dyer [ 10 ]โคฮอโมโลยีผลึกโคฮอโมโลยีแบบผลึก (Crystalline cohomology)เป็นทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบ p-adic ในลักษณะเฉพาะ pซึ่งนำเสนอโดยAlexander Grothendieckเพื่อเติมเต็มช่องว่างที่เหลืออยู่จาก โคฮอโมโลยีแบบ เอตาเล (étale cohomology)ซึ่งมีข้อบกพร่องในการใช้สัมประสิทธิ์ mod pในกรณีนี้ มันเป็นหนึ่งในทฤษฎีจำนวนมากที่ได้มาจากวิธีของ Dwork ในบางแง่มุม และมีการประยุกต์ใช้ที่นอกเหนือจากคำถามทางคณิตศาสตร์ล้วนๆดี
รูปทรงแนวทแยงรูปแบบแนวทแยงเป็นหนึ่งในวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ ที่ง่ายที่สุด ในการศึกษาจากมุมมองทางพีชคณิต (รวมถึงวาไรตี้ของแฟร์มาต์ ) ฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ ของพวกมัน คำนวณได้ในรูปของผลรวมจาโคบีปัญหาของวาริงเป็นกรณีคลาสสิกที่สุดมิติไดโอแฟนไทน์มิติไดโอแฟนไทน์ของฟิลด์คือจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดkถ้ามีอยู่จริง โดยที่ฟิลด์ของเป็นคลาส C kกล่าวคือ พหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdใน ตัวแปร N ตัวใด ๆ จะมีศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่N > d kฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตมีมิติไดโอแฟนไทน์เป็น 0 ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตกึ่งมีมิติเป็น 1 [ 11 ]ตัวแยกแยะของจุดตัวแยกแยะของจุดหมายถึงแนวคิดสองอย่างที่เกี่ยวข้องกับจุดPบนวาไรตี้พีชคณิตVที่กำหนดเหนือฟิลด์จำนวนK : ตัวแยกแยะทางเรขาคณิต (ลอการิทึม) [ 12 ] d ( P ) และตัวแยกแยะทางเลขคณิตซึ่งกำหนดโดย Vojta [ 13 ]ความแตกต่างระหว่างทั้งสองอาจเปรียบเทียบได้กับความแตกต่างระหว่างจีนัสทางเลขคณิตของเส้นโค้งเอกฐานและจีนัสทางเรขาคณิตของการลดเอกฐาน [ 13 ] จีนัสทางเลขคณิตมีขนาดใหญ่กว่าจีนัสทางเรขาคณิต และความสูงของจุดอาจถูกจำกัดในแง่ของจีนัสทางเลขคณิต การได้รับขอบเขตที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับจีนัสทางเรขาคณิตจะมีผลอย่างมาก[ 13 ]วิธีการของดเวิร์กเบอร์นาร์ด ดวอร์คใช้ระเบียบวิธีเฉพาะของการวิเคราะห์ p-adic , สมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิต p-adic , คอมเพล็กซ์ Koszulและเทคนิคอื่นๆ ที่ยังไม่ได้ถูกผนวกเข้ากับทฤษฎีทั่วไป เช่นโคฮอโมโลยีแบบผลึกเขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ความมีเหตุผลของฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ ซึ่งเป็นความก้าวหน้าเบื้องต้นในทิศทางของสมมติฐาน ของไว ล์อี
โคฮอโมโลยีของเอตาเลการค้นหาโคฮอโมโลยีของ Weil (ดูเพิ่มเติม) ประสบความสำเร็จอย่างน้อยบางส่วนใน ทฤษฎี โคฮอโมโลยี étaleของAlexander GrothendieckและMichael Artinซึ่งให้การพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่และเป็นพื้นฐานในการกำหนดสมมติฐาน Tate (ดูเพิ่มเติม) และทฤษฎีอื่นๆ อีกมากมายเอฟ
ความสูงของฟอลติ้งความสูงของ Faltingsของเส้นโค้งวงรีหรือวาไรตี้อาเบเลียนที่กำหนดเหนือฟิลด์จำนวนคือการวัดความซับซ้อนที่Faltings นำมาใช้ ในการพิสูจน์สมมติฐาน Mordellของ เขา [ 14 ] [ 15 ]ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งเป็นข้อสันนิษฐานที่มีชื่อเสียงที่สุดในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ ได้รับการพิสูจน์โดยแอนดรูว์ ไวลส์และริชาร์ด เทย์เลอร์โคฮอโมโลยีแบบราบโคฮอโมโลยีแบบราบ (Flat cohomology)เป็นจุดสิ้นสุดของการพัฒนาในสำนักของโกรเทนดีค (Grothendieck) ข้อเสียคือการคำนวณค่อนข้างยาก เหตุผลที่โทโพโลยีแบบราบถูกพิจารณาว่าเป็นโทโพ โลยีพื้นฐานที่ 'ถูกต้อง' สำหรับทฤษฎีสกีม (scheme theory ) มาจากข้อเท็จจริงของการสืบทอดแบบราบที่ซื่อสัตย์ (faithfully-flat descent ) การค้นพบของโกรเทนดีคที่ว่าฟังก์ชันตัวแทน (representable functors ) เป็นชีฟ (sheaves) สำหรับโทโพโลยีแบบราบ (กล่าวคือ สัจพจน์ การเชื่อมต่อ ทั่วไปมาก ๆ เป็นจริง )การเปรียบเทียบสนามฟังก์ชันในศตวรรษที่สิบเก้า ได้มีการตระหนักว่าวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนนั้นมีความคล้ายคลึงกับวงแหวนพิกัดเชิงเส้นของเส้นโค้งพีชคณิตหรือพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด โดยที่จุดหรือมากกว่านั้นสอดคล้องกับ 'ตำแหน่งอนันต์' ของฟิลด์จำนวน แนวคิดนี้ได้รับการเข้ารหัสอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นในทฤษฎีที่ว่าฟิลด์ทั่วโลกควรได้รับการปฏิบัติบนพื้นฐานเดียวกัน แนวคิดนี้ยังไปไกลกว่านั้นอีก ดังนั้นพื้นผิววงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อนจึงมีความคล้ายคลึงอย่างเข้มงวดกับเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์จำนวน ด้วยเช่นกันจี
ทฤษฎีฟิลด์ชั้นเรขาคณิตการขยายผลลัพธ์แบบทฤษฎีฟิลด์ชั้น (class field theory) เกี่ยวกับ การคลุมแบบอาเบเลียน (abelian coverings)ไปยังวาไรตี้ที่มีมิติอย่างน้อยสอง มักเรียกว่าทฤษฎีฟิลด์ชั้นเชิงเรขาคณิต (geometric class field theory)การลดราคาที่ดีหัวใจสำคัญของการวิเคราะห์เชิงพื้นที่ในปัญหาทางคณิตศาสตร์คือการลดทอนโมดูลัสของจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด หรือโดยทั่วไปแล้วคืออุดมคติเฉพาะ ในสถานการณ์ทั่วไป การทำเช่นนี้แทบไม่มีปัญหาสำหรับp เกือบทั้งหมด ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของเศษส่วนมีความซับซ้อน เนื่องจากการลดทอนโมดูลัสของจำนวนเฉพาะในตัวส่วนดูเหมือนการหารด้วยศูนย์แต่จะตัดp ออกไปเพียงจำนวนจำกัด ต่อเศษส่วนเท่านั้น ด้วยความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยพิกัดเอกพันธุ์ช่วยให้สามารถกำจัดตัวส่วนได้โดยการคูณด้วยสเกลาร์ร่วม สำหรับจุดเดียวที่กำหนด เราสามารถทำเช่นนี้ได้โดยไม่เหลือตัวประกอบร่วมpอย่างไรก็ตามทฤษฎีเอกฐานเข้ามาเกี่ยวข้อง: จุดที่ ไม่เอกฐานอาจกลายเป็นจุดเอกฐานเมื่อลดทอนโมดูลัสpเนื่องจากปริภูมิสัมผัสของ Zariskiอาจมีขนาดใหญ่ขึ้นเมื่อพจน์เชิงเส้นลดลงเหลือ 0 (การกำหนดทางเรขาคณิตแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่ความผิดของชุดพิกัดชุดเดียว) การลดที่ดีหมายถึงความหลากหลายที่ลดลงซึ่งมีคุณสมบัติเหมือนกับของเดิม ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งพีชคณิต ที่มี จีนัสเดียวกันหรือความหลากหลายเรียบที่ยังคงเรียบ โดยทั่วไปจะมีเซตจำกัดSของจำนวนเฉพาะสำหรับความหลากหลายV ที่กำหนด ซึ่งถือว่าเรียบ โดยที่มิเช่นนั้นจะมีV p ที่ลดเรียบ เหนือZ / p Zสำหรับความหลากหลายอาเบลการลดที่ดีเชื่อมโยงกับการแตกแขนงในฟิลด์ของจุดแบ่งโดยเกณฑ์ Néron–Ogg–Shafarevichทฤษฎีนี้มีความละเอียดอ่อน ในแง่ที่ว่าอิสระในการเปลี่ยนตัวแปรเพื่อพยายามปรับปรุงสิ่งต่างๆ นั้นค่อนข้างไม่ชัดเจน ดูแบบจำลอง Néron การลดที่ดีที่เป็นไปได้เส้นโค้งTate ความหลากหลายอาเบลกึ่งเสถียรเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียรทฤษฎีบทSerre –Tate [ 16 ]สมมติฐาน Grothendieck–Katzสมมติฐานความโค้ง p ของ Grothendieck–Katzใช้การลดทอนโมดูลัสจำนวนเฉพาะกับสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิตเพื่อหาข้อมูลเกี่ยวกับ คำตอบของ ฟังก์ชันพีชคณิตผลลัพธ์เริ่มต้นของประเภทนี้คือทฤษฎีบทของ Eisensteinชม
หลักการของฮัสเซ่หลักการ ของHasseกล่าวว่า ความสามารถในการละลายสำหรับฟิลด์ทั่วโลกนั้นเหมือนกับความสามารถในการละลายในฟิลด์เฉพาะ ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด หนึ่งในวัตถุประสงค์หลักของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือการจำแนกกรณีที่หลักการของ Hasse เป็นจริง โดยทั่วไปแล้วจะเป็นกรณีที่มีตัวแปรจำนวนมาก เมื่อดีกรีของสมการคงที่ หลักการของ Hasse มักเกี่ยวข้องกับความสำเร็จของวิธีการวงกลมของ Hardy–Littlewoodเมื่อวิธีการวงกลมใช้ได้ผล มันสามารถให้ข้อมูลเชิงปริมาณเพิ่มเติม เช่น จำนวนคำตอบเชิงอะซิมโทติก การลดจำนวนตัวแปรทำให้วิธีการวงกลมยากขึ้น ดังนั้น ความล้มเหลวของหลักการของ Hasse ตัวอย่างเช่น สำหรับรูปแบบลูกบาศก์ในจำนวนตัวแปรน้อย (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเส้นโค้งวงรีในฐานะเส้นโค้งลูกบาศก์ ) โดยทั่วไปแล้วจึงเชื่อมโยงกับข้อจำกัดของวิธีการวิเคราะห์ฟังก์ชัน L ของ Hasse–Weilฟังก์ชัน L ของ Hasse–Weilซึ่งบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชัน L ทั่วโลก คือ ผลคูณของออยเลอร์ที่เกิดจากฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ คุณสมบัติของฟังก์ชัน L ดังกล่าว ส่วนใหญ่ยังคงอยู่ในขอบเขตของการคาดเดา โดยการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Taniyama–Shimuraถือเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญปรัชญาของ Langlandsนั้นเป็นส่วนเสริมที่สำคัญของทฤษฎีฟังก์ชัน L ทั่วโลกฟังก์ชันความสูงฟังก์ชันความสูงในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์จะระบุขนาดของคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์[ 17 ]ทุ่งฮิลเบิร์ตฟิลด์ฮิลเบิร์ตKคือฟิลด์ที่ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือKไม่ใช่เซตบางในความหมายของฌอง-ปิแอร์ แซร์นี่คือมุมมองทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้ของ ฮิลเบิร์ต ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนฮิลเบิร์ต ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาผกผันของกาลัวเซตบาง (คำภาษาฝรั่งเศสคือmince ) ในบางแง่คล้ายคลึงกับเซตน้อยนิด (ภาษาฝรั่งเศสmaigre ) ในทฤษฎีบทหมวดหมู่ของแบร์ฉัน
ฟังก์ชันซีตาของอิกุสะฟังก์ชันซีตาของอิกุสะซึ่งตั้งชื่อตามจุนอิจิ อิกุสะเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดที่นับจำนวนจุดบนวาไรตี้พีชคณิตโมดูลกำลังสูงp nของจำนวนเฉพาะp ที่กำหนดไว้ ปัจจุบัน ทฤษฎีบทความมีเหตุผลทั่วไปเป็นที่รู้จักแล้ว โดยอาศัยวิธีการของตรรกะทางคณิตศาสตร์[ 18 ]การลงสู่เบื้องล่างอันไม่มีที่สิ้นสุดการ ลดลงแบบอนันต์ (Infinite descent ) เป็นวิธีการคลาสสิกของปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ วิธีนี้กลายเป็นครึ่งหนึ่งของการพิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์เดลล์-ไวล์แบบมาตรฐาน โดยอีกครึ่งหนึ่งเป็นการให้เหตุผลด้วยฟังก์ชันความสูง (ดูเพิ่มเติม) การลดลงนั้นคล้ายกับการหารด้วยสองในกลุ่มของ ปริภูมิเอกพันธุ์หลัก (มักเรียกว่า 'การลดลง' เมื่อเขียนออกมาเป็นสมการ) ในแง่ที่ทันสมัยกว่านั้นคือใน กลุ่ม โคฮอโมโลยีของกาลัวส์ซึ่งต้องพิสูจน์ว่าเป็นกลุ่มจำกัด ดูกลุ่มเซลเมอร์ (Selmer group )ทฤษฎีอิวาซาวะทฤษฎีของอิวาซาวะสร้างขึ้นจากทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์และทฤษฎีบทของสติคเคลเบอร์เกอร์ในฐานะทฤษฎีของกลุ่มชั้นอุดมคติในรูปของโมดูลกาโลอิสและฟังก์ชัน L แบบ p-adic (ที่มีรากในความสอดคล้องของคุมเมอร์บนจำนวนเบอร์นูลลี ) ในช่วงแรกๆ ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 มันถูกเรียกว่าอนาล็อกของจาโคเบียนของอิวาซา วะ อนาล็อกนี้เปรียบเทียบกับวาไรตีจาโคเบียนJของเส้นโค้งCบนฟิลด์จำกัดF ( เทียบเท่ากับวาไรตีของปิการ์ด) โดยที่ฟิลด์จำกัดมีรากของเอกภาพที่เพิ่มเข้ามาเพื่อสร้างส่วนขยายฟิลด์จำกัดF ′ฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (qv) ของCสามารถกู้คืนได้จากจุดJ ( F ′ ) ในรูปของโมดูลกาโลอิส ในทำนองเดียวกัน อิวาซาวะได้เพิ่มรากของเอกภาพกำลังn จำนวน p ตัว สำหรับ ค่า p คงที่ และเมื่อn → ∞ สำหรับอนาล็อกของเขา ให้กับฟิลด์จำนวนKและพิจารณาลิมิตผกผันของกลุ่มชั้น โดยพบ ฟังก์ชัน L แบบ p -adic ซึ่งคูโบตะและเลโอโปลด์ได้แนะนำไว้ก่อนหน้านี้เค
ทฤษฎี Kทฤษฎี K เชิงพีชคณิตนั้น ในด้านหนึ่งเป็นทฤษฎีทั่วไปที่มี ลักษณะเฉพาะของ พีชคณิตนามธรรมและในอีกด้านหนึ่งก็เกี่ยวข้องกับการกำหนดสมมติฐานทางเลขคณิตบางประการ ดูตัวอย่างเช่นสมมติฐาน Birch–Tateและสมมติฐาน Lichtenbaumแอล
สมมติฐานของแลงEnrico Bombieri (มิติ 2), Serge LangและPaul Vojta (กรณีจุดอินทิกรัล) และ Piotr Blass ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่าวาไรตี้พีชคณิตประเภททั่วไปไม่มี เซตย่อย ที่หนาแน่นแบบ Zariskiของ จุด K -rational สำหรับKเป็นฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด วงจรความคิดนี้รวมถึงความเข้าใจเกี่ยวกับไฮเปอร์โบลิซิตี้เชิงวิเคราะห์และข้อสันนิษฐานของ Lang เกี่ยวกับเรื่องนั้น และข้อสันนิษฐานของ Vojta วาไรตี้พีชคณิตไฮเปอร์โบลิซิตี้เชิงวิเคราะห์Vบนจำนวนเชิงซ้อนคือวาไรตี้ที่ไม่มีการแมปโฮโลมอร์ฟิก จาก ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดไปยังวาไรตี้ดังกล่าว ซึ่งไม่ใช่ค่าคงที่ ตัวอย่างเช่นพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดของจีนัสg > 1 Lang ตั้งข้อสันนิษฐานว่าVเป็นไฮเปอร์โบลิซิตี้เชิงวิเคราะห์ก็ต่อเมื่อวาไรตี้ย่อยทั้งหมดเป็นประเภททั่วไป[ 19 ]ทอรัสเชิงเส้นโทรัสเชิงเส้นเป็น กลุ่มย่อยปิด Zariski ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ทางเรขาคณิตของโทรัสเชิงเส้น (ผลคูณของกลุ่มคูณ) [ 20 ]ฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta-function)คือฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับจำนวนจุดบนวาไรตีพีชคณิตVเหนือฟิลด์จำกัดF เหนือส่วน ขยายฟิลด์จำกัดของFตามสมมติฐานของไวล์ (Weil conjectures) (qv) ฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับ วาไรตี ที่ไม่เอกฐานจะแสดงคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ อย่างมาก รวม ถึงสมมติฐานของรีมันน์ด้วยเอ็ม
สมมติฐานของมานิน-มัมฟอร์ดข้อสันนิษฐาน ของManin–Mumfordซึ่งปัจจุบันได้รับการพิสูจน์โดยMichel Raynaudระบุว่าเส้นโค้งCในวาไรตี้ Jacobian J ของมันจะมีจุดที่มีลำดับจำกัดใน J ได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นเว้นแต่ว่าC = J [ 21 ] [ 22 ]สมมติฐานของมอร์เดลล์ข้อสันนิฐานของมอร์เดลล์ในปัจจุบันคือทฤษฎีบทของฟอลติงส์ซึ่งกล่าวว่าเส้นโค้งที่มีจีนัสอย่างน้อยสองจะมีจุดตรรกยะเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นข้อสันนิฐานเรื่องความสม่ำเสมอระบุว่าควรมีขอบเขตที่สม่ำเสมอสำหรับจำนวนจุดดังกล่าว โดยขึ้นอยู่กับจีนัสและฟิลด์ของการนิยามเท่านั้นสมมติฐานมอร์เดลล์-แลงข้อสันนิษฐานของ Mordell–Lang ซึ่งปัจจุบันได้รับการพิสูจน์โดยMcQuillanตามผลงานของ Laurent, Raynaud , Hindry, VojtaและFaltingsเป็นข้อสันนิษฐานของLangที่รวมข้อสันนิษฐานของ Mordell และข้อสันนิษฐานของ Manin–Mumford เข้าด้วยกัน ในวาไรตี้อาเบลหรือวาไรตี้เซมิอาเบล[ 23 ] [ 24 ]ทฤษฎีบทมอร์เดลล์-ไวล์ทฤษฎีบทมอร์เดลล์-ไวล์เป็นผลลัพธ์พื้นฐานที่ระบุว่า สำหรับวาไรตี้อาเบเลียนAบนฟิลด์จำนวนKกลุ่มA ( K ) เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดย จำนวนจำกัด ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกสำหรับฟิลด์จำนวนKแต่ขยายไปถึงฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดทั้งหมดพันธุ์มอร์เดลลิกวาไรตี้มอร์เดลลิกเป็นวาไรตี้พีชคณิตที่มีจุดเพียงจำนวนจำกัดในฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด[ 25 ]เอ็น
ความสูงที่ไร้เดียงสาความสูงแบบง่ายหรือความสูงแบบคลาสสิกของเวกเตอร์ของจำนวนตรรกยะคือค่าสัมบูรณ์สูงสุดของเวกเตอร์ของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมซึ่งได้จากการคูณด้วยตัวหารร่วมที่น้อยที่สุดซึ่งอาจใช้เพื่อกำหนดความสูงบนจุดในปริภูมิเชิงฉายเหนือQหรือของพหุนาม ซึ่งถือว่าเป็นเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ หรือของจำนวนพีชคณิต จากความสูงของพหุนามขั้นต่ำ[ 26 ]สัญลักษณ์เนรอนสัญลักษณ์Néronเป็นการจับคู่แบบทวีคูณระหว่างตัวหารและวัฏจักรพีชคณิตบนวาไรตี้อาเบเลียนที่ใช้ในสูตรความสูงของ Néron–Tate ของ Néron เป็นผลรวมของการมีส่วนร่วมในท้องถิ่น[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]สัญลักษณ์ Néron ทั่วโลก ซึ่งเป็นผลรวมของสัญลักษณ์ในท้องถิ่น เป็นเพียงค่าลบของการจับคู่ความสูง[ 30 ]ความสูงเนรอน-เทตความสูง Néron –Tate (หรือเรียกอีกอย่างว่าความสูงแบบแคนอนิก ) บนวาไรตี้อาเบเลียนAเป็นฟังก์ชันความสูง (qv) ที่โดยพื้นฐานแล้วเป็นฟังก์ชันภายใน และเป็นรูปแบบกำลังสอง ที่แน่นอน แทนที่จะเป็นรูปแบบกำลังสองโดยประมาณเมื่อเทียบกับการบวกบนAตามทฤษฎีความสูงทั่วไป สามารถกำหนดได้จากความสูงทั่วไปโดยกระบวนการจำกัด นอกจากนี้ยังมีสูตร ในแง่ที่ว่ามันเป็นผลรวมของการมีส่วนร่วมในท้องถิ่น[ 30 ]เนวานลินนา อินแวเรียนต์ค่าคงที่ เนวานลินนาของตัวหารแอมเพิลDบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติXคือจำนวนจริงที่อธิบายอัตราการเติบโตของจำนวนจุดตรรกยะบนวาไรตี้โดยสัมพันธ์กับการฝังตัวที่กำหนดโดยตัวหาร[ 31 ]มันมีคุณสมบัติเชิงรูปแบบที่คล้ายกับค่าแกน x ของการลู่เข้าของฟังก์ชันซีตาความสูงและมีการคาดเดาว่าโดยพื้นฐานแล้วมันเหมือนกัน[ 32 ]โอ
การลดลงตามปกติวาไรตี้อาเบเลียนAที่มีมิติdมี การลด แบบปกติที่ไพรม์pหากมีการลดที่ดีที่pและนอกจากนี้p -torsion มีอันดับd [ 33 ]คิว
การปิดแบบกึ่งพีชคณิตหัวข้อเรื่องการปิดแบบกึ่งพีชคณิต กล่าวคือ ความสามารถในการหาคำตอบที่รับประกันโดยตัวแปรจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นพหุนามตามดีกรีของสมการ เกิดขึ้นจากการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มบราวเออร์และทฤษฎีบทเชวาลลีย์-วอร์นิง แต่ หยุดชะงักลงเมื่อเผชิญกับตัวอย่างค้านอย่างไรก็ตาม โปรดดูทฤษฎีบทแอกซ์-โคเชนจากตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์อาร์
การลดทอนโมดูลัสจำนวนเฉพาะหรืออุดมคติพบส่วนลดดีๆอุดมคติที่สมบูรณ์แบบอุดมคติที่สมบูรณ์ในฟิลด์จำนวนKคือผลคูณอย่างเป็นทางการของอุดมคติเศษส่วนของKและเวกเตอร์ของจำนวนจริงบวกที่มีส่วนประกอบที่จัดทำดัชนีโดยตำแหน่งอนันต์ของK [ 34 ]ตัวหารที่สมบูรณ์คือ ตัว หารArakelov [ 4 ]เอส
สมมติฐานซาโตะ-เทตข้อสันนิษฐาน ของซาโตะ-เทตอธิบายถึงการกระจายตัวขององค์ประกอบฟรอเบนิอุสในโมดูลเทตของเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์จำกัดที่ได้จากการลดเส้นโค้งวงรีที่กำหนดเหนือจำนวนตรรกยะมิคิโอ ซาโตะและจอห์น เทต[ 35 ]เสนอข้อสันนิษฐานนี้โดยอิสระในช่วงประมาณปี 1960 มันเป็นต้นแบบสำหรับการแสดงแทนกาโลอิสโดยทั่วไปวิธีของสโกเลมดูวิธีการของ Chabautyชุดพิเศษเซตพิเศษในวาไรตี้พีชคณิตคือเซตย่อยที่คาดว่าจะพบจุดตรรกยะจำนวนมาก คำจำกัดความที่แน่นอนจะแตกต่างกันไปตามบริบท คำจำกัดความหนึ่งคือการปิดแบบ Zariskiของการรวมกันของภาพของกลุ่มพีชคณิตภายใต้แผนที่ตรรกยะที่ไม่ธรรมดา หรืออีกทางหนึ่งอาจใช้ภาพของวาไรตี้อาเบล[ 36 ]คำจำกัดความอีกประการหนึ่งคือการรวมกันของวาไรตี้ย่อยทั้งหมดที่ไม่ใช่ประเภททั่วไป[ 19 ]สำหรับวาไรตี้อาเบล คำจำกัดความจะเป็นการรวมกันของการแปลทั้งหมดของวาไรตี้ย่อยอาเบลที่เหมาะสม[ 37 ]สำหรับวาไรตี้เชิงซ้อนเซตพิเศษโฮโลมอร์ฟิกคือการปิดแบบ Zariski ของภาพของแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ทั้งหมดจากC Lang ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเซตพิเศษเชิงวิเคราะห์และเชิงพีชคณิตเท่ากัน[ 38 ]ทฤษฎีบทปริภูมิย่อยทฤษฎีบทปริภูมิย่อยของ Schmidt แสดงให้เห็นว่าจุดที่มีความสูงน้อยในปริภูมิเชิงฉายจะอยู่ในระนาบไฮเปอร์จำนวนจำกัด Schmidt ยังได้รูปแบบเชิงปริมาณของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งจำนวนปริภูมิย่อยที่บรรจุคำตอบทั้งหมด และ Schlickewei (1977) ได้ขยายทฤษฎีบทนี้เพื่อให้สามารถใช้ค่าสัมบูรณ์ ทั่วไป บนฟิลด์จำนวน ได้มากขึ้น ทฤษฎีบทนี้อาจใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์เช่นทฤษฎีบทของ Siegel เกี่ยวกับจุดอินทิก รัล และคำตอบของสมการ S-unit [ 39 ]ที
หมายเลขทามากาวะนิยาม โดยตรงของจำนวนทามากาวะใช้ได้ผลดีเฉพาะกับกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น เท่านั้น ในกรณีนั้นเองข้อสันนิษฐานของไวล์เกี่ยวกับจำนวนทามากาวะจึงได้รับการพิสูจน์ในที่สุด สำหรับวาไรตี้อาเบเลียน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อสันนิษฐานของเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (ดูเพิ่มเติม) แนวทางของจำนวนทามากาวะต่อหลักการท้องถิ่น-สากลนั้นล้มเหลวในการพยายามโดยตรง แม้ว่าจะมีคุณค่าในเชิงการค้นพบมาหลายปีแล้วก็ตาม ปัจจุบันข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนทามากาวะแบบสมมาตรที่ ซับซ้อน เป็นปัญหาการวิจัยที่สำคัญสมมติฐานของเทตข้อสันนิษฐานของ เทต ( John Tate , 1963) ให้ข้อสันนิษฐานที่คล้ายคลึงกับข้อสันนิษฐานของฮอดจ์ซึ่งก็เกี่ยวกับ วัฏจักร พีชคณิต เช่นกัน แต่จัดอยู่ในขอบเขตของเรขาคณิตเชิงเลขคณิต นอกจากนี้ สำหรับ พื้นผิววงรี ข้อสันนิษฐาน นี้ยังให้ข้อสันนิษฐานที่คล้ายคลึงกับข้อสันนิษฐานของเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch–Swinnerton-Dyer conjecture) (ดูเพิ่มเติม) ซึ่งนำไปสู่การชี้แจงข้อสันนิษฐานหลังและการยอมรับความสำคัญของมันอย่างรวดเร็วเส้นโค้งเทตเส้นโค้งเทต (Tate curve)เป็นเส้นโค้งวงรีเฉพาะบนจำนวน p-adicซึ่งจอห์น เทต (John Tate) นำมาใช้เพื่อศึกษาการลดรูปที่ไม่ดี (ดูการลดรูปที่ดี )อันดับเซินอันดับTsenของฟิลด์ ซึ่งตั้งชื่อตามCC Tsenผู้ริเริ่มการศึกษานี้ในปี 1936 [ 40 ]คือจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดiถ้ามีอยู่จริง ฟิลด์นั้นจะเป็นชั้น T iกล่าวคือ ระบบพหุนามใดๆ ที่ไม่มีพจน์คงที่ดีกรีd jใน ตัวแปร nตัว จะมีศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ศูนย์เมื่อใดก็ตามที่n > Σ d j iฟิลด์ที่ปิดทางพีชคณิตจะมีอันดับ Tsen เป็นศูนย์ อันดับ Tsen จะมากกว่าหรือเท่ากับมิติไดโอแฟนไทน์แต่ยังไม่ทราบว่าเท่ากันหรือไม่ ยกเว้นในกรณีที่อันดับเป็นศูนย์[ 41 ]ยู
สมมติฐานเรื่องความสม่ำเสมอข้อสันนิษฐานเรื่องความสม่ำเสมอระบุว่าสำหรับฟิลด์จำนวนใดๆKและg > 2 จะมีขอบเขตสม่ำเสมอB ( g , K ) บนจำนวน จุด K -rational บนเส้นโค้งใดๆ ที่มีจีนัสgข้อสันนิษฐานนี้จะสืบเนื่องมาจากข้อสันนิษฐานของ Bombieri–Lang [ 42 ]จุดตัดที่ไม่น่าเป็นไปได้จุดตัดที่ไม่น่าจะเป็นไปได้คือกลุ่มย่อยพีชคณิตที่ตัดกับวาไรตี้ย่อยของทอรัสหรือวาไรตี้อาเบลในเซตที่มีมิติขนาดใหญ่ผิดปกติ เช่นที่เกี่ยวข้องกับ การคาดการณ์ของมอร์เดลล์ - แลง[ 43 ]วี
สมมติฐานของโวจตาข้อสันนิษฐานของโวจตา (Vojta conjecture)เป็นชุดของข้อสันนิษฐานโดยพอล โวจตาซึ่งทำการเปรียบเทียบระหว่างการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ (Diophantine approximation)และทฤษฎีเนวานลินนา (Nevanlinna theory )ว
น้ำหนักโยคะแห่งน้ำหนักเป็นสูตรที่อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิค สร้างขึ้น จากความคล้ายคลึงกันระหว่างทฤษฎีของฮอดจ์และ โคฮอโมโล ยีl-adic [ 44 ]โคฮอโมโลยีของเวลล์แนวคิดเริ่มต้น ซึ่งต่อมาได้รับการปรับเปลี่ยนบ้าง สำหรับการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Weil (ดูเพิ่มเติม) คือการสร้างทฤษฎีโคฮอโมโลยีที่ใช้กับวาไรตีเชิงพีชคณิตบนฟิลด์จำกัดซึ่งจะมีประสิทธิภาพเทียบเท่ากับโฮโมโลยีเอกฐานในการตรวจจับโครงสร้างทางทอพอโลยี และมีแผนที่ Frobeniusที่ทำงานในลักษณะที่ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Lefschetzสามารถนำไปใช้กับการนับในฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ได้สำหรับประวัติในภายหลัง โปรดดู ที่ โมทีฟ ( เรขาคณิตเชิงพีชคณิต) โคฮอโมโลยีเชิงโมทีฟข้อสันนิษฐานของไวล์ข้อสันนิษฐานของไวล์ (Weil conjectures)เป็นข้อสันนิษฐานที่มีอิทธิพลสูงสามข้อของอังเดร ไวล์ (André Weil)ซึ่งเผยแพร่สู่สาธารณะราวปี 1949 เกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta-functions) การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ในปี 1973 แม้ว่าข้อสันนิษฐานเหล่านั้นจะได้รับการพิสูจน์แล้ว แต่ก็ยังมีการขยายทฤษฎีบทความสอดคล้องของเชอ วาลเลย์-วอร์นิง (Chevalley–Warning theorem congruence) ซึ่งมาจากวิธีการพื้นฐาน และการปรับปรุงขอบเขตของไวล์ (Weil bounds ) เช่น การประมาณค่าจำนวนจุดบนเส้นโค้งที่ดีกว่าที่ได้จากทฤษฎีบทพื้นฐานของไวล์ในปี 1940 ซึ่งการปรับปรุงเหล่านี้กลับเป็นที่น่าสนใจสำหรับรหัสเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (Algebraic geometry codes )การแจกแจงของ Weil บนวาไรตี้พีชคณิตในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 อ็องเดร เวล ได้เสนอทฤษฎีเกี่ยวกับ การแยกองค์ประกอบของจำนวนพีชคณิตโดยใช้จำนวน เฉพาะในพิกัดของจุดบนวาไรตี้พีชคณิต แต่ทฤษฎีนี้ยังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่นักฟังก์ชันไวล์ฟังก์ชันWeilบนวาไรตี้พีชคณิตคือฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดจากตัวหาร Cartier บางตัว ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชัน Greenในทฤษฎี Arakelov [ 45 ] ฟังก์ชันเหล่านี้ใช้ในการสร้างส่วนประกอบท้องถิ่นของความสูง Néron–Tate [ 46 ]เครื่องวัดความสูง Weilเครื่องความสูงของ Weilเป็นขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพในการกำหนดฟังก์ชันความสูงให้กับตัวหารใดๆ บนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบเหนือฟิลด์จำนวน (หรือให้กับตัวหาร Cartierบนวาไรตี้ที่ไม่เรียบ) [ 47 ]ดูเพิ่มเติม
อ่านเพิ่มเติม
- Dino Lorenzini (1996), คำเชิญชวนสู่เรขาคณิตเชิงเลขคณิต , ร้านหนังสือ AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0
