ในพีชคณิตนามธรรมกลุ่มอาเบเลียน เรียกว่ากลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัดในกลุ่มนั้น ซึ่งทุก สมาชิก ในกลุ่มสามารถเขียนได้ในรูปโดยที่ สำหรับจำนวนเต็ม บางตัว ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าเซตเป็นเซตก่อกำเนิดของ กลุ่ม หรือเซตที่สร้างกลุ่มดังนั้น กลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดจึงอาจมองได้ว่าเป็นการขยายความของกลุ่มวัฏจักร ${\displaystyle (G,+)}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}$${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$${\displaystyle G}$

ทุกกลุ่มอาเบเลียนจำกัดล้วนถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด กลุ่มอาเบเลียนที่ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเหล่านี้สามารถจำแนกประเภทได้อย่างสมบูรณ์

• จำนวนเต็ม, , เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$
• จำนวนเต็มมอดูล${\displaystyle n}$ , , เป็นกลุ่มอาเบเลียนจำกัด (ดังนั้นจึงสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด)${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$
• ผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจำนวนใดๆ ก็ จะเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน
• โครงสร้าง แลตติซทุก โครงสร้างก่อให้ เกิดกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

ไม่มีตัวอย่างอื่น (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มของจำนวนตรรกยะไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด: ^{[ 1 ]}ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ ให้เลือกจำนวนธรรมชาติ ที่เป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กับตัวส่วนทั้งหมด จากนั้นจะไม่สามารถสร้างขึ้นโดยได้กลุ่มของจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ก็ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน กลุ่มของจำนวนจริงภายใต้การบวกและจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ภายใต้การคูณก็ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดสามารถกล่าวได้สองวิธี ซึ่งเป็นการขยายความจากสองรูปแบบของทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนจำกัดทฤษฎีบทในทั้งสองรูปแบบนี้สามารถขยายความไปสู่ทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักซึ่งในทางกลับกันก็สามารถขยายความไปสู่ทฤษฎีบทอื่นๆ ได้อีก

หลักการแบ่งส่วนเบื้องต้นระบุว่า กลุ่มอาเบเลียนG ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุก กลุ่มนั้นสม isomorphic กับผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรเบื้องต้นและกลุ่มวัฏจักร อนันต์ กลุ่มวัฏจักรเบื้องต้นคือกลุ่มที่มีอันดับเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะกล่าวคือ กลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกกลุ่มนั้นสม isomorphic กับกลุ่มในรูปแบบ

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}$

โดยที่n ≥ 0 คืออันดับและจำนวนq , ..., q คือกำลังของจำนวนเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งGจะเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อn = 0 ค่าของn , q , ..., q จะถูกกำหนดโดย G อย่างไม่ซ้ำกัน ( โดยไม่คำนึงถึงการจัดเรียงดัชนีใหม่) กล่าวคือ มีวิธีเดียวเท่านั้นที่จะแสดงGในรูปของการแยกส่วนดังกล่าว

การพิสูจน์ข้อความนี้ใช้ทฤษฎีบทฐานสำหรับกลุ่มอาเบเลียนจำกัด : ทุกกลุ่มอาเบเลียนจำกัดเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรปฐมภูมิให้tGแทนกลุ่มย่อยทอร์ชั่นของGดังนั้นG/tGเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่ปราศจากทอร์ชั่นและดังนั้นจึงเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระtGเป็นผลรวมโดยตรงของGซึ่งหมายความว่ามีกลุ่มย่อยFของG st โดยที่ดังนั้นFก็เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระเช่นกัน เนื่องจากtGถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด และแต่ละองค์ประกอบของtGมีอันดับจำกัด ดังนั้นtGจึงเป็นกลุ่มจำกัด โดยทฤษฎีบทฐานสำหรับกลุ่มอาเบเลียนจำกัดtGสามารถเขียนได้เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรปฐมภูมิ ${\displaystyle G=tG\oplus F}$${\displaystyle F\cong G/tG}$

เราสามารถเขียนกลุ่มอาเบเลียนG ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดใดๆ ก็ได้ ในรูปผลรวมโดยตรงดังนี้

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}$

โดยที่k k ลงตัว ซึ่งหารk ลงตัว และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงk อีกครั้งหนึ่ง อันดับnและปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลง k , ..., k ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยG (ในที่นี้มีลำดับที่ไม่ซ้ำกัน) อันดับและลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงจะกำหนดกลุ่มจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม

ข้อความเหล่านี้เทียบเท่ากันอันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนซึ่งหมายความว่า ก็ต่อเมื่อ jและkเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เท่านั้น${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$

ประวัติและเครดิตของทฤษฎีบทพื้นฐานมีความซับซ้อนเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในขณะที่ทฤษฎีกลุ่มยังไม่เป็นที่ยอมรับอย่างดี ดังนั้นรูปแบบในยุคแรกๆ แม้ว่าโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นผลลัพธ์และการพิสูจน์ที่ทันสมัย ​​แต่ก็มักจะถูกกล่าวถึงสำหรับกรณีเฉพาะ กล่าวโดยสรุป รูปแบบในยุคแรกของกรณีจำกัดได้รับการพิสูจน์โดย Gauss ในปี 1801 กรณีจำกัดได้รับการพิสูจน์โดย Kronecker ในปี 1870 และกล่าวถึงในแง่ของทฤษฎีกลุ่มโดย Frobenius และ Stickelberger ในปี 1878 กรณี ที่นำเสนอแบบจำกัดได้รับการแก้ไขโดยรูปแบบปกติของ Smithและด้วยเหตุนี้จึงมักได้รับเครดิตว่าเป็น ( Smith 1861 ) ^{[ 3 ]}แม้ว่า กรณี ที่สร้างขึ้น แบบจำกัด บางครั้งจะได้รับเครดิตเป็นของ Poincaré ในปี 1900 รายละเอียดจะตามมา

นักทฤษฎีกลุ่มลาสซโล ฟุค ส์ กล่าวว่า: ^{[ 3 ]}

สำหรับทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับกลุ่มอาเบเลียนจำกัดนั้น ยังไม่ชัดเจนว่าจะต้องย้อนกลับไปไกลแค่ไหนเพื่อสืบหาที่มาของมัน ... ต้องใช้เวลานานกว่าจะกำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานในรูปแบบปัจจุบันได้ ...

ทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับ กลุ่มอาเบเลียน จำกัดได้รับการพิสูจน์โดยLeopold Kroneckerในปี 1870 โดยใช้การพิสูจน์เชิงทฤษฎีกลุ่ม^{[ 4 ]}แม้ว่าจะไม่ได้ระบุในแง่ของทฤษฎีกลุ่มก็ตาม^{[ 5 ]}การนำเสนอการพิสูจน์ของ Kronecker ในรูปแบบสมัยใหม่มีอยู่ใน ( Stillwell 2012 ), 5.2.2 ทฤษฎีบทของ Kronecker, 176–177ซึ่งเป็นการขยายผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ของCarl Friedrich GaussจากDisquisitiones Arithmeticae (1801) ซึ่งจัดประเภทรูปแบบกำลังสอง Kronecker อ้างถึงผลลัพธ์นี้ของ Gauss ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวและพิสูจน์ในภาษาของกลุ่มโดยFerdinand Georg FrobeniusและLudwig Stickelbergerในปี พ.ศ. 2421 ^{[ 6 ] [ 7 ]}การกำหนดสูตรทางทฤษฎีกลุ่มอีกแบบหนึ่งได้รับการเสนอโดยEugen Netto นักศึกษาของ Kronecker ในปี พ.ศ. 2425 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับ กลุ่มอาเบเลียน ที่นำเสนอแบบจำกัดได้รับการพิสูจน์โดยHenry John Stephen Smithใน ( Smith 1861 ) ^{[ 3 ]}เนื่องจากเมทริกซ์จำนวนเต็มสอดคล้องกับการนำเสนอแบบจำกัดของกลุ่มอาเบเลียน (ซึ่งขยายไปสู่โมดูลที่นำเสนอแบบจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลัก) และรูปแบบปกติของ Smithสอดคล้องกับการจำแนกกลุ่มอาเบเลียนที่นำเสนอแบบจำกัด

ทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับ กลุ่มอาเบเลียน ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดได้รับการพิสูจน์โดยHenri Poincaréในปี 1900 โดยใช้การพิสูจน์เมทริกซ์ (ซึ่งขยายไปสู่โดเมนอุดมคติหลัก) ดำเนินการในบริบทของการคำนวณ โฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์ โดยเฉพาะจำนวน Bettiและสัมประสิทธิ์ทอร์ชั่นของมิติของคอมเพล็กซ์ โดยที่จำนวน Betti สอดคล้องกับอันดับของส่วนอิสระ และสัมประสิทธิ์ทอร์ชั่นสอดคล้องกับส่วนทอร์ชั่น^{[ 4 ]}

การพิสูจน์ของ Kronecker ได้รับการขยายไปสู่ กลุ่มอาเบล ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดโดย Emmy Noether ในปี พ.ศ. 2469 ^{[ 4 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทพื้นฐานกล่าวว่า กลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด คือผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนอิสระ ที่มี อันดับจำกัดและกลุ่มอาเบเลียนจำกัด โดยแต่ละกลุ่มนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม กลุ่มอาเบเลียนจำกัดนั้นก็คือกลุ่มย่อยทอร์ชั่นของGอันดับของGถูกกำหนดให้เป็นอันดับของส่วนที่ปราศจากทอร์ชั่นของGซึ่งก็คือจำนวนnในสูตรข้างต้น

บทสรุปหนึ่งของทฤษฎีบทพื้นฐานคือกลุ่มอาเบเลียนไร้แรงบิด ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดทุก กลุ่มจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระ เงื่อนไขการสร้างโดยจำนวนจำกัดนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในที่นี้ กล่าวคือเป็นกลุ่มไร้แรงบิดแต่ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียนอิสระ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ทุกกลุ่มย่อยและกลุ่มปัจจัยของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด จะเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน กลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหล่านี้ เมื่อรวมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะก่อให้เกิดหมวดหมู่อาเบเลียนซึ่งเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบเซอเรของหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน

โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกกลุ่มอาเบเลียนที่มีอันดับจำกัดจะเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเสมอไป กลุ่มอันดับ 1 เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ขัดแย้ง และกลุ่มอันดับ 0 ที่ได้จากผลรวมโดยตรงของสำเนาจำนวนอนันต์นับได้ของกลุ่มนั้นก็เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง ที่ขัดแย้งเช่นกัน${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• อนุกรมการประกอบในทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์เป็นการวางนัยทั่วไปแบบไม่สลับที่