ในพีชคณิตเชิงสลับและทฤษฎีฟิลด์ เอนโดมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส ( ตั้งชื่อตามเฟอร์ดินานด์ จอร์จ โฟรเบนิอุส ) เป็นเอนโดมอร์ฟิซึม พิเศษ ของวงแหวนเชิงสลับ ที่มีลักษณะเฉพาะpเป็น จำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นกลุ่มที่สำคัญที่รวมถึงฟิลด์จำกัด^{[ 1 ] [ 2 ]}เอนโดมอร์ฟิซึมนี้แปลงสมาชิกทุกตัวเป็น กำลัง p ของมัน ในบางบริบทมันเป็นออโตมอร์ฟิซึมแต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เช่นนั้น^{[ 3 ] [ 4 ]}

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ที่มีลักษณะเฉพาะp เป็นจำนวนเฉพาะ ( โดเมนจำนวนเต็มที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวกจะมีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ตัวอย่างเช่น) เอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius Fถูกกำหนดโดย

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

สำหรับทุกrในRโดยจะเคารพการคูณของR :

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

และF (1)ก็เป็น1เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ยังเคารพการบวกของRด้วย นิพจน์( r + s ) ^pสามารถขยายได้โดยใช้ทฤษฎีบททวินามเนื่องจากpเป็นจำนวนเฉพาะ จึงหารp ! ได้ แต่ไม่หารq ! ใดๆ สำหรับq < pดังนั้น มันจะหารตัวเศษ ได้ แต่ไม่หารตัวส่วนของสูตรสัมประสิทธิ์ทวินาม ที่ชัดเจน

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(pk)!}},}$

ถ้า1 ≤ k ≤ p − 1ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ยกเว้นr ^pและs ^pจะหารด้วยp ลงตัว และด้วยเหตุนี้จึงเป็นศูนย์^{[ 5 ]}ดังนั้น

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าFเป็น โฮโม มอ ร์ฟิซึมของวงแหวน

ถ้าφ  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่มีลักษณะเฉพาะpแล้ว

${\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}$

ถ้าF _RและF _Sเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสของRและSแล้ว สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}$

นี่หมายความว่าเอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุสเป็นการแปลงตามธรรมชาติ จาก ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหมวดหมู่ของวงแหวน ลักษณะเฉพาะ p ไปยังตัวมันเอง

ถ้าวงแหวนRเป็นวงแหวนที่ไม่มี สมาชิก ที่เป็นนิลโพเท^น ต์ แล้วเอนโดมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุสจะเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง : F ( r ) = 0หมายความว่าrp = 0ซึ่งตามนิยามหมายความว่าrเป็นนิลโพเทนต์ที่มีอันดับไม่เกินpอันที่จริง นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ เพราะถ้าrเป็นนิลโพเทนต์ใดๆ แล้วกำลังของ r ตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นนิลโพเทนต์ที่มีอันดับไม่เกินpโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นฟิลด์ แล้วเอนโดมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

มอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุสไม่จำเป็นต้องเป็นการส่งแบบทั่วถึงเสมอไปแม้ว่าRจะเป็นฟิลด์ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ให้K = F _p ( t )เป็นฟิลด์จำกัดที่มี สมาชิก pตัว พร้อมกับสมาชิกอดิศัย หนึ่งตัว หรือเทียบเท่ากับKเป็นฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์ในF _pแล้วภาพของFจะไม่มีtอยู่ ถ้ามี t อยู่ ก็จะมีฟังก์ชันตรรกยะq ( t )/ r ( t )ซึ่งกำลังที่p ของ q ( t ) ^p / r ( t ) ^pจะเท่ากับtแต่ดีกรีของ กำลังที่ p นี้ (ผลต่างระหว่างดีกรีของตัวเศษและตัวส่วน) คือp deg( q ) − p deg( r )ซึ่งเป็นพหุคูณของpโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันไม่สามารถเป็น1ซึ่งเป็นดีกรีของtได้ นี่คือข้อขัดแย้ง ดังนั้นt จึง ไม่อยู่ในภาพของ F

ฟิลด์Kเรียกว่าฟิลด์สมบูรณ์ (perfect field ) ถ้ามีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ หรือมีลักษณะเฉพาะเป็นบวก และเอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุส (Frobenius endomorphism) ของฟิลด์นี้เป็นออโตมอร์ฟิซึม (automorphism) ตัวอย่างเช่น ฟิลด์จำกัดทั้งหมดเป็นฟิลด์สมบูรณ์

พิจารณาฟิลด์จำกัดF _pตามทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ สมาชิก xทุกตัวของF _pจะสอดคล้องกับx ^p = xหรือเทียบเท่ากับเป็นรากของพหุนามX ^p − X ดังนั้น สมาชิกของF _pจึงกำหนด ราก pรากของสมการนี้ และเนื่องจากสมการนี้มีดีกรีp จึงมี รากไม่เกินp รากเหนือส่วน ขยาย ใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าKเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตของF _p (เช่นการปิดเชิงพีชคณิตหรือฟิลด์จำกัดอื่น) แล้วF _pจะเป็นฟิลด์คงที่ของออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุสของ K

ให้Rเป็นวงแหวนที่มีลักษณะเฉพาะp > 0ถ้าRเป็นโดเมนเชิงจำนวนเต็มแล้ว ด้วยเหตุผลเดียวกัน จุดตรึงของ Frobenius ก็คือสมาชิกของฟิลด์เฉพาะ อย่างไรก็ตาม ถ้าR ไม่ใช่โดเมนแล้วX ^p − Xอาจมีรากมากกว่าpราก ตัวอย่างเช่น กรณีนี้เกิดขึ้นถ้าR = F _p × F _p

คุณสมบัติที่คล้ายกันนี้พบได้ในฟิลด์จำกัดโดย การทำซ้ำครั้งที่ nของออโตมอร์ฟิซึม Frobenius: ทุกองค์ประกอบของเป็นรากของดังนั้น ถ้าKเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตของและFเป็นออโตมอร์ฟิซึม Frobenius ของKแล้ว ฟิลด์คงที่ของF ⁿคือถ้าRเป็นโดเมนที่เป็นพีชคณิต-algebra แล้ว จุดคงที่ของ การทำซ้ำครั้งที่ nของ Frobenius คือองค์ประกอบของภาพของ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$

การวนซ้ำแผนที่ Frobenius จะให้ลำดับขององค์ประกอบในR :

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

ลำดับการทำซ้ำนี้ใช้ในการกำหนดนิยามของFrobenius closureและtight closureของ ideal

กลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายของฟิลด์จำกัดถูกสร้างขึ้นโดยการทำซ้ำของออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุส ก่อนอื่น ให้พิจารณากรณีที่ฟิลด์พื้นฐานคือฟิลด์เฉพาะF _pให้F _qเป็นฟิลด์จำกัดที่มี สมาชิก qตัว โดยที่q = p ⁿออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุสFของF _qจะตรึงฟิลด์เฉพาะF _pไว้ ดังนั้น F p จึงเป็นสมาชิกของกลุ่มกาโลอิสGal( F _q / F _p )อันที่จริง เนื่องจาก F q เป็น กลุ่ม วัฏจักรที่มี สมาชิก q − 1ตัวเราจึงทราบว่ากลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มวัฏจักรและFเป็นตัวสร้าง อันดับของFคือnเพราะF ^jกระทำกับสมาชิกxโดยส่งมันไปยังx ^{p j}และสามารถมีรากได้หลายรากเท่านั้น เนื่องจากเราอยู่ในฟิลด์ ออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวของF _qเป็นกำลังของFและตัวสร้างคือกำลังF ⁱโดยที่iเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับn${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$${\displaystyle x^{p^{j}}=x}$${\displaystyle p^{j}}$

ทีนี้ลองพิจารณาฟิลด์จำกัดF _{q ^f}เป็นส่วนขยายของF _qโดยที่q = p ⁿดังที่กล่าวมาข้างต้น ถ้าn > 1แล้ว ออโตมอร์ฟิซึม Frobenius FของF _{q ^f}จะไม่ตรึงฟิลด์พื้นฐานF _qแต่การทำซ้ำครั้งที่n ของมัน F ⁿจะตรึงฟิลด์พื้นฐานนั้น กลุ่มกาโลอิสGal( F _{q ^f} / F _q )เป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับfและถูกสร้างขึ้นโดยF ⁿมันเป็นกลุ่มย่อยของGal( F _{q ^f} / F _p )ที่สร้างขึ้นโดยF ⁿตัวสร้างของGal( F _{q ^f} / F _q )คือกำลังF ⁿⁱโดยที่i เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ กับf

ออโตมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุสไม่ใช่ตัวสร้างของกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

เนื่องจากกลุ่มกาโลอิสนี้สมสัณฐานกับจำนวนเต็มโปรไฟไนต์

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

ซึ่งไม่ใช่วัฏจักร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากออโตมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุสเป็นตัวสร้างของกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายจำกัดทุกส่วนของ_Fqจึงเป็นตัวสร้างของผลหารจำกัดทุกส่วนของกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นตัวสร้างเชิงโทโพโลยีในโทโพโลยีครูลล์ปกติบนกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์

มีหลายวิธีในการกำหนดมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสสำหรับสกีมวิธีที่พื้นฐานที่สุดคือมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสแบบสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม มอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสแบบสัมบูรณ์ทำงานได้ไม่ดีในสถานการณ์แบบสัมพัทธ์ เพราะมันไม่คำนึงถึงสกีมพื้นฐาน มีหลายวิธีในการปรับมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสให้เข้ากับสถานการณ์แบบสัมพัทธ์ ซึ่งแต่ละวิธีก็มีประโยชน์ในสถานการณ์ต่างๆ กัน

สมมติว่าXเป็นสกีมที่มีลักษณะเฉพาะp > 0เลือกเซตย่อยเชิงเส้นเปิดU = Spec AของXวงแหวนAเป็น_{พีชคณิต} F pดังนั้นจึงยอมรับเอนโดมอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุส ถ้าVเป็นเซตย่อยเชิงเส้นเปิดของUแล้วโดยธรรมชาติของฟรอเบนิอุส มอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสบนUเมื่อจำกัดบนVจะเป็นมอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสบนVดังนั้น มอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสจึงรวมกันเพื่อให้ได้เอนโดมอร์ฟิซึมของXเอนโดมอร์ฟิซึมนี้เรียกว่ามอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสสัมบูรณ์ของXซึ่งเขียนแทนด้วยF _Xตามคำนิยาม มันคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของXกับตัวมันเอง มอร์ฟิซึมแบบฟรอเบนิอุสสัมบูรณ์เป็นการแปลงตามธรรมชาติจากฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหมวดหมู่ของ สกีม F _pไปยังตัวมันเอง

ถ้าXเป็นS -scheme และมอร์ฟิซึม Frobenius ของSคือเอกลักษณ์ แล้วมอร์ฟิซึม Frobenius สัมบูรณ์จะเป็นมอร์ฟิซึมของS -scheme อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วมันไม่ใช่ ตัวอย่างเช่น พิจารณาริงให้XและSเท่ากับSpec Aโดยที่แผนที่โครงสร้างX → Sคือเอกลักษณ์ มอร์ฟิซึม Frobenius บนAส่งaไปยังpมันไม่ใช่มอร์ฟิซึมของ^{พีชคณิต}ถ้าเป็นเช่นนั้น การคูณด้วยสมาชิกbในจะสลับที่ได้กับการใช้เอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius แต่สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเพราะ: ${\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

อย่างแรกคือการกระทำของbในโครงสร้างพีชคณิต -algebra ที่Aเริ่มต้น และอย่างหลังคือการกระทำที่เหนี่ยวนำโดย Frobenius ดังนั้น มอร์ฟิซึม Frobenius บนSpec A จึง ไม่ใช่มอร์ฟิซึมของ-schemes ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

มอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสสัมบูรณ์เป็นมอร์ฟิซึมที่ไม่สามารถแยกได้โดยสมบูรณ์ มีดีกรีp _{อนุพันธ์}ของมันเป็นศูนย์ มันรักษาผลคูณ หมายความว่าสำหรับแผนผังสองแผนผังใดๆXและY F X _{× Y} = F _X × F _Y

สมมติว่าφ  : X → Sเป็นมอร์ฟิซึมโครงสร้างสำหรับS-สกีมXสกีมพื้นฐานSมีมอร์ฟิซึม Frobenius F _SการประกอบφกับF _Sจะได้S-สกีมX _Fซึ่งเรียกว่าการจำกัดสเกลาร์โดย Frobeniusการจำกัดสเกลาร์นี้เป็นฟังก์ชัน เพราะS-มอร์ฟิซึมX → Yเหนี่ยวนำให้เกิดS-มอร์ฟิซึม X _F → Y _F

ตัวอย่างเช่น พิจารณาวงแหวนAที่มีลักษณะเฉพาะp > 0และพีชคณิตที่นำเสนออย่างจำกัดเหนือA :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

การกระทำของAต่อRแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}$

โดยที่ α คือดัชนีหลายตัว ให้X = Spec Rแล้วX _Fคือแผนผังเชิงเส้นตรงSpec Rแต่โครงสร้างการแปลงSpec R → Spec Aและด้วยเหตุนี้การกระทำของAบนRจึงแตกต่างกัน:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}$

เนื่องจากการจำกัดสเกลาร์โดย Frobenius นั้นเป็นเพียงการประกอบกัน คุณสมบัติหลายอย่างของXจึงถูกถ่ายทอดไปยังX _Fภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสมเกี่ยวกับมอร์ฟิซึมของ Frobenius ตัวอย่างเช่น ถ้าXและS _Fเป็นประเภทจำกัดทั้งคู่X _F ก็เป็นประเภทจำกัดเช่น กัน

การขยายสเกลาร์โดยฟรอเบนิอุสมีนิยามดังนี้:

${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}$

การฉายภาพลงบน ปัจจัย Sทำให้X ^{( p )}เป็นS -scheme หากSไม่ชัดเจนจากบริบทX ^{( p )}จะถูกแทนด้วยX ^{( p / S )} เช่นเดียวกับการจำกัดสเกลาร์ การขยายสเกลา ร์ เป็นฟังก์ชัน: S -morphism X → YกำหนดS -morphism X ^{( p )} → Y ^{( p )}

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ให้พิจารณาวงแหวนAและพีชคณิตR ที่นำเสนออย่างจำกัด เหนือAและให้X = Spec R อีกครั้ง จากนั้น:

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

ส่วนทั่วโลกของX ^{( p )}มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

โดยที่αเป็นดัชนีหลายตัว และทุกa _iαและb _iเป็นสมาชิกของAการกระทำของสมาชิกcของAต่อส่วนนี้คือ:

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

ดังนั้นX ^{( p )}จึงมีลักษณะสมมาตรกับ:

${\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

โดยที่ ถ้า:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

แล้ว:

${\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}$

คำอธิบายที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับพีชคณิตA ใดๆ R ด้วยเช่น กัน

เนื่องจากการขยายสเกลาร์เป็นการเปลี่ยนฐาน จึงรักษาลิมิตและโคโปรดักต์ไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากXมีโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดโดยลิมิตจำกัด (เช่น เป็นโครงร่างกลุ่ม ) แล้วX ^{( p )} ก็มีเช่น กัน ยิ่งไปกว่านั้น การเป็นการเปลี่ยนฐานหมายความว่าการขยายสเกลาร์จะรักษาสมบัติ เช่น การเป็นประเภทจำกัด การนำเสนอจำกัด การแยก ความเป็นเชิงเส้น และอื่นๆ

การขยายสเกลาร์นั้นเป็นไปตามหลักการที่ดีเมื่อพิจารณาการเปลี่ยนฐาน: เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมS ′ → Sแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ:

${\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}$

ให้Xเป็นS -scheme ที่มีโครงสร้างมอร์ฟิซึมφมอร์ฟิซึม Frobenius สัมพัทธ์ของX คือมอร์ฟิซึม:

${\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}$

กำหนดโดยคุณสมบัติสากลของการดึงกลับX ^{( p )} (ดูแผนภาพด้านบน):

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}$

เนื่องจากมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสแบบสัมบูรณ์เป็นธรรมชาติ ดังนั้นมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสแบบสัมพัทธ์จึงเป็นมอร์ฟิซึมของS-สกีม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา พีชคณิต A :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

เรามี:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}$

มอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสเชิงสัมพัทธ์คือโฮโมมอร์ฟิซึมR ^{( p )} → Rซึ่งกำหนดโดย:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}$

Frobenius สัมพัทธ์เข้ากันได้กับการเปลี่ยนแปลงฐานในแง่ที่ว่า ภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติของX ^{( p / S )} × _S S ′และ( X × _S S ′) ^{( p / S ′)}เราจะได้ว่า:

${\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}$

Frobenius สัมพัทธ์คือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสากล ถ้าX → Sเป็นการฝังแบบเปิดแล้ว มันคือเอกลักษณ์ ถ้าX → Sเป็นการฝังแบบปิดที่กำหนดโดยชีฟอุดมคติIของO _Sแล้วX ^{( p )} จะถูกกำหนดโดย ชีฟ อุดมคติI ^pและ Frobenius สัมพัทธ์คือแผนที่ขยายO _S / I ^p → O _S / I

Xเป็นเซตไม่แตกแขนงเหนือ S ก็ต่อเมื่อF _{X / S}เป็นเซตไม่แตกแขนง และก็ต่อเมื่อ F _{X / S}เป็นโมโนมอร์ฟิ ซึม Xเป็นเซตเอตาลเหนือ Sก็ต่อเมื่อ F _{X / S}เป็นเซตเอตาล และก็ต่อเมื่อ F _{X / S}เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

มอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสเชิงเลขคณิตของS -scheme Xคือมอร์ฟิซึม:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

กำหนดโดย:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}$

นั่นคือ เป็นการเปลี่ยนแปลงฐานของ F _Sโดย1 _X

อีกครั้ง ถ้าหาก:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}$

ดังนั้นเลขคณิต Frobenius จึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}$

ถ้าเราเขียนR ^{( p )} ใหม่ เป็น:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

ดังนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือ:

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}$

สมมติว่ามอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสสัมบูรณ์ของSสามารถผกผันได้ โดยมีตัวผกผันคือ ให้แทนS-สกีมแล้วจะมีส่วนขยายของสเกลาร์ของXโดย: ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$${\displaystyle S_{F^{-1}}}$${\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}$${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}$

ถ้า:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

จากนั้นขยายค่าสเกลาร์โดยให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}$

ถ้า:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

จากนั้นเราจึงเขียนว่า:

${\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}$

และยังมีไอโซมอร์ฟิซึมอีกด้วย:

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}$

มอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสเชิงเรขาคณิตของS -scheme Xคือมอร์ฟิซึม:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

กำหนดโดย:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}$

เป็นการเปลี่ยนแปลงฐาน โดย1 _เท่า${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

จากตัวอย่างAและRข้างต้น Frobenius ทางเรขาคณิตถูกนิยามว่า:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

หลังจากเขียนR ^{(1/ p )} ใหม่ ในรูปของFrobenius ทางเรขาคณิตคือ: ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}$

สมมติว่ามอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสของSเป็นไอโซมอร์ฟิซึม แล้วมันจะสร้างกลุ่มย่อยของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของSถ้าS = Spec kเป็นสเปกตรัมของฟิลด์จำกัด แล้วกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มกาโลอิสของฟิลด์เหนือฟิลด์เฉพาะ และมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสและตัวผกผันของมันต่างก็เป็นตัวสร้างของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม นอกจากนี้X ^{( p )}และX ^{(1/ p )}อาจถูกระบุว่าเป็นXมอร์ฟิซึมฟรอเบนิอุสทางเลขคณิตและเรขาคณิตจึงเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของXดังนั้นจึงนำไปสู่การกระทำของกลุ่มกาโลอิสของ kบนX

พิจารณาเซตของ จุด KจุดX ( K ) เซตนี้มาพร้อมกับการกระทำแบบกาโลอิส: จุด xแต่ละจุดสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมO _X → Kจากชีฟโครงสร้างไปยังKซึ่งแยกตัวประกอบผ่านk ( x )ฟิลด์ส่วนเหลือที่xและการกระทำของโฟรเบนิอุสบนxคือการประยุกต์ใช้มอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุสกับฟิลด์ส่วนเหลือ การกระทำแบบกาโลอิสนี้สอดคล้องกับการกระทำของโฟรเบนิอุสเชิงเลขคณิต: มอร์ฟิซึมเชิงประกอบ

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}$

เหมือนกับมอร์ฟิซึมแบบผสม:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}$

ตามนิยามของเลขคณิตฟรอเบนิอุส ดังนั้น เลขคณิตฟรอเบนิอุสจึงแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการกระทำของกลุ่มกาลัวบนจุดต่างๆ ในฐานะเอนโดมอร์ฟิซึมของ X

เมื่อกำหนดส่วนขยายจำกัดที่ไม่แตกแขนงL / Kของฟิลด์ท้องถิ่นจะมีแนวคิดของเอนโดมอร์ฟิซึม Frobeniusที่เหนี่ยวนำเอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius ในส่วนขยายที่สอดคล้องกันของฟิลด์ตกค้าง^{[ 6 ]}

สมมติว่าL / Kเป็นส่วนขยายที่ไม่แตกแขนงของฟิลด์เฉพาะที่ โดยมีวงแหวนของจำนวนเต็มO _KของKซึ่งฟิลด์ส่วนเหลือ จำนวนเต็มของKมอดูโลไอเดียลสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันφ ของพวกมัน เป็นฟิลด์จำกัดอันดับqโดยที่qเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ ถ้าΦเป็นจำนวนเฉพาะของLที่อยู่เหนือφการที่L / Kไม่แตกแขนงหมายความว่าโดยนิยามแล้ว จำนวนเต็มของLมอดูโลΦฟิลด์ส่วนเหลือของLจะเป็นฟิลด์จำกัดอันดับq ^fที่ขยายฟิลด์ส่วนเหลือของKโดยที่fคือดีกรีของL / Kเราอาจกำหนดแผนที่ Frobenius สำหรับองค์ประกอบของวงแหวนของจำนวนเต็มO _LของLเป็นออโตมอร์ฟิซึมs _ΦของLโดยที่

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.}$

ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตองค์ประกอบของฟรอเบนิอุส (Frobenius element)ถูกกำหนดขึ้นสำหรับส่วนขยายL / Kของฟิลด์ทั่วโลก (global fields)ซึ่งเป็นส่วนขยายกาโลอิสจำกัด (finite Galois extensions)สำหรับอุดมคติเฉพาะΦของLที่ไม่แตกแขนง (unramified) ในL / Kเนื่องจากส่วนขยายไม่แตกแขนงกลุ่มการแยก ส่วนของ Φจึงเป็นกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายของฟิลด์เศษเหลือ (residue fields) จากนั้น องค์ประกอบของฟรอเบนิอุสสามารถกำหนดได้สำหรับองค์ประกอบของวงแหวนจำนวนเต็มของLเช่นเดียวกับในกรณีเฉพาะที่ โดย

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},}$

โดยที่q คือลำดับของฟิลด์ตกค้างO _K /(Φ ∩ O _K )

การยกของฟรอเบนิอุ ส สอดคล้องกับการอนุพันธ์ p

พหุนาม

x ⁵ − x − 1

มีการเลือกปฏิบัติ

19 × 151 ,

และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีการแตกแขนงที่จำนวนเฉพาะ 3; นอกจากนี้ยังไม่สามารถแยกย่อยได้มอด 3 ดังนั้น การเพิ่มรากρของมันลงในฟิลด์ของจำนวน3 -adic Q ₃จะให้ส่วนขยายที่ไม่แตกแขนงQ ₃ ( ρ ) ของQ ₃เราอาจหาภาพของρภายใต้แผนที่ Frobenius โดยการหารากที่ใกล้ที่สุดกับρ ³ซึ่งเราสามารถทำได้โดยวิธีของนิวตันเราจะได้องค์ประกอบของวงแหวนของจำนวนเต็มZ ₃ [ ρ ]ด้วยวิธีนี้ นี่คือพหุนามดีกรีสี่ในρที่มีสัมประสิทธิ์ในจำนวนเต็ม3 -adic Z ₃มอด3 ⁸พหุนามนี้คือ

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}$.

นี่เป็นพีชคณิตเหนือQและเป็นภาพ Frobenius ทั่วโลกที่ถูกต้องในแง่ของการฝังQลงในQ ₃ยิ่งไปกว่านั้น สัมประสิทธิ์เป็นพีชคณิตและผลลัพธ์สามารถแสดงได้ในรูปพีชคณิต อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรี 120 ซึ่งเป็นอันดับของกลุ่ม Galois แสดงให้เห็นว่าการคำนวณแบบชัดเจนนั้นทำได้ง่ายกว่ามากหาก ผลลัพธ์ p -adic เพียงพอ

ถ้าL / Kเป็นส่วนขยายแบบอาเบเลียนของฟิลด์ทั่วโลก เราจะได้ความสอดคล้องที่แข็งแกร่งกว่ามาก เนื่องจากขึ้นอยู่กับจำนวนเฉพาะφในฟิลด์ฐานK เท่านั้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาส่วนขยาย Q ( β )ของQที่ได้จากการเพิ่มรากβที่สอดคล้อง กับ

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

ไปยังQส่วนขยายนี้เป็นวัฏจักรลำดับที่ห้า โดยมีราก

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

สำหรับจำนวนเต็มnรากของสมการนี้คือพหุนามเชบิเชฟของβ :

β ² − 2, β ³ − 3 β , β ⁵ − 5 β ³ + 5 β

จงแสดงผลลัพธ์ของแผนที่ฟรอเบนิอุสสำหรับจำนวนเฉพาะ2 , 3และ5และต่อไปเรื่อยๆ สำหรับจำนวนเฉพาะที่มากกว่าแต่ไม่เท่ากับ11หรืออยู่ในรูป22n + 1 (ซึ่งแยกออก) จะเห็นได้ชัดเจนในทันทีว่าแผนที่ฟรอเบนิอุ ส ให้ผลลัพธ์ที่เท่ากับมอดpยก กำลัง pของรากβ

• สนามที่สมบูรณ์แบบ
• ฟรอเบนิออยด์
• ฟิลด์จำกัด § ออโตมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุสและทฤษฎีกาโลอิส
• โฮมีโอมอร์ฟิซึมสากล