ในทางคณิตศาสตร์จำนวนเต็มโปรไฟไนต์คือ สมาชิกของริง (บางครั้งออกเสียงว่า ซี-แฮท หรือ เซด-แฮท)

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

โดยที่ลิมิตผกผันของวงแหวนผลหาร จะวิ่งผ่านจำนวนธรรมชาติ ทั้งหมด ซึ่งเรียงลำดับบางส่วนตามการหารลงตัวตามคำนิยาม วงแหวนนี้คือการเติมเต็มแบบโปรไฟไนต์ของจำนวนเต็มตามทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนยังสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลคูณโดยตรงของวงแหวน${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p},}$

โดยที่ดัชนีครอบคลุมจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด และเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic กลุ่มนี้มีความสำคัญเนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎี Galoisทฤษฎีétale homotopyและวงแหวนของadelesนอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างพื้นฐานที่จัดการได้ง่ายของกลุ่ม profinite อีก ด้วย ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

จำนวนเต็มโปรไฟไนต์สามารถสร้างขึ้นได้จากเซตของลำดับเศษเหลือที่แสดงในลักษณะที่การบวกและการคูณแบบจุดต่อจุดทำให้มันเป็นวงแหวนสลับที่ได้ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \upsilon }$$${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}$$${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}\!\!\!\!\!{\pmod {m}}}$

วงแหวนของจำนวนเต็มฝังตัวอยู่ในวงแหวนของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์โดยการฉีดแบบแคนอนิกโดยที่เป็นแบบแคนอนิกเนื่องจากเป็นไปตามคุณสมบัติสากลของกลุ่มโปรไฟไนต์ที่ว่า เมื่อกำหนดกลุ่มโปรไฟไนต์ใดๆและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ใดๆ แล้ว จะมี โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันเพียง หนึ่งเดียว ที่มี$${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }},}$$${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

จำนวนเต็มทุกจำนวนมีรูปแบบเฉพาะในระบบจำนวนแฟกทอเรียลโดยที่สำหรับทุก ๆและมีเพียงจำนวนจำกัดของที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle n\geq 0}$$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\quad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

ในทำนองเดียวกัน จำนวนเต็มโปรไฟไนต์สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในระบบจำนวนแฟกทอเรียลเป็นสตริงอนันต์โดยที่แต่ละเป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ[ ^{1 ] ตัวเลข} กำหนดค่าของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์โมดูลัส โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ส่งความแตกต่างของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์จากจำนวนเต็มคือเงื่อนไข "ตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัด" ถูกละทิ้ง ทำให้การแสดงจำนวนแฟกทอเรียลมีตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนอนันต์ ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!{\bmod {k}}!}$$

อีกวิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจการสร้างจำนวนเต็มโปรไฟไนต์คือการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนจำได้ว่าสำหรับจำนวนเต็มที่มีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน จะมีไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากทฤษฎีบท ยิ่งไปกว่านั้นการส่งแบบ ทั่วถึงใดๆ จะเป็นเพียงแผนที่บนการแยกตัวประกอบพื้นฐานที่มีการส่งแบบทั่วถึงที่เหนี่ยวนำเนื่องจากเราต้องมีภายใต้นิยามลิมิตผกผันของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์ เรามีไอโซมอร์ฟิซึมกับผลคูณโดยตรงของ จำนวนเต็ม p -adic โดยชัดเจน ไอโซมอร์ฟิซึมคือโดยที่ครอบคลุมตัวประกอบกำลังเฉพาะทั้งหมดของนั่นคือสำหรับจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันบางจำนวน ${\displaystyle n}$$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}{\bmod {k}},}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

เซตของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์มีโทโพโลยีแบบเหนี่ยวนำซึ่งเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ (อันที่จริงคือปริภูมิสโตน ) ซึ่งเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถมองได้ว่าเป็นเซตย่อยปิดของผลคูณโดยตรง อนันต์ ซึ่งกระชับกับโทโพโลยีผลคูณ ของมัน โดยทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์โทโพโลยีบนแต่ละกลุ่มจำกัดจะกำหนดเป็น โทโพโล ยี แบบไม่ต่อเนื่อง$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

โทโพโลยีบนสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริก^{[ 1 ]}เนื่องจากการบวกจำนวนเต็มโปรไฟไนต์มีความต่อเนื่อง จึงเป็นกลุ่มอาเบล แบบ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด และด้วยเหตุนี้คู่แบบ Pontryagin ของมัน จึงต้องเป็นกลุ่มอาเบลแบบไม่ต่อเนื่อง ในความเป็นจริง คู่แบบ Pontryagin ของคือกลุ่มอาเบลที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (โปรดทราบว่ามันไม่ใช่โทโพโลยีเซตย่อยที่สืบทอดมาจากซึ่งไม่ใช่แบบไม่ต่อเนื่อง) คู่แบบ Pontryagin ถูกสร้างขึ้นอย่างชัดเจนโดยฟังก์ชัน^{[ 2 ]}โดยที่คืออักขระของ adele (แนะนำด้านล่าง) ^ที่เกิดจาก[ ^{3 ]}${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}.}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa),}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

ผลคูณเทนเซอร์คือวงแหวนของอะเดลจำกัดของโดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงผลคูณที่จำกัดนั่นคือ องค์ประกอบ คือลำดับที่เป็นจำนวนเต็มยกเว้นที่ตำแหน่งจำนวนจำกัด^{[ 4 ]}มีไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle '}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$$

สำหรับการปิดเชิงพีชคณิต ของฟิลด์จำกัดที่มีอันดับqกลุ่มกาโลอิสสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน จากข้อเท็จจริงที่ว่าออโตมอร์ฟิซึมได้รับจากเอนโดมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุสกลุ่มกาโลอิสของการปิดเชิงพีชคณิตของจะได้รับจากลิมิตผกผันของกลุ่มดังนั้นกลุ่มกาโลอิสจึงสม isomorphic กับกลุ่มของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์^{[ 5 ]}ซึ่งให้การคำนวณกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์จำกัด ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }},}$$

โครงสร้างนี้สามารถตีความใหม่ได้หลายวิธี หนึ่งในนั้นคือจากประเภทโฮโมโทปีแบบเอทาลซึ่งกำหนดกลุ่มพื้นฐานแบบเอทาล เป็นการเติมเต็มแบบโปรไฟไนต์ของออโตมอร์ฟิ ซึม โดยที่เป็นการปกคลุมแบบเอทาลจากนั้น จำนวนเต็มโปรไฟไนต์จะสม isomorphic กับกลุ่มจากการคำนวณกลุ่มกาโลอิสแบบโปรไฟไนต์ก่อนหน้านี้ นอกจากนี้ ยังมีการฝังตัวของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์ภายในกลุ่มพื้นฐานแบบเอทาลของทอรัสเชิงพีชคณิตเนื่องจากแผนที่การปกคลุมมาจากแผนที่พหุนามจากแผนที่ของวงแหวนสลับที่ส่งเนื่องจากถ้าทอรัสเชิงพีชคณิตถูกพิจารณาเหนือฟิลด์แล้วกลุ่มพื้นฐานแบบเอทาลจะมีการกระทำของเช่นเดียวกับจากลำดับที่แน่นอนพื้นฐานในทฤษฎีโฮโมโทปีแบบเอทาล ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X),}$$${\displaystyle X_{i}\to X}$$${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}),}$$$${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$$${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

ทฤษฎีฟิลด์คลาสเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนพีชคณิตที่ศึกษาการขยายฟิลด์อาเบลของฟิลด์ เมื่อกำหนดฟิลด์ทั่วโลก การทำให้เป็นกลุ่ม อาเบลของกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์นั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับวงแหวนของอาเดลที่เกี่ยวข้องและกลุ่มของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีแผนที่ที่เรียกว่าแผนที่อาร์ติน^{[ 6 ]}ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ผลหารนี้สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนโดยให้ความสัมพันธ์ที่ต้องการ มีข้อความที่คล้ายกันสำหรับทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่นเนื่องจากการขยายอาเบล แบบจำกัดทุก แบบ ของจะถูกเหนี่ยวนำจากการขยายฟิลด์ แบบจำกัด${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\widehat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\widehat {\mathbb {Z} }},\end{aligned}}}$$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

• วงแหวนแห่งอเดล
• เลขเหนือธรรมชาติ

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf