กฎการแลกเปลี่ยนของอาร์ตินซึ่งกำหนดโดยเอมิล อาร์ตินในชุดบทความ (1924; 1927; 1930) เป็นทฤษฎีบททั่วไปในทฤษฎีจำนวนที่เป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีสนามชั้นสากล[ 1 ^{]คำว่า} " กฎการแลกเปลี่ยน " หมายถึงข้อความทางทฤษฎีจำนวนที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นซึ่งกฎนี้ได้ขยายความ ตั้งแต่กฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองและกฎการแลกเปลี่ยนของไอเซนสไตน์และคุมเมอร์ไปจนถึง สูตรผลคูณ ของฮิลเบิร์ตสำหรับสัญลักษณ์บรรทัดฐานผลลัพธ์ของอาร์ตินให้คำตอบบางส่วนสำหรับปัญหาที่เก้าของฮิลเบิร์ต

ให้เป็นส่วนขยายกาโลอิสของฟิลด์ทั่วโลกให้เป็นกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายนี้ และแทนกลุ่มคลาสอุดมคติ ของและ ตามลำดับ ให้: ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$${\displaystyle C_{K},C_{L}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle N_{L/K}:C_{L}\rightarrow C_{K}}$

แสดงถึงแผนที่บรรทัดฐานอุดมคติ กฎการแลกเปลี่ยนของ Artin ระบุว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกอยู่ระหว่างกลุ่มผลหารและการทำให้เป็นกลุ่มอาเบลของกลุ่ม Galois: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

ซึ่งกำหนดโดยการรวบรวมแผนที่ท้องถิ่น:

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}},}$

สำหรับสถานที่ ต่างๆ ของ. ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$

• แผนที่นี้เรียกว่าแผนที่สัญลักษณ์โลกหรือ แผนที่ สัญลักษณ์อาร์ติน${\displaystyle \theta }$
• สำหรับแต่ละสถานที่แผนที่ท้องถิ่นจะเรียกว่าสัญลักษณ์ Artin ท้องถิ่นแผนที่ความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนท้องถิ่นหรือ สัญลักษณ์เศษ เหลือมาตรฐาน${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta _{v}}$
• แผนที่ท้องถิ่นเหล่านั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมในตัวเอง นี่คือเนื้อหาของกฎการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันในระดับท้องถิ่น ซึ่งเป็นผลลัพธ์สำคัญในทฤษฎีสนามชั้นท้องถิ่น${\displaystyle \theta _{v}}$

การพิสูจน์เชิงโคฮอโมโลยีของกฎการแลกเปลี่ยนแบบสากลสามารถทำได้โดยการพิสูจน์ก่อนว่า

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

ก่อให้เกิดการก่อตัวของชั้นเรียนในความหมายของ Artin และ Tate ^{[ 4 ]}จากนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

โดยที่แทนกลุ่มโคฮอโมโลยีของเทต การคำนวณกลุ่มโคฮอโมโลยีแสดงให้เห็นว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$${\displaystyle \theta }$

กฎการแลกเปลี่ยนของ Artin บ่งบอกถึงคำอธิบายของการ ทำให้เป็นกลุ่ม อาเบล ของ กลุ่ม Galoisสัมบูรณ์ของฟิลด์ทั่วโลกKซึ่งอิงตามหลักการท้องถิ่น-ทั่วโลกของ Hasseและการใช้องค์ประกอบ Frobeniusร่วมกับทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของ Takagiใช้เพื่ออธิบายส่วนขยายอาเบลของKในแง่ของเลขคณิตของKและเพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมของตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนในนั้น ดังนั้นกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin จึง สามารถตีความได้ว่าเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักของทฤษฎีฟิลด์คลาสทั่วโลก สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน L ของ Artinเป็นเมโรเมอร์ฟิกและยังใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Chebotarev ได้อีกด้วย ^{[ 5 ]}

สองปีหลังจากที่เขาตีพิมพ์กฎการแลกเปลี่ยนทั่วไปในปี พ.ศ. 2460 อาร์ตินได้ค้นพบโฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอนของ I. Schur อีกครั้ง และใช้กฎการแลกเปลี่ยนเพื่อแปลปัญหาหลักสำหรับคลาสอุดมคติของ ฟิลด์ จำนวนพีชคณิตให้เป็นงานทฤษฎีกลุ่มในการกำหนดเคอร์เนลของการถ่ายโอนของกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนจำกัด^{[ 6 ]}

(ดูคำอธิบายเกี่ยวกับคำศัพท์บางคำที่ใช้ในที่นี้ได้ ที่ math.stackexchange.com )

นิยามของแผนที่อาร์ตินสำหรับส่วนขยายอาเบเลียนจำกัดL / Kของฟิลด์ทั่วโลก (เช่น ส่วนขยายอาเบเลียนจำกัดของ) มีคำอธิบายที่ชัดเจนในแง่ของอุดมคติเฉพาะและองค์ประกอบฟรอเบนิอุส ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะของKแล้วกลุ่มการแยกส่วนของจำนวนเฉพาะข้างต้นจะเท่ากันใน Gal( L / K ) เนื่องจากกลุ่มหลังเป็นกลุ่มอาเบเลียนถ้าไม่มีการแตกแขนงในLแล้ว กลุ่มการแยกส่วนจะสมมาตรตามหลักการกับกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายของฟิลด์เศษเหลือเหนือดังนั้นจึงมีองค์ประกอบฟรอเบนิอุสที่กำหนดตามหลักการใน Gal( L / K ) ซึ่งแทนด้วยหรือถ้า Δ แทนดิสคริมิแนนต์สัมพัทธ์ของL / Kสัญลักษณ์อาร์ติน (หรือแผนที่อาร์ตินหรือแผนที่ความสัมพันธ์แบบผกผัน (ทั่วโลก) ) ของL / Kถูกกำหนดบน กลุ่มของอุดมคติเศษส่วน จากจำนวนเฉพาะไปยัง Δโดยความเป็นเชิงเส้น: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

กฎการตอบแทนของอาร์ติน (หรือกฎการตอบแทนแบบสากล ) ระบุว่ามีค่าสัมบูรณ์cของKที่ทำให้แผนที่ของอาร์ตินเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

โดยที่K _{c ,1}คือรังสีโมดู ลัส c , N _{L / K}คือแผนที่นอร์มที่เกี่ยวข้องกับL / Kและคืออุดมคติเศษส่วนของLที่เป็นไพรม์ของc โมดูลัส cดังกล่าวเรียกว่าโมดูลัสกำหนดสำหรับL / Kโมดูลัสกำหนดที่เล็กที่สุดเรียกว่าตัวนำของL / Kและโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

ถ้าเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและแล้วสามารถระบุได้ด้วย {±1} ค่าดิสครีมิแนนต์ Δ ของLบนคือdหรือ 4d ขึ้นอยู่กับว่าd ≡ 1 (mod 4) หรือไม่ จาก นั้นแผนที่อาร์ตินจะถูกกำหนดบนจำนวนเฉพาะpที่หาร Δ ไม่ลงตัวด้วย ${\displaystyle d\neq 1}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

สัญลักษณ์ Kroneckerอยู่ที่ไหน^{[ 7} ] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวนำของคืออุดมคติหลัก (Δ) หรือ (Δ)∞ ขึ้นอยู่กับว่า Δ เป็นบวกหรือลบ^{[ 8 ]}และแผนที่ Artin บนอุดมคติจำนวนเฉพาะไปยัง Δ ( ⁿ )จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ Kronecker ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจำนวนเฉพาะpจะถูกแยกหรือเฉื่อยในLขึ้นอยู่กับว่าเป็น 1 หรือ −1 ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

ให้m > 1 เป็นจำนวนเต็มคี่หรือพหุคูณของ 4 ให้ σ เป็น รากที่ mของเอกภาพแบบดั้งเดิมและให้ σ เป็นฟิลด์ไซโคลโทมิกที่mสามารถระบุได้กับ_σโดยการส่ง σ ไปยังσที่กำหนดโดยกฎ ${\displaystyle \zeta _{m}}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

ตัวนำของคือ ( m )∞, ^{[ 9 ]}และแผนที่ Artin บนอุดมคติจำนวนเฉพาะถึงm ( n ) เป็นเพียงn (mod m ) ใน^{[ 10 ]}${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

ให้pและ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน เพื่อความสะดวก ให้(ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 (mod 4) เสมอ) จากนั้น หลักการแลกเปลี่ยนกำลังสองระบุว่า ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

ความสัมพันธ์ระหว่างกฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองและกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin จะแสดงโดยการศึกษาฟิลด์กำลังสองและฟิลด์ไซโคลโทมิกดังต่อไปนี้^{[ 7 ]}ก่อนอื่นFเป็นฟิลด์ย่อยของLดังนั้นถ้าH = Gal( L / F ) แล้วเนื่องจากฟิลด์หลังมีอันดับ 2 กลุ่มย่อยHจะต้องเป็นกลุ่มกำลังสองในคุณสมบัติพื้นฐานของสัญลักษณ์ Artin กล่าวว่าสำหรับทุกอุดมคติจำนวนเฉพาะถึง ℓ ( n ) ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

เมื่อn = pสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าp modulo ℓ อยู่ในH ก็ ต่อเมื่อpเป็นกำลังสอง modulo ℓ เท่านั้น${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

กฎการแลกเปลี่ยนทางเลือกอีกเวอร์ชันหนึ่ง ซึ่งนำไปสู่โปรแกรม Langlandsเชื่อมโยงฟังก์ชัน L ของ Artinที่เกี่ยวข้องกับส่วนขยายอาเบลของฟิลด์จำนวนกับฟังก์ชัน L ของ Hecke ที่เกี่ยวข้องกับอักขระของกลุ่มคลาส idèle ^{[ 11 ]}

อักขระHecke (หรือ Größencharakter) ของฟิลด์จำนวนKถูกกำหนดให้เป็นอักขระกึ่งของกลุ่มคลาส idèle ของK Robert Langlandsตีความอักขระ Hecke ว่าเป็น รูป ^แบบอัตโนมัติบนกลุ่มพีชคณิตลดรูป GL ( 1) เหนือวงแหวนของ adelesของK [ ^{12 ]}

ให้ K เป็นส่วนขยายกาโลอิสแบบอาเบเลียนที่มีกลุ่มกาโลอิสGแล้วสำหรับอักขระ ใดๆ (เช่น การแสดงแทนเชิงซ้อนหนึ่งมิติของกลุ่มG ) จะมีอักขระเฮคเคของK อยู่ เช่นนั้น ${\displaystyle E/K}$${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

โดยที่ด้านซ้ายมือคือฟังก์ชัน L ของ Artin ที่เกี่ยวข้องกับส่วนขยายที่มีอักขระ σ และด้านขวามือคือฟังก์ชัน L ของ Hecke ที่เกี่ยวข้องกับ χ ส่วนที่ 7.D ของ^{[ 12 ]}

การกำหนดกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin ในรูปความเท่าเทียมกันของ ฟังก์ชัน Lช่วยให้สามารถกำหนดรูปแบบทั่วไปสำหรับ การแสดงผลแบบ nมิติได้ แม้ว่าจะยังขาดความสอดคล้องกันโดยตรงก็ตาม

• รายชื่อกฎหมายที่ตั้งชื่อตามบุคคล