ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์ชั้นรังสี (ray class field)คือส่วนขยายแบบอาเบเลียน (abelian extension)ของฟิลด์ทั่วโลก (global field)ที่เชื่อมโยงกับกลุ่มชั้นรังสี (ray class group)ของชั้นอุดมคติ (ideal classes)หรือชั้นอุดมคติ (idele classes ) ส่วนขยายแบบอาเบเลียนจำกัดทุกอันของฟิลด์จำนวนจะบรรจุอยู่ในฟิลด์ชั้นรังสีอันใดอันหนึ่งของฟิลด์นั้น

คำว่า "ray class group" เป็นคำแปลจากคำภาษาเยอรมัน "Strahlklassengruppe" โดย "Strahl" ในที่นี้หมายถึงรังสีในภาษาเยอรมัน และมักหมายถึงเส้นจำนวนจริงบวก ซึ่งปรากฏในเงื่อนไขความเป็นบวกที่กำหนดกลุ่ม ray class group Hasse (1926 , หน้า 6) ใช้คำว่า "Strahl" ในความหมายของกลุ่มไอเดียลกลุ่มหนึ่งที่กำหนดโดยใช้เงื่อนไขความเป็นบวก และใช้คำว่า "Strahlklasse" ในความหมายของโคเซตของกลุ่มนี้

มีแนวคิดที่แตกต่างกันเล็กน้อยสองประการเกี่ยวกับฟิลด์คลาสเรย์ เนื่องจากผู้เขียนมีความเห็นแตกต่างกันในวิธีการจัดการกับจำนวนเฉพาะอนันต์

เวเบอร์ได้เสนอแนวคิดกลุ่มชั้นรังสี (ray class groups) ในปี 1897 ทาคากิได้พิสูจน์การมีอยู่ของฟิลด์ชั้นรังสีที่สอดคล้องกันในราวปี 1920 และเชอวัลเลย์ได้ปรับปรุงนิยามของกลุ่มชั้นรังสีใหม่โดยใช้แนวคิดของไอเดิล (ideles) ในปี 1933

ถ้าmเป็นไอเดียลของวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนKและSเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง แล้วกลุ่มเรย์คลาสของmและSคือกลุ่มผลหาร

${\displaystyle I^{m}/P^{m}\,}$

โดยที่I ^mคือกลุ่มของไอเดียลเศษส่วนที่ไม่มีตัวหารร่วมกับmและ "รังสี" P ^mคือกลุ่มของไอเดียลหลักที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกaโดยที่a  ≡ 1 mod  mซึ่งเป็นบวกที่ตำแหน่งของSเมื่อSประกอบด้วยตำแหน่งจริงทั้งหมด ดังนั้นaจึงถูกจำกัดให้เป็นบวกทั้งหมด กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มรังสีแคบของmผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "กลุ่มรังสี" ในความหมายว่า "กลุ่มรังสีแคบ"

ฟิลด์เรย์คลาสของKคือส่วนขยายอาเบเลียนของKที่เชื่อมโยงกับกลุ่มเรย์คลาสโดยทฤษฎีฟิลด์คลาสและกลุ่มกาโลอิสของมันจะสม isomorphic กับกลุ่มเรย์คลาสที่สอดคล้องกัน การพิสูจน์การมีอยู่ของฟิลด์เรย์คลาสของกลุ่มเรย์คลาสที่กำหนดนั้นยาวและอ้อม และโดยทั่วไปแล้วไม่มีวิธีง่ายๆ ที่รู้จักในการสร้างมัน (แม้ว่าจะมีวิธีการสร้างที่ชัดเจนในบางกรณีพิเศษ เช่น ฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการ)

เชอวาลเลย์ได้นิยามกลุ่มชั้นรังสีของอุดมคติmและเซตSของจำนวนจริงใหม่ โดยให้เป็นผลหารของกลุ่มชั้นอุดมคติด้วยภาพของกลุ่มนั้น

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

โดยที่U _pกำหนดโดย:

• จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับตำแหน่งเชิงซ้อนp
• จำนวนจริงบวกสำหรับตำแหน่งจริงpในSและจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดสำหรับpที่ไม่ได้อยู่ในS
• หน่วยของK _pสำหรับตำแหน่งp ที่จำกัดซึ่ง ไม่หารm ลงตัว
• หน่วยของK _pสอดคล้องกับ 1 mod p ⁿถ้าp ⁿคือกำลังสูงสุดของpที่หารmลงตัว

นักเขียนบางคนใช้นิยามที่ครอบคลุมกว่า โดยที่กลุ่มU _pสามารถเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดสำหรับตำแหน่งจริง p บางตำแหน่ง ได้

กลุ่มคลาสเรย์ที่กำหนดโดยใช้ไอเดียลนั้นโดยธรรมชาติแล้วจะสมมาตรกับกลุ่มที่กำหนดโดยใช้ไอเดียล บางครั้งการจัดการกลุ่มคลาสเรย์โดยใช้ไอเดียลอาจง่ายกว่าในทางทฤษฎี เพราะกลุ่มเหล่านี้ล้วนเป็นผลหารของกลุ่มเดียวกัน จึงเปรียบเทียบได้ง่ายกว่า

ฟิลด์คลาสเรย์ของกลุ่มคลาสเรย์คือส่วน ขยาย อาเบเลียน Lที่ไม่ซ้ำกันของKโดยที่นอร์มของกลุ่มคลาสอุดมคติC _LของLคือภาพของในกลุ่มคลาสอุดมคติของK${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

ถ้าKคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ , mคือจำนวนเต็มตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ และSประกอบด้วยตำแหน่งอาร์คิมีเดียนของKแล้ว กลุ่มชั้นรังสีของ ( m ) และSจะสมสัณฐานกับกลุ่มหน่วยของZ / m Zและฟิลด์ชั้นรังสีคือฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดย ราก ที่m ของเอกภาพฟิลด์ชั้นรังสีสำหรับ ( m ) และเซตว่างของตำแหน่งคือฟิลด์ย่อยจริงทั้งหมดของสูงสุด -- ฟิลด์ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))}$

ฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตคือฟิลด์คลาสรังสีที่สอดคล้องกับอุดมคติหน่วยและเซตว่างของจำนวนจริง ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์คลาสรังสีที่เล็กที่สุดฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตแบบแคบคือฟิลด์คลาสรังสีที่สอดคล้องกับอุดมคติหน่วยและเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์คลาสรังสีแบบแคบที่เล็กที่สุด