ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ใช้เทคนิคของพีชคณิตนามธรรมในการศึกษาจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะและการวางนัยทั่วไปของจำนวนเหล่านั้น คำถามทางทฤษฎีจำนวนจะถูกแสดงออกมาในรูปของคุณสมบัติของวัตถุเชิงพีชคณิต เช่นฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตและวงแหวนของจำนวนเต็มฟิลด์จำกัดและฟิลด์ฟังก์ชันคุณสมบัติเหล่านี้ เช่นวงแหวนยอมรับการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน หรือไม่ พฤติกรรมของไอเดียลและกลุ่มกาโลอิสของฟิลด์สามารถช่วยแก้ปัญหาสำคัญในทฤษฎีจำนวนได้ เช่น การมีอยู่ของคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์

จุดเริ่มต้นของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถสืบย้อนไปถึงสมการไดโอแฟนไทน์^{[ 1 ]}ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอเล็กซานเดรีย ในศตวรรษที่ 3 ชื่อไดโอแฟน ตัสผู้ซึ่งศึกษาสมการเหล่านี้และพัฒนาวิธีการแก้สมการไดโอแฟนไทน์บางประเภท ปัญหาไดโอแฟนไทน์ทั่วไปคือการหาจำนวนเต็มสองจำนวนxและyที่ผลรวมของจำนวนทั้งสองและผลรวมของกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับจำนวนAและB ที่กำหนดให้ ตามลำดับ:

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

สมการไดโอแฟนไทน์ได้รับการศึกษามาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง^{x² +} y² = z²นั้น^ได้มาจากสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนซึ่งเดิมทีชาวบาบิโลนเป็นผู้แก้ ( ประมาณ 1800 ปีก่อนคริสตกาล ) ^{[ 2 ]}คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น เช่น 26x + 65y = 13 สามารถหาได้โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด (ประมาณศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล) ^{[ 3 ]}

ผลงานชิ้นเอกของดิโอแฟนตัสคือหนังสือArithmeticaซึ่งปัจจุบันเหลือรอดมาเพียงบางส่วนเท่านั้น

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ถูก ตั้งสมมติฐานขึ้นครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีจากการเขียนไว้ที่ขอบหน้ากระดาษของหนังสือ Arithmeticaโดยเขาอ้างว่าเขามีบทพิสูจน์ที่ยาวเกินกว่าจะเขียนลงในขอบกระดาษได้ ไม่มีการตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จจนกระทั่งปี 1995 แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสตร์จำนวนนับไม่ถ้วนพยายามอย่างหนักตลอด 358 ปีที่ผ่านมา ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขนี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการพิสูจน์ทฤษฎีบทมอดูลาลิตี้ในศตวรรษที่ 20

หนึ่งในผลงานพื้นฐานของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือDisquisitiones Arithmeticae ( ภาษาละติน : การสืบสวนทางเลขคณิต ) ซึ่งเป็นตำราทฤษฎีจำนวนที่เขียนเป็นภาษาละติน^{[ 4 ]}โดยCarl Friedrich Gaussในปี 1798 เมื่อ Gauss อายุ 21 ปี และตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1801 เมื่อเขาอายุ 24 ปี ในหนังสือเล่มนี้ Gauss ได้รวบรวมผลลัพธ์ในทฤษฎีจำนวนที่ได้จากนักคณิตศาสตร์เช่น Fermat, Euler , LagrangeและLegendreและเพิ่มผลลัพธ์ใหม่ที่สำคัญของเขาเอง ก่อนที่Disquisitionesจะได้รับการตีพิมพ์ ทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยชุดของทฤษฎีบทและข้อสันนิษฐานที่แยกจากกัน Gauss ได้นำผลงานของบรรพบุรุษของเขามารวมกับผลงานดั้งเดิมของเขาเองในกรอบที่เป็นระบบ เติมเต็มช่องว่าง แก้ไขการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้อง และขยายขอบเขตของหัวข้อในหลายๆ ด้าน

หนังสือDisquisitionesเป็นจุดเริ่มต้นของงานของ นักคณิตศาสตร์ ชาวยุโรป คนอื่นๆ ในศตวรรษที่ 19 รวมถึงErnst Kummer , Peter Gustav Lejeune DirichletและRichard Dedekindคำอธิบายประกอบหลายอย่างที่ Gauss ให้ไว้ แท้จริงแล้วเป็นการประกาศถึงงานวิจัยเพิ่มเติมของเขาเอง ซึ่งบางส่วนยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ คำอธิบายเหล่านั้นคงดูคลุมเครือเป็นพิเศษสำหรับคนร่วมสมัยของเขา แต่ในปัจจุบันเราสามารถอ่านคำอธิบายเหล่านั้นได้ว่ามีเค้าโครงของทฤษฎีฟังก์ชัน Lและการคูณเชิงซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ในบทความสองฉบับในปี พ.ศ. 2381 และ พ.ศ. 2382 ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอฌูน ดิริชเลต์ ได้พิสูจน์ สูตรจำนวนชั้นแรกสำหรับรูปแบบกำลังสอง (ซึ่งต่อมาได้รับการปรับปรุงโดยเลโอโปลด์ โครเนก เกอร์ นักศึกษาของเขา ) สูตรนี้ซึ่งจาโคบีเรียกว่าเป็นผลลัพธ์ที่ "สัมผัสถึงความเฉลียวฉลาดสูงสุดของมนุษย์" ได้เปิดทางให้เกิดผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับฟิลด์จำนวนทั่วไปมากขึ้น[ 5 ^{]จากการ}วิจัยโครงสร้างของกลุ่มหน่วยของฟิลด์กำลังสองเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทหน่วยของดิริชเลต์ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต^{[ 6 ]}

เขาใช้หลักการรังนกพิราบ เป็นครั้งแรก ซึ่งเป็นข้อโต้แย้งการนับพื้นฐาน ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทในการประมาณไดโอแฟนไทน์ซึ่งต่อมาได้รับการตั้งชื่อตามเขาว่าทฤษฎีบทการประมาณของ Dirichletเขาได้ตีพิมพ์ผลงานสำคัญเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ซึ่งเขาได้พิสูจน์กรณีn  = 5 และn  = 14 และเกี่ยวกับ กฎการแลกเปลี่ยนแบบ กำลังสอง^{[ 5 ]}ปัญหาตัวหารของ Dirichletซึ่งเขาค้นพบผลลัพธ์แรก ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีจำนวน แม้ว่าจะมีผลงานในภายหลังจากนักวิจัยคนอื่นๆ ก็ตาม

การศึกษาผลงานของเลอฌูน ดิริชเลต์ของริชาร์ด เดเดคินด์ เป็นสิ่งที่นำไปสู่การศึกษาเรื่องฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตและอุดมคติในภายหลัง ในปี ค.ศ. 1863 เขาได้ตีพิมพ์บทบรรยายเรื่องทฤษฎีจำนวนของเลอฌูน ดิริชเลต์ในชื่อ Vorlesungen über Zahlentheorie ("บทบรรยายเรื่องทฤษฎีจำนวน") ซึ่งมีผู้เขียนถึงว่า:

"แม้ว่าหนังสือเล่มนี้จะอ้างอิงจากคำบรรยายของดิริชเลต์อย่างแน่นอน และแม้ว่าเดเดคินด์เองจะอ้างถึงหนังสือเล่มนี้ว่าเป็นของดิริชเลต์ตลอดชีวิตของเขา แต่ตัวหนังสือเองนั้นเขียนขึ้นโดยเดเดคินด์เป็นส่วนใหญ่ หลังจากที่ดิริชเลต์เสียชีวิตไปแล้ว" (เอ็ดเวิร์ดส์ 1983)

หนังสือVorlesungen ฉบับปี 1879 และ 1894 มีส่วนเสริมที่แนะนำแนวคิดเรื่องไอเดียล ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญของทฤษฎีริง (คำว่า "ริง" ซึ่งฮิลเบิร์ต นำมาใช้ในภายหลัง ไม่ปรากฏในงานของเดเดคินด์) เดเดคินด์นิยามไอเดียลว่าเป็นเซตย่อยของเซตของจำนวน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มพีชคณิตที่สอดคล้องกับสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยฮิลเบิร์ต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยเอมมี เนอเธอร์ ไอเดียล เป็นการขยายแนวคิดของ จำนวนไอเดียลของเอิร์นสต์ เอดูอาร์ด คุมเมอร์ซึ่งคิดค้นขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามของคุมเมอร์ในปี 1843 ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

เดวิด ฮิลเบิร์ตได้รวมสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเข้าด้วยกันด้วยบทความZahlbericht (แปลตรงตัวว่า "รายงานเกี่ยวกับจำนวน") ในปี 1897 นอกจากนี้ เขายังได้แก้ไขปัญหาสำคัญในทฤษฎีจำนวนที่วอริ่งได้กำหนดไว้ในปี 1770 เช่นเดียวกับทฤษฎีบทเรื่องความจำกัดเขาใช้การพิสูจน์การมีอยู่ซึ่งแสดงให้เห็นว่าต้องมีคำตอบสำหรับปัญหาแทนที่จะให้กลไกในการสร้างคำตอบ^{[ 7 ]}จากนั้นเขาก็แทบไม่ได้ตีพิมพ์อะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกเลย แต่การปรากฏตัวของรูปแบบมอดูลาร์ของฮิลเบิร์ตในวิทยานิพนธ์ของนักศึกษาทำให้ชื่อของเขาเชื่อมโยงกับสาขาสำคัญนี้มากขึ้น

เขาตั้งสมมติฐานหลายชุดเกี่ยวกับทฤษฎีสนามชั้นแนวคิดเหล่านี้มีอิทธิพลอย่างมาก และผลงานของเขายังคงปรากฏอยู่ในชื่อของสนามชั้นฮิลเบิร์ตและสัญลักษณ์ฮิลเบิร์ตของทฤษฎีสนามชั้นท้องถิ่นผลลัพธ์ส่วนใหญ่ได้รับการพิสูจน์แล้วภายในปี 1930 หลังจากผลงานของเทจิ ทาคากิ^{[ 8 ]}

เอมิล อาร์ตินได้วางกฎการแลกเปลี่ยนของอาร์ตินไว้ในเอกสารชุดหนึ่ง (1924; 1927; 1930) กฎนี้เป็นทฤษฎีบททั่วไปในทฤษฎีจำนวนที่เป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีสนามชั้นสากล^{[ 9 ]}คำว่า " กฎการแลกเปลี่ยน " หมายถึงข้อความทางทฤษฎีจำนวนที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นซึ่งกฎนี้ได้ขยายความ ตั้งแต่กฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองและกฎการแลกเปลี่ยนของไอเซนสไตน์และคุมเมอร์ ไปจนถึงสูตรผลคูณของฮิลเบิร์ตสำหรับสัญลักษณ์บรรทัดฐานผลลัพธ์ของอาร์ตินได้ให้คำตอบบางส่วนสำหรับปัญหาที่เก้าของฮิลเบิร์ต

ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นโกโร ชิมูระและยูทากะ ทานิยามะสังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาของคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ได้แก่เส้นโค้งวงรีและรูปแบบมอดูลาร์ทฤษฎีบทมอดูลาร์ที่เกิดขึ้น(ซึ่งในขณะนั้นรู้จักกันในชื่อสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระ) ระบุว่าเส้นโค้งวงรีทุกเส้นเป็นมอดูลาร์หมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบมอดูลาร์ ที่ไม่ซ้ำกัน ได้

ในตอนแรกมันถูกมองข้ามว่าเป็นไปได้ยากหรือเป็นการคาดเดาอย่างมาก แต่ได้รับการพิจารณาอย่างจริงจังมากขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวนAndré Weilพบหลักฐานสนับสนุน แต่ยังไม่มีข้อพิสูจน์ ส่งผลให้ข้อสันนิษฐานที่ "น่าทึ่ง" ^{[ 10 ]} นี้ มักถูกเรียกว่าข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura-Weil มันกลายเป็นส่วนหนึ่งของโปรแกรม Langlandsซึ่งเป็นรายการข้อสันนิษฐานสำคัญที่ต้องการการพิสูจน์หรือการหักล้าง

ตั้งแต่ปี 1993 ถึง 1994 แอนดรูว์ ไวลส์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาริตีสำหรับเส้นโค้งวงรีแบบกึ่งเสถียรซึ่งเมื่อรวมกับทฤษฎีบทของริเบต์แล้วก็ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เกือบทุกคนในนักคณิตศาสตร์ในเวลานั้นเคยคิดว่าทั้งทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทโมดูลาริตีเป็นไปไม่ได้หรือแทบเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ได้ แม้จะมีการพัฒนาที่ล้ำสมัยที่สุดก็ตาม ไวลส์ประกาศการพิสูจน์ของเขาครั้งแรกในเดือนมิถุนายน 1993 ^{[ 11 ]}ในเวอร์ชันที่ในไม่ช้าก็ได้รับการยอมรับว่ามีช่องว่างที่สำคัญในจุดสำคัญ การพิสูจน์ได้รับการแก้ไขโดยไวลส์ โดยร่วมมือกับริชาร์ด เทย์เลอร์ บางส่วน และเวอร์ชันสุดท้ายที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางได้รับการเผยแพร่ในเดือนกันยายน 1994 และตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี 1995 การพิสูจน์ใช้เทคนิคมากมายจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน และมีผลกระทบมากมายในสาขาคณิตศาสตร์เหล่านี้ นอกจากนี้ยังใช้โครงสร้างมาตรฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสมัยใหม่ เช่นหมวดหมู่ของสกีมและทฤษฎีอิวาซาวะตลอดจนเทคนิคอื่นๆ ในศตวรรษที่ 20 ซึ่งแฟร์มาต์ไม่มีใช้

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของวงแหวนจำนวนเต็มตรรกยะZคือ มันสอดคล้องกับทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตที่ว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน (บวก) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ได้ และการแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัตินี้อาจไม่เป็นจริงอีกต่อไปในวงแหวนจำนวนเต็มOของฟิลด์จำนวนพีชคณิตK

สำหรับOและวงแหวนสลับที่โดยทั่วไปแล้วสมาชิกเฉพาะคือสมาชิกของวงแหวนที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสำคัญของจำนวนเฉพาะที่กำหนดโดยทฤษฎีบทของยูคลิด : สมาชิกเฉพาะคือสมาชิกpของOที่ถ้าpหารผลคูณab ลงตัว แล้ว p ก็จะหารตัวประกอบaหรือb ลงตัวด้วย คุณสมบัตินี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความเป็นจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็ม เพราะจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัตินี้จะเป็น1หรือจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัตินี้อ่อนกว่าอย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น−2ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเพราะเป็นค่าลบ แต่เป็นสมาชิกเฉพาะ ถ้าอนุญาตให้มีการแยกตัวประกอบเป็นสมาชิกเฉพาะแล้ว แม้แต่ในจำนวนเต็มก็ยังมีการแยกตัวประกอบทางเลือกอื่นๆ เช่น

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

โดยทั่วไป ถ้าuเป็นหน่วยหมายถึงจำนวนที่มีตัวผกผันการคูณในOและถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วupก็จะเป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน จำนวนเช่นpและupเรียกว่าเป็น จำนวน ที่สัมพันธ์กันในจำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะpและ−p เป็น จำนวนที่สัมพันธ์กัน แต่มีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้นที่เป็นบวก การกำหนดให้จำนวนเฉพาะเป็นบวกจะเลือกองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันจากเซตของจำนวนเฉพาะที่สัมพันธ์กัน อย่างไรก็ตาม เมื่อKไม่ใช่จำนวนตรรกยะ จะไม่มีสิ่งที่เทียบเคียงได้กับความเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ในจำนวนเต็มเกาส์เซียนZ [ i ] , ^{[ 12 ]}จำนวน1 + 2 iและ−2 + iเป็นจำนวนที่สัมพันธ์กันเพราะจำนวนหลังเป็นผลคูณของจำนวนแรกกับiแต่ไม่มีวิธีใดที่จะเลือกจำนวนใดจำนวนหนึ่งให้เป็นแบบแคนอนิกมากกว่าอีกจำนวนหนึ่งได้ ซึ่งนำไปสู่สมการเช่น

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i)}$

ซึ่งพิสูจน์ว่าในZ [ i ]การแยกตัวประกอบไม่เป็นเอกลักษณ์จนถึงลำดับของตัวประกอบ ด้วยเหตุนี้ จึงใช้คำจำกัดความของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันซึ่งใช้ในโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน (UFD) ใน UFD องค์ประกอบเฉพาะที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบคาดว่าจะไม่ซ้ำกันจนถึงหน่วยและลำดับของหน่วยเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีคำจำกัดความที่อ่อนกว่านี้ วงแหวนจำนวนเต็มจำนวนมากในฟิลด์จำนวนพีชคณิตก็ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เพียงตัวเดียว มีอุปสรรคทางพีชคณิตที่เรียกว่ากลุ่มชั้นอุดมคติ เมื่อกลุ่มชั้นอุดมคติเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิก วงแหวนนั้นจะเป็น UFD เมื่อไม่ใช่ จะมีการแยกความแตกต่างระหว่างสมาชิกเฉพาะและสมาชิกที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ สมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้xคือสมาชิกที่ถ้าx = yzแล้วyหรือzจะเป็นหน่วย นี่คือสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกต่อไป สมาชิกทุกตัวในOสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่ก็อาจแยกได้มากกว่าหนึ่งตัว เนื่องจากในขณะที่สมาชิกเฉพาะทั้งหมดไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่สมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บางตัวอาจไม่ใช่สมาชิกเฉพาะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาวงแหวนZ [√ -5 ] [ ^{13 ]}ในวงแหวนนี้ จำนวน3 , 2 + √ -5และ2 - √ -5ไม่สามารถแยกตัวประกอบ^ได้หมายความว่าเลข9สามารถแยกตัวประกอบได้ 2 แบบ คือ แบบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกแบบ

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

สมการนี้แสดงให้เห็นว่า3หารผลคูณ(2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9 ลงตัว ถ้า3เป็นจำนวนเฉพาะ มันจะหาร2 + √ -5หรือ2 - √ -5 ลงตัว แต่ในความเป็นจริงมันไม่เป็นเช่นนั้น เพราะจำนวนทั้งหมดที่หารด้วย3 ลงตัว จะอยู่ในรูป3 a + 3 b √ -5ในทำนองเดียวกัน2 + √ -5และ2 - √ -5หารผลคูณ3 ² ลงตัว แต่จำนวนทั้งสองนี้ไม่สามารถหาร3ลงตัวได้ ดังนั้นจำนวนทั้งสองนี้จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีความหมายใดที่จำนวน3 , 2 + √ -5และ2 - √ -5จะเท่ากันได้ การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันจึงล้มเหลวในZ [√ -5 ]ต่างจากสถานการณ์ของหน่วย ที่สามารถแก้ไขความไม่ซ้ำกันได้โดยการลดความเข้มงวดของนิยาม การเอาชนะความล้มเหลวนี้ต้องใช้มุมมองใหม่

ถ้าIเป็นไอเดียลในOแล้ว การแยกตัวประกอบของ I จะเกิดขึ้นได้เสมอ

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

โดยที่แต่ละอันเป็นไอเดียลเฉพาะและนิพจน์นี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้เป็นจริงหากIเป็นไอเดียลหลักที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว นี่คือความหมายที่เข้มงวดที่สุดที่วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนทั่วไปยอมรับการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ในภาษาของทฤษฎีวงแหวน กล่าวว่าวงแหวนของจำนวนเต็มเป็นโดเมนเดเดคินด์ ${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$

เมื่อOเป็น UFD ไอเดียลเฉพาะทุกอันจะถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกเฉพาะ มิฉะนั้นจะมีไอเดียลเฉพาะบางอันที่ไม่ถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกเฉพาะตัวอย่างเช่น ใน Z [√ -5 ] ไอเดียล (2, 1 + √ -5 )เป็นไอเดียลเฉพาะที่ไม่สามารถถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกเพียงตัวเดียวได้

ในอดีต แนวคิดเรื่องการแยกตัวประกอบของไอเดียลออกเป็นไอเดียลเฉพาะนั้น เกิดขึ้นหลังจากที่เอิร์นส์ คุมเมอร์ ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องจำนวนไอเดียล จำนวนไอเดียลเหล่านี้เป็นจำนวนที่อยู่ในฟิลด์ส่วนขยายEของKฟิลด์ส่วนขยายนี้ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟิลด์ชั้นฮิลเบิร์ต ตามทฤษฎีบทไอเดียลหลัก ไอเดียลเฉพาะทุกตัวของOจะสร้างไอเดียลหลักของวงแหวนจำนวนเต็มของEตัวสร้างไอเดียลหลักนี้เรียกว่าจำนวนไอเดียล คุมเมอร์ใช้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวแทนสำหรับความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันในฟิลด์ไซโคลโทมิกในที่สุดสิ่งเหล่านี้ก็ทำให้ริชาร์ด เดเดคินด์ นำเสนอแนวคิดเบื้องต้นของไอเดียลและพิสูจน์การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของไอเดียลได้

ไอเดียลที่เป็นจำนวนเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนหนึ่ง อาจไม่ใช่จำนวนเฉพาะเมื่อขยายไปยังฟิลด์จำนวนที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น พิจารณาจำนวนเฉพาะ ไอเดียล p Z ที่สอดคล้องกัน เป็นไอเดียลเฉพาะของวงแหวนZอย่างไรก็ตาม เมื่อขยายไอเดียลนี้ไปยังจำนวนเต็มเกาส์เซียนเพื่อให้ได้p Z [ i ]มันอาจจะเป็นหรือไม่เป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ ตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบ2 = (1 + i )(1 − i )หมายความว่า

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

โปรดทราบว่าเนื่องจาก1 + i = (1 − i ) ⋅ iไอเดียลที่สร้างขึ้นโดย1 + iและ1 − iจึงเหมือนกัน คำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามที่ว่าไอเดียลใดที่ยังคงเป็นไอเดียลเฉพาะในจำนวนเต็มเกาส์เซียนนั้นได้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ทฤษฎีบท นี้ บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนเฉพาะคี่pนั้นp Z [ i ]เป็นไอเดียลเฉพาะถ้าp ≡ 3 (mod 4)และไม่ใช่ไอเดียลเฉพาะถ้าp ≡ 1 (mod 4)สิ่งนี้ประกอบกับการสังเกตว่าไอเดียล(1 + i ) Z [ i ]เป็นไอเดียลเฉพาะ ทำให้ได้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของไอเดียลเฉพาะในจำนวนเต็มเกาส์เซียน การขยายผลลัพธ์ง่ายๆ นี้ไปยังวงแหวนของจำนวนเต็มที่ทั่วไปมากขึ้นเป็นปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ทฤษฎีฟิลด์คลาสบรรลุเป้าหมายนี้เมื่อKเป็นส่วนขยายแบบอาเบเลียนของQ (นั่นคือส่วนขยายกาโลอิสที่มี กลุ่มกาโลอิส แบบอาเบเลียน )

การแยกตัวประกอบเฉพาะจะล้มเหลวในOก็ต่อเมื่อมีอุดมคติเฉพาะที่ไม่เป็นอุดมคติหลัก วัตถุที่วัดความล้มเหลวของอุดมคติเฉพาะที่จะเป็นอุดมคติหลักเรียกว่ากลุ่มชั้นอุดมคติ การกำหนดกลุ่มชั้นอุดมคติจำเป็นต้องขยายเซตของอุดมคติในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตเพื่อให้ยอมรับ โครงสร้าง กลุ่มซึ่งทำได้โดยการขยายอุดมคติไปเป็นอุดมคติเศษส่วนอุดมคติเศษส่วนคือกลุ่มย่อยบวกJของKซึ่งปิดภายใต้การคูณด้วยสมาชิกของOหมายความว่าxJ ⊆ Jถ้าx ∈ Oอุดมคติทั้งหมดของOก็เป็นอุดมคติเศษส่วนเช่นกัน ถ้าIและJเป็นอุดมคติเศษส่วน เซตIJของผลคูณทั้งหมดของสมาชิกในIและสมาชิกในJก็เป็นอุดมคติเศษส่วนเช่นกัน การดำเนินการนี้ทำให้เซตของอุดมคติเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์กลายเป็นกลุ่ม เอกลักษณ์ของกลุ่มคืออุดมคติ(1) = Oและส่วนกลับของJคือผลหารอุดมคติ (ทั่วไป) :

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

อุดมคติเศษส่วนหลัก หมายถึงอุดมคติที่มีรูปแบบOxโดยที่x ∈ K ^×ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของกลุ่มอุดมคติเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ผลหารของกลุ่มอุดมคติเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์โดยกลุ่มย่อยนี้คือกลุ่มชั้นอุดมคติ อุดมคติเศษส่วนสองตัวIและJแทนสมาชิกเดียวกันของกลุ่มชั้นอุดมคติก็ต่อเมื่อมีสมาชิกx ∈ Kที่ทำให้xI = Jดังนั้น กลุ่มชั้นอุดมคติทำให้อุดมคติเศษส่วนสองตัวเทียบเท่ากันหากตัวหนึ่งใกล้เคียงกับอุดมคติหลักเท่ากับอีกตัวหนึ่ง กลุ่มชั้นอุดมคติโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์Cl K , Cl OหรือPic O (โดยสัญลักษณ์สุดท้ายระบุว่าเป็นกลุ่ม Picardในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต)

จำนวนสมาชิกในกลุ่มชั้นเรียกว่าจำนวนชั้นของKจำนวนชั้นของQ (√ -5 ) คือ 2 ซึ่งหมายความว่ามีเพียงสองชั้นของอุดมคติ คือชั้นของอุดมคติเศษส่วนหลัก และชั้นของอุดมคติเศษส่วน ที่ ไม่ใช่หลัก เช่น(2, 1 + √ -5 )

กลุ่มอุดมคติมีคำอธิบายอีกแบบหนึ่งในแง่ของตัวหารซึ่งเป็นวัตถุเชิงรูปธรรมที่แสดงถึงการแยกตัวประกอบที่เป็นไปได้ของจำนวน กลุ่มตัวหารDiv Kถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดยอุดมคติเฉพาะของOมี การส่งแบบ โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากK ^×ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของKจนถึงการคูณ ไปยังDiv Kสมมติว่าx ∈ Kสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไป นี้

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

จากนั้นdiv xจะถูกกำหนดให้เป็นตัวหาร

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

เคอร์เนลของdivคือกลุ่มของหน่วยในOในขณะที่โคเคอร์เนลคือกลุ่มชั้นอุดมคติ ในภาษาของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีนี่หมายความว่ามีลำดับที่แน่นอนของกลุ่มอาเบเลียน (เขียนในรูปการคูณ)

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

ฟิลด์จำนวนบางฟิลด์ เช่นQ (√ 2 )สามารถระบุได้ว่าเป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนจริง ส่วนฟิลด์อื่นๆ เช่นQ (√ −1 )ไม่สามารถระบุได้ ในเชิงนามธรรม การระบุเช่นนี้สอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์K → RหรือK → Cซึ่งเรียกว่าการฝังตัวในจำนวนจริงและการฝังตัวในจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับ

ฟิลด์กำลังสองจริงQ (√ a )โดยที่a ∈ Z , a > 0และaไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าฟิลด์กำลังสองจริง เพราะมันยอมรับการฝังตัวจริงสองแบบ แต่ไม่มีการฝังตัวเชิงซ้อน การฝังตัวเหล่านี้คือโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์ที่ส่ง√ aไปยัง√ aและไปยัง−√ aตามลำดับ ในทางกลับกัน ฟิลด์กำลังสองจินตนาการQ (√ − a )ยอมรับการฝังตัวจริงไม่ได้ แต่ยอมรับการฝังตัวเชิงซ้อนคู่สังยุค การฝังตัวแบบหนึ่งส่ง√ − aไปยัง√ − aในขณะที่อีกแบบหนึ่งส่งไปยัง สั ง ยุคเชิงซ้อน ของมัน คือ−√ − a

ตามธรรมเนียมแล้ว จำนวนการฝังตัวจริงของKจะถูกแทนด้วยr ₁ในขณะที่จำนวนคู่สังยุคของการฝังตัวเชิงซ้อนจะถูกแทนด้วยr 2 _ลายเซ็นของKคือคู่( r ₁ , r ₂ )เป็นทฤษฎีบทที่ว่าr ₁ + 2 r ₂ = dโดยที่dคือดีกรีของ K

การพิจารณาการฝังตัวทั้งหมดพร้อมกันจะกำหนดฟังก์ชันหรือเทียบเท่ากับ สิ่งนี้เรียกว่าการฝังตัวแบบมินคอฟสกี ${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}}$${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.}$

ปริภูมิย่อยของโคโดเมนที่ตรึงโดยการสังยุคเชิงซ้อนคือปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติdเรียกว่าปริภูมิ Minkowskiเนื่องจากการฝังตัวแบบ Minkowski ถูกกำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์ การคูณองค์ประกอบของKด้วยองค์ประกอบx ∈ Kจึงสอดคล้องกับการคูณด้วยเมทริกซ์แนวทแยงในการฝังตัวแบบ Minkowski ผลคูณดอทในปริภูมิ Minkowski สอดคล้องกับรูปแบบร่องรอย ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$

ภาพของOภายใต้การฝังแบบมินคอฟสกีคือแลตทิซมิติdถ้าBเป็นฐานสำหรับแลตทิซนี้det B ^T Bคือดิสคริมิแนนต์ของO ดิสคริมิแน น ต์นี้ใช้สัญลักษณ์ΔหรือDโคโวลุ่มของภาพของOคือ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$

การฝังตัวแบบจริงและแบบเชิงซ้อนสามารถวางอยู่บนพื้นฐานเดียวกันกับอุดมคติเฉพาะได้โดยการใช้มุมมองที่อิงตามการประเมินค่ายกตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม นอกเหนือจากฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ปกติ| ·| : Q → Rแล้ว ยังมี ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ p - adic |·| _p  : Q → Rซึ่งกำหนดไว้สำหรับจำนวนเฉพาะp แต่ละตัว ซึ่งวัดการหารลงตัวด้วยp ทฤษฎีบทของ Ostrowskiกล่าวว่า ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนQ (จนถึงความเท่าเทียมกัน) ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์จึงเป็นภาษาทั่วไปในการอธิบายทั้งการฝังตัวแบบจริงของQและจำนวนเฉพาะ

ตำแหน่ง ของ ฟิลด์จำนวนพีชคณิตคือชั้นสมมูลของ ฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์บนKมีตำแหน่งอยู่สองประเภท ประเภทแรกคือค่าสัมบูรณ์แบบ p-adic สำหรับแต่ละไอเดียลเฉพาะของOและเช่นเดียวกับ ค่าสัมบูรณ์แบบ p -adic มันวัดการหารลงตัว ตำแหน่งเหล่านี้เรียกว่าตำแหน่งจำกัดตำแหน่งอีกประเภทหนึ่งระบุโดยใช้การฝังตัวจริงหรือเชิงซ้อนของKและฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มาตรฐานบนRหรือC ตำแหน่ง เหล่านี้เรียกว่า_{ตำแหน่ง}อนันต์เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ไม่สามารถแยกแยะระหว่างการฝังตัวเชิงซ้อนและตัวผกผันได้ การฝังตัวเชิงซ้อนและตัวผกผันจึงกำหนดตำแหน่งเดียวกัน ดังนั้นจึงมีตำแหน่งจริงr¹ และตำแหน่งเชิงซ้อน r²เนื่องจากตำแหน่งครอบคลุมจำนวนเฉพาะ บางครั้งจึงเรียกตำแหน่งว่าจำนวนเฉพาะ เมื่อทำ _เช่นนี้ ตำแหน่งจำกัดเรียกว่าจำนวนเฉพาะจำกัดและตำแหน่งอนันต์เรียกว่าจำนวนเฉพาะอนันต์ ถ้าvเป็นค่าที่สอดคล้องกับค่าสัมบูรณ์ โดยทั่วไปเรามักจะเขียนเพื่อหมายความว่าvเป็นจำนวนอนันต์ และเพื่อหมายความว่า v เป็นจำนวนจำกัด ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v\mid \infty }$${\displaystyle v\nmid \infty }$

การพิจารณาสถานที่ทั้งหมดในฟิลด์ร่วมกันจะทำให้เกิดวงแหวนอะเดลของฟิลด์จำนวน วงแหวนอะเดลช่วยให้สามารถติดตามข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่โดยใช้ค่าสัมบูรณ์ได้พร้อมกัน ซึ่งก่อให้เกิดข้อได้เปรียบอย่างมากในสถานการณ์ที่พฤติกรรมในสถานที่หนึ่งสามารถส่งผลกระทบต่อพฤติกรรมในสถานที่อื่น ๆ เช่นในกฎการแลกเปลี่ยนของอาร์ติน

มีการเปรียบเทียบทางเรขาคณิตสำหรับตำแหน่งที่อนันต์ซึ่งใช้ได้กับฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้ง ตัวอย่างเช่น ให้และเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงโปรเจคทีฟที่เรียบฟิลด์ฟังก์ชันมีค่าสัมบูรณ์หรือตำแหน่งมากมาย และแต่ละค่าสอดคล้องกับจุดบนเส้นโค้ง ถ้าเป็นการเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟของเส้นโค้งเชิงเส้นตรง จุดในจะสอดคล้องกับตำแหน่งที่อนันต์ จากนั้น การเติมเต็มของที่จุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้จะให้ค่าที่คล้ายคลึงกับ-adics ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle X/k}$${\displaystyle F=k(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle X-{\hat {X}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วฟิลด์ฟังก์ชันของมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับโดยที่เป็นตัวแปรที่ไม่กำหนด และฟิลด์คือฟิลด์ของเศษส่วนของพหุนามในแล้ว ตำแหน่งที่จุดจะวัดลำดับของการหายไปหรือลำดับของขั้วของเศษส่วนของพหุนามที่จุดตัวอย่างเช่น ถ้าดังนั้นบนแผนภูมิเชิงเส้นตรงจุดนี้จะสอดคล้องกับจุดการประเมินค่าจะวัดลำดับของการหายไปของลบด้วยลำดับของการหายไปของที่ฟิลด์ฟังก์ชันของการเติมเต็มที่ตำแหน่งคือซึ่งเป็นฟิลด์ของอนุกรมกำลังในตัวแปรดังนั้นองค์ประกอบ จึงอยู่ในรูปแบบ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=[2:1]}$${\displaystyle x_{1}\neq 0}$${\displaystyle 2\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle k((t-2))}$${\displaystyle t-2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-2)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}}$

สำหรับบางค่าสำหรับตำแหน่งที่อนันต์ ค่านี้จะสอดคล้องกับฟิลด์ฟังก์ชันซึ่งเป็นอนุกรมกำลังในรูปแบบ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k((1/t))}$

${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}}$

จำนวนเต็มมีหน่วยเพียงสองหน่วย คือ1และ−1วงแหวนจำนวนเต็มอื่นๆ อาจมีหน่วยมากกว่านั้น จำนวนเต็มเกาส์เซียนมีสี่หน่วย คือ สองหน่วยก่อนหน้านี้ รวมทั้ง± iจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ Z [ exp(2π i / 3)]มีหกหน่วย จำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนกำลังสองจริงมีหน่วยเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น ในZ [√ 3 ]กำลังทุกตัวของ2 + √ 3เป็นหน่วย และกำลังทั้งหมดเหล่านี้แตกต่างกัน

โดยทั่วไป กลุ่มหน่วยของOซึ่งแสดงด้วยO ^×เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจึงบ่งชี้ว่ามันเป็นผลรวมโดยตรงของส่วนทอร์ชั่นและส่วนอิสระ การตีความใหม่ในบริบทของฟิลด์จำนวน ส่วนทอร์ชั่นประกอบด้วยรากของเอกภาพที่อยู่ในOกลุ่มนี้เป็นกลุ่มวัฏจักร ส่วนอิสระอธิบายโดยทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichletทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าอันดับของส่วนอิสระคือr ₁ + r ₂ − 1ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ฟิลด์เดียวที่มีอันดับของส่วนอิสระเป็นศูนย์คือQ และฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการ นอกจากนี้ยังสามารถ ระบุโครงสร้างของ O ^× ⊗ _Z Qเป็นโมดูลกาโลอิสสำหรับกลุ่มกาโลอิสของK / Qได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น^{[ 14 ]}

ส่วนอิสระของกลุ่มหน่วยสามารถศึกษาได้โดยใช้ตำแหน่งอนันต์ของKพิจารณาฟังก์ชัน

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

โดยที่vแปรผันไปตามตำแหน่งอนันต์ของKและ |·| _vคือค่าสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับvฟังก์ชันLเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากK ^×ไปยังปริภูมิเวกเตอร์จริง สามารถแสดงได้ว่าภาพของO ^×คือแลตทิซที่ครอบคลุมระนาบไฮเปอร์ที่กำหนดโดยปริมาตรโคของแลตทิซนี้คือตัวควบคุมของฟิลด์จำนวน หนึ่งในการลดรูปที่เกิดขึ้นได้จากการทำงานกับวงแหวนอะเดลคือมีวัตถุเดียวกลุ่มชั้นอุดมคติที่อธิบายทั้งผลหารโดยแลตทิซนี้และกลุ่มชั้นอุดมคติ ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$

ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ของฟิลด์จำนวน ซึ่งคล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นวัตถุเชิงวิเคราะห์ที่อธิบายพฤติกรรมของไอเดียลเฉพาะในKเมื่อKเป็นส่วนขยายแบบอาเบเลียนของQฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์จะเป็นผลคูณของฟังก์ชัน L ของดิริชเลต์โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละอักขระดิริชเลต์ อักขระที่ไม่สำคัญจะสอดคล้องกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ เมื่อKเป็นส่วนขยายของกาโลอิสฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์จะเป็นฟังก์ชัน L ของอาร์ตินของการแสดงแทนปกติของกลุ่มกาโลอิสของKและมีการแยกตัวประกอบในแง่ของการแสดงแทนอาร์ติน ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ของกลุ่มกาโลอิส

ฟังก์ชันซีตาเกี่ยวข้องกับค่าคงที่อื่นๆ ที่กล่าวถึงข้างต้นโดยใช้สูตร เลขชั้น

การทำให้ฟิลด์จำนวนK สมบูรณ์ ณ ตำแหน่งwจะได้ฟิลด์สมบูรณ์ถ้าการประเมินค่าเป็นแบบอาร์คิมีเดียน จะได้RหรือCแต่ถ้าไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนและอยู่เหนือจำนวนเฉพาะpของจำนวนตรรกยะ จะได้ส่วนขยายจำกัดซึ่งเป็นฟิลด์สมบูรณ์ที่มีค่าแบบไม่ต่อเนื่องและมีฟิลด์เศษเหลือจำกัด กระบวนการนี้ทำให้การคำนวณทางพีชคณิตของฟิลด์ง่ายขึ้นและช่วยให้สามารถศึกษาปัญหาในระดับท้องถิ่นได้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์สามารถอนุมานได้ง่ายจากข้อความในระดับท้องถิ่นที่คล้ายคลึงกัน ปรัชญาเบื้องหลังการศึกษาฟิลด์ในระดับท้องถิ่นส่วนใหญ่ได้รับแรงบันดาลใจจากวิธีการทางเรขาคณิต ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เป็นเรื่องปกติที่จะศึกษาความหลากหลายในระดับท้องถิ่น ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยการทำให้เป็นอุดมคติสูงสุด จากนั้นจึงสามารถกู้คืนข้อมูลทั่วโลกได้โดยการเชื่อมต่อข้อมูลในระดับท้องถิ่นเข้าด้วยกัน แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตในฟิลด์จำนวนแล้ว เป็นที่พึงปรารถนาที่จะศึกษาฟิลด์ในระดับท้องถิ่น ณ จำนวนเฉพาะนั้น ดังนั้น จึงจำกัดวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตไว้ที่จำนวนเฉพาะนั้น แล้วจึงเติมเต็มฟิลด์เศษส่วนในลักษณะเดียวกับเรขาคณิต ${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$

ผลลัพธ์คลาสสิกอย่างหนึ่งในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตคือ กลุ่มชั้นอุดมคติของฟิลด์จำนวนพีชคณิตKมีจำนวนจำกัด นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของมินคอฟสกีเนื่องจากมีอุดมคติจำนวนเต็มที่มีบรรทัดฐานน้อยกว่าจำนวนเต็มบวกคงที่เพียงจำนวนจำกัด^{[ 15 ]หน้า 78}ลำดับของกลุ่มชั้นเรียกว่าจำนวนชั้นและมักจะใช้ตัวอักษรhแทน

ทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichlet ให้คำอธิบายเกี่ยวกับโครงสร้างของกลุ่มหน่วยคูณO ^×ของวงแหวนจำนวนเต็มOโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าO ^×มีสมมาตรกับG × Z ^rโดยที่G คือ กลุ่มวัฏจักรจำกัดที่ประกอบด้วยรากทั้งหมดของเอกภาพในOและr = r ₁  +  r ₂  − 1 (โดยที่r _{1 (หรือ} r ₂ตามลำดับ) หมายถึงจำนวนการฝังจริง (หรือคู่ของการฝังที่ไม่ใช่จริงแบบสังยุคตามลำดับ) ของK ) กล่าวอีกนัยหนึ่งO ^×คือกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดที่มีอันดับr ₁  +  r ₂  − 1 ซึ่งทอร์ชั่นประกอบด้วยรากของเอกภาพใน O

ในแง่ของสัญลักษณ์เลอจองเดอร์กฎการผกผันกำลังสองสำหรับจำนวนเฉพาะคี่บวกระบุว่า

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

กฎแห่งการ ตอบแทนซึ่งกันและกันเป็นการขยายความของกฎแห่งการตอบแทนซึ่งกันและกันแบบกำลังสอง

มีหลายวิธีในการแสดงกฎการแลกเปลี่ยน กฎการแลกเปลี่ยนในยุคแรกๆ ที่พบในศตวรรษที่ 19 มักแสดงในรูปของสัญลักษณ์เศษกำลัง ( p / q ) ซึ่งเป็นการขยายสัญลักษณ์การแลกเปลี่ยนกำลังสองที่อธิบายว่าเมื่อใดที่จำนวนเฉพาะเป็นเศษกำลังn มอ ดูล ของจำนวนเฉพาะ อีกจำนวนหนึ่ง และให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ( p / q ) และ ( q / p ) ฮิลเบิร์ตได้ปรับปรุงกฎการแลกเปลี่ยนใหม่โดยกล่าวว่า ผลคูณของสัญลักษณ์ฮิลเบิร์ต ( a , b / p ) บน pซึ่งมีค่าเป็นรากของเอกภาพ เท่ากับ 1 กฎการแลกเปลี่ยนที่ปรับปรุงใหม่ของอาร์ตินระบุว่า สัญลักษณ์อาร์ตินจากอุดมคติ (หรือ ideles) ไปยังองค์ประกอบของกลุ่มกาโลอิสเป็นค่าว่างบนกลุ่มย่อยบางกลุ่ม การสรุปทั่วไปล่าสุดหลายประการแสดงกฎการแลกเปลี่ยนโดยใช้โคฮอโมโลยีของกลุ่มหรือการแสดงแทนของกลุ่มอะเดลิกหรือกลุ่ม K พีชคณิต และความสัมพันธ์ของพวกมันกับกฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองดั้งเดิมอาจมองเห็นได้ยาก

สูตรจำนวนชั้นเชื่อมโยงค่าคงที่ที่สำคัญหลายอย่างของฟิลด์จำนวนเข้ากับค่าพิเศษของฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์

ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตมีปฏิสัมพันธ์กับสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ มากมาย โดยใช้เครื่องมือจากพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี และอาศัยเทคนิคและแนวคิดจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตผ่านการเปรียบเทียบระหว่างฟิลด์ฟังก์ชันกับฟิลด์จำนวน นอกจากนี้ การศึกษาโครงร่างมิติสูงบนZแทนที่จะเป็นวงแหวนจำนวน เรียกว่าเรขาคณิตเชิงเลขคณิต ทฤษฎี จำนวนเชิงพีชคณิตยังใช้ในการศึกษาแมนิโฟลด์ 3 มิติไฮเปอร์โบลิกเชิงเลขคณิตอีก ด้วย

• ทฤษฎีสนามชั้น
• ทฤษฎีของคุมเมอร์
• สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• หมายเลขทามากาว่า

• นอยเคียร์ช, Jurgen ; ชมิดท์, อเล็กซานเดอร์; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , เล่ม. 323, เบอร์ลิน: สปริงเกอร์-แวร์แลก, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196 , Zbl  0948.11001

• สไตน์, วิลเลียม (2012), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต แนวทางการคำนวณ (PDF)
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (2013), บทนำคลาสสิกสู่ทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ , เล่มที่ 84, Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 978-1-4757-2103-4
• สจ๊วต, เอียน ; ทอลล์, เดวิด (2015), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ , สำนักพิมพ์ CRC, ISBN 978-1-4987-3840-8

• Marcus, Daniel A. (2018), Number Fields (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

• Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , eds. (2010) [1967], ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (ฉบับที่ 2), ลอนดอน: 9780950273426, MR  0215665
• Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin J. (1993), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, เล่มที่ 27, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 0-521-43834-9, MR  1215934
• Lang, Serge (1994), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา , เล่มที่ 110 (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR  1282723
• นอยเคียร์ช, เจอร์เก้น (1999) พีชคณิต Zahlentheorie . กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 322. เบอร์ลิน: สปริงเกอร์-แวร์แลก . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-65399-8. คุณ 1697859 . สบีแอล 0956.11021 .

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• "ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]