ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟคือวาไรตี้ เชิงพีชคณิต ที่เป็นซับวาไรตี้ ปิด ของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟกล่าวคือ มันคือตำแหน่งศูนย์ใน ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ของกลุ่ม พหุนามเอกพันธุ์จำกัดกลุ่มหนึ่งที่สร้างอุดมคติเฉพาะ ซึ่ง เป็นอุดมคติกำหนดของวาไรตี้ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟคือเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟถ้ามีมิติเป็นหนึ่ง มันคือพื้นผิวเชิงโปรเจก ทีฟ ถ้ามีมิติเป็นสอง มันคือไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงโปรเจกทีฟถ้ามีมิติน้อยกว่ามิติของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่บรรจุอยู่หนึ่ง ในกรณีนี้มันคือเซตของศูนย์ของพหุนามเอกพันธุ์ ตัว เดียว

ถ้าXเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดโดยอุดมคติเฉพาะเอกพันธุ์Iแล้ววงแหวนผลหาร

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

เรียกว่าวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของXค่าคงที่พื้นฐานของXเช่นดีกรีและมิติสามารถอ่านได้จากพหุนามฮิลเบิร์ตของวงแหวนแบบแบ่งระดับนี้

วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเกิดขึ้นได้หลายวิธี วาไรตี้เหล่านี้สมบูรณ์ซึ่งโดยคร่าวๆ สามารถอธิบายได้ว่าไม่มีจุดใด "หายไป" โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง แต่ทฤษฎีบทของโจว ได้อธิบายถึงความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้ การแสดงให้เห็นว่าวาไรตี้เป็นเชิงโปรเจกทีฟ นั้น ทำได้โดยการศึกษาบันเดิลเส้นหรือตัวหารบนX

ลักษณะเด่นของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟคือข้อจำกัดความจำกัดของโคฮอโมโลยีชีฟ สำหรับวาไรตี้เชิง โปรเจกทีฟ เรียบ ความเป็นคู่ของ Serreสามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกของความเป็นคู่ของ Poincaréนอกจากนี้ยังนำไปสู่ทฤษฎีบท Riemann–Rochสำหรับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ กล่าวคือ วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟมิติ 1 ทฤษฎีของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟนั้นมีความหลากหลายมาก รวมถึงการจำแนกประเภทตามจีนัสของเส้นโค้ง โปรแกรมการจำแนกประเภทสำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟมิติสูงกว่านำไปสู่การสร้างโมดูลัสของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟโดยธรรมชาติ^{[ 1 ]}แผนผังฮิลเบิร์ตกำหนดพารามิเตอร์ของแผนผังย่อยปิดของด้วยพหุนามฮิลเบิร์ตที่กำหนดไว้ แผนผังฮิลเบิร์ต ซึ่งGrassmannianเป็นกรณีพิเศษ ก็เป็นแผนผังเชิงโปรเจกทีฟในตัวของมันเองเช่นกันทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตเสนอแนวทางอื่น แนวทางคลาสสิกรวมถึง ปริภูมิ Teichmüllerและ วาไร ตี้ Chow${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

ทฤษฎีที่ทรงคุณค่าเป็นพิเศษ ซึ่งย้อนกลับไปถึงยุคคลาสสิก มีให้สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อน กล่าวคือ เมื่อพหุนามที่กำหนดXมี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยทั่วไปแล้วหลักการ GAGAกล่าวว่าเรขาคณิตของปริภูมิเชิงวิเคราะห์เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อน (หรือแมนิโฟลด์) เทียบเท่ากับเรขาคณิตของวาไรตี้เชิง โปรเจกทีฟที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎี ของเวกเตอร์บันเดิลโฮโลม อร์ฟิก (โดยทั่วไปคือชีฟเชิงวิเคราะห์ที่สอดคล้องกัน ) บนX สอดคล้องกับทฤษฎีของเวกเตอร์บันเดิลพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Chowกล่าวว่าเซตย่อยของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเป็นตำแหน่งศูนย์ของตระกูลฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกก็ต่อเมื่อมันเป็นตำแหน่งศูนย์ของพหุนามเอกพันธุ์ การผสมผสานวิธีการวิเคราะห์และพีชคณิตสำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนนำไปสู่สาขาต่างๆ เช่นทฤษฎี Hodge

ให้kเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ฐานของนิยามของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟคือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟซึ่งสามารถนิยามได้หลายวิธี แต่ทุกวิธีล้วนเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• ในฐานะเซตของเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุดกำเนิดใน(กล่าวคือ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนึ่งมิติทั้งหมดของ)${\displaystyle k^{n+1}}$${\displaystyle k^{n+1}}$
• โดยที่เซตของทูเปิลจะต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด มอดูลความสัมพันธ์สมมูลสำหรับทุก ๆชั้นสมมูลของทูเปิลดังกล่าวจะถูกแทนด้วยชั้นสมมูลนี้คือจุดทั่วไปของปริภูมิเชิงฉาย ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดเอกพันธุ์ของจุดนั้น${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$$${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$$${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

ตามนิยามแล้ว วาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟคือ วาไรตี้ย่อยปิดของโดยที่ปิดหมายถึงโทโพโลยีซาริสกิ^{[ 2 ]} โดยทั่วไป เซตย่อยปิดของโทโพโลยีซาริสกิ ถูกกำหนดให้เป็นตำแหน่งศูนย์ร่วมของชุดฟังก์ชันพหุนามเอกพันธุ์จำกัด เมื่อกำหนดพหุนามเงื่อนไข ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

ไม่สมเหตุสมผลสำหรับพหุนามใดๆ แต่จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อfเป็นพหุนามเอกพันธุ์ กล่าวคือ ดีกรีของเอกนาม ทั้งหมด (ซึ่งผลรวมคือf ) เท่ากัน ในกรณีนี้ การที่ค่าของ เป็นศูนย์

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

เป็นอิสระจากการเลือกของ ${\displaystyle \แลมบ์ดา \neq 0}$

ดังนั้น วาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟจึงเกิดขึ้นจากไอเดียลเฉพาะ ที่เป็นเอกพันธุ์ Iของและการตั้งค่า ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ สำหรับทุก }}f\in I\right\}.}$

ยิ่งไปกว่านั้น วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟXเป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิต ซึ่งหมายความว่ามันถูกปกคลุมด้วยซับวาไรตี้เชิงแอฟฟินแบบเปิด และสอดคล้องกับสัจพจน์การแยก ดังนั้น การศึกษาเฉพาะที่ของX (เช่น จุดเอกฐาน) จึงลดลงเหลือเพียงการศึกษาของวาไรตี้เชิงแอฟฟิน โครงสร้างที่ชัดเจนมีดังนี้ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟถูกปกคลุมด้วยแผนภูมิเชิงแอฟฟินแบบเปิดมาตรฐาน ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

ซึ่งตัวมันเองเป็นปริภูมิnมิติเชิงเส้นตรงที่มีวงแหวนพิกัด

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

เพื่อความง่ายในการเขียน ให้i = 0 และตัดตัวยก (0) ออกไป ดังนั้น จึงเป็นซับวาไรตี้ปิดของที่กำหนดโดยไอเดียลของที่สร้างโดย ${\displaystyle X\cap U_{0}}$${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

สำหรับf ทั้งหมด ในIดังนั้นX จึง เป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิตที่ครอบคลุมโดยแผนภูมิเชิงเส้นเปิด ( n + 1) แผนภูมิ ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

โปรดทราบว่าXคือการปิดของวาไรตี้เชิงเส้นใน ในทางกลับกัน เมื่อเริ่มต้นจากวาไรตี้ปิด (เชิงเส้น) บางตัวการปิดของVในคือวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่เรียกว่า${\displaystyle X\cap U_{0}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$การเติมเต็มเชิงโปรเจกทีฟของVถ้ากำหนดVแล้วอุดมคติที่กำหนดของการปิดนี้คืออุดมคติเอกพันธุ์ ^{[ 3 ]}ที่สร้างขึ้นโดย ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

สำหรับ fทั้งหมดในI

ตัวอย่างเช่น ถ้าVเป็นเส้นโค้งเชิงเส้นตรงที่กำหนดโดยในระนาบเชิงเส้นตรง การเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟของเส้นโค้งนี้ในระนาบเชิงโปรเจคทีฟจะกำหนดโดย${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

สำหรับการใช้งานต่างๆ จำเป็นต้องพิจารณาวัตถุพีชคณิตเรขาคณิตทั่วไปมากกว่าวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ นั่นคือ แผนผังเชิงโปรเจกทีฟ ขั้นตอนแรกสู่แผนผังเชิงโปรเจกทีฟคือการมอบโครงสร้างแผนผังให้กับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ในลักษณะที่ปรับปรุงคำอธิบายข้างต้นของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟในฐานะวาไรตี้เชิงพีชคณิต กล่าวคือ เป็นแผนผังซึ่งเป็นการรวมกันของสำเนา ( n + 1) ชุดของปริภูมิ แอฟฟิน nมิติk ⁿโดยทั่วไป^{[ 4 ]}ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนAคือการรวมกันของแผนผังแอฟฟิน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

ด้วยวิธีนี้ ตัวแปรต่างๆ จึงตรงกันตามที่คาดไว้ เซตของจุดปิดของสำหรับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkก็คือปริภูมิเชิงฉายในความหมายปกติ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

โครงสร้างที่เทียบเท่าแต่กระชับกว่านั้นได้มาจากโครงสร้าง Projซึ่งเป็นอนาล็อกของสเปกตรัมของวงแหวนเรียกว่า "Spec" ซึ่งกำหนดแผนผังเชิงเส้น^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าAเป็นวงแหวน แล้ว

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

ถ้าRเป็นผลหารของโดยไอเดียลเอกพันธุ์Iแล้ว การส่งแบบทั่วถึงเชิงแคนอนิกจะเหนี่ยวนำให้เกิดการฝังแบบปิด${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

เมื่อเปรียบเทียบกับวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟ เงื่อนไขที่ว่าไอเดียลIต้องเป็นไอเดียลเฉพาะถูกยกเลิกไป ทำให้เกิดแนวคิดที่ยืดหยุ่นมากขึ้น กล่าวคือ ในอีกด้านหนึ่งพื้นที่ทางทอพอโลยี อาจมี ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้หลายส่วนนอกจากนี้ อาจมี ฟังก์ชัน นิลโพเทนต์บนXด้วย ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

โครงร่างย่อยปิดของสอดคล้องกับอุดมคติเอกพันธุ์Iของที่อิ่มตัว แบบหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือ^{[ 6 ]}ข้อเท็จจริงนี้อาจถือได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่ปรับปรุงของNullstellensatz เชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

เราสามารถให้ตัวอย่างที่ไม่ต้องใช้พิกัดได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVเหนือkเราจะให้

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\ชื่อผู้ดำเนินการ {Proj} k[V]}$

พีชคณิตสมมาตรของอยู่ที่ไหน^{[ 7 ]}มันคือโปรเจกทีฟของVกล่าวคือ มันกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นในVมีแผนที่แบบทั่วถึงมาตรฐานซึ่งกำหนดโดยใช้แผนภูมิที่อธิบายไว้ข้างต้น^{[ 8 ]}การใช้งานที่สำคัญอย่างหนึ่งของการสร้างนี้คือสิ่งนี้ (ดู§ ความเป็นคู่และระบบเชิงเส้น ) ตัวหารDบนวาไรตี้โปรเจกทีฟXสอดคล้องกับบันเดิลเส้นLจากนั้นกำหนด ${\displaystyle k[V]=\ชื่อผู้ดำเนินการ {Sym} (V^{*})}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

เรียกว่า ระบบ เชิง เส้นสมบูรณ์ของD

ปริภูมิเชิงฉายภาพเหนือแผนผัง ใดๆ Sสามารถกำหนดได้ว่าเป็นผลคูณไฟเบอร์ของแผนผังต่างๆ

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

ถ้าเป็นชีฟบิดของ Serreบนเราให้แทนการดึงกลับของไปยังนั่นคือสำหรับแผนที่แคนอนิก${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

แผนผังX → Sเรียกว่าเป็นแผนผังเชิงโปรเจคทีฟเหนือSถ้ามันแยกตัวประกอบได้เป็นการฝังตัวแบบปิด

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

ตามด้วยการฉายภาพไปยัง S

กล่าวได้ว่าบันเดิลเส้น (หรือชีฟผกผันได้) บนแผนผังXเหนือS นั้น กว้างขวางมากเมื่อเทียบกับSหากมีการฝังตัว (เช่น การฝังตัวแบบเปิดตามด้วยการฝังตัวแบบปิด) ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

สำหรับค่าn บาง ค่าที่ทำให้เกิดการดึงกลับไปยัง แล้วS -scheme Xจะเป็น projective ก็ต่อเมื่อมันเป็นproperและมี sheaf ที่กว้างขวางมากบนXสัมพันธ์กับSอันที่จริง ถ้าXเป็น proper การฝังตัวที่สอดคล้องกับ line bundle ที่กว้างขวางมากจะต้องปิด ในทางกลับกัน ถ้าXเป็น projective การดึงกลับของภายใต้การฝังตัวแบบปิดของXลงในปริภูมิ projective จะกว้างขวางมาก ที่ว่า "projective" หมายความถึง "proper" นั้นลึกซึ้งกว่านั้น: ทฤษฎีบทหลักของทฤษฎีการกำจัด ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

ตามนิยามแล้ว วาไรตี้จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมันเหมาะสมเหนือkเกณฑ์การประเมินค่าของความเหมาะสมแสดงให้เห็นถึงสัญชาตญาณที่ว่า ในวาไรตี้ที่เหมาะสม จะไม่มีจุดใด "ขาดหายไป"

มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างวาไรตี้สมบูรณ์และวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟ: ในอีกด้านหนึ่ง พื้นที่เชิงโปรเจคทีฟและดังนั้นวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟใดๆ ก็ตามนั้นสมบูรณ์ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม:

• เส้นโค้งเรียบC เรียกว่าเส้นโค้งเชิง โปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเส้นโค้งนั้นสมบูรณ์ซึ่งพิสูจน์ได้โดยการระบุCกับเซตของวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องของฟิลด์ฟังก์ชันk ( C ) เหนือkเซตนี้มีโทโพโลยีแบบซาริสกี้ตามธรรมชาติที่เรียกว่าปริภูมิ ซาริสกี้-รีมัน น์
• ทฤษฎีบทของ Chowระบุว่าสำหรับวาไรตี้ที่สมบูรณ์X ใดๆ จะมีวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟZและมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลZ → X ^{[ 9 ]} ( ยิ่งไปกว่านั้น ผ่านการทำให้เป็นมาตรฐานเราสามารถถือว่าวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟนี้เป็นแบบปกติได้)

คุณสมบัติบางประการของวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟเป็นผลมาจากความสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ X ใดๆ^{เหนือ k [ 10} ]ข้อเท็จจริงนี้^เป็นอนาล็อก^เชิงพีชคณิตของทฤษฎีบทของ Liouville (ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใดๆ บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เชื่อมต่อและกระชับจะเป็นค่าคงที่) ในความเป็นจริง ความคล้ายคลึงกันระหว่างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนนั้นไปไกลกว่านี้มาก ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ตามนิยามแล้ว วาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟคือ วาไรตี้ย่อยแบบเปิดของวาไรตี้โปรเจคทีฟ วาไรตี้ประเภทนี้รวมถึงวาไรตี้แอฟฟิน วาไรตี้แอฟฟินแทบจะไม่สมบูรณ์ (หรือโปรเจคทีฟ) เลย อันที่จริง วาไรตี้ย่อยโปรเจคทีฟของวาไรตี้แอฟฟินจะต้องมีมิติเป็นศูนย์ เนื่องจากมีเพียงค่าคงที่เท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันปกติ ทั่วโลก บนวาไรตี้โปรเจคทีฟ

ตามนิยามแล้ว ไอเดียลเอกพันธุ์ใดๆ ในวงแหวนพหุนามจะให้โครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ (ซึ่งต้องเป็นไอเดียลเฉพาะเพื่อให้ได้วาไรตี้) ในแง่นี้ ตัวอย่างของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟมีอยู่มากมาย รายการต่อไปนี้กล่าวถึงวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟประเภทต่างๆ ที่น่าสนใจ เนื่องจากได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นเป็นพิเศษ ประเภทที่สำคัญของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนกล่าวคือ กรณี จะกล่าวถึงเพิ่มเติมในภายหลัง ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

ผลคูณของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสองปริภูมิก็เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเช่นกัน ที่จริงแล้ว มีการฝังตัวแบบชัดเจน (เรียกว่าการฝังตัวแบบเซเกร )

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

ผลที่ตามมาคือผลคูณของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเหนือkจึงเป็นเชิงโปรเจกทีฟอีกครั้งการฝังตัวของ Plückerแสดงให้เห็นGrassmannianเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจ กทีฟ วาไร ตี้ธงเช่น ผลหารของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป โมดูลกลุ่มย่อยของเมทริกซ์สามเหลี่ยม บน ก็เป็นเชิงโปรเจกทีฟเช่นกัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในทฤษฎีของกลุ่มพีชคณิต^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

เนื่องจากอุดมคติเฉพาะPที่กำหนดวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟXเป็นเอกพันธุ์ ดังนั้นวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

เป็นวงแหวนแบบไล่ระดับ กล่าวคือ สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมโดยตรงของส่วนประกอบแบบไล่ระดับ:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

มีพหุนามP อยู่ ซึ่ง สำหรับ nที่มีค่ามากพอ พหุนามนี้เรียกว่าพหุนามฮิลเบิร์ตของXมันเป็นค่าคงที่เชิงตัวเลขที่เข้ารหัสเรขาคณิตภายนอกบางอย่างของXดีกรีของPคือมิติrของXและสัมประสิทธิ์นำหน้าคูณด้วยr!คือดีกรีของวาไรตี้X จีนัสทางเลขคณิตของX คือ (−1) ^r ( P (0) − 1) เมื่อXเรียบ ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

ตัวอย่างเช่น วงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของคือและพหุนามฮิลเบิร์ตของมันคือ; จีนัสทางเลขคณิตของมันคือศูนย์ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

ถ้าวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์Rเป็นโดเมนปิดเชิงปริพันธ์แล้ว วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ Xจะเรียกว่าเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติโปรดสังเกตว่า วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติขึ้นอยู่กับRซึ่งเป็นการฝังตัวของX ลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งแตกต่างจาก ความเป็นปกติการทำให้เป็นปกติของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเป็นเชิงโปรเจกทีฟ อันที่จริงแล้ว มันคือ Proj ของการปิดเชิงปริพันธ์ของวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์บางวงของ X

ให้X เป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ มีอย่างน้อยสองวิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดดีกรีของXเทียบกับการฝังตัวของมัน วิธีแรกคือการกำหนดดีกรีเป็นจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

โดยที่dคือมิติของXและH _iคือระนาบไฮเปอร์ใน "ตำแหน่งทั่วไป" นิยามนี้สอดคล้องกับแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของดีกรี แท้จริงแล้ว ถ้าXเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ ดีกรีของX ก็ คือดีกรีของพหุนามเอกพันธุ์ที่กำหนดX "ตำแหน่งทั่วไป" สามารถทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้ เช่น โดยทฤษฎีการตัดกัน ซึ่งต้องมีเงื่อนไขว่าการตัดกันนั้นต้องเป็นการตัดกันที่เหมาะสมและความซ้ำซ้อนของส่วนประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ทั้งหมดต้องเป็นหนึ่ง

นิยามอื่นที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้าคือ ดีกรีของXคือสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามฮิลเบิร์ตของXคูณ (dim X )! ในทางเรขาคณิต นิยามนี้หมายความว่า ดีกรีของXคือความซ้ำซ้อนของจุดยอดของกรวยแอฟฟิน^{เหนือ} X [ ^{12 ]}

ให้เป็นสับสกีมปิดของมิติบริสุทธิ์ที่ตัดกันอย่างเหมาะสม (อยู่ในตำแหน่งทั่วไป) ถ้าm _iแทนความซ้ำซ้อนของส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้Z _iในการตัดกัน (เช่นความซ้ำซ้อนของการตัดกัน ) แล้วการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของ Bézoutกล่าวว่า: ^{[ 13 ]}${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

ความซ้ำซ้อนของการตัดกันm _i สามารถกำหนด ได้ ว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของZ _iในผลคูณของการตัดกันในวงแหวน Chowของ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซที่ไม่บรรจุXแล้ว ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

โดยที่Z _iคือส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ การ ตัดกัน เชิงโครงร่างของXและHที่มีมัลติพลิซิตี้ (ความยาวของวงแหวนท้องถิ่น) m _i

วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนสามารถมองได้ว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซับซ้อนแบบกระชับระดับของวาไรตี้ (เมื่อเทียบกับการฝังตัว) ก็คือปริมาตรของวาไรตี้ในฐานะแมนิโฟลด์โดยสัมพันธ์กับเมตริกที่สืบทอดมาจากปริภูมิเชิงโปรเจก ทีฟที่ซับซ้อนโดยรอบ วาไร ตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนสามารถกำหนดลักษณะได้ว่าเป็นตัวลดปริมาตรให้เหลือน้อยที่สุด (ในแง่หนึ่ง)

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ และLเป็นบันเดิลเส้นบนวาไรตี้นั้น แล้ววงแหวนแบบมีระดับ

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

เรียกว่าวงแหวนของส่วนต่างๆของLถ้าLมีขนาดใหญ่พอ Proj ของวงแหวนนี้คือXยิ่งไปกว่านั้น ถ้าXเป็นปกติและLมีขนาดใหญ่มากการปิดแบบอินทิกรัลของวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของXที่กำหนดโดยLก็คือดึงกลับไปที่L ^{[ 14 ]}${\displaystyle R(X,L)}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

สำหรับการใช้งาน การอนุญาตให้มี ตัวหาร (หรือ-ตัวหาร) ไม่ใช่แค่บันเดิลเส้นตรงเท่านั้นจะเป็นประโยชน์ โดยสมมติว่า Xเป็นวงแหวนปกติ วงแหวนที่ได้จะเรียกว่าวงแหวนส่วนตัดทั่วไป ถ้าเป็นตัวหารแบบแคนอนิกบนXแล้ว วงแหวนส่วนตัดทั่วไป ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

เรียกว่าวงแหวนแคนอนิกของXถ้าวงแหวนแคนอนิกถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด Proj ของวงแหวนนั้นจะเรียกว่าแบบจำลองแคนอนิกของXจากนั้นสามารถใช้วงแหวนหรือแบบจำลองแคนอนิกนี้ในการกำหนดมิติโคไดระของXได้

โครงร่างเชิงโปรเจกทีฟมิติหนึ่งเรียกว่าเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ ทฤษฎีส่วนใหญ่ของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบ เนื่องจากความผิดปกติของเส้นโค้งสามารถแก้ไขได้ด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งประกอบด้วยการหาค่าปิดเชิงอินทิกรัล เฉพาะที่ของวงแหวนของฟังก์ชันปกติ เส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบจะเป็นไอโซมอร์ฟิกก็ต่อเมื่อ ฟิลด์ฟังก์ชันของพวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิก การศึกษาเกี่ยวกับการขยายแบบจำกัดของเส้นโค้ง เชิงโปรเจกทีฟเรียบ

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

หรือเทียบเท่ากับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบเหนือเป็นสาขาสำคัญในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต^{[ 15 ]}${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

เส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสหนึ่งเรียกว่าเส้นโค้งเชิงวงรีเนื่องจากทฤษฎีบทรีมันน์-รอค เส้นโค้งดังกล่าวสามารถฝังตัวเป็นส่วนย่อยปิดในได้โดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟ (เรียบ) ใดๆ ก็สามารถฝังตัวในได้(สำหรับการพิสูจน์ โปรดดูที่ Secant variety#Examples ) ในทางกลับกัน เส้นโค้งปิดเรียบใดๆ ในที่มีดีกรีสามจะมีจีนัสหนึ่งตามสูตรจีนัสและดังนั้นจึงเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

เส้นโค้งเรียบสมบูรณ์ที่มีจีนัสมากกว่าหรือเท่ากับสองเรียกว่าเส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติกหากมีมอร์ฟิซึมจำกัดที่มีดีกรีสอง^{[ 16 ]}${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

เซตย่อยปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของที่มีมิติร่วมหนึ่งเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ กล่าวคือ เซตศูนย์ของพหุนามที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบเอกพันธุ์บางตัว^{[ 17 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

อีกหนึ่งตัวแปรสำคัญของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟXคือกลุ่ม Picard ของXซึ่งเป็นเซตของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเส้นตรงบนXมันไอโซมอร์ฟิกกับและดังนั้นจึงเป็นแนวคิดที่แท้จริง (ไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัว) ตัวอย่างเช่น กลุ่ม Picard ของไอโซมอร์ฟิกกับผ่านแผนที่ระดับดีกรี เคอร์เนลของไม่เพียงแต่เป็นกลุ่มอาเบเลียนนามธรรมเท่านั้น แต่ยังมีวาไรตี้ที่เรียกว่า วาไรตี้จาโคเบียนของX , Jac( X ) ซึ่งจุดต่างๆ เท่ากับกลุ่มนี้ จาโคเบียนของเส้นโค้ง (เรียบ) มีบทบาทสำคัญในการศึกษาเส้นโค้ง ตัวอย่างเช่น จาโคเบียนของเส้นโค้งวงรีEคือEเอง สำหรับเส้นโค้งXที่ มีจีนัสg , Jac( X ) มีมิติg${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

กลุ่มต่างๆ เช่น กลุ่มวาไรตี้จาโคเบียน ซึ่งสมบูรณ์และมีโครงสร้างแบบกลุ่ม เรียกว่ากลุ่มวาไรตี้อา เบเลียน เพื่อเป็นเกียรติแก่นีลส์ อาเบล แตกต่างอย่างเห็น ได้ชัดจากกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นตรงเช่นกลุ่มเหล่านี้มักเป็นกลุ่มสลับที่ได้เสมอ จึงเป็นที่มาของชื่อนี้ ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มเหล่านี้ยังยอมรับมัดเส้นตรง ที่กว้างขวาง และจึงเป็นกลุ่มเชิงโปรเจกทีฟ ในทางกลับกันโครงร่างอาเบเลียนอาจไม่ใช่โครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ ตัวอย่างของกลุ่มวาไรตี้อาเบเลียน ได้แก่ เส้นโค้งวงรี กลุ่มวาไรตี้จาโคเบียน และพื้นผิว K3 ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

ให้E เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น กล่าวคือสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นอิสระเชิงเส้นs _i บางตัว แล้วการฉายภาพจากEคือมอร์ฟิซึม (ที่กำหนดไว้อย่างดี) ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

คำอธิบายทางเรขาคณิตของแผนที่นี้มีดังต่อไปนี้: ^{[ 18 ]}

• เรามองว่ามันไม่ทับซ้อนกับEดังนั้น สำหรับใดๆโดยที่หมายถึงปริภูมิเชิงเส้นที่เล็กที่สุดที่บรรจุEและx (เรียกว่าการเชื่อมต่อของEและx )${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$$${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$พิกัดเอกพันธุ์บนอยู่ที่ไหน${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• สำหรับสับสคีมปิดใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกับEข้อจำกัดจะเป็น มอร์ฟิ ซึมจำกัด^{[ 19 ]}${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

การฉายภาพสามารถใช้เพื่อลดมิติที่ฝังตัวของวาไรตี้เชิงฉายภาพลงได้ จนถึงมอร์ฟิซึมแบบจำกัดเริ่มต้นด้วยวาไรตี้เชิงฉายภาพบางอย่างถ้าการฉายภาพจากจุดที่ไม่ได้อยู่บนXให้ผลลัพธ์เป็น นอกจากนี้ยังเป็นแผนที่แบบจำกัดไปยังภาพของมัน ดังนั้น เมื่อทำซ้ำขั้นตอนดังกล่าว จะเห็นว่ามีแผนที่แบบจำกัดอยู่ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$${\displaystyle n>\dim X,}$${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

ผลลัพธ์นี้เป็นอนาล็อกเชิงโปรเจคทีฟของทฤษฎีบทการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether (อันที่จริง มันให้การพิสูจน์เชิงเรขาคณิตของทฤษฎีบทการทำให้เป็นมาตรฐาน)

สามารถใช้ขั้นตอนเดียวกันเพื่อแสดงผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นเล็กน้อยดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟXเหนือฟิลด์สมบูรณ์ จะมีมอร์ฟิซึมไบราชันแนลจำกัดจากX ไปยังไฮเปอร์เซอร์เฟซHใน^{[ 20 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXเป็นปกติ มันจะเป็นการทำให้เป็นปกติของH${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

ในขณะที่ปริภูมิเชิงโปรเจก ทีฟ nมิติกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นตรงในปริภูมิเชิงเส้นตรงnมิติ ปริภูมิ คู่ขนานของมันจะกำหนดพารามิเตอร์ของระนาบไฮเปอร์ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ดังต่อไปนี้ กำหนดฟิลด์kโดยที่k หมายถึงปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟnมิติ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

พร้อมอุปกรณ์สำหรับการก่อสร้าง:

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$ระนาบไฮเปอร์บน${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

โดยที่L -pointของ ส่วน ขยายฟิลด์L ของ kและ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

สำหรับแต่ละLการสร้างนี้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของ จุด Lบนและเซตของระนาบไฮเปอร์บนด้วยเหตุนี้ ปริภูมิเชิงฉายคู่จึงเรียกว่าปริภูมิโมดูลัสของระนาบไฮเปอร์บน ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

เส้นในเรียกว่า"ดินสอ" (pencil ) ซึ่งเป็นกลุ่มของระนาบหลายมิติบนระนาบหลายมิติที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือkแล้วด้วยเหตุผลเดียวกันกับข้างต้น ก็คือปริภูมิของไฮเปอร์เพลนบนกรณีสำคัญคือเมื่อVประกอบด้วยส่วนต่างๆ ของบันเดิลเส้นตรง กล่าวคือ ให้Xเป็นวาไรตี้พีชคณิตLเป็นบันเดิลเส้นตรงบนXและเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่มีมิติบวกจำกัด จากนั้นจะมีแผนที่: ^{[ 21 ]}${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

กำหนดโดยระบบเชิงเส้นVโดยที่Bซึ่งเรียกว่าตำแหน่งฐานคือจุดตัดของตัวหารของส่วนที่เป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์ในV (ดูระบบเชิงเส้นของตัวหาร #แผนที่ที่กำหนดโดยระบบเชิงเส้นสำหรับการสร้างแผนที่)

ให้Xเป็นสกีมเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ (หรือโดยทั่วไปเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียนA ) โคฮอโมโลยีของชีฟที่สอดคล้องกัน บนXเป็นไปตามทฤษฎีบทสำคัญต่อไปนี้ซึ่งเสนอโดย Serre: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์ kมิติจำกัดสำหรับp ใด ๆ
2. มีจำนวนเต็ม(ขึ้นอยู่กับ; ดูเพิ่มเติมที่ความสม่ำเสมอของ Castelnuovo–Mumford ) อยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุกและp > 0 โดยที่คือการบิดด้วยกำลังของมัดเส้นตรงที่กว้างขวางมาก${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยการลดรูปไปสู่กรณีที่ใช้ไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

โดยที่ด้านขวามือถูกมองว่าเป็นชีฟบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟโดยการขยายด้วยศูนย์^{[ 22 ]}ผลลัพธ์จึงตามมาด้วยการคำนวณโดยตรงสำหรับnจำนวนเต็มใดๆ และสำหรับค่าใดๆ ก็ตามจะลดลงเหลือกรณีนี้โดยไม่ยากนัก^{[ 23 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

จากข้อสรุปในข้อ 1 ข้างต้น ถ้าfเป็นมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจคทีฟจากโครงร่างโนเธอร์เรียนไปยังวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้ว ภาพตรงระดับสูงจะมีความสอดคล้องกัน ผลลัพธ์เดียวกันนี้ใช้ได้กับมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมfเช่นกัน ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยความช่วยเหลือของ เล ม มาของโชว์${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

กลุ่มโคฮอโมโลยีชีฟH ⁱบนปริภูมิทอพอโลยีโนเธอร์เรียนจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อi มี ค่ามากกว่ามิติของปริภูมิอย่างเคร่งครัด ดังนั้นปริมาณที่เรียกว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ของ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

เป็นจำนวนเต็มที่กำหนดไว้อย่างดี (สำหรับXโปรเจกทีฟ) จากนั้นสามารถแสดงสำหรับพหุนามP บางตัว เหนือจำนวนตรรกยะได้^{[ 24 ]}เมื่อใช้ขั้นตอนนี้กับชีฟโครงสร้างจะได้พหุนามฮิลเบิร์ตของX กลับคืนมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และมีมิติrจีนัสทางเลขคณิตของXจะกำหนดโดย ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

ซึ่งเป็นคุณสมบัติภายในโดยชัดเจน กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัว

เจนัสเชิงเลขคณิตของไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีดีกรีdอยู่ในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งเรียบที่มีดีกรีdในจะมีเจนัสเชิงเลขคณิตเท่ากับ นี่คือสูตรเจนัส ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบที่ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดมีมิติnในสถานการณ์นี้ชีฟแคนอนิก ω _Xซึ่งนิยามว่าเป็นชีฟของอนุพันธ์คาห์เลอร์ระดับสูงสุด (กล่าวคือ รูปแบบพีชคณิตn ) จะเป็นบันเดิลเส้น

ทฤษฎี ทวิภาวะของ Serreระบุว่า สำหรับชีฟอิสระเฉพาะที่ใดๆบนX${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

โดยที่เครื่องหมายไพรม์ที่ยกกำลังหมายถึงปริภูมิคู่ และเป็นชีฟคู่ของการขยายความไปสู่สกีมเชิงโปรเจกทีฟ แต่ไม่จำเป็นต้องเรียบ เรียกว่าความเป็นคู่ของเวอร์ดิเยร์ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

สำหรับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบXนั้นH ²และระดับที่สูงกว่าจะหายไปเนื่องจากเหตุผลเชิงมิติ และปริภูมิของส่วนตัดทั่วโลกของชีฟโครงสร้างจะมีมิติเดียว ดังนั้น เจนัสทางเลขคณิตของXจึงเป็นมิติของโดยนิยามเจนัสทางเรขาคณิตของXก็คือมิติของH ⁰ ( X , ω _X ) ดังนั้น ความเป็นคู่ของ Serre จึงบ่งชี้ว่า เจนัสทางเลขคณิตและเจนัสทางเรขาคณิตตรงกัน จึงเรียกง่ายๆ ว่า เจนัสของX${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

ทฤษฎีบทคู่ของ Serre ยังเป็นส่วนประกอบสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Riemann–Rochด้วย เนื่องจากXเรียบ จึงมีการสมสัณฐานของกลุ่ม

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

จากกลุ่มตัวหาร (Weil)มอดูลตัวหารหลักไปยังกลุ่มชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเส้น ตัวหารที่สอดคล้องกับ ω _Xเรียกว่าตัวหารแคนอนิกและใช้สัญลักษณ์K แทน ให้l ( D ) เป็นมิติของจากนั้นทฤษฎีบท Riemann–Roch กล่าวว่า: ถ้าgเป็นจีนัสของ X${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

สำหรับตัวหารD ใดๆ บนXโดยอาศัยทฤษฎีบทคู่ของ Serre สิ่งนี้จึงเหมือนกับ:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย^{[ 25 ]}การขยายทฤษฎีบท Riemann–Roch ไปสู่มิติที่สูงขึ้นคือทฤษฎีบท Hirzebruch–Riemann–Roch เช่นเดียวกับ ทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochที่ครอบคลุมกว้างขวาง

โครงร่างฮิลเบิร์ตกำหนดพารามิเตอร์ให้กับซับวาไรตีปิดทั้งหมดของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ Xในแง่ที่ว่าจุด (ในความหมายเชิงฟังก์ชัน) ของ Hสอดคล้องกับซับโครงร่างปิดของ Xดังนั้น โครงร่างฮิลเบิร์ตจึงเป็นตัวอย่างของ ปริภูมิ โมดูลัส กล่าวคือ วัตถุทางเรขาคณิตที่มีจุดกำหนดพารามิเตอร์ให้กับวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น โครงร่างฮิลเบิร์ตกำหนดพารามิเตอร์ให้กับซับวาไรตีปิดที่มีพหุนามฮิลเบิร์ตเท่ากับพหุนามที่กำหนดไว้ P [ ^{26 ]}เป็นทฤษฎีบทที่ลึกซึ้งของ Grothendieck ว่ามีโครงร่าง ^{[ 27 ]}เหนือ kเช่นนั้น สำหรับโครงร่าง k ใดๆ Tจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อ ^{หนึ่ง}${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

สับสกีมแบบปิดที่ สอดคล้องกับแผนที่เอกลักษณ์เรียกว่าตระกูลสากล${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

สำหรับแผนผังฮิลเบิร์ตเรียกว่ากราสส์มันเนียนของ ระนาบ rในและถ้าXเป็นแผนผังเชิงโปรเจกทีฟ^จะเรียกว่าแผนผังฟาโนของ ระนาบ rบนX ^{[ 28} ]${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H_{X}^{P}}$

ในส่วนนี้ วาไรตี้เชิงพีชคณิตทั้งหมดเป็น วาไรตี้เชิงพีชคณิต เชิงซ้อนคุณลักษณะสำคัญของทฤษฎีวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนคือการผสมผสานวิธีการทางพีชคณิตและวิธีการวิเคราะห์ การเปลี่ยนผ่านระหว่างทฤษฎีเหล่านี้เกิดขึ้นได้จากความเชื่อมโยงต่อไปนี้: เนื่องจากพหุนามเชิงซ้อนใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกด้วย ดังนั้นวาไรตี้เชิงซ้อน X ใดๆจึงให้ปริภูมิวิเคราะห์เชิงซ้อน ซึ่ง แทนด้วย นอกจากนี้ คุณสมบัติทางเรขาคณิตของXยังสะท้อนให้เห็นในคุณสมบัติของตัวอย่างเช่น เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนก็ต่อเมื่อXเรียบ และเป็นแมนิโฟลด์กระชับก็ต่อเมื่อXเหมาะสมเหนือ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ซึ่งหมายความว่า สำหรับวาไรตีพีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟใดๆXจะเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกระชับ โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะไม่เป็นจริง แต่ทฤษฎีบทการฝังตัวของโคไดระให้เกณฑ์สำหรับแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ที่จะเป็นเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

ในมิติที่เล็กกว่า จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

• (รีมันน์) พื้นผิวรีมันน์แบบกระชับ (กล่าวคือ แมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบกระชับที่มีมิติหนึ่ง) เป็นวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟ ตามทฤษฎีบทของโทเรลลี มันถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยจาโคเบียนของมัน
• (Chow-Kodaira) แมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาด กะทัดรัด ที่มีมิติสองซึ่งมีฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก อิสระเชิงพีชคณิตสองฟังก์ชัน เป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​29 ]}

ทฤษฎีบทของโจวเสนอแนวทางที่น่าสนใจในการก้าวไปในทิศทางตรงกันข้าม จากเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ไปสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ทุกส่วนย่อยเชิงวิเคราะห์ของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนล้วนเป็นส่วนย่อยเชิงพีชคณิต อาจตีความทฤษฎีบทนี้ได้ว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่สอดคล้องกับเงื่อนไขการเติบโตบางอย่างนั้น จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเชิงพีชคณิต โดยคำว่า "เชิงโปรเจกทีฟ" เป็นตัวกำหนดเงื่อนไขการเติบโตนี้ จากทฤษฎีบทนี้สามารถอนุมานได้ดังต่อไปนี้:

• ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟเป็นฟังก์ชันตรรกยะ
• ถ้าแผนที่พีชคณิตระหว่างวาไรตี้พีชคณิตเป็นไอโซมอร์ฟิซึม เชิงวิเคราะห์ แล้ว แผนที่นั้นก็จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (พีชคณิต) ด้วย (ส่วนนี้เป็นข้อเท็จจริงพื้นฐานในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของโจวบ่งชี้ว่าแผนที่โฮโลมอร์ฟิกระหว่างวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเป็นแผนที่พีชคณิต (ลองพิจารณากราฟของแผนที่ดังกล่าว)
• บันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกทุกอันบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟจะถูกเหนี่ยวนำโดยบันเดิลเวกเตอร์พีชคณิตที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 30 ]}
• บันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกทุกอันบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเป็นบันเดิลเส้นของตัวหาร^{[ 31 ]}

ทฤษฎีบทของโจวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้หลักการ GAGA ของแซร์ ทฤษฎีบทหลักของมันกล่าวไว้ว่า:

ให้Xเป็นสกีมเชิงโปรเจกทีฟเหนือแล้วฟังก์ชันที่เชื่อมโยงชีฟแบบสอดคล้องกันบนXกับชีฟแบบสอดคล้องกันบนปริภูมิวิเคราะห์เชิงซ้อนที่สอดคล้องกันX ^anเป็นการสมมูลของหมวดหมู่ ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่ธรรมชาติ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับ i ทั้งหมด^และชีฟที่สอดคล้องกันทั้งหมดบนX ^{[ 32} ]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับวาไรตี้อาเบเลียนAเหนือคือกลุ่มลีเชิงซ้อนขนาด กะทัดรัด สามารถแสดงได้ว่ามีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

และยังเรียกอีกอย่างว่าทอรัสเชิงซ้อนโดยที่gคือมิติของทอรัส และLคือแลตทิซ (เรียกอีกอย่างว่าแลตทิซคาบ )

ตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพที่กล่าวถึงข้างต้น ทอรัสใดๆ ที่มีมิติ 1 เกิดขึ้นจากวาไรตี้อาเบเลียนที่มีมิติ 1 กล่าวคือ จากเส้นโค้งวงรีในความเป็นจริงฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัส ที่แนบมากับLเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์บางอย่าง และเป็นผลให้กำหนดการฝังแบบปิด: ^{[ 33 ]}${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

มีทฤษฎีบท การทำให้เป็น เอกรูปp -adic ที่คล้ายคลึง กัน

สำหรับมิติที่สูงกว่า แนวคิดของวาไรตี้อาเบเลียนเชิงซ้อนและทอรัสเชิงซ้อนจะแตกต่างกัน: มีเพียง ทอรัสเชิงซ้อนแบบ โพลาไรซ์ เท่านั้น ที่มาจากวาไรตี้อาเบเลียน

ทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระขั้นพื้นฐานกล่าวว่า สำหรับบันเดิลเส้นตรงที่กว้างขวางบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบXเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

สำหรับi > 0 หรือเทียบเท่าโดยทฤษฎีบทคู่ของ Serre สำหรับi < n ^{[ 34} ] การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั้งแรกใช้วิธีการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตของ Kähler แต่ต่อมาพบการพิสูจน์ทางพีชคณิตล้วนๆ การหายไปของ Kodaira โดยทั่วไปล้มเหลวสำหรับวาไรตี้ ^เชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก ทฤษฎีบทของ Kodaira เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทการหายไปต่างๆ ซึ่งให้เกณฑ์สำหรับโคฮอโมโลยีชีฟระดับสูงที่จะหายไป เนื่องจากลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของชีฟ (ดูข้างต้น) มักจะจัดการได้ง่ายกว่ากลุ่มโคฮอโมโลยีแต่ละกลุ่ม สิ่งนี้มักมีผลกระทบที่สำคัญเกี่ยวกับเรขาคณิตของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​35 ]}${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

• ความหลากหลายแบบหลายการฉายภาพ
• วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟแบบถ่วงน้ำหนักซึ่งเป็นวาไรตี้ย่อยแบบปิดของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟแบบถ่วงน้ำหนัก^{[ 36 ]}

• เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของปริภูมิเชิงฉาย
• ความสัมพันธ์สมมูลที่เพียงพอ
• แผนการของฮิลเบิร์ต
• ทฤษฎีบทระนาบไฮเปอร์ของเลฟเชตซ์
• โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำ

• แผนการของฮิลเบิร์ตโดย ชาร์ลส์ ซีเกล - บทความในบล็อก
• วาไรตี้เชิงฉายภาพ บทที่ 1