ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีทวิภาวะของแวร์ดิเย ร์ (Verdier duality ) เป็น ทฤษฎี ทวิภาวะเชิงโคฮอ โมโลยี ใน โทโพโลยีเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎี ทวิภาวะของปวงกาเร (Poincaré duality) สำหรับแม นิโฟลด์ ทฤษฎีทวิภาวะของแวร์ดิเยร์ ได้รับการแนะนำในปี 1965 โดยฌอง-หลุยส์ แวร์ดิเยร์ (Jean-Louis Verdier )  ( 1965 ) ในฐานะแบบจำลอง สำหรับปริภูมิโทโพโลยีแบบกระชับเฉพาะที่ ( locally compact topological spaces)ของ ทฤษฎีทวิภาวะของ ปวงกาเรในโคฮอโมโลยีแบบเอทาล (étale cohomology ) สำหรับสกีม (schemes ) ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ของอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีค (Alexander Grothendieck) ดังนั้น (ร่วมกับทฤษฎีเอทาลดังกล่าว และตัวอย่างเช่น ทฤษฎี ทวิภาวะแบบสอดคล้องกัน ของโกรเทนดีค) จึงเป็นตัวอย่างหนึ่งของ รูปแบบ การดำเนินการหกอย่างของโกรเทนดีค

ทฤษฎีทวิภาวะของแวร์ดิเยร์เป็นการขยายทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรแบบคลาสสิกของแมนิโฟลด์ในสองทิศทาง: กล่าวคือ ใช้ได้กับแผนที่ต่อเนื่องจากปริภูมิหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง (ซึ่งจะลดลงเหลือกรณีคลาสสิกสำหรับแผนที่เดียวจากแมนิโฟลด์ไปยังปริภูมิจุดเดียว) และใช้ได้กับปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เนื่องจากการมีอยู่ของจุดเอกฐาน มักพบเห็นได้ทั่วไปเมื่อศึกษา ชีฟ ที่สร้างได้หรือชีฟที่ผิดปกติ

ทฤษฎีทวิภาวะของเวอร์ดิเยร์ระบุว่า (ภายใต้เงื่อนไขความจำกัดที่เหมาะสมซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) ฟังก์ชันภาพ อนุพันธ์ บางตัว สำหรับชีฟนั้นเป็นฟังก์ชันผกผันมีสองเวอร์ชัน

ทฤษฎีบทคู่แบบเวอร์ดิเยร์ทั่วโลกกล่าวว่า สำหรับแผนที่ต่อเนื่องของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่ ฟังก์ชันอนุพันธ์ของภาพโดยตรงที่มีส่วนรองรับแบบกระชับ (หรือเหมาะสม) จะมีตัวผกผันทางขวาใน หมวด หมู่อนุพันธ์ของ ชีฟกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับ (คอมเพล็กซ์ของ) ชีฟ (ของกลุ่มอาเบเลียน) บนและบนเรามี ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}$

หลักทวิภาวะของแวร์ดิเยร์ในระดับท้องถิ่นระบุว่า

${\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}$

ในหมวดหมู่ที่ได้มาของชีฟบนYความแตกต่างระหว่างเวอร์ชันทั่วโลกและเวอร์ชันท้องถิ่นคือ เวอร์ชันทั่วโลกเชื่อมโยงมอร์ฟิซึมระหว่างคอมเพล็กซ์ของชีฟในหมวดหมู่ที่ได้มา ในขณะที่เวอร์ชันท้องถิ่นเชื่อมโยงคอมเพล็กซ์ Hom ภายใน และสามารถประเมินได้ในระดับท้องถิ่น การหาส่วนทั่วโลกของทั้งสองด้านในข้อความท้องถิ่นจะให้ทวิภาวะ Verdier ทั่วโลก

ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขที่ฟังก์ชันภาพตรงที่มีการรองรับแบบกะทัดรัดมีมิติโคฮอโมโลยี จำกัด กรณีนี้จะ เป็น จริงก็ต่อเมื่อมีขอบเขตที่ทำให้โคฮอโมโลยีที่มีการรองรับแบบกะทัดรัด เป็นศูนย์สำหรับไฟเบอร์ทั้งหมด(โดยที่) และกรณีนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อไฟเบอร์ทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์ที่มีมิติไม่เกิน หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นคอมเพล็กซ์ CWที่มีมิติ ไม่เกิน${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle d\in \mathbf {N} }$${\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}$${\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle r>d}$${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

การอภิปรายข้างต้นกล่าวถึงหมวดหมู่ที่ได้มาของชีฟของกลุ่มอาเบเลียน แต่ในทางกลับกัน เราอาจพิจารณาวงแหวน และ (หมวดหมู่ที่ได้มาของ) ชีฟของโมดูล ซึ่งกรณีข้างต้นสอดคล้อง กับ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=\mathbf {Z} }$

คอมเพล็กซ์คู่ บนถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}$

โดยที่pคือแผนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ส่วนหนึ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทคู่ของ Verdier น่าสนใจในบริบทเอกฐานก็คือ เมื่อจุดนั้นไม่ใช่แมนิโฟลด์ (เช่น กราฟหรือวาไรตี้พีชคณิตเอกฐาน) แล้วคอมเพล็กซ์คู่จะไม่สมมาตรกับชีฟที่กระจุกตัวอยู่ในระดับเดียว จากมุมมองนี้ หมวดหมู่ที่ได้มาจึงจำเป็นในการศึกษาปริภูมิเอกฐาน ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ถ้า เป็น ปริภูมิกระชับเฉพาะที่มิติจำกัดและ เป็น หมวดหมู่อนุพันธ์แบบจำกัดของชีฟของกลุ่มอาเบเลียนเหนือแล้วคู่ของเวอร์ดิเยร์เป็นฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle X}$${\displaystyle D^{b}(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

กำหนดโดย

${\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}$

มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรสามารถอนุมานได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทคู่ของแวร์ดิเยร์ โดยในที่นี้จะคำนวณโคฮอโมโลยีของปริภูมิโดยใช้กลไกของโคฮอโมโลยีชีฟอย่าง ชัดเจน

สมมติว่าX เป็นแมนิโฟลด์ nมิติแบบกระชับ และสามารถกำหนดทิศทางได้ kเป็นฟิลด์ และเป็นชีฟคงที่บนXที่มีสัมประสิทธิ์ในkให้เป็นแผนที่คงที่ไปยังจุดหนึ่ง ทฤษฎีทวิภาวะของ Verdier ทั่วโลกกล่าวว่า ${\displaystyle k_{X}}$${\displaystyle f=p}$

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

เพื่อให้เข้าใจว่าทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรเกิดขึ้นจากข้อความนี้ได้อย่างไร อาจจะง่ายที่สุดที่จะทำความเข้าใจทั้งสองด้านทีละส่วน ลองพิจารณาดู

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}$

เป็นการแก้ปัญหาแบบฉีดของชีฟคงที่ จากนั้นโดยข้อเท็จจริงมาตรฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันอนุพันธ์ด้านขวา

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}$

เป็นคอมเพล็กซ์ที่มีโคฮอโมโลยีเป็นโคฮอโมโลยีที่รองรับแบบกะทัดรัดของXเนื่องจากมอร์ฟิซึมระหว่างคอมเพล็กซ์ของชีฟ (หรือปริภูมิเวกเตอร์) เองก็ก่อให้เกิดคอมเพล็กซ์ เราจึงพบว่า

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}$

โดยที่พจน์สุดท้ายที่ไม่เป็นศูนย์มีดีกรี 0 และพจน์ทางซ้ายมีดีกรีติดลบ มอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ที่ได้มานั้นได้มาจากหมวดหมู่โฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของชีฟโดยการใช้โคฮอโมโลยีลำดับที่ศูนย์ของคอมเพล็กซ์ กล่าวคือ

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}$

สำหรับอีกด้านหนึ่งของข้อความทวิภาวะของ Verdier ข้างต้น เราต้องถือว่าXเป็น แมนิโฟลด์ nมิติ แบบกระชับและสามารถกำหนดทิศทางได้

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

ซึ่งเป็นคอมเพล็กซ์คู่สำหรับแมนิโฟลด์ ตอนนี้เราสามารถแสดงด้านขวามือใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}$

ในที่สุดเราก็ได้รับคำแถลงที่ว่า

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

โดยการทำซ้ำข้อโต้แย้งนี้โดยแทนที่ชีฟk _Xด้วยชีฟเดียวกันที่วางอยู่ในระดับiเราจะได้ทฤษฎีทวิภาวะแบบปวงกาเรคลาสสิก

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

• ความเป็นคู่ของปวงกาเร
• หกการดำเนินการ
• ความเป็นคู่ที่สอดคล้องกัน
• หมวดหมู่ที่ได้มา