ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตีเชิงพีชคณิตคือฟังก์ชันระหว่างวาไรตีเหล่านั้นที่กำหนดโดยพหุนาม ในระดับท้องถิ่น เรียกอีกอย่างว่าแผนที่ปกติ ( regular map ) มอร์ฟิซึมจากวาไรตีเชิงพีชคณิตไปยังเส้นตรงเชิงเส้นตรง (affine line)ก็เรียกว่าฟังก์ชันปกติ (regular function ) แผนที่ปกติที่มีฟังก์ชันผกผันเป็นแผนที่ปกติด้วย เรียกว่า แผนที่ไบปกติ (biregular map) และแผนที่ไบปกติคือไอโซมอร์ฟิซึมของวาไรตีเชิงพีชคณิต เนื่องจากคำว่าปกติและไบปกติเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดมาก – ไม่มีฟังก์ชันปกติที่ไม่คงที่บนวาไรตีเชิงโปรเจก ทีฟ – แนวคิดของ แผนที่ ตรรกยะ (rational map) และ แผนที่ ไบตรรกยะ (birational map) จึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน ซึ่งเป็น ฟังก์ชันบางส่วนที่กำหนดโดยเศษส่วนตรรกยะ ในระดับท้องถิ่น แทนที่จะเป็นพหุนาม

โดยธรรมชาติแล้ว วาไรตี้เชิงพีชคณิตจะมีโครงสร้างของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ และมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้เชิงพีชคณิตก็คือมอร์ฟิซึมของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ที่เป็นพื้นฐานนั่นเอง

ถ้าXและYเป็นซับวาไรตี้ปิดของและ(ดังนั้นพวกมันจึงเป็นวาไรตี้แอฟฟิน ) แล้วแผนที่ปกติจะเป็นข้อจำกัดของแผนที่พหุนามโดยชัดเจนแล้วจะมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

โดยที่s อยู่ในวงแหวนพิกัดของX : ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

โดยที่Iคืออุดมคติที่กำหนดX (หมายเหตุ: พหุนามสองตัวfและgกำหนดฟังก์ชันเดียวกันบนXก็ต่อเมื่อf  −  gอยู่ในI ) ภาพf ( X ) อยู่ในYและด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับสมการกำหนดของYกล่าวคือ แผนที่ปกติจะเหมือนกับการจำกัดของแผนที่พหุนามซึ่งส่วนประกอบสอดคล้องกับสมการกำหนดของY ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

โดยทั่วไปแล้ว แผนที่f  : X → Yระหว่างสองวาไรตี้เรียกว่า ฟังก์ชัน ปกติ ณ จุดx ก็ต่อ เมื่อมีย่านใกล้เคียงUของxและย่านใกล้เคียงVของf ( x ) โดยที่f ( U ) ⊂ Vและฟังก์ชันจำกัดf  : U → Vเป็นฟังก์ชันปกติบนแผนภูมิเชิงเส้นตรงบางส่วนของUและVแล้วfจะเรียกว่า ฟังก์ชันปกติถ้าเป็นฟังก์ชันปกติที่ทุกจุดของ X

• หมายเหตุ:ไม่ใช่เรื่องชัดเจนในทันทีว่าคำจำกัดความทั้งสองตรงกัน: ถ้าXและYเป็นวาไรตี้เชิงเส้นตรงแล้ว แผนที่f  : X → Yจะเป็นปกติในความหมายแรกก็ต่อเมื่อเป็นปกติในความหมายที่สอง^{[ a ]}นอกจากนี้ ยังไม่ชัดเจนในทันทีว่าความเป็นปกติขึ้นอยู่กับการเลือกแผนภูมิเชิงเส้นตรงหรือไม่ (ไม่ขึ้นอยู่กับ^{[ b ]} ) อย่างไรก็ตาม ปัญหาความสอดคล้องกันประเภทนี้จะหายไปหากเราใช้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ ในทางรูปธรรม วาไรตี้เชิงพีชคณิต (นามธรรม) ถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิที่มีวงแหวน เฉพาะที่ชนิดหนึ่ง เมื่อใช้คำจำกัดความนี้ มอร์ฟิซึมของวาไรตี้ก็คือมอร์ฟิซึมของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่นั่นเอง

องค์ประกอบของแผนที่ปกติก็ยังคงเป็นปกติเช่นกัน ดังนั้น วาไรตี้เชิงพีชคณิตจึงก่อให้เกิดหมวดหมู่ของวาไรตี้เชิงพีชคณิตโดยที่มอร์ฟิซึมคือแผนที่ปกติ

แผนที่ปกติระหว่างวาไรตี้เชิงเส้นสอดคล้องแบบผกผันในการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตระหว่างวงแหวนพิกัด: ถ้าf  : X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของวาไรตี้เชิงเส้นแล้ว มันจะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิต

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

โดยที่ วงแหวนพิกัดของXและY อยู่ ที่ไหนมันถูกกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจากเป็นพหุนามในองค์ประกอบของในทางกลับกัน ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิต มันจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึม ${\displaystyle k[X],k[Y]}$${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$${\displaystyle k[X]}$${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

มอบให้โดย: การเขียน${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

ภาพของ's อยู่ ที่ไหน^{[ c ]}หมายเหตุเช่นเดียวกับ^{[ d ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งfเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวาไรตี้แอฟฟินก็ต่อเมื่อf ^#เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนพิกัด ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นซับวาไรตีปิดของวาไรตีเชิงเส้นYและfคือการรวมเข้าด้วยกันแล้วf ^#คือการจำกัดของฟังก์ชันปกติบนYไปยังXดูตัวอย่างเพิ่มเติมได้ที่ #Examples ด้านล่าง

ในกรณีเฉพาะที่เท่ากับแผนที่ปกติเรียกว่าฟังก์ชันปกติและเป็นอนาล็อกเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเรียบที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ วงแหวนของฟังก์ชันปกติ (นั่นคือวงแหวนพิกัดหรือในเชิงนามธรรมมากขึ้นคือวงแหวนของส่วนตัดทั่วโลกของชีฟโครงสร้าง) เป็นวัตถุพื้นฐานในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงเส้นตรง ฟังก์ชันปกติเพียงฟังก์ชันเดียวบนวาไรตี้เชิงโปร เจกทีฟ คือฟังก์ชันคงที่ (สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกเชิงพีชคณิตของทฤษฎีบทของ Liouvilleในการวิเคราะห์เชิงซ้อน ) ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$

ฟังก์ชันสเกลาร์จะเรียกว่าปกติที่จุดถ้าในบริเวณใกล้เคียงเชิงเส้นเปิดของจุดนั้น ฟังก์ชัน นั้นเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ปกติที่จุดนั้นกล่าว คือ มีฟังก์ชันปกติที่อยู่ใกล้จุดนั้น ซึ่งและไม่เป็นศูนย์ที่ จุด นั้น^{[ e ]}ข้อควรระวัง: เงื่อนไขนี้ใช้สำหรับคู่ ( g , h ) บางคู่ ไม่ใช่สำหรับทุกคู่ ( g , h ) ดูตัวอย่าง${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f=g/h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$

ถ้าXเป็นวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟกล่าวคือ วาไรตี้ย่อยแบบเปิดของวาไรตี้โปรเจคทีฟ ฟิลด์ฟังก์ชันk ( X ) จะเหมือนกับฟิลด์ของการปิดของXดังนั้นฟังก์ชันตรรกยะบนXจะอยู่ในรูปแบบg / hสำหรับองค์ประกอบเอกพันธุ์g , h บางตัว ที่มีดีกรีเดียวกันในวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของ(ดู วาไรตี้โปรเจคทีฟ#โครงสร้างวาไรตี้ ) จากนั้นฟังก์ชันตรรกยะfบนXจะเป็นฟังก์ชันปกติที่จุดxก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบเอกพันธุ์g , h บางตัว ที่มีดีกรีเดียวกันในซึ่งf = g / hและhไม่เป็นศูนย์ที่xลักษณะเฉพาะนี้บางครั้งถือเป็นนิยามของฟังก์ชันปกติ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

ถ้าและเป็นแผนผังเชิงเส้นตรงแล้ว โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนแต่ละตัวจะกำหนดมอร์ฟิซึม ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} B}$${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

โดยการนำภาพก่อนหน้าของไอเดียลเฉพาะ มาใช้ มอร์ฟิซึมทั้งหมดระหว่างแผนผังเชิงเส้นตรงเป็นประเภทนี้ และการเชื่อมต่อมอร์ฟิซึมดังกล่าวจะให้มอร์ฟิซึมของแผนผังโดยทั่วไป

ทีนี้ ถ้าXและYเป็นวาไรตี้เชิงเส้นตรง (affine varieties) กล่าวคือAและBเป็นโดเมนจำนวนเต็มซึ่งเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkแล้ว เมื่อใช้เฉพาะจุดปิดเท่านั้น สิ่งข้างต้นจะสอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ใน#Definition (พิสูจน์: ถ้าf  : X → Yเป็นมอร์ฟิซึม แล้วเมื่อเขียนเราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

อุดมคติสูงสุดที่สอดคล้องกับจุดxและf ( x ) อยู่ที่ไหน กล่าวคือ ( นี่เป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดเจน) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

ข้อเท็จจริงนี้หมายความว่าหมวดหมู่ของวาไรตี้เชิงเส้นสามารถระบุได้ว่าเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของแผนผังเชิงเส้นเหนือkเนื่องจากมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ได้มาจากการเชื่อมต่อมอร์ฟิซึมของวาไรตี้เชิงเส้นในลักษณะเดียวกับที่มอร์ฟิซึมของแผนผังได้มาจากการเชื่อมต่อมอร์ฟิซึมของแผนผังเชิงเส้น ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าหมวดหมู่ของวาไรตี้เป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของแผนผังเหนือ k

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่[1 ]

• ฟังก์ชันปกติบน นั้นก็คือพหุนามในตัวแปร และฟังก์ชันปกติบน นั้นก็คือค่าคงที่${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
• ให้เป็นเส้นโค้งแอฟฟินแล้วเป็นมอร์ฟิซึม และเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเป็นฟังก์ชันผกผันเนื่องจากก็เป็นมอร์ฟิ ซึมเช่นกัน ดังนั้น จึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวาไรตี้${\displaystyle X}$${\displaystyle y=x^{2}}$$${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$
• ให้เป็นเส้นโค้งเชิงเส้นตรงแล้วเป็นมอร์ฟิซึม ซึ่งสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนซึ่งเห็นได้ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (เนื่องจากfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง)${\displaystyle X}$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$$${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$$${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
• จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้U = A ¹  − {1} เนื่องจากUเป็นส่วนเติมเต็มของระนาบt = 1 ดังนั้นUจึงเป็นเชิงเส้นตรง การจำกัดนี้เป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่สอดคล้องกันคือการรวมซึ่งไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นการจำกัดf | _Uจึงไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• ให้Xเป็นเส้นโค้งเชิงเส้นx² ⁺ y² = ¹และให้แล้วfเป็นฟังก์ชันตรรกยะบนXมันเป็นฟังก์ชันปกติที่ (0, 1) แม้ว่าจะมีนิพจน์ก็ตาม เนื่องจากในฐานะฟังก์ชันตรรกยะบนX fสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า$${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• ให้X = A ² − (0, 0)แล้วXเป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิต เนื่องจากเป็นเซตย่อยเปิดของวาไรตี้ ถ้าfเป็นฟังก์ชันปกติบนXแล้วfก็เป็นฟังก์ชันปกติบนและดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันปกติใน ในทำนองเดียวกัน มันก็เป็นฟังก์ชันปกติในดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า: โดยที่gและhเป็นพหุนามในk [ x , y ] แต่สิ่งนี้หมายความว่าgหารลงตัวด้วยx ⁿดังนั้นfจึงเป็นพหุนามจริงๆ ดังนั้น วงแหวนของฟังก์ชันปกติบนXก็คือk [ x , y ] (สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่าXไม่สามารถเป็นแอฟฟินได้ เนื่องจากถ้าเป็นเช่นนั้นXจะถูกกำหนดโดยวงแหวนพิกัดของมัน และดังนั้นX = A ² )${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$$${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
• สมมติว่าโดยการระบุจุด ( x  : 1) กับจุดxบนA ¹และ ∞ = (1 : 0) จะมีออโตมอร์ฟิซึม σ ของP ¹ที่กำหนดโดย σ(x : y) = (y : x) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง σ จะสลับ 0 และ ∞ ถ้าfเป็นฟังก์ชันตรรกยะบนP ¹แล้วf จะเป็นฟังก์ชันปกติที่ ∞ ก็ต่อเมื่อf (1/ z ) เป็นฟังก์ชันปกติที่ศูนย์${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$$${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
• เมื่อพิจารณาฟิลด์ฟังก์ชันk ( V ) ของเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้Vฟังก์ชันFในฟิลด์ฟังก์ชันทั้งหมดสามารถแสดงออกมาได้ในรูปของมอร์ฟิซึมจากVไปยังเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเหนือk (ดู#คุณสมบัติ ) ภาพที่ได้จะเป็นจุดเดียวหรือเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด (นี่เป็นผลมาจากความสมบูรณ์ของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ ) กล่าวคือ เว้นแต่ว่าFจะเป็นค่าคงที่จริง ๆ เราจะต้องกำหนดค่า ∞ ให้กับ F ที่บางจุดของ V
• สำหรับวาไรตี้พีชคณิตXและY ใดๆ การฉายภาพจะเป็นมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ ถ้าXและYเป็นแอฟฟิน โฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่สอดคล้องกันคือโดยที่$${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$$${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

มอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้มีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีของซาริสกีบนแหล่งที่มาและเป้าหมาย

ภาพของมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิดหรือเซตปิด (ตัวอย่างเช่น ภาพของ f ไม่ใช่ทั้งเซตเปิดหรือเซตปิด) อย่างไรก็ตาม เรายังสามารถกล่าวได้ว่า ถ้าfเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้ ภาพของfจะประกอบด้วยเซตย่อยแบบเปิดและหนาแน่นของเซตปิดของมัน (ดูเซตที่สร้างได้ ) ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

มอร์ฟิซึมf : X → Y ของวาไรตี้เชิงพีชคณิต เรียกว่าเป็น มอร์ฟิซึมเด่น (dominant)ถ้ามันมีภาพหนาแน่น (dense image) สำหรับf ดังกล่าว ถ้าVเป็นเซตย่อยเชิงเส้นเปิดที่ไม่ว่างของYแล้วจะมีเซตย่อยเชิงเส้นเปิดที่ไม่ว่างUของXเช่นกันที่f ( U ) ⊂ Vและ U นั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ดังนั้น แผนที่เด่นfจึงเหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในระดับของฟิลด์ฟังก์ชัน: ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

โดยที่ลิมิตโดยตรงจะวิ่งผ่านเซตย่อยแอฟฟินเปิดที่ไม่ว่างทั้งหมดของY (ในเชิงนามธรรมมากขึ้น นี่คือแผนที่เหนี่ยวนำจากฟิลด์เศษเหลือของจุดทั่วไปของYไปยังจุดของX ) ในทางกลับกัน การรวมฟิลด์ทุกฟิลด์จะถูกเหนี่ยวนำโดยแผนที่เชิงตรรกะ เด่น จากXไปยังY [ ^{3 ] ดังนั้น}การสร้างข้างต้นจึงกำหนดความสมมูลแบบคอนทราแวเรียนต์ระหว่างหมวดหมู่ของวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์kและแผนที่เชิงตรรกะเด่นระหว่างพวกมันกับหมวดหมู่ของการขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของk ^{[ 4 ]}${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

ถ้าXเป็นเส้นโค้งเรียบสมบูรณ์ (เช่นP ¹ ) และถ้าfเป็นแผนที่เชิงตรรกะจากXไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ^mแล้วfจะเป็นแผนที่ปกติX → P ^{m [ 5} ] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อXเป็นเส้นโค้งเรียบสมบูรณ์ ฟังก์ชันเชิงตรรกะใดๆ บนXอาจถูกมองว่าเป็นมอร์ฟิซึมX → P ¹และในทางกลับกัน มอร์ฟิซึมดังกล่าวอาจถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันเชิงตรรกะ ^บน X

บนวาไรตี้ปกติ (โดยเฉพาะวาไรตี้เรียบ ) ฟังก์ชันตรรกยะจะเป็นปกติก็ต่อเมื่อไม่มีขั้วที่มีมิติร่วมหนึ่ง^{[ f ]}นี่เป็นอนาล็อกเชิงพีชคณิตของทฤษฎีบทส่วนขยายของ Hartogsนอกจากนี้ยังมีเวอร์ชันสัมพัทธ์ของข้อเท็จจริงนี้ ดู[2 ]

มอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตีพีชคณิตที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐานไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (ตัวอย่างค้านคือมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส ) ในทางกลับกัน ถ้าfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแบบไบราชันนัล และปริภูมิเป้าหมายของfเป็นวาไรตีปกติแล้วfจะเป็นฟังก์ชันไบเรกูลาร์ (ดูทฤษฎีบทหลักของซาริสกีประกอบ) ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

แผนที่ปกติระหว่างวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนเรียกว่าแผนที่โฮโลมอร์ฟิก (ที่จริงแล้วมีความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: แผนที่ปกติคือแผนที่เมโรเมอร์ฟิกที่มีจุดเอกฐานที่สามารถกำจัดได้แต่ความแตกต่างนี้มักถูกละเลยในทางปฏิบัติ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนที่ปกติไปยังจำนวนเชิงซ้อนก็คือฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ทั่วไป (ฟังก์ชันเชิงซ้อนวิเคราะห์) นั่นเอง

อนุญาต

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

เป็นมอร์ฟิซึมจากวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ให้xเป็นจุดในXแล้วพิกัดเอกพันธุ์ลำดับที่i ของ f ( x ) บางพิกัดจะไม่เป็นศูนย์ สมมติว่าi = 0 เพื่อความเรียบง่าย จากนั้นโดยความต่อเนื่อง จะมีย่านใกล้เคียงเชิงเส้นเปิดUของxเช่นนั้น

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

เป็นมอร์ฟิซึม โดยที่y _iคือพิกัดเอกพันธุ์ โปรดสังเกตว่าปริภูมิเป้าหมายคือปริภูมิแอฟฟินA ^mผ่านการระบุดังนั้น ตามคำนิยาม ข้อจำกัดf | _Uจึงกำหนดโดย ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

โดยที่g _iเป็นฟังก์ชันปกติบนUเนื่องจากXเป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ดังนั้นg _i แต่ละตัว จึงเป็นเศษส่วนขององค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเดียวกันในวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์k [ X ] ของXเราสามารถจัดเรียงเศษส่วนเพื่อให้มีตัวส่วนเอกพันธุ์เดียวกัน เช่นf ₀จากนั้นเราสามารถเขียนg _i = f _i / f ₀สำหรับองค์ประกอบเอกพันธุ์f _i บางตัว ในk [ X ] ดังนั้น เมื่อกลับไปที่พิกัดเอกพันธุ์

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

สำหรับทุกxในUและโดยความต่อเนื่องสำหรับทุกxในXตราบใดที่f _iไม่เป็นศูนย์ที่xพร้อมกัน หาก f i ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันที่จุดxในXแล้ว โดยขั้นตอนข้างต้น เราสามารถเลือกชุดf _i ที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่เป็นศูนย์ที่xพร้อมกันได้ (ดูหมายเหตุท้ายส่วนนี้)

อันที่จริง คำอธิบายข้างต้นใช้ได้กับวาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟX ใดๆ ซึ่งเป็นวาไรตี้ย่อยแบบเปิดของวาไรตี้โปรเจคทีฟความแตกต่างอยู่ที่ว่าf _iอยู่ในวงแหวนพิกัดเอก พันธุ์ ของ ${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle {\overline {X}}}$

หมายเหตุ : ข้อความข้างต้นไม่ได้กล่าวว่ามอร์ฟิซึมจากวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟนั้นกำหนดโดยชุดพหุนามชุดเดียว (ต่างจากกรณีเชิงเส้นตรง) ตัวอย่างเช่น ให้Xเป็นภาคตัดกรวยในP ²แล้วแผนที่สองแผนที่และจะตรงกันบนเซตย่อยเปิดของX (เนื่องจาก) และดังนั้น จึงกำหนดมอร์ฟิซึม ${\displaystyle y^{2}=xz}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

ข้อเท็จจริงที่สำคัญคือ: ^{[ 6 ]}

ในหนังสือสีแดงของมัมฟอร์ด ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยใช้เลมมาการทำให้เป็นมาตรฐานของโนเธอร์สำหรับแนวทางเชิงพีชคณิตที่ความเป็นอิสระทั่วไปมีบทบาทสำคัญ และแนวคิดของ " วงแหวนแคทเทนารีสากล " เป็นกุญแจสำคัญในการพิสูจน์ โปรดดูที่ไอเซนบัด บทที่ 14 ของ "พีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนโดยมองไปยังเรขาคณิตเชิงพีชคณิต" อันที่จริง การพิสูจน์ในนั้นแสดงให้เห็นว่า ถ้าfเป็นระนาบความเท่าเทียมกันของมิติในข้อ 2 ของทฤษฎีบทจะเป็นจริงโดยทั่วไป (ไม่ใช่แค่โดยทั่วไป)

ให้f : X → Yเป็น มอร์ฟิซึม แบบทั่วถึงจำกัดระหว่างวาไรตี้เชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์kแล้วตามนิยาม ดีกรีของfคือดีกรีของส่วนขยายฟิลด์จำกัดของฟิลด์ฟังก์ชันk ( X ) เหนือf ^* k ( Y ) โดยความเป็นอิสระทั่วไปจะมีเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างUในY บางตัว ที่การจำกัดของชีฟโครงสร้างO _Xไปยังf ⁻¹ ( U )เป็นอิสระในฐานะO _Y | _U -โมดูล ดังนั้น ดีกรีของfจึงเป็นอันดับของโมดูลอิสระนี้ด้วย

ถ้าfเป็นétaleและถ้าX , Yเป็นเซตสมบูรณ์แล้ว สำหรับชีฟที่สอดคล้องกัน ใดๆ FบนYโดยเขียน χ แทนลักษณะเฉพาะของออยเลอร์

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^{[ 7 ]}

( สูตร Riemann–Hurwitzสำหรับการปกคลุมแบบแตกแขนงแสดงให้เห็นว่า "étale" ในที่นี้ไม่สามารถละเว้นได้)

โดยทั่วไป ถ้าfเป็นมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงที่มีขอบเขตจำกัด ถ้าXและYเป็นเซตสมบูรณ์และFเป็นชีฟที่สอดคล้องกันบนYแล้ว จากลำดับสเปกตรัมของเลอเรย์ จะได้ว่า: ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าFเป็นกำลังเทนเซอร์ของบันเดิลเส้นตรง แล้วและเนื่องจากส่วนรองรับของมีมิติร่วมเป็นบวก ถ้าqเป็นบวก เมื่อเปรียบเทียบพจน์นำหน้า จะได้ว่า: ${\displaystyle L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(เนื่องจากอันดับทั่วไปของคือระดับของf ) ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

ถ้าfเป็น étale และkเป็น algebraically closed แล้วไฟเบอร์ทางเรขาคณิตf ⁻¹ ( y ) แต่ละไฟเบอร์จะประกอบด้วยจุด deg( f ) จุด พอดี

• ฟังก์ชันพีชคณิต
• มอร์ฟิซึมแบบเรียบ
• Étale morphisms – อะนาล็อกพีชคณิตของdiffeomorphisms ในท้องถิ่น
• การแก้ไขภาวะเอกฐาน
• มอร์ฟิซึมการหดตัว