ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชัน โฮ โลมอร์ฟิกคือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของ ตัวแปร เชิงซ้อน หนึ่งตัวหรือ มากกว่า ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดในโดเมนในปริภูมิพิกัดเชิงซ้อนการมีอยู่ของอนุพันธ์เชิงซ้อนในบริเวณใกล้เคียงเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดมาก: มันบ่งชี้ว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งและเท่ากับอนุกรมเทย์เลอร์ ของตัวเองในระดับท้องถิ่น (เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ) ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเป็นหัวข้อหลักของการศึกษาใน คณิตศาสตร์ วิเคราะห์ เชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

แม้ว่าคำว่าฟังก์ชันวิเคราะห์มักจะใช้แทนกันได้กับคำว่า "ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก" แต่คำว่า "วิเคราะห์" นั้นถูกนิยามในความหมายที่กว้างกว่าเพื่อหมายถึงฟังก์ชันใดๆ (จริง เชิงซ้อน หรือประเภททั่วไป) ที่สามารถเขียนเป็นอนุกรมกำลังลู่ เข้า ในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดในโดเมน ของมัน การที่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทั้งหมดเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน และในทางกลับกัน เป็นทฤษฎีบทสำคัญในการวิเคราะห์เชิงซ้อน^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ ฟิกบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันปกติ^{[ 2 ]}ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีโดเมนเป็นระนาบเชิงซ้อน ทั้งหมด เรียกว่าฟังก์ชันเอนไทร์ วลี "โฮโลมอร์ฟิกที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ " หมายความว่าไม่เพียงแต่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ เท่านั้น แต่ยังสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ภายในบริเวณใกล้เคียงของ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ในระนาบเชิงซ้อนด้วย

เมื่อกำหนดฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปร${\displaystyle f}$เชิงซ้อนตัวเดียวอนุพันธ์ของที่จุดในโดเมนจะ ถูก ^{กำหนด}เป็นลิมิต[ ${\displaystyle f}$^{3 ]}${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

นี่คือคำจำกัดความเดียวกันกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงยกเว้นว่าปริมาณทั้งหมดเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลิมิตจะถูกพิจารณาเมื่อจำนวนเชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle z}$เข้าใกล้⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$และนั่นหมายความว่าจะได้ค่าเดียวกันสำหรับลำดับของค่าเชิงซ้อนใดๆ สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ที่เข้าใกล้⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$หากลิมิตมีอยู่⁠ ⁠${\displaystyle f}$จะกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ที่⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$แนวคิดเรื่องการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนนี้มีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับการหาอนุพันธ์จริง : เป็นเชิงเส้นและเป็นไปตามกฎผลคูณกฎผลหารและกฎลูกโซ่^{[ 4 ]}

ฟังก์ชันเป็น โฮ โลมอร์ฟิกบนเซตเปิด ถ้าเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดของเซตนั้นฟังก์ชันเป็นโฮโลมอร์ฟิกที่${\displaystyle U}$จุดถ้าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณใกล้เคียงของเซตนั้น[ ^{5 ] ฟังก์ชัน} เป็น โฮโลม อ ร์ฟิก บน เซตที่ไม่ใช่เซตเปิดถ้าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ทุกจุดของเซตนั้น${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ฟังก์ชันอาจหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ที่จุดหนึ่ง แต่ไม่สามารถเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้ที่จุดนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle f(z)=\vert z\vert {\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ที่⁠ ⁠${\displaystyle 0}$แต่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนไม่ได้ที่จุดอื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จุดใดๆ ที่อยู่ใกล้⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ (ดูสมการโคชี-รีมันน์ด้านล่าง) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่ใช่ ฟังก์ชันโฮโลมอ ร์ ฟิกที่⁠ ⁠${\displaystyle 0}$

ความสัมพันธ์ ระหว่าง ความสามารถในการหาอนุพันธ์ จริงและความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนเป็นดังนี้: ถ้าฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$โฮโลมอร์ฟิก แล้วและจะมี${\displaystyle u}$อนุพันธ์ย่อยอันดับแรกเทียบกับและและเป็นไปตาม สมการโค ชี-รีมันน์ : ^{[ 6 ]}${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{และ}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

หรือเทียบเท่ากับอนุพันธ์ Wirtingerของ⁠ ⁠${\displaystyle f}$เทียบกับ⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$ซึ่งเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อนของ⁠ ⁠${\displaystyle z}$มีค่าเป็นศูนย์: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\บางส่วน f}{\บางส่วน {\bar {z}}}}=0,}$

กล่าวคือ โดยประมาณแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle f}$เป็นอิสระจาก⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$ ในเชิงการทำงาน ซึ่ง เป็น คอนจูเกตเชิงซ้อนของ⁠ ⁠${\displaystyle z}$

ถ้าไม่มีเงื่อนไขความต่อเนื่อง บทกลับก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป บทกลับง่ายๆ คือ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle u}$และ⁠ ⁠${\displaystyle v}$มี อนุพันธ์ย่อยอันดับแรก ที่ต่อเนื่องและสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle f}$จะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก บทกลับที่น่าพอใจกว่า ซึ่งพิสูจน์ได้ยากกว่ามาก คือทฤษฎีบทของลูแมน-เมนชอฟฟ์ : ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle f}$ต่อเนื่อง⁠ ⁠${\displaystyle u}$และ⁠ ⁠${\displaystyle v}$มีอนุพันธ์ย่อยอันดับแรก (แต่ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง) และสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle f}$จะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก^{[ 8 ]}

ผลที่ตามมาที่มีประโยชน์ทันทีจากสมการ Cauchy–Riemann ข้างต้นคืออนุพันธ์เชิงซ้อนสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนในรูปของอนุพันธ์ย่อยจริง ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle f(z)}$เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้รอบจุด⁠ ⁠${\displaystyle z=x+iy}$แล้ว (ดังที่เราได้ทำไปก่อนหน้านี้ในบทความ) เราสามารถเขียน⁠ ⁠${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$และจากนั้นอนุพันธ์เชิงซ้อนของฟังก์ชันสามารถเขียนได้เป็น⁠ ⁠ ${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$^{[ 9 ]}

คำว่าholomorphicถูกนำมาใช้ในปี พ.ศ. 2418 โดยCharles BriotและJean-Claude Bouquetซึ่ง เป็นลูกศิษย์ของ Augustin-Louis Cauchyและมาจากภาษากรีกὅλος ( hólos ) ซึ่งหมายถึง "ทั้งหมด" และμορφή ( morphḗ ) ซึ่งหมายถึง "รูปแบบ" หรือ "ลักษณะ" หรือ "ประเภท" ตรงกันข้ามกับคำว่าmeromorphicซึ่งมาจากμέρος ( méros ) ซึ่งหมายถึง "ส่วน" ฟังก์ชัน holomorphic มีลักษณะคล้ายกับฟังก์ชันทั้งหมด ("ทั้งหมด") ในโดเมนของระนาบเชิงซ้อน ในขณะที่ฟังก์ชัน meromorphic (ซึ่งกำหนดให้หมายถึง holomorphic ยกเว้นที่ขั้วที่ แยกออกบางส่วน) มีลักษณะคล้ายกับเศษส่วนตรรกยะ ("ส่วน") ของ ^{ฟังก์ชัน}ทั้งหมดในโดเมนของระนาบเชิงซ้อน^{[ 10 ]} Cauchy ได้ใช้คำว่าsynectic แทน [ ^{11 ]}

ในปัจจุบัน บางครั้งนิยมใช้คำว่า "ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก" มากกว่า "ฟังก์ชันวิเคราะห์" ผลลัพธ์ที่สำคัญในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนคือ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ไม่ได้ปรากฏชัดเจนจากนิยาม อย่างไรก็ตาม คำว่า "วิเคราะห์" ก็ยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนเป็นเชิงเส้นและเป็นไปตามกฎผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่ ผลรวม ผลคูณ และการประกอบของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจึงเป็นโฮโลมอร์ฟิก และผลหารของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสองฟังก์ชันจะเป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์^{[ 12 ]}นั่นคือ ถ้าฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f}$และ⁠ ⁠${\displaystyle g}$เป็นโฮโลมอร์ฟิกในโดเมน⁠ ⁠${\displaystyle U}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle fg}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle fg}$และ⁠ ⁠${\displaystyle f\circ g}$ ก็เป็นโฮโลมอร์ฟิก เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น⁠ ⁠${\displaystyle f/g}$เป็นโฮโลมอร์ฟิกถ้า⁠ ⁠${\displaystyle g}$ไม่มีศูนย์ใน⁠ ⁠${\displaystyle U}$มิฉะนั้นจะเป็นเมโรมอร์ฟิก

หากระบุ⁠ ⁠ กับ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ระนาบ จริง⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$แล้วฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจะตรงกับฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัวที่มีอนุพันธ์อันดับแรกต่อเนื่องซึ่งแก้สมการโคชี-รีมันน์ซึ่งเป็นชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสองสมการ^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันสามารถแยกออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการได้และ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$แต่ละส่วนเหล่านี้เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกบน${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ( แต่ละฟังก์ชันสอดคล้อง กับ สมการลาปลาส) ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$โดยมีเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle v}$ฮา ร์ มอนิกสังยุคของ [ ^{13 ] ใน} ทางกลับกัน ฟังก์ชันฮาร์มอนิกทุกฟังก์ชันบนโดเมนที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเป็นส่วนจริงของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก: ถ้าเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกสังยุคของซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงค่าคงที่ แล้ว ก็เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$

ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Cauchyบ่งชี้ว่าอินทิกรัลตามเส้นโค้งของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันตามลูปเป็นศูนย์: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

โดย${\displaystyle \gamma }$ที่เป็นเส้นทางที่หาความยาวได้ในโดเมนเชิงซ้อนที่ เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ซึ่ง${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$จุดเริ่มต้นเท่ากับจุดสิ้นสุด และเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$โฮโลมอร์ฟิก

สูตรอินทิกรัลของ Cauchyระบุว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันภายในดิสก์จะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของมันบนขอบของดิสก์^{[ 14 ]}ยิ่งไปกว่านั้น: สมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$เป็นโดเมนเชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก และดิสก์ปิด⁠ ⁠${\displaystyle D\equiv \{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}}$บรรจุ อยู่ ใน⁠ ⁠ อย่างสมบูรณ์ให้⁠ ⁠ เป็นวงกลมที่สร้างขอบของ⁠ ⁠แล้วสำหรับทุก⁠ ⁠ในภายในของ⁠ ⁠ : ${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,\mathrm {d} z}$

โดยที่ปริพันธ์ตามเส้นโค้งจะถูกคำนวณทวนเข็มนาฬิกา

อนุพันธ์สามารถเขียนเป็นอินทิกรัลเส้นโค้ง[ 14 ${\displaystyle {f'}(a)}$^{]โดยใช้}สูตรการหาอนุพันธ์ของ Cauchy :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(za)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

สำหรับลูปแบบง่ายใดๆ ที่พันรอบหนึ่งรอบในเชิงบวก⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

สำหรับลูปบวกขนาดเล็กมาก⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$รอบ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ .

ในบริเวณที่อนุพันธ์อันดับแรกไม่เป็นศูนย์ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจะเป็นแบบคอนฟอร์มัล กล่าวคือ ฟังก์ชันเหล่านี้จะรักษามุมและรูปร่าง (แต่ไม่ใช่ขนาด) ของรูปทรงขนาดเล็ก^{[ 15 ]}

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์กล่าวคือ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกมี${\displaystyle f}$อนุพันธ์ทุกอันดับ ณ ทุกจุดในโดเมน${\displaystyle a}$ของมัน และอนุพันธ์ของมันจะตรงกับอนุกรมเทย์เลอร์ ของตัวเอง ณจุดนั้น${\displaystyle a}$ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น${\displaystyle a}$ที่จริงแล้ว อนุพันธ์ ของมัน${\displaystyle f}$จะตรงกับอนุกรมเทย์เลอร์ของมัน ณจุดนั้น${\displaystyle a}$ในวงกลมใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้นและอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน

จากมุมมองทางพีชคณิต เซตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิดเป็นวงแหวนสลับที่และปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนนอกจากนี้ เซตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในเซตเปิดเป็นโดเมนอินทิกรัลก็ต่อ${\displaystyle U}$เมื่อเซตเปิดนั้นเชื่อมต่อกัน^{[ 7 ]}ในความเป็นจริง มันเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ โดยที่เซมินอร์มเป็นค่าสูงสุดบนเซตย่อยกระชับ ${\displaystyle U}$

จากมุมมองทางเรขาคณิต ฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f}$จะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ภายนอก⁠ ⁠ ของ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ ฟังก์ชันนั้น ในบริเวณใกล้เคียง⁠ ⁠${\displaystyle U}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$เท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f'}$ซึ่งเป็นผลมาจาก

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle \mathrm {d} f'}$โฮโลม อ ร์ฟิก${\displaystyle \mathrm {d} z}$และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง ในทำนองเดียวกันหมายความว่าฟังก์ชันใดๆที่ เป็น ฟังก์ชัน โฮ โลม อ ร์ฟิกบนบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายก็สามารถหาปริพันธ์ได้บนเช่น กัน${\displaystyle \mathrm {d} f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

สำหรับ เส้นทางจากไปยังซึ่งอยู่ภายในทั้งหมดให้กำหนด​​${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U}$

⁠ ⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z.}$

จากทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนและทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไป⁠ ⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$จะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นทางเฉพาะ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$และดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle F(z)}$จึง เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดีบน⁠ ⁠${\displaystyle U}$ซึ่งมี⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$หรือเทียบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle f=\mathrm {d} F/\mathrm {d} z}$

ฟังก์ชัน พหุนามทั้งหมดใน⁠ ⁠${\displaystyle z}$ ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเอนไทร์ (โฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) เช่นเดียวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง⁠ ⁠${\displaystyle \exp z}$และฟังก์ชันตรีโกณมิติ⁠ ⁠${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (ดูสูตรของออยเลอร์ ) สาขาหลักของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle \log z}$เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนโดเมน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$ฟังก์ชันรากที่สองสามารถนิยามได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ และดังนั้นจึงเป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ที่ มีลอการิทึม⁠ ⁠ ${\displaystyle \log z}$ฟังก์ชันส่วนกลับ⁠ ⁠ เป็น${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$โฮโลมอร์ฟิกบน⁠ ⁠ (ฟังก์ชันส่วนกลับ และ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$ฟังก์ชันตรรกยะอื่นๆเป็นเมโรเมอร์ฟิกบน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ )

ผลจากสมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันโฮ โลมอร์ฟิก ที่ มีค่า เป็นจำนวนจริงใดๆ จะต้องมีค่าคงที่ดังนั้นค่าสัมบูรณ์อาร์กิวเมนต์${\displaystyle \vert z\vert }$ส่วนจริงและส่วนจินตนาการจึงไม่ใช่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ตัวอย่างทั่วไปอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือ คอนจู เกตเชิงซ้อน (คอนจูเกตเชิงซ้อนเป็นแอนติโฮโลมอร์ฟิก ) ${\displaystyle \arg z}$${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$${\displaystyle {\bar {z}}}$

นิยามของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถขยายไปสู่ตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวได้อย่างตรงไปตรงมาฟังก์ชันใน${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ตัวแปรเชิงซ้อนเป็น${\displaystyle n}$ฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดหนึ่งหาก${\displaystyle p}$มีบริเวณใกล้เคียงของซึ่ง${\displaystyle p}$เท่ากับอนุกรมกำลังลู่เข้าในตัวแปรเชิงซ้อน [ 16 ] ^{ฟังก์ชัน}เป็น^โฮ โลมอร์ฟิกในเซตย่อยเปิดของหากเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ที่แต่ละ^จุดในทฤษฎีบทของ Osgood แสดงให้เห็น (โดยใช้สูตรปริพันธ์ Cauchyหลายตัวแปร) ว่า สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นเทียบเท่ากับการเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในแต่ละตัวแปรแยกกัน (หมายความว่า ถ้าพิกัดใดๆถูกกำหนดไว้การจำกัดของจะ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอ ร์ฟิกของพิกัดที่เหลือ) ทฤษฎีบทของ Hartogs ที่ลึกซึ้งกว่ามากพิสูจน์ว่าข้อสมมติเรื่องความต่อเนื่อง นั้นไม่จำเป็น: เป็นฟังก์ชันโฮโลมอ ร์ฟิกก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในแต่ละตัวแปรแยกกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนเซตย่อยกระชับทุกเซตของโดเมนนั้น จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ในแง่ของการแจกแจง

ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวนั้นมีความซับซ้อนกว่าฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนตัวเดียวในแง่มุมพื้นฐานบางประการ ตัวอย่างเช่น บริเวณการลู่เข้าของอนุกรมกำลังไม่จำเป็นต้องเป็นทรงกลมเปิดเสมอไป บริเวณเหล่านี้คือโดเมนไรน์ฮาร์ดต์ แบบนูนเชิงลอการิทึม ซึ่งตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือโพลิดิสก์อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้ก็มีข้อจำกัดพื้นฐานบางประการเช่นกัน ต่างจากฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนตัวเดียว โดเมนที่เป็นไปได้ซึ่งมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่สามารถขยายไปยังโดเมนที่ใหญ่กว่าได้นั้นมีจำกัดมาก เซตดังกล่าวเรียกว่าโดเมนของโฮโลมอร์ฟี

รูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle (p,0)}$ -form ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$จะเป็นโฮโลมอร์ฟิกก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ดอลโบต์แอนติโฮโลมอร์ฟิก ของมัน เป็นศูนย์: ⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ .

แนวคิดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถขยายไปสู่ปริภูมิอนันต์มิติของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของFréchetหรือGateauxสามารถใช้เพื่อกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนปริภูมิ Banachเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนได้

• เบลคีย์, โจเซฟ (1958). คณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย (ฉบับที่ 2). ลอนดอน, สหราชอาณาจักร: แบล็กกี้ แอนด์ ซันส์. OCLC  2370110 .

• "ฟังก์ชันวิเคราะห์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]