ความยาวส่วนโค้งคือระยะห่างระหว่างสองจุดตามแนวเส้นโค้งสามารถกำหนดเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ได้สำหรับเส้นโค้งเรียบโดยใช้แคลคูลัสเวกเตอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์หรือสำหรับเส้นโค้งที่ไม่จำเป็นต้องเรียบโดยกำหนดเป็นลิมิตของความยาวของโซ่รูปหลายเหลี่ยมเส้นโค้งที่มีลิมิตนี้เรียกว่าเส้นโค้งที่สามารถหาความยาวส่วนโค้งได้และกระบวนการกำหนดความยาวส่วนโค้งด้วยวิธีนี้เรียกว่า การ หาความ ยาว ส่วนโค้ง

ในการกำหนดความยาวส่วนโค้งขั้นพื้นฐานที่สุดสำหรับเส้นโค้งพาราเมตริก (ซึ่งคิดว่าเป็นวิถีของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบที่มีตำแหน่งณ เวลา t ) ความยาวส่วนโค้งได้มาจากการอินทิ เกรต ความเร็ว (ขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว) เหนือเส้นโค้งเทียบกับเวลา ดังนั้นความยาวของเส้นโค้งที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในระนาบยุคลิดซึ่งมีพารามิเตอร์เป็นสำหรับ จะได้รับเป็นอินทิกรัล^{[ 1 ]} ในที่นี้ตัวอินทิกรัล (รากที่สองภายในอินทิกรัล) คือความเร็วของอนุภาค อินทิกรัลที่กำหนดความยาวส่วนโค้งนี้ไม่ได้มีสูตรสำเร็จรูป เสมอไป และ อาจใช้ การอินทิเกรตเชิงตัวเลขแทนเพื่อให้ได้ค่าความยาวส่วนโค้งเชิงตัวเลข ${\displaystyle (x(t),y(t))}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (x(t),y(t))}$${\displaystyle a\leq t\leq b}$$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt.}$$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับเส้นโค้งที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบ ให้เป็น ฟังก์ชัน ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (กล่าวคือ อนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) ความยาวของเส้นโค้งกำหนดโดยสูตร โดยที่คือค่ามาตรฐานแบบยุคลิดของเวกเตอร์สัมผัสกับเส้นโค้ง ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle L(f)=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt}$$${\displaystyle |f'(t)|}$${\displaystyle f'(t)}$

เส้นโค้งสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้นับไม่ถ้วน ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งจะเท่ากันเสมอ ไม่ว่าวิธีการกำหนดพารามิเตอร์ที่ใช้จะเป็นอย่างไรก็ตาม

เส้นโค้งในระนาบสามารถประมาณได้โดยการเชื่อมต่อจุดจำนวนจำกัดบนเส้นโค้งตามลำดับ โดยใช้ส่วนของเส้น ตรง เพื่อสร้างโซ่รูปหลายเหลี่ยมเราสามารถคำนวณความยาวของแต่ละส่วนของเส้นตรงโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและรวมความยาวเหล่านี้เพื่อหาความยาวทั้งหมดของโซ่การประมาณค่าดังกล่าวเรียกว่าระยะทางคอร์ด (สะสม) ^{[ 2 ]}

ถ้าเพิ่มจุดเพิ่มเติมตามแนวเส้นโค้ง ระยะทางตามคอร์ดจะไม่ลดลง มันอาจเพิ่มขึ้นจนถึงขอบเขตจำกัดในที่สุด เมื่อความยาวของส่วนที่ยาวที่สุดในโซ่ลดลงจนเป็นศูนย์ หรือมันอาจเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต ในกรณีที่ความยาวของโซ่รูปหลายเหลี่ยมที่ปรับปรุงแล้วเพิ่มขึ้นจนถึงขอบเขตจำกัด ขอบเขตนี้คือความยาวของเส้นโค้ง สำหรับเส้นโค้งเรียบที่มีความยาวจำกัด ความยาวที่จำกัดนี้จะเท่ากับความยาวที่ได้จากการอินทิเกรตเสมอ แต่คำจำกัดความของความยาวตามขอบเขตนี้ยังใช้ได้กับเส้นโค้งที่ไม่เรียบบางประเภทด้วย เส้นโค้งที่มีคุณสมบัติว่าส่วนโค้งทุกส่วนระหว่างสองจุดของเส้นโค้งมีความยาวจำกัด เมื่อวัดด้วยวิธีนี้ เรียกว่าเส้นโค้งที่สามารถหาความยาวได้แม้ว่าเส้นโค้งทั้งหมดจะมีความยาวอนันต์ก็ตาม

ความยาวส่วนโค้งที่มีเครื่องหมายสามารถกำหนดเพื่อสื่อถึงทิศทางหรือ "การวางแนว" ที่เกี่ยวข้องกับจุดอ้างอิงที่ถือเป็นจุดกำเนิดในเส้นโค้ง (ดูเพิ่มเติม: การวางแนวเส้นโค้งและระยะทางที่มีเครื่องหมาย ) ^{[ 3 ]}

ถ้าเส้นโค้งระนาบในถูกกำหนดโดยสมการโดยที่เป็น ฟังก์ชันที่ หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง เส้นโค้ง นั้นก็จะเป็นเพียงกรณีพิเศษของสมการพาราเมตริก โดยที่และ ระยะทางแบบยุคลิดของแต่ละส่วนโค้งเล็กๆ สามารถกำหนดได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=t}$${\displaystyle y=f(t).}$$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

ความยาวส่วนโค้งจะกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

เส้นโค้งที่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับหาความยาวส่วนโค้ง ได้แก่เส้นโค้งแคทเทนารีวงกลม เส้นโค้ง ไซคลอยด์ เส้นโค้งเกลียวลอการิทึมเส้นโค้งพาราโบลาเส้นโค้งพาราโบลาครึ่งลูกบาศก์และเส้นตรง การที่ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับหาความยาวส่วนโค้งของ เส้น โค้งวงรีและ เส้นโค้ง ไฮเปอร์โบลาทำให้เกิดการพัฒนาอิน ทิกรัลเชิงวงรีขึ้นมา

ในกรณีส่วนใหญ่ รวมถึงเส้นโค้งอย่างง่าย ก็ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับหาความยาวส่วนโค้ง และ จำเป็นต้องใช้ การอินทิเกรตเชิงตัวเลขเนื่องจากการหาอนุพันธ์ในสูตรความยาวส่วนโค้ง อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตจึงสูญเสียความแม่นยำไปหนึ่งอันดับ เมื่อเทียบกับส่วนโค้งเอง ส่งผลให้ความแม่นยำลดลง แต่สำหรับฟังก์ชันที่เรียบมาก การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของความยาวส่วนโค้งมักจะมีประสิทธิภาพมาก ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาการหาความยาวของหนึ่งในสี่ของวงกลมหน่วยโดยการอินทิเกรตความยาวส่วนโค้งเชิงตัวเลข ครึ่งบนของวงกลมหน่วยสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้เป็น ช่วงสอดคล้องกับหนึ่งในสี่ของวงกลม เนื่องจากและความยาวของหนึ่งในสี่ของวงกลมหน่วยคือ ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$${\displaystyle x\in \left[-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$${\textstyle 1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}},}$

$${\displaystyle \int _{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

เนื่องจากฟังก์ชันที่ต้องการหาปริพันธ์มีความเรียบอย่างไม่มีที่สิ้นสุดตลอดช่วงโดเมนที่สนใจและมีอนุกรมเทย์เลอร์ที่ลู่เข้า ดังนั้นการประมาณค่าตามกฎ เกาส์-โครนรอด 15 จุดสำหรับปริพันธ์นี้คือ1.570 796 326 808 177แตกต่างจากความยาวที่แท้จริงของ

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$$

โดย1.3 × 10 ⁻¹¹ และการประมาณค่าตามกฎ การหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน 16 จุดของ1.570 796 326 794 727แตกต่างจากความยาวจริงเพียง1.7 × 10 ⁻¹³หมายความว่าสามารถคำนวณอินทิกรัลนี้ได้ด้วยความแม่นยำเกือบระดับเครื่องจักรโดยใช้การประเมินค่าอินทิกรัลเพียง 16 ครั้งเท่านั้น

ให้เป็นฟังก์ชันการแมปพื้นผิว และให้เป็นเส้นโค้งบนพื้นผิวนี้ ตัวถูกอินทิเกรตของอินทิกรัลความยาวส่วนโค้งคือ การหาอนุพันธ์ต้องใช้กฎลูกโซ่สำหรับฟิลด์เวกเตอร์: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

ค่ากำลังสองของนอร์มของเวกเตอร์นี้คือ

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(โดยที่คือ สัมประสิทธิ์ รูปแบบพื้นฐานแรก ) ดังนั้น ตัวอินทิกรัลของความยาวส่วนโค้งสามารถเขียนได้เป็น(โดยที่และ) ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$${\displaystyle u^{1}=u}$${\displaystyle u^{2}=v}$

ให้เป็นเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดเชิงขั้ว การแปลงจากพิกัดเชิงขั้วไปเป็นพิกัดฉากคือ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

ตัวถูกอินทิกรัลของอินทิกรัลความยาวส่วนโค้งคือ กฎลูกโซ่สำหรับฟิลด์เวกเตอร์แสดงให้เห็นว่า ดังนั้น ตัวถูกอินทิกรัลกำลังสองของอินทิกรัลความยาวส่วนโค้งคือ ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

ดังนั้นสำหรับเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดเชิงขั้ว ความยาวส่วนโค้งคือ: $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

นิพจน์ที่สองใช้สำหรับกราฟเชิงขั้ว ที่ กำหนด พารามิเตอร์โดย${\displaystyle r=r(\theta )}$${\displaystyle t=\theta }$

สมมติให้เป็นเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดทรงกลม โดยที่คือมุมเชิงขั้วที่วัดจากแกน x บวก และคือมุมอะซิมุทัล การแปลงจากพิกัดทรงกลมไปเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมคือ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

การใช้กฎลูกโซ่อีกครั้งแสดงให้เห็นว่าผลคูณดอท ทั้งหมดที่และแตกต่างกันจะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นค่ากำลังสองของนอร์มของเวกเตอร์นี้คือ ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

ดังนั้นสำหรับเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดทรงกลม ความยาวส่วนโค้งคือ $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

การคำนวณที่คล้ายกันมากแสดงให้เห็นว่าความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งที่แสดงในพิกัดทรงกระบอกคือ $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

ความยาวส่วนโค้งจะ ใช้ สัญลักษณ์s แทน เนื่องจากคำภาษาละตินที่แปลว่าความยาว (หรือขนาด) คือspatium

ในบรรทัดต่อไปนี้แทนรัศมีของวงกลมคือเส้นผ่านศูนย์กลางคือเส้นรอบวงคือความยาวของส่วนโค้งของวงกลม และคือมุมที่ส่วนโค้งนั้นทำกับจุดศูนย์กลางของวงกลม ระยะทางและแสดงในหน่วยเดียวกัน ${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r,d,C,}$${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$ซึ่งเหมือนกับ สมการนี้ ซึ่งเป็นนิยามของ${\displaystyle C=\pi d.}$${\displaystyle \pi .}$
• ถ้าส่วนโค้งนั้นเป็นครึ่งวงกลมแล้ว${\displaystyle s=\pi r.}$
• สำหรับส่วนโค้งวงกลมใดๆ:
  • ถ้ามีหน่วยเป็นเรเดียนนี่คือคำจำกัดความของหน่วยเรเดียน${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s=r\theta .}$
  • ถ้ามีหน่วยเป็นองศาแล้วซึ่งก็เหมือนกับ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • ถ้ามีหน่วยเป็นเกรด (100 เกรด หรือ เกรด หรือ เกรเดียน เท่ากับ 1 มุมฉาก ) แล้วซึ่งก็เหมือนกับ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • ถ้าเป็นการหมุน (หนึ่งรอบคือการหมุนครบหนึ่งรอบ หรือ 360° หรือ 400 grad หรือเรเดียน) แล้ว.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$

เดิมทีมีการกำหนดหน่วยวัด ความยาวสองหน่วย คือไมล์ทะเลและเมตร (หรือกิโลเมตร) เพื่อให้ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่บนพื้นผิวโลกมีความสัมพันธ์เชิงตัวเลขกับมุมที่ส่วนโค้งเหล่านั้นทำกับจุดศูนย์กลางของโลก สมการอย่างง่ายนี้ใช้ได้ในสถานการณ์ต่อไปนี้: ${\displaystyle s=\theta }$

• ถ้าเป็นหน่วยไมล์ทะเล และเป็น หน่วย นาทีเชิงมุม ( 1/60 องศา )หรือ${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$
• ถ้าเป็นกิโลเมตร และเป็นหน่วยเกรเดียน${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$

ความยาวของหน่วยวัดระยะทางถูกเลือกเพื่อให้เส้นรอบวงของโลกเท่ากัน40,000 กิโลเมตรหรือ21,600 ไมล์ทะเล ตัวเลขเหล่านี้คือค่าหน่วยมุมที่สอดคล้องกับการหมุนครบหนึ่งรอบ

คำจำกัดความของเมตรและไมล์ทะเลเหล่านั้นถูกแทนที่ด้วยคำจำกัดความที่แม่นยำกว่า แต่คำจำกัดความดั้งเดิมยังคงมีความแม่นยำเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์เชิงแนวคิดและการคำนวณบางอย่าง ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความเหล่านั้นบ่งชี้ว่าหนึ่งกิโลเมตรเท่ากับ 0.54 ไมล์ทะเลพอดี เมื่อใช้คำจำกัดความสมัยใหม่ที่เป็นทางการ หนึ่งไมล์ทะเลเท่ากับ 1.852 กิโลเมตรพอดี^{[ 4 ]}ซึ่งหมายความว่า 1 กิโลเมตรเท่ากับประมาณ0.539 956 80ไมล์ทะเล^{[ 5 ]}อัตราส่วนสมัยใหม่นี้แตกต่างจากอัตราส่วนที่คำนวณจากคำจำกัดความดั้งเดิมน้อยกว่าหนึ่งส่วนใน 10,000

• เกลียวอาร์คิมีเดียน § ความยาวส่วนโค้ง
• ไซคลอยด์ § ความยาวส่วนโค้ง
• วงรี § ความยาวส่วนโค้ง
• เกลียว § ความยาวส่วนโค้ง
• พาราโบลา § ความยาวส่วนโค้ง
• ไซน์และโคไซน์ § ความยาวส่วนโค้ง
• คลื่นสามเหลี่ยม § ความยาวส่วนโค้ง

ตลอดช่วงเวลาส่วนใหญ่ของประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์แม้แต่นักคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดก็ยังคิดว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณความยาวของส่วนโค้งที่ไม่สม่ำเสมอ แม้ว่าอาร์คิมิดีสจะเป็นผู้บุกเบิกวิธีการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วย " วิธีการหาพื้นที่โดยประมาณ " ของเขา แต่ก็มีน้อยคนนักที่เชื่อว่าเส้นโค้งจะมีขนาดความยาวที่แน่นอนได้เช่นเดียวกับเส้นตรง ความก้าวหน้าครั้งแรกในสาขานี้ เช่นเดียวกับใน แคลคูลัสเกิดขึ้นจาก การ ประมาณค่าผู้คนเริ่มวาดรูปหลายเหลี่ยมภายในเส้นโค้งและคำนวณความยาวของด้านเพื่อวัดความยาวได้อย่างแม่นยำมากขึ้น โดยการใช้ส่วนย่อยมากขึ้น และลดความยาวของแต่ละส่วนย่อย พวกเขาสามารถได้ค่าประมาณที่แม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวาดรูปหลายเหลี่ยมที่มีหลายด้านลงในวงกลม ทำให้พวกเขาสามารถหาค่าประมาณของπได้^{[ 6 ] [ 7 ]}

ในศตวรรษที่ 17 วิธีการหาค่าโดยประมาณได้นำไปสู่การแก้ไขเส้นโค้งอดิศัย หลายเส้นด้วยวิธีการทางเรขาคณิต ได้แก่เส้นโค้งเกลียวลอการิทึมโดยEvangelista Torricelliในปี 1645 (บางแหล่งข้อมูลกล่าวว่าJohn Wallisในช่วงทศวรรษ 1650) เส้นโค้งไซคลอยด์โดยChristopher Wrenในปี 1658 และเส้นโค้งแคทเทนารีโดยGottfried Leibnizในปี 1691

ในปี พ.ศ. 2392 วอลลิสได้ยกย่องการค้นพบการแก้ไขเส้นโค้งพีชคณิต ที่ไม่ธรรมดาครั้งแรกของวิลเลียม นีล ซึ่งก็คือ พาราโบลาเซมิคิวบิก^{[ 8 ]}รูปภาพประกอบปรากฏอยู่ในหน้า 145 ในหน้า 91 มีการกล่าวถึงวิลเลียม นีล ในชื่อกูลีเอลมุส เนลิอุส

ก่อนที่แคลคูลัสจะได้รับการพัฒนาอย่างเป็นทางการอย่างเต็มรูปแบบ พื้นฐานของรูปแบบปริพันธ์สมัยใหม่สำหรับความยาวส่วนโค้งนั้นถูกค้นพบโดยอิสระโดยเฮนดริก ฟาน เฮอเรต์และปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์

ในปี ค.ศ. 1659 แวน เฮอเรต ได้ตีพิมพ์ผลงานการสร้างที่แสดงให้เห็นว่าปัญหาของการหาความยาวส่วนโค้งสามารถแปลงเป็นปัญหาของการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง (เช่น อินทิกรัล) ได้ ตัวอย่างของวิธีการของเขาคือ เขาได้หาความยาวส่วนโค้งของพาราโบลาแบบกึ่งลูกบาศก์ ซึ่งจำเป็นต้องหาพื้นที่ใต้พาราโบลา^{[ 9 ]} ในปี ค.ศ. 1660 แฟร์มาต์ ได้ ตีพิมพ์ทฤษฎีทั่วไปที่มีผลลัพธ์เดียวกันในDe linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (วิทยานิพนธ์ทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเส้นโค้งเมื่อเปรียบเทียบกับเส้นตรง) ^{[ 10 ]}

ต่อยอดจากงานวิจัยก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเส้นสัมผัส แฟร์มาต์ได้ใช้เส้นโค้ง

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

ซึ่งเส้นสัมผัสที่ จุด x = aมีความชันเท่ากับ

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

ดังนั้นเส้นสัมผัสจะมีสมการดังนี้

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

ต่อมา เขาเพิ่มค่า a ขึ้น เล็กน้อยเป็นa + εทำให้ส่วนของเส้นตรงACเป็นค่าประมาณที่ดีพอสมควรสำหรับความยาวของเส้นโค้งจากAถึงDในการหาความยาวของส่วนของเส้นตรงACเขาใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

ซึ่งเมื่อแก้เสร็จแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

เพื่อให้ได้ความยาวโดยประมาณ แฟร์มาต์จะนำส่วนย่อยสั้นๆ มาบวกกันเป็นลำดับ

ดังที่กล่าวมาข้างต้น เส้นโค้งบางเส้นไม่สามารถหาความยาวที่แน่นอนได้ นั่นคือ ไม่มีขีดจำกัดบนสำหรับความยาวของการประมาณค่าด้วยรูปหลายเหลี่ยม ความยาวสามารถมีค่ามากได้ตามอำเภอใจโดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งดังกล่าวจะเรียกว่ามีความยาวอนันต์ มีเส้นโค้งต่อเนื่องที่ส่วนโค้งทุกส่วน (ยกเว้นส่วนโค้งที่มีจุดเดียว) มีความยาวอนันต์ ตัวอย่างของเส้นโค้งดังกล่าวคือเส้นโค้ง Kochอีกตัวอย่างหนึ่งของเส้นโค้งที่มีความยาวอนันต์คือ กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดโดยf ( x ) =  x  sin(1/ x ) สำหรับเซตเปิดใดๆ ที่มี 0 เป็นตัวคั่นตัวหนึ่ง และf (0) = 0 บางครั้งมิติ Hausdorffและการวัด Hausdorffถูกใช้เพื่อวัดขนาดของเส้นโค้งดังกล่าว

ให้เป็นแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์เป็น เทนเซอร์เมตริกแบบ (เสมือน) และ เป็นเส้นโค้งใน ที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก ${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}$

และ

${\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }$

ความยาวของถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}$,

หรือเลือกพิกัดท้องถิ่น ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}$,

ที่ไหน

${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$

เวกเตอร์สัมผัสของจุดนั้นคือ เครื่องหมายใน รากที่สองจะถูกเลือกเพียงครั้งเดียวสำหรับเส้นโค้งที่กำหนด เพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองเป็นจำนวนจริง เครื่องหมายบวกจะถูกเลือกสำหรับเส้นโค้งแบบสเปซไลค์ ในแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ เครื่องหมายลบอาจถูกเลือกสำหรับเส้นโค้งแบบไทม์ไลค์ ดังนั้นความยาวของเส้นโค้งจึงเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยปกติแล้วจะไม่พิจารณาเส้นโค้งที่เป็นทั้งสเปซไลค์และไทม์ไลค์บางส่วน ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t.}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งเวลา ( เส้นโลก ) คือเวลาที่ผ่านไปจริงตามเส้นโลก และความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งอวกาศ คือระยะทางที่แท้จริงตามเส้นโค้งนั้น

• ส่วนโค้ง (เรขาคณิต)
• เส้นรอบวง
• สูตรครอฟตัน
• อินทิกรัลเชิงวงรี
• เส้นจีโอเดสิก
• สมการภายใน
• การประมาณค่าอินทิกรัล
• อินทิกรัลเส้น
• ส่วนโค้งเส้นเมริเดียน
• แคลคูลัสหลายตัวแปร
• ความคดเคี้ยว

• Farouki, Rida T. (1999). "เส้นโค้งจากการเคลื่อนไหว การเคลื่อนไหวจากเส้นโค้ง" ใน Laurent, P.-J.; Sablonniere, P.; Schumaker, LL (บรรณาธิการ). การออกแบบเส้นโค้งและพื้นผิว: Saint-Malo 1999.สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแวนเดอร์บิลต์ หน้า  63–90 . ISBN 978-0-8265-1356-4.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับความยาวส่วนโค้ง

• "เส้นโค้งที่หาความยาวได้" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ประวัติศาสตร์ของความโค้ง
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ความยาวส่วนโค้ง" . แมธเวิลด์ .
• ความยาวส่วนโค้งโดยเอ็ด เพ็กก์ จูเนียร์โครงการสาธิตวูลฟรามปี 2007
• คู่มือการเรียนแคลคูลัส – ความยาวส่วนโค้ง (การหาความยาวส่วนโค้ง)
• ดัชนีเส้นโค้งที่มีชื่อเสียงคลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของ MacTutor
• การประมาณความยาวส่วนโค้งโดย Chad Pierson, Josh Fritz และ Angela Sharp จากโครงการสาธิต Wolfram
• การทดลองหาความยาวของเส้นโค้งแสดงวิธีการหาความยาวของเส้นโค้งด้วยวิธีเชิงตัวเลข