ในทางเรขาคณิตไซคลอยด์คือเส้นโค้งที่เกิดจากจุดบนวงกลมกลิ้งไปตามเส้นตรงโดยไม่ลื่นไถล ไซคลอยด์เป็นรูปแบบเฉพาะของโทรคอยด์และเป็นตัวอย่างของรูเล็ตซึ่งเป็นเส้นโค้งที่เกิดจากการกลิ้งของเส้นโค้งหนึ่งบนอีกเส้นโค้งหนึ่ง

เส้นไซคลอยด์ ซึ่งมีปลายแหลมชี้ขึ้นด้านบน เป็นเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อนที่ลงเร็วที่สุดภายใต้แรงโน้มถ่วง สม่ำเสมอ ( เส้นโค้งแบรคิสโตโครน ) นอกจากนี้ยังเป็นรูปแบบของเส้นโค้งที่คาบ การ เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของวัตถุ(กลิ้งขึ้นลงซ้ำๆ) ตามเส้นโค้งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุ ( เส้นโค้งเทาโทโครน ) ในทางฟิสิกส์ เมื่ออนุภาคที่มีประจุซึ่งหยุดนิ่งถูกวางไว้ภายใต้ สนาม ไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก สม่ำเสมอ ที่ตั้งฉากกัน วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคจะวาดเป็นรูปเส้นไซคลอยด์

เส้นไซคลอยด์ถูกเรียกว่า "เฮเลนแห่งนักเรขาคณิต" เพราะเช่นเดียวกับเฮเลนแห่งทรอยมันก่อให้เกิดการโต้เถียงกันบ่อยครั้งในหมู่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ในขณะที่ซาราห์ ฮาร์ทมองว่ามันถูกตั้งชื่อเช่นนั้น "เพราะคุณสมบัติของเส้นโค้งนี้สวยงามมาก" ^{[ 1 ] [ 2 ]}

นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ได้เสนอชื่อผู้ค้นพบไซคลอยด์หลายคน นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์Paul Tanneryคาดการณ์ว่าเส้นโค้งที่เรียบง่ายเช่นนี้น่าจะเป็นที่รู้จักในสมัยโบราณโดยอ้างถึงงานที่คล้ายกันของCarpus แห่ง Antiochที่Iamblichusอธิบายไว้^{[ 3 ]} นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษJohn Wallisเขียนในปี 1679 โดยระบุว่าการค้นพบนี้เป็นผลงานของNicholas of Cusa [ ^{4 ] แต่การศึกษาในภายหลังบ่งชี้ว่า Wallis อาจเข้าใจผิดหรือหลักฐานที่เขา ใช้}สูญหายไปแล้ว^{[ 5 ]} ชื่อของGalileo Galilei ถูกเสนอขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ^{[ 6 ]}และอย่างน้อยผู้เขียนคนหนึ่งรายงานว่ามีการให้เครดิตแก่Marin Mersenne ^{[ 7 ]}เริ่มจากผลงานของ^Moritz Cantor ^{[ 8 ]}และSiegmund Günther [ ^{9 ]}ปัจจุบันนักวิชาการให้ความสำคัญกับนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสCharles de Bovelles ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}โดยอิงจากคำอธิบายเกี่ยวกับไซคลอยด์ในIntroductio in geometriam ของเขา ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1503 ^{[ 13 ]} ในงานนี้ Bovelles เข้าใจผิดว่าส่วนโค้งที่ลากโดยล้อกลิ้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมขนาดใหญ่ที่มีรัศมีใหญ่กว่าล้อขนาดเล็กถึง 125% ^{[ 5 ]}

กาลิเลโอเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่าไซคลอยด์และเป็นคนแรกที่ทำการศึกษาเส้นโค้งนี้อย่างจริงจัง^{[ 5 ]} ตามที่นักเรียนของเขาEvangelista Torricelliกล่าว ไว้ ^{[ 14 ]}ในปี 1599 กาลิเลโอพยายาม หาพื้นที่ใต้เส้น โค้งไซคลอยด์ (การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์) ด้วยวิธีการเชิงประจักษ์ที่ไม่ธรรมดา ซึ่งเกี่ยวข้องกับการลากเส้นวงกลมที่ก่อกำเนิดและเส้นโค้งไซคลอยด์ที่ได้ลงบนแผ่นโลหะ ตัดออกมาแล้วชั่งน้ำหนัก เขาค้นพบว่าอัตราส่วนโดยประมาณคือ 3:1 ซึ่งเป็นค่าที่แท้จริง แต่เขาสรุปผิดพลาดว่าอัตราส่วนเป็นเศษส่วนอตรรกยะ ซึ่งจะทำให้การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์เป็นไปไม่ได้^{[ 7 ]} ประมาณปี 1628 Gilles Persone de Robervalน่าจะเรียนรู้ปัญหาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์จากPère Marin Mersenneและทำการคำนวณหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์ได้สำเร็จในปี 1634 โดยใช้ทฤษฎีบทของ Cavalieri ^{[ 5 ]} อย่างไรก็ตาม งานชิ้นนี้ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2536 (ในTraité des Indivisibles ของเขา ) ^{[ 15 ]}

การสร้างเส้นสัมผัสของไซคลอยด์เริ่มขึ้นในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1638 เมื่อเมอร์เซนได้รับวิธีการเฉพาะจากโรแบร์วาลปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์และเรเน่ เดส์การ์ต เมอร์เซนได้ส่งต่อผลลัพธ์เหล่านี้ให้กับกาลิเลโอ ซึ่งกาลิเลโอได้ส่งต่อให้กับนักเรียนของเขาคือทอร์ริเชลลีและวิเวียนี ซึ่งสามารถสร้างควอดราเจอร์ได้ ผลลัพธ์นี้และผลลัพธ์อื่นๆ ได้รับการตีพิมพ์โดยทอร์ริเชลลีในปี ค.ศ. 1644 ^{[ 14 ]}ซึ่งนับเป็นงานพิมพ์ชิ้นแรกเกี่ยวกับไซคลอยด์ สิ่งนี้ทำให้โรแบร์วาลกล่าวหาทอร์ริเชลลีว่าลอกเลียนแบบ โดยข้อโต้แย้งยุติลงอย่างรวดเร็วเนื่องจากทอร์ริเชลลีเสียชีวิตก่อนวัยอันควรในปี ค.ศ. 1647 ^{[ 15 ]}

ในปี ค.ศ. 1658 บลาส์ ปาสคาล ได้ละทิ้งคณิตศาสตร์เพื่อไปศึกษาศาสนศาสตร์ แต่ในขณะที่ปวดฟัน เขาเริ่มพิจารณาปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับไซคลอยด์ อาการปวดฟันของเขาหายไป และเขาถือว่านี่เป็นสัญญาณจากสวรรค์ให้ดำเนินการวิจัยต่อไป แปดวันต่อมา เขาได้เขียนเรียงความเสร็จ และเพื่อเผยแพร่ผลลัพธ์ เขาจึงเสนอให้มีการแข่งขัน ปาสคาลเสนอคำถามสามข้อที่เกี่ยวข้องกับจุดศูนย์ถ่วงพื้นที่ และปริมาตรของไซคลอยด์ โดยผู้ชนะจะได้รับรางวัล 20 และ 40 เหรียญ ดูบลูนสเปน ปาสคาล โรเบอร์วาล และวุฒิสมาชิกคาร์คาวี เป็นกรรมการตัดสิน และไม่มีผลงานใดจากสองผลงานที่ส่งมา (โดยจอห์น วอลลิสและอองตวน เดอ ลาลูเวร์ ) ถูกตัดสินว่าเพียงพอ^{[ 16 ] : 198} ในขณะที่การแข่งขันกำลังดำเนินอยู่คริสโตเฟอร์ เรนได้ส่งข้อเสนอให้ปาสคาลเพื่อพิสูจน์การแก้ไขไซคลอยด์ โรเบอร์วาลอ้างทันทีว่าเขารู้จักการพิสูจน์นี้มาหลายปีแล้ว วอลลิสตีพิมพ์หลักฐานของเรน (โดยให้เครดิตเรน) ในTractatus Duo ของวอลลิส โดยให้เรนเป็นผู้มีสิทธิ์ก่อนสำหรับการตีพิมพ์หลักฐานครั้งแรก^{[ 15 ]}

สิบห้าปีต่อมาคริสเตียน ฮุยเกนส์ได้นำลูกตุ้มไซคลอยด์มาใช้เพื่อปรับปรุงโครโนมิเตอร์ และค้นพบว่าอนุภาคจะเคลื่อนที่ผ่านส่วนหนึ่งของส่วนโค้งไซคลอยด์คว่ำในเวลาเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงจุดเริ่มต้น ในปี 1686 ก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซใช้เรขาคณิตวิเคราะห์เพื่ออธิบายเส้นโค้งด้วยสมการเดียว ในปี 1696 โยฮันน์ เบอร์นูลลีได้ตั้งปัญหาบราคิสโตโครนซึ่งคำตอบคือไซคลอยด์^{[ 15 ]}

ไซคลอยด์ที่ผ่านจุดกำเนิด ซึ่งสร้างขึ้นโดยวงกลมรัศมีr ที่กลิ้งไปตาม แกน xทางด้านบวก ( y ≥ 0 ) ประกอบด้วยจุด( x , y )โดย ที่t เป็น พารามิเตอร์จริงที่สอดคล้องกับมุมที่วงกลมกลิ้งหมุนไป สำหรับค่าt ที่กำหนด จุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ที่⁽ x , y ) = ( rt , r ) [ ^{17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

สมการคาร์ทีเซียนได้มาจากการแก้สม การ yสำหรับtแล้วแทนค่าลงในสมการx :หรือ การกำจัดค่าโคไซน์ผกผันที่มีหลายค่า:$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

เมื่อพิจารณาy เป็นฟังก์ชันของ xไซคลอยด์จะหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ยกเว้นที่จุดยอดแหลมบน แกน xโดยที่อนุพันธ์มีแนวโน้มเข้าใกล้จุดยอดแหลม (ที่y=0 ) ฟังก์ชันที่แปลงจากtไปยัง( x , y )สามารถหาอนุพันธ์ได้ อันที่จริงจัดอยู่ในคลาสC∞ โดยมีอนุพันธ์เป็น ⁰ที่จุดยอดแหลม ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

ความชันของเส้นสัมผัสกับไซคลอยด์ ณ จุดนั้นกำหนดโดย. ${\displaystyle (x,y)}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

ส่วนของเส้นโค้งไซคลอยด์จากจุดยอดหนึ่งไปยัง จุด ยอดถัดไปเรียกว่าส่วนโค้งของเส้นโค้งไซคลอยด์ ตัวอย่างเช่น จุดที่มีและ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

เมื่อพิจารณาไซคลอยด์เป็นกราฟของฟังก์ชันจะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ : ^{[ 18 ]}${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

ถ้าเรากำหนดให้เป็นผลต่างความสูงจากจุดยอดของไซคลอยด์ (จุดที่มีเส้นสัมผัสแนวนอน และ) แล้วเราจะได้ว่า: ${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$${\displaystyle \cos t=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

ส่วนโค้งอินโวลูตของไซคลอยด์มีรูปร่างเหมือนกับไซคลอยด์ต้นกำเนิดทุกประการ สามารถมองเห็นภาพได้เหมือนกับเส้นทางที่ปลายลวดลากไปตามส่วนโค้งครึ่งหนึ่งของไซคลอยด์ เมื่อคลี่ออกโดยยังคงสัมผัสกับไซคลอยด์เดิม มันจะสร้างไซคลอยด์ใหม่ (ดูเพิ่มเติมที่ลูกตุ้มไซคลอยด์และความยาวส่วนโค้ง )

การสาธิตนี้ใช้คำจำกัดความของไซคลอยด์แบบล้อกลิ้ง รวมถึงเวกเตอร์ความเร็วทันทีของจุดเคลื่อนที่ ซึ่งสัมผัสกับวิถีการเคลื่อนที่ของจุดนั้น ในภาพด้านข้างและเป็นจุดสองจุดที่อยู่บนวงกลมกลิ้งสองวง โดยฐานของวงแรกอยู่เหนือยอดของวงที่สองเล็กน้อย ในตอนเริ่มต้น และตรงกันที่จุดตัดของวงกลมทั้งสอง เมื่อวงกลมกลิ้งในแนวนอนด้วยความเร็วเท่ากันและเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งไซคลอยด์สองเส้น เมื่อพิจารณาเส้นสีแดงที่เชื่อมและณ เวลาที่กำหนด จะพิสูจน์ได้ว่าเส้นนั้นสัมผัสกับส่วนโค้งด้านล่างที่และตั้งฉากกับส่วนโค้งด้านบนที่ เสมอ ให้เป็นจุดร่วมระหว่างวงกลมด้านบนและด้านล่าง ณ เวลาที่กำหนด ดังนั้น: ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน: แท้จริงแล้วความเร็วในการกลิ้งที่เท่ากันทำให้มุมเท่ากันและดังนั้นจุดนั้นอยู่บนเส้นตรงดังนั้นและในทำนองเดียวกันจากความเท่ากันของและจะได้ว่า ด้วยเช่น กัน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• ถ้าเป็นจุดตัดระหว่างเส้นตั้งฉากจากไปยังส่วนของเส้นตรงและเส้นสัมผัสวงกลมที่แล้วสามเหลี่ยมจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังที่เห็นได้ง่ายจากการสร้าง: และเนื่องจากความเท่ากันระหว่างและ ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ดังนั้นและ จึง เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• เมื่อลากเส้น ตรง จากส่วนตั้งฉากไปยังวงกลมด้านบน และเรียกจุดตัดว่า จะเห็นได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นขนาน${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• ทีนี้ลองพิจารณาความเร็วของ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมของสององค์ประกอบ คือ ความเร็วในการกลิ้งและความเร็วในการลอยตัว ซึ่งมีขนาดเท่ากันเนื่องจากวงกลมกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลขนานกับในขณะที่สัมผัสกับวงกลมด้านล่างที่และดังนั้น จึงขนานกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบขึ้นจากองค์ประกอบและจึงคล้ายคลึงกัน (มีมุมเท่ากัน) กับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเนื่องจากมีด้านขนานกัน ดังนั้นความเร็วรวมของจึงขนานกับเนื่องจากทั้งสองเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองรูปที่มีด้านขนานกันและมี ร่วมกับจุดสัมผัสดังนั้นเวกเตอร์ความเร็วจึงอยู่บนส่วนต่อขยายของเนื่องจากสัมผัสกับไซคลอยด์ที่จึงสรุปได้ว่า ก็ตรงกับเส้นสัมผัสกับไซคลอยด์ด้านล่างที่ด้วย${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle P_{1}A}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}A}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}P_{1}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$
• ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าตั้งฉากกับ(เส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$
• สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า ปลายลวดที่ยืดอยู่บนส่วนโค้งครึ่งหนึ่งของไซคลอยด์ด้านล่างและยึดติดกับวงกลมด้านบน ณ จุดหนึ่งจะเคลื่อนที่ตามจุดนั้นไปตามเส้นทางโดยไม่เปลี่ยนแปลงความยาวเนื่องจากความเร็วของปลายลวดในแต่ละขณะตั้งฉากกับลวด (ไม่มีการยืดหรือหดตัว) ในขณะเดียวกัน ลวดจะสัมผัสกับส่วนโค้งด้านล่าง ณ จุดนั้น เนื่องจากแรงดึงและข้อเท็จจริงที่แสดงไว้ข้างต้น (หากไม่สัมผัส จะเกิดความไม่ต่อเนื่อง ณ จุดนั้นและส่งผลให้แรงดึงไม่สมดุล)${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$

โดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ข้างต้นและพื้นที่ใต้ส่วนโค้งหนึ่งส่วนจะได้รับดังนี้: ^{[ 19 ]} ซึ่งเป็นสามเท่าของพื้นที่วงกลมกลิ้ง^{[ 19 ]}$x=r(t-\sin t)$${\textstyle y=r(1-\cos t)}$${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$$${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

ความยาวส่วนโค้งSของส่วนโค้งหนึ่งส่วนกำหนดโดย^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณความยาวของไซคลอยด์โดยใช้หลักเรขาคณิตคือ การสังเกตว่าเมื่อลวดที่อธิบายเส้นโค้งอินโวลูต ถูกคลายออกจากส่วนโค้งครึ่งหนึ่งโดยสมบูรณ์ มันจะยืดออกไปตามเส้นผ่านศูนย์กลางสอง เท่าซึ่งมีความยาว4r ดังนั้นความ ยาว นี้จึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวส่วนโค้ง และความ ยาว ของส่วนโค้งที่สมบูรณ์คือ8r

จากจุดยอดของไซคลอยด์ (จุดที่มีเส้นสัมผัสแนวนอนและ) ไปยังจุดใดๆ ภายในส่วนโค้งเดียวกัน ความยาวส่วนโค้งยกกำลังสองคือซึ่งเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของความสูง คุณสมบัตินี้เป็นพื้นฐานของความ เป็นไอโซโครนิสม์ของไซคลอยด์อันที่จริง ความยาวส่วนโค้งยกกำลังสองเท่ากับความแตกต่างของความสูงคูณด้วยความยาวส่วนโค้งทั้งหมด 8r${\displaystyle \cos t=-1}$${\displaystyle 8r^{2}(1+\cos t)}$${\displaystyle r(1+\cos t)}$

ถ้าลูกตุ้มอย่างง่ายถูกแขวนไว้ที่จุดยอดของไซคลอยด์กลับหัว โดยที่เชือกถูกจำกัดให้สัมผัสกับส่วนโค้งด้านใดด้านหนึ่ง และความยาวL ของลูกตุ้ม เท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวส่วนโค้งของไซคลอยด์ (กล่าวคือ สองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สร้างไซคลอยด์L = 4r ) ลูกตุ้มก็จะเคลื่อนที่ตามเส้นทางไซคลอยด์เช่นกัน ลูกตุ้มดังกล่าวเป็นแบบไอโซโครนัส คือการแกว่งแต่ละครั้งใช้เวลาเท่ากันโดยไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด เมื่อนำระบบพิกัดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งของจุดยอดมาใช้ สมการการเคลื่อนที่จะเป็นดังนี้: โดยที่θ คือมุมที่ส่วนตรงของเชือกทำกับแกนตั้ง และ ω คือค่าที่กำหนดให้ โดย ที่A < 1คือ "แอมพลิจูด" ω คือความถี่เชิงมุมของลูกตุ้ม และgคือความเร่งโน้มถ่วง $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$${\displaystyle \omega }$

นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ในศตวรรษที่ 17 ชื่อChristiaan Huygensได้ค้นพบและพิสูจน์คุณสมบัติของไซคลอยด์เหล่านี้ในขณะที่กำลังค้นหาการออกแบบนาฬิกาลูกตุ้มที่แม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อใช้ในการเดินเรือ^{[ 20 ]}

เส้นโค้งหลายเส้นมีความเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งไซคลอยด์

• โทรคอยด์ (Trochoid) : รูปแบบทั่วไปของไซคลอยด์ (cycloid) ซึ่งจุดที่ลากตามเส้นโค้งอาจอยู่ภายในวงกลมที่กลิ้ง (curtate) หรือภายนอก (prolate)
• ไฮโปไซคลอยด์ : รูปแบบหนึ่งของไซคลอยด์ที่วงกลมวงหนึ่งกลิ้งอยู่ด้านในของวงกลมอีกวงหนึ่งแทนที่จะเป็นเส้นตรง
• เอพิไซคลอยด์ : รูปแบบหนึ่งของไซคลอยด์ที่วงกลมวงหนึ่งกลิ้งอยู่ด้านนอกของวงกลมอีกวงหนึ่งแทนที่จะเป็นเส้นตรง
• ไฮโปโทรคอยด์ : รูปแบบทั่วไปของไฮโปไซคลอยด์ โดยที่จุดกำเนิดอาจไม่ได้อยู่บนขอบของวงกลมที่กลิ้งไปมา
• เอพิโทรคอยด์ : รูปแบบทั่วไปของเอพิไซคลอยด์ โดยที่จุดกำเนิดอาจไม่ได้อยู่บนขอบของวงกลมที่กลิ้งอยู่

เส้นโค้งทั้งหมดเหล่านี้เป็น เหมือนวงล้อ รูเล็ตที่มีวงกลมกลิ้งไปตามเส้นโค้ง อีกเส้นหนึ่งที่มี ความโค้ง สม่ำเสมอ เส้นโค้งไซคลอยด์ เอพิไซคลอยด์ และไฮโปไซคลอยด์ มีคุณสมบัติที่ว่าแต่ละเส้นโค้งจะคล้ายคลึงกับเส้นโค้งอีโวลูตของมันถ้าqคือผลคูณของความโค้งนั้นกับรัศมีของวงกลม โดยมีเครื่องหมายเป็นบวกสำหรับเอพิไซคลอยด์และเครื่องหมายเป็นลบสำหรับไฮโปไซคลอยด์อัตราส่วน ความคล้ายคลึงของเส้นโค้งกับเส้นโค้งอีโวลูตคือ 1 + 2q

ของเล่น Spirographแบบคลาสสิกใช้ สำหรับ ลากเส้นโค้ง ไฮโปโทรคอยด์และเอปิโทรคอยด์

ซุ้มโค้งไซคลอยด์ถูกใช้โดยสถาปนิกLouis Kahnในการออกแบบพิพิธภัณฑ์ศิลปะ Kimbellในฟอร์ตเวิร์ธ รัฐเท็กซัสนอกจากนี้ยังถูกใช้โดยWallace K. Harrisonในการออกแบบศูนย์ Hopkinsที่วิทยาลัย Dartmouthในฮาโนเวอร์ รัฐนิวแฮมป์เชียร์^{[ 21 ]}

การวิจัยในช่วงแรกระบุว่าเส้นโค้งโค้งขวางบางส่วนของแผ่นไวโอลินยุคทองนั้นจำลองได้ใกล้เคียงกับเส้นโค้งไซคลอยด์แบบโค้งมน^{[ 22 ]}งานวิจัยในภายหลังระบุว่าเส้นโค้งไซคลอยด์แบบโค้งมนไม่ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทั่วไปสำหรับเส้นโค้งเหล่านี้^{[ 23 ]}ซึ่งมีความแตกต่างกันอย่างมาก

• ไซโคลกอน
• เฟืองไซคลอยด์
• รายชื่อฟังก์ชันคาบ
• เส้นโค้งเทาโทโครน
• โทรคอยด์ (สำหรับจุดที่อยู่นอกวงกลม)

• การประยุกต์ใช้จากฟิสิกส์ : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
• Edward Kasner & James Newman (1940) คณิตศาสตร์และจินตนาการหน้า 196–200 สำนัก พิมพ์ Simon & Schuster
• Wells D (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า  445–47 . ISBN 0-14-011813-6.

• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "ไซคลอยด์" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ไซคลอยด์" . แมธเวิลด์ .สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 เมษายน 2550
• ไซคลอย ด์ ที่จุดตัดปม
• ตำราว่าด้วยเส้นโค้งไซคลอยด์และเส้นโค้งไซคลอยด์ทุกรูปแบบผลงานของ ริชาร์ด เอ. พรอคเตอร์, BA เผยแพร่โดยห้องสมุดมหาวิทยาลัยคอร์เนลล์
• เส้นโค้งไซคลอยด์โดย ฌอน แมดเซน ร่วมด้วย เดวิด ฟอน เซกเกิร์น จากโครงการสาธิตวูล์ฟแรม
• ไซคลอยด์บน PlanetPTC (Mathcad)
• แนวทางการแก้ปัญหาแคลคูลัสด้วยภาพโดย ทอม อโพสโตล