ในทางเรขาคณิต เส้น ทรอคอยด์ (มาจากภาษากรีกtrochos ' ล้อ' ) คือ เส้นโค้ง รูเล็ตที่เกิดจากการกลิ้งวงกลม ไปตาม เส้นตรงมันคือเส้นโค้งที่ลากโดยจุดที่ตรึงอยู่กับวงกลม (โดยที่จุดนั้นอาจอยู่บน ภายใน หรือภายนอกวงกลม) ขณะที่มันกลิ้งไปตามเส้นตรง^{[ 1 ]}ถ้าจุดอยู่บนวงกลม เส้นทรอคอยด์จะเรียกว่าเส้นทรอคอยด์ธรรมดา (หรือที่รู้จักกันในชื่อไซคลอยด์ ) ถ้าจุดอยู่ภายในวงกลม เส้นทรอคอยด์จะเรียกว่าเส้นทรอคอยด์สั้นและถ้าจุดอยู่ภายนอกวงกลม เส้นทรอคอยด์จะเรียกว่าเส้นทรอคอยด์ยาวคำว่า "ทรอคอยด์" ถูกบัญญัติโดยGilles de Robervalโดยอ้างถึงกรณีพิเศษของไซคลอยด์^{[ 2 ]}

เมื่อวงกลมรัศมีaกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลไปตามเส้นLจุดศูนย์กลางCจะเคลื่อนที่ขนานกับLและจุดP อื่นๆ ทุกจุด ในระนาบหมุนที่ยึดติดกับวงกลมอย่างแน่นหนาจะลากเส้นโค้งที่เรียกว่าโทรคอยด์ ให้CP = b สมการพาราเมตริกของโทรคอยด์ซึ่งLเป็น แกน xคือ โดยที่θคือมุมแปรผันที่วงกลมกลิ้งผ่าน^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\theta -b\sin \theta \\y&=ab\cos \theta \end{aligned}}}$$

ถ้าPอยู่ภายในวงกลม ( b < a ) บนเส้นรอบวง ( b = a ) หรือภายนอก ( b > a ) เส้นโค้งโทรคอยด์จะถูกอธิบายว่าเป็นเส้นโค้งโทรคอยด์แบบสั้น ("หดตัว") แบบทั่วไป หรือแบบยาว ("ขยาย") ตามลำดับ^{[ 4 ]}เส้นโค้งโทรคอยด์แบบสั้นจะถูกลากโดยแป้นเหยียบ (เทียบกับพื้นดิน) เมื่อปั่นจักรยานที่มีเกียร์ปกติไปตามเส้นตรง^{[ 5 ]}เส้น โค้ง โทรคอยด์แบบยาวจะถูกลากโดยปลายไม้พาย (เทียบกับผิวน้ำ) เมื่อเรือถูกขับเคลื่อนด้วยความเร็วคงที่โดยใช้ล้อพาย เส้นโค้งนี้มีวงวน เส้นโค้งโทรคอยด์แบบทั่วไป หรือที่เรียกว่าไซคลอยด์มีจุดแหลมที่จุดที่P สัมผัส กับ เส้นL

แนวทางทั่วไปมากกว่านั้นจะกำหนดให้โทรคอยด์เป็นตำแหน่งของจุดที่โคจรด้วยอัตราคงที่รอบแกนที่ตั้งอยู่ที่ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}$

แกนใดกำลังถูกเลื่อนใน ระนาบ xyด้วยอัตราคงที่ในแนวเส้นตรง

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}$

หรือเส้นทางวงกลม (วงโคจรอีกวงหนึ่ง) รอบ( กรณี ไฮโปโทรคอยด์ / เอปิโทรคอยด์ ) ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}}$

อัตราส่วนของอัตราการเคลื่อนที่และว่าแกนเคลื่อนที่เคลื่อนที่ในเส้นทางตรงหรือวงกลมจะเป็นตัวกำหนดรูปร่างของโทรคอยด์ ในกรณีที่เส้นทางเป็นเส้นตรง การหมุนครบหนึ่งรอบจะตรงกับหนึ่งคาบของ ตำแหน่ง คาบ (ซ้ำ) ในกรณีที่แกนเคลื่อนที่เคลื่อนที่ในเส้นทางเป็นวงกลม ตำแหน่งคาบจะเป็นคาบก็ต่อเมื่ออัตราส่วนของการเคลื่อนที่เชิงมุมเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ เช่นโดยที่และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ในกรณีนี้ หนึ่งคาบประกอบด้วยวงโคจรรอบแกนเคลื่อนที่และวงโคจรของแกนเคลื่อนที่รอบจุดกรณีพิเศษของเอพิไซคลอยด์และไฮโปไซคลอยด์ซึ่งสร้างขึ้นโดยการลากเส้นตำแหน่งของจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมรัศมีในขณะที่กลิ้งจุดนั้นบนเส้นรอบวงของวงกลมคงที่รัศมีมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \โอเมก้า _{1}/\โอเมก้า _{2}}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}}$

โดยที่คือรัศมีของวงโคจรของแกนเคลื่อนที่ จำนวนจุดยอดแหลมที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงใช้ได้กับเส้นโค้งเอพิโทรคอยด์และไฮโปโทรคอยด์ทุกเส้น โดยที่ "จุดยอดแหลม" ถูกแทนที่ด้วย "ค่าสูงสุดตามแนวรัศมี" หรือ "ค่าต่ำสุดตามแนวรัศมี" ${\displaystyle r_{2}}$

• ปริศนาวงล้อของอริสโตเติล
• บราคิสโตโครน
• ไซโคลกอน
• ไซคลอยด์
• เอพิโทรคอยด์
• ไฮโปโทรคอยด์
• รายชื่อฟังก์ชันคาบ
• รูเล็ต (โค้ง)
• สไปโรกราฟ
• คลื่นโทรคอยดัล
• โทรคอยด์แบบศูนย์กลาง

• การทดลองออนไลน์เกี่ยวกับเส้นโค้งทรอคอยด์โดยใช้ JSXGraph