ในคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายหรือฟิลด์ระยะทางแบบมีเครื่องหมาย ( SDF ) คือระยะทางเชิงตั้งฉากของจุดx ที่กำหนด ไปยังขอบเขตของเซต Ω ในปริภูมิเมตริก (เช่น พื้นผิวของรูปทรงเรขาคณิต) โดยเครื่องหมาย จะถูกกำหนดโดยว่า xอยู่ภายใน Ω หรือไม่ฟังก์ชันจะมีค่าเป็นบวกที่จุดxภายใน Ω ค่าจะลดลงเมื่อxเข้าใกล้ขอบเขตของ Ω ซึ่งฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายเป็นศูนย์ และจะมีค่าเป็นลบภายนอก Ω ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีการใช้แบบแผนทางเลือกแทน (เช่น ลบภายใน Ω และเป็นบวกภายนอก) ^{[ 2 ]}แนวคิดนี้บางครั้งก็เรียกว่าฟังก์ชัน/ฟิลด์ระยะทางแบบมีทิศทาง

ให้Ωเป็นเซตย่อยของปริภูมิเมตริกXที่มีเมตริกdและเป็นขอบเขต ของเซตย่อยนั้น ระยะห่างระหว่างจุดxในXกับเซตย่อยของXถูกกำหนดตามปกติดังนี้ ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle d(x,\partial \Omega )=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y),}$$

โดยที่หมายถึงค่าต่ำสุด ${\displaystyle \inf }$

ฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายจากจุดxในXไปยัง ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\notin \Omega \\0&{\text{if }}\,x\in \partial \Omega .\end{cases}}}$$

ถ้า Ω เป็นเซตย่อยของปริภูมิยุคลิดR ⁿที่มี ขอบเขต เรียบเป็นช่วงๆ แล้ว ฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายจะหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่และเกรเดียนต์ ของฟังก์ชันนั้น จะสอดคล้องกับสมการไอโคนาล

$${\displaystyle |\nabla f|=1.}$$

ถ้าขอบเขตของ Ω คือC ^kสำหรับk ≥ 2 (ดูคลาสความสามารถในการหาอนุพันธ์ ) แล้วdจะเป็นC ^kบนจุดที่อยู่ใกล้ขอบเขตของ Ω มากพอ^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งบนขอบเขตfเป็นไปตาม

$${\displaystyle \nabla f(x)=N(x),}$$

โดยที่Nคือเวกเตอร์สนามปกติ ที่พุ่งเข้าด้าน ใน ฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายจึงเป็นส่วนขยายที่หาอนุพันธ์ได้ของเวกเตอร์สนามปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายบนขอบของ Ω จะให้แผนที่ Weingarten

นอกจากนี้ ถ้า Γ เป็นบริเวณที่อยู่ใกล้กับขอบเขตของ Ω มากพอที่fสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องบนบริเวณนั้นแล้ว จะมีสูตรที่ชัดเจนซึ่งเกี่ยวข้องกับแผนที่ Weingarten W _xสำหรับ Jacobian ของตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงในรูปของฟังก์ชันระยะทางที่มีเครื่องหมายและจุดขอบเขตที่ใกล้ที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าT ( ∂ Ω, μ ) คือเซตของจุดที่อยู่ภายในระยะทางμจากขอบเขตของ Ω (เช่นบริเวณใกล้เคียงรูปทรงกระบอกรัศมีμ ) และgเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์บน Γ แล้ว

$${\displaystyle \int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},}$$

โดยที่detหมายถึงดีเทอร์มิแนนต์และdS _uบ่งชี้ว่าเรากำลังทำการ อินทิกรั ลพื้นผิว^{[ 4 ]}

อัลกอริทึม สำหรับการ คำนวณ ฟังก์ชันระยะทางที่มีเครื่องหมาย ได้แก่วิธีการเดินเร็วที่ มีประสิทธิภาพ วิธีการกวาดเร็ว^{[ 5 ]} และ วิธีการเซตระดับ ทั่วไป

สำหรับ การเรนเดอร์ แบบว็อกเซลอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการคำนวณ SDF ในเรขาคณิตแท็กซี่ใช้ตารางพื้นที่รวม^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมายจะถูกนำมาใช้ เช่น ในการเรนเดอร์แบบเรียลไทม์ [ ^{7 ] เช่น}วิธีการเดินรังสี SDFและคอมพิวเตอร์วิชั่น^{[ 8 ] [ 9 ]}

SDF ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตของวัตถุในการเรนเดอร์แบบเรียล ไทม์ โดยปกติในบริบทของเรย์มาร์ชชิ่ง เริ่มตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 2000 ในปี 2007 Valve ได้ใช้ SDF ในการเรนเดอร์ ฟอนต์ขนาดใหญ่ที่มีพิกเซลมาก (หรือความละเอียดสูง ) ด้วย การเร่งความเร็ว GPUในเกมของตน^{[ 10 ]}วิธีการของ Valve ไม่สมบูรณ์แบบ เนื่องจากทำงานในพื้นที่แรสเตอร์เพื่อหลีกเลี่ยงความซับซ้อนในการคำนวณของการแก้ปัญหาในพื้นที่เวกเตอร์ (ต่อเนื่อง) ข้อความที่เรนเดอร์มักจะสูญเสียมุมที่คมชัด ในปี 2014 Behdad Esfahbod ได้นำเสนอวิธีการที่ได้รับการปรับปรุง GLyphy ของ Behdad ประมาณ เส้นโค้ง Bézierของฟอนต์ ด้วยเส้นโค้งสปลายโค้ง โดยเร่งความเร็วด้วยเทคนิค การแบ่งส่วนแบบกริด(ซึ่งตัดจุดที่อยู่ไกลเกินไปออก) เพื่อให้ทำงานแบบเรียลไทม์^{[ 11 ]}

มีการนำ SDF เวอร์ชันที่แก้ไขแล้วมาใช้เป็นฟังก์ชันการสูญเสียเพื่อลดข้อผิดพลาดในการแทรกซึมของพิกเซลในขณะที่เรนเดอร์วัตถุหลายชิ้น^{[ 12 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับพิกเซลใดๆ ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของวัตถุ หากพิกเซลนั้นอยู่นอกวัตถุที่กำลังเรนเดอร์ จะไม่มีการลงโทษใดๆ หากพิกเซลนั้นอยู่ภายในวัตถุ จะมีการกำหนดค่าบวกตามสัดส่วนของระยะห่างภายในวัตถุ

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}\,x\in \Omega ^{c}\\d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\in \Omega \end{cases}}}$$

ในปี 2020 เอ็น จิ้นเกมโอเพนซอร์ส Godot 4.0 ได้รับ การส่องสว่างทั่วโลกแบบเรียลไทม์โดยใช้ SDF (SDFGI) ซึ่งกลายเป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง GI ที่ใช้ voxel ที่สมจริงยิ่งขึ้นและ GI แบบอบ ข้อได้เปรียบหลักคือสามารถนำไปใช้กับพื้นที่อนันต์ได้ ซึ่งช่วยให้นักพัฒนาสามารถใช้มันสำหรับเกมโอเพ่นเวิลด์ได้^{[ 13 ]}

ในปี 2023 ผู้เขียน โปรแกรมแก้ไขข้อความ Zedได้ประกาศเฟรมเวิร์ก GPUI ที่วาดองค์ประกอบ UI ทั้งหมดโดยใช้ GPU ที่ 120 fps งานนี้ใช้รายการรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของ Inigo Quilez ใน SDF, การเบลอแบบเกาส์เซียน ใน SDF ของ Evan Wallace ผู้ร่วมก่อตั้งFigmaและ SDF รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโค้งมนแบบใหม่^{[ 14 ]}

• ฟังก์ชันระยะทาง
• วิธีการกำหนดระดับ
• สมการไอโคนาล
• เส้นโค้งขนาน (หรือที่เรียกว่าเส้นโค้งเยื้องศูนย์)
• ความยาวส่วนโค้งที่ลงนามแล้ว
• พื้นที่ที่มีป้าย
• มาตรการที่ลงนามแล้ว
• เล่มที่ลงนามแล้ว