เส้นโค้งขนานของเส้นโค้ง ที่กำหนด (เส้นโค้งต้นกำเนิด) คือเส้นโค้ง ห่อหุ้ม ของกลุ่มวงกลมที่เท่ากันทุกประการ (รัศมีเท่ากัน) ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เส้นโค้งนั้น มันเป็นการขยายแนวคิดของเส้นตรงขนานนอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นโค้งที่มีจุดอยู่ห่างจากเส้นโค้งที่กำหนด ใน ระยะปกติ คงที่ ^{[ 1 ]} นิยามทั้งสองนี้ไม่เทียบเท่ากันโดยสมบูรณ์ เนื่องจากนิยามหลังถือว่า เส้นโค้งนั้นเรียบ ในขณะที่นิยามแรกไม่ได้ถือว่าเรียบ^{[ 2 ]}

ในการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย คำที่นิยมใช้สำหรับเส้นโค้งขนานคือเส้นโค้งออฟเซ็ต [ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] (}ในบริบททางเรขาคณิตอื่นๆ คำว่า"ออฟเซ็ต"อาจหมายถึงการเลื่อนได้ เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งขนานอาจมีรูปร่าง ที่แตกต่าง จากเส้นโค้งต้นกำเนิด^{[ 5 ]} ) เส้นโค้งออฟเซ็ตมีความสำคัญ เช่น ใน การตัดเฉือนด้วย เครื่องจักรควบคุมเชิงตัวเลข (NC) ซึ่งเส้นโค้งเหล่านี้อธิบายถึงรูปร่างของการตัดที่ทำโดยเครื่องมือตัดทรงกลมของเครื่องจักรสองแกน รูปร่างของการตัดจะเบี่ยงเบนจากวิถีการเคลื่อนที่ของเครื่องมือตัดด้วยระยะทางคงที่ในทิศทางตั้งฉากกับวิถีการเคลื่อนที่ของเครื่องมือตัดในทุกจุด^{[ 6 ]}

ในด้านกราฟิกคอมพิวเตอร์ 2 มิติ ที่เรียกว่ากราฟิกเวกเตอร์การคำนวณเส้นโค้งขนาน (โดยประมาณ) เกี่ยวข้องกับการดำเนินการวาดพื้นฐานอย่างหนึ่งที่เรียกว่าการลากเส้น ซึ่งโดยทั่วไปจะนำไปใช้กับเส้นหลายเหลี่ยมหรือเส้นหลายเหลี่ยมเบซิเยร์ (ซึ่งเรียกว่าเส้นทาง) ในสาขานั้น^{[ 7 ]}

ยกเว้นในกรณีของเส้นตรงหรือวงกลมเส้นโค้งขนานจะมีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่าเส้นโค้งต้นกำเนิด^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น แม้ว่าเส้นโค้งต้นกำเนิดจะเรียบแต่ค่าชดเชยอาจไม่เรียบ คุณสมบัตินี้แสดงให้เห็นในรูปด้านบน โดยใช้เส้นโค้งไซน์เป็นเส้นโค้งต้นกำเนิด^{[ 2 ]}โดยทั่วไป แม้ว่าเส้นโค้งจะเป็น เส้นโค้ง ตรรกยะแต่ค่าชดเชยอาจไม่เป็นเส้นโค้งตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ค่าชดเชยของพาราโบลาเป็นเส้นโค้งตรรกยะ แต่ค่าชดเชยของวงรีหรือไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เส้นโค้งตรรกยะ แม้ว่าเส้นโค้งต้นกำเนิดเหล่านี้จะเป็นเส้นโค้งตรรกยะก็ตาม^{[ 3 ]}

แนวคิดนี้ยังขยายไปถึงพื้นผิว 3 มิติ ซึ่งเรียกว่าพื้นผิวออฟเซ็ตหรือ พื้น ผิวขนาน^{[ 8 ]}การเพิ่ม ปริมาตรของ ของแข็งด้วยระยะห่าง (คงที่) บางครั้งเรียกว่าการขยาย (คล้ายกับ การดำเนินการ ขยายภาพ) ^{[ 9 ]}การดำเนินการตรงกันข้ามบางครั้งเรียกว่าการขึ้นรูปเปลือก [ ^{8 ] พื้น}ผิวออฟเซ็ตมีความสำคัญใน NC ซึ่งอธิบายรูปร่างของการตัดที่ทำโดยดอกกัดปลายทรงกลมของเครื่องจักรสามแกน^{[ 10 ]}รูปร่างอื่นๆ ของดอกกัดสามารถจำลองทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้พื้นผิวออฟเซ็ตทั่วไป^{[ 11 ]}

หากมีการแสดงเส้นโค้งที่กำหนดในรูปแบบพาราเมตริกปกติ นิยามที่สองของเส้นโค้งขนาน (ดังที่กล่าวมาข้างต้น) จะนำไปสู่การแสดงเส้นโค้งขนานในรูปแบบพาราเมตริกที่มีระยะทางดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$โดยที่หน่วยเป็นปกติ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

ค่าพารามิเตอร์ระยะทางอาจเป็นค่าลบได้ ในกรณีนี้ จะได้เส้นโค้งขนานที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นโค้ง (ดูแผนภาพเส้นโค้งขนานของวงกลม) สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่าเส้นโค้งขนานของเส้นตรงคือเส้นตรงขนานในความหมายทั่วไป และเส้นโค้งขนานของวงกลมคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ${\displaystyle d}$

แหล่งที่มา: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$นั่นหมายความว่า เวกเตอร์สัมผัสสำหรับพารามิเตอร์คงที่นั้นขนานกัน
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$โดยมีค่า ความโค้งของเส้นโค้งที่กำหนดและค่าความโค้งของเส้นโค้งคู่ขนานสำหรับพารามิเตอร์.${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k_{d}(t)}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$โดยมีรัศมี ของความโค้งของเส้นโค้งที่กำหนดและรัศมีของความโค้งของเส้นโค้งคู่ขนานสำหรับพารามิเตอร์.${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle R_{d}(t)}$${\displaystyle t}$
• เมื่อมีอยู่วงกลมสัมผัสของเส้นโค้งขนานที่จุดที่สอดคล้องกันจะมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน^{[ 13 ]}
• สำหรับเส้นขนานนั้นเส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งจะตั้งฉากกับเส้นขนานของเส้นโค้งนั้นด้วย
• เมื่อสร้างเส้นโค้งขนาน เส้นโค้งเหล่านั้นจะมีจุดแหลมเมื่อระยะห่างจากเส้นโค้งเท่ากับรัศมีของความโค้งจุดเหล่านี้คือจุดที่เส้นโค้งสัมผัสกับเส้นโค้งวิวัฒนาการ
• ถ้าเส้นโค้งต้นกำเนิดเป็นขอบเขตของเซตระนาบ และเส้นโค้งขนานของเส้นโค้งต้นกำเนิดนั้นไม่มีจุดตัดกันเอง เส้นโค้งขนานนั้นจะเป็นขอบเขตของผลรวมมินคอฟสกีของเซตระนาบและวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด

ถ้าเส้นโค้งที่กำหนดเป็นพหุนาม (หมายความว่าและเป็นพหุนาม) เส้นโค้งขนานมักจะไม่ใช่พหุนาม ในด้าน CAD นี่เป็นข้อเสีย เพราะระบบ CAD ใช้พหุนามหรือเส้นโค้งเชิงตรรกะ เพื่อให้ได้เส้นโค้งเชิงตรรกะอย่างน้อยที่สุดรากที่สองของการแสดงเส้นโค้งขนานจะต้องสามารถหาคำตอบได้ เส้นโค้งดังกล่าวเรียกว่าเส้นโค้งโฮโดกราฟพีทาโกเรียนและได้รับการศึกษาโดย RT Farouki ^{[ 14 ]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$

ไม่ใช่เส้นโค้งโดยปริยาย ทั้งหมด จะมีเส้นโค้งขนานที่มีการแสดงเชิงวิเคราะห์ แต่สิ่งนี้เป็นไปได้ในบางกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งโฮโดกราฟพีทาโกเรียนเป็นเส้นโค้งเชิงตรรกะที่มีเส้นโค้งขนานเชิงตรรกะ ซึ่งสามารถแปลงเป็นการแสดงโดยปริยายได้ อีกประเภทหนึ่งของเส้นโค้งเชิงตรรกะโดยปริยายที่มีเส้นโค้งขนานเชิงตรรกะคือ^{พาราโบลา [ 15 ]}สำหรับ^กรณีที่^ง่ายกว่าของเส้นตรงและวงกลม เส้นโค้งขนานสามารถอธิบายได้ง่าย ตัวอย่างเช่น:

เส้น → ฟังก์ชันระยะทาง: (รูปแบบปกติของเฮสส์)${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$

วงกลม → ฟังก์ชันระยะทาง:${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

โดยทั่วไปแล้ว หากสมมติเงื่อนไขบางประการ เราสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของฟังก์ชันระยะทางแบบมีทิศทางได้ ในทางปฏิบัติเราต้องจัดการมันในเชิงตัวเลข^{[ 16 ]}เมื่อพิจารณาเส้นโค้งขนานแล้ว สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle h(x,y)}$

• เส้นโค้งขนานสำหรับระยะทาง d คือเซตระดับ ของฟังก์ชันระยะทางเชิงทิศทางที่สอดคล้องกัน${\displaystyle h(x,y)=d}$${\displaystyle h}$

แหล่งที่มา: ^{[ 12 ] [ 17 ]}

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

ตัวอย่าง: แผนภาพแสดงเส้นโค้งขนานของเส้นโค้งโดยปริยายที่มีสมการหมายเหตุ: เส้นโค้งเหล่านี้ไม่ใช่เส้นโค้งขนานกัน เนื่องจากสมการไม่เป็นจริงในบริเวณที่สนใจ ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$

• เส้นโค้งอินโวลูตของเส้นโค้งที่กำหนด คือชุดของเส้นโค้งขนานกัน ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งอินโวลูตของวงกลม คือเส้นโค้งเกลียวขนานกัน (ดูแผนภาพ)

และ: ^{[ 18 ]}

• พาราโบลาจะ มี เส้นโค้งเชิง ตรรกะ ดีกรี 6 เป็นส่วนประกอบ (สองด้าน)
• ไฮเปอร์โบลาหรือวงรี มี เส้นโค้งเชิงพีชคณิตดีกรี 8 (สองด้าน)
• เส้นโค้งเบซิเยร์ดีกรีn จะ มี เส้นโค้งพีชคณิตดีกรี4n − 2เป็นเส้นโค้งชดเชย (สองด้าน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งเบซิเยร์ลูกบาศก์จะมีเส้นโค้งพีชคณิตดีกรี 10 เป็นเส้นโค้งชดเชย (สองด้าน)

ในการกำหนดเส้นทางการตัดของชิ้นส่วนที่มีมุมแหลมสำหรับการขึ้นรูปด้วยเครื่องจักรจำเป็นต้องกำหนดเส้นโค้งขนาน (เส้นโค้งชดเชย) กับเส้นโค้งที่กำหนดซึ่งมีเส้นตั้งฉากไม่ต่อเนื่องที่มุม แม้ว่าเส้นโค้งที่กำหนดจะไม่เรียบที่มุมแหลม แต่เส้นโค้งขนานอาจเรียบและมีเส้นตั้งฉากต่อเนื่อง หรืออาจมีจุดแหลมเมื่อระยะห่างจากเส้นโค้งตรงกับรัศมีของความโค้งที่มุมแหลม

ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นการแสดงพาราเมตริกของเส้นโค้งขนานกับเส้นโค้งที่กำหนดโดยมีระยะห่างคือ: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$โดยที่หน่วยเป็นปกติ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

ที่มุมแหลม ( ) เส้นตั้งฉากกับ ที่กำหนดโดย นั้นไม่ต่อเนื่อง หมายความว่าลิมิตด้านเดียวของเส้นตั้งฉากจากด้านซ้ายไม่เท่ากับลิมิตจากด้านขวาในทางคณิตศาสตร์ ${\displaystyle t=t_{c}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$.

อย่างไรก็ตาม เราสามารถกำหนดพัดลมปกติ^{[ 11 ]} ที่ให้การแทรกสอดระหว่างและและใช้แทนที่ที่มุมแหลมได้: ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$ที่ไหน.${\displaystyle 0<\alpha <1}$

นิยามของเส้นโค้งขนานที่ได้นี้ให้พฤติกรรมที่ต้องการ: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

โดยทั่วไป เส้นโค้งขนานของเส้นโค้ง Bézierไม่ใช่เส้นโค้ง Bézier อีกเส้นหนึ่ง ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดย Tiller และ Hanson ในปี 1984 ^{[ 19 ]}ดังนั้น ในทางปฏิบัติจึงใช้เทคนิคการประมาณค่า ระดับความแม่นยำที่ต้องการสามารถทำได้โดยการแบ่งเส้นโค้งซ้ำๆ แม้ว่าเทคนิคที่ดีกว่าจะต้องการการแบ่งย่อยน้อยลงเพื่อให้ได้ระดับความแม่นยำเดียวกัน การสำรวจในปี 1997 โดย Elber, Lee และ Kim ^{[ 20 ]}ได้รับการอ้างอิงอย่างกว้างขวาง แม้ว่าจะมีเทคนิคที่ดีกว่าได้รับการเสนอขึ้นเมื่อเร็วๆ นี้ เทคนิคสมัยใหม่ที่ใช้การปรับเส้นโค้งพร้อมด้วยการอ้างอิงและการเปรียบเทียบกับอัลกอริทึมอื่นๆ รวมถึงซอร์สโค้ด JavaScript แบบโอเพนซอร์ส ได้รับการเผยแพร่ในบล็อกโพสต์^{[ 21 ]}ในเดือนกันยายน 2022

อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอีกวิธีหนึ่งสำหรับการชดเชยคือแนวทางระดับที่อธิบายโดย Kimmelและ Bruckstein (1993) ^{[ 22 ]}

พื้นผิวออฟเซ็ตมีความสำคัญใน การตัดเฉือนด้วย เครื่องจักรควบคุมเชิงตัวเลข โดยพื้นผิวเหล่านี้จะอธิบายรูปร่างของการตัดที่ทำโดยหัวกัดปลายทรงกลมของเครื่องกัดสามแกน^{[ 10 ]}หากมีการแสดงพาราเมตริกปกติของพื้นผิวที่กำหนด การนิยามที่สองของเส้นโค้งขนาน (ดูด้านบน) จะสามารถขยายไปสู่การแสดงพาราเมตริกของพื้นผิวขนานที่มีระยะทางดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$โดยที่หน่วยเป็นปกติ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$

ค่าพารามิเตอร์ระยะทางอาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน ในกรณีนี้จะได้พื้นผิวขนานที่อยู่ด้านตรงข้ามของพื้นผิว (ดูแผนภาพที่คล้ายกันเกี่ยวกับเส้นโค้งขนานของวงกลม) สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่า พื้นผิวขนานของระนาบคือระนาบขนานในความหมายทั่วไป และพื้นผิวขนานของทรงกลมคือทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ${\displaystyle d}$

แหล่งที่มา: ^{[ 23 ]}

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$นั่นหมายความว่า เวกเตอร์สัมผัสสำหรับพารามิเตอร์คงที่นั้นขนานกัน
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$นั่นหมายความว่า เวกเตอร์ปกติสำหรับพารามิเตอร์คงที่ จะมีทิศทางตรงกัน
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$โดยที่และเป็นตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับและตามลำดับ${\displaystyle S_{d}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

ค่าความโค้งหลักคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการ รูปร่างความโค้งเกาส์เซียนคือดีเทอร์มิแนนต์ ของตัวดำเนินการรูปร่าง และความโค้งเฉลี่ยคือครึ่งหนึ่งของร่องรอยของตัว ดำเนิน การรูปร่าง

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$โดยที่และเป็นตัวผกผันของตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับและตามลำดับ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

รัศมีหลักของความโค้งคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ผกผัน ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะของตัว ดำเนินการรูปร่างผกผันส่วนกลับของ ความโค้งเกาส์เซียน คือดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการรูปร่างและรัศมีเฉลี่ยของความโค้งคือครึ่งหนึ่งของร่องรอย ของตัวดำเนิน การ รูปร่าง

โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของ เส้น โค้ง ขนาน

ปัญหาสามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้อย่างชัดเจน เช่น พื้นผิวที่มีการชดเชย และง่ายขึ้นเล็กน้อยสำหรับพื้นผิวท่อ [ ^{24 ] โปรด}ทราบว่าคำศัพท์สำหรับเวอร์ชันที่มีมิติสูงกว่านั้นมีความหลากหลายมากกว่าในกรณีระนาบ เช่น ผู้เขียนคนอื่นพูดถึงเส้นใยขนาน ริบบิ้น และท่อ^{[ 25 ]}สำหรับเส้นโค้งที่ฝังอยู่ในพื้นผิว 3 มิติ การชดเชยอาจทำไปตามเส้นทางจีโอเดสิก^{[ 26 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการสรุปโดยทั่วไปคือ (แม้ใน 2 มิติ) การพิจารณาระยะทางที่แปรผันได้ เช่น กำหนดพารามิเตอร์โดยเส้นโค้งอื่น^{[ 23 ] ตัวอย่างเช่น เราสามารถ สร้าง}เส้นขอบ (ซองจดหมาย) ด้วยวงรีแทนวงกลม^{[ 23 ]} ได้ เช่นเดียวกับที่เป็นไปได้ในMETAFONT [ ^{27 ]}

เมื่อไม่นานมานี้Adobe Illustratorได้เพิ่มฟังก์ชันที่คล้ายกันในเวอร์ชันCS5แม้ว่าจุดควบคุมสำหรับความกว้างที่แปรผันจะถูกระบุด้วยภาพก็ตาม^{[ 28 ]}ในบริบทที่สำคัญในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างการชดเชยระยะทางคงที่และระยะทางแปรผัน บางครั้งจะใช้ตัวย่อ CDO และ VDO ^{[ 9 ]}

สมมติว่าคุณมีการแสดงเส้นโค้งแบบพาราเมตริกปกติและคุณมีเส้นโค้งที่สองที่สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากหน่วย โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉากของ(การกำหนดพารามิเตอร์ด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากนี้มีอยู่สำหรับเส้นโค้งที่มีความโค้งเป็นบวกหรือลบอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงเป็นเส้นโค้งนูน เรียบ และไม่เป็นเส้นตรง) การแสดงเส้นโค้งแบบพาราเมตริกทั่วไปของเส้นโค้งออฟเซ็ต ที่ถูกชดเชยด้วยคือ: ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$โดยที่เวกเตอร์ปกติหน่วยของ คือ.${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$

โปรดทราบว่าค่าชดเชยแบบง่ายๆจะทำให้ได้เส้นโค้งขนานธรรมดา (หรือที่เรียกว่าเส้นโค้งชดเชย) ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

แหล่งที่มา: ^{[ 23 ]}

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$นั่นหมายความว่า เวกเตอร์สัมผัสสำหรับพารามิเตอร์คงที่นั้นขนานกัน
• สำหรับเส้นขนานนั้นเส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งจะตั้งฉากกับเส้นเยื้องศูนย์ทั่วไปของเส้นโค้งนั้นด้วย
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$โดยมีความ โค้งของเส้นโค้งชดเชยทั่วไปความโค้งของและความโค้งของสำหรับพารามิเตอร์${\displaystyle k_{d}(t)}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle k_{n}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$โดยมีรัศมี ของความโค้งของเส้นโค้งออฟเซ็ตทั่วไปรัศมีของความโค้งของและรัศมีของความโค้งของสำหรับพารามิเตอร์${\displaystyle R_{d}(t)}$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle R_{n}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$${\displaystyle t}$
• เมื่อสร้างเส้นโค้งออฟเซ็ตทั่วไป เส้นโค้งเหล่านั้นจะมีจุดแหลมคมเมื่อความโค้งของเส้นโค้งตรงกับความโค้งของเส้นโค้งออฟเซ็ต จุดเหล่านี้คือจุดที่เส้นโค้งสัมผัสกับเส้นโค้งอีโวลูต

พื้นผิวออฟเซ็ตทั่วไปอธิบายรูปร่างของการตัดที่ทำโดยดอกกัดหลากหลายชนิดที่ใช้โดยเครื่องกัดปลายสามแกนในการตัดเฉือนแบบควบคุมเชิงตัวเลข [ ^{11 ] สมมติ}ว่าคุณมีการแสดงพาราเมตริกปกติของพื้นผิวและคุณมีพื้นผิวที่สองที่สามารถกำหนดพาราเมตริกได้ด้วยเวกเตอร์ปกติหน่วยโดยที่เวกเตอร์ปกติของ(การกำหนดพาราเมตริกด้วยเวกเตอร์ปกตินี้มีอยู่สำหรับพื้นผิวที่มีความโค้งเกาส์เซียนเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงนูน เรียบ และไม่แบน) การแสดงพาราเมตริกของพื้นผิวออฟเซ็ตทั่วไปของออฟเซ็ตด้วยคือ: ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$โดยที่เวกเตอร์ปกติหน่วยของ คือ.${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$

โปรดทราบว่าค่าชดเชยแบบง่ายๆจะทำให้ได้พื้นผิวขนานธรรมดา (หรือเรียกอีกอย่างว่า พื้นผิวชดเชย) ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

แหล่งที่มา: ^{[ 23 ]}

• สำหรับเส้นขนาน ระนาบสัมผัสของพื้นผิวจะขนานกับระนาบสัมผัสของเส้นชดเชยทั่วไปของพื้นผิวนั้น
• สำหรับเส้นขนานนั้นเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวจะตั้งฉากกับเส้นที่เบี่ยงเบนไปจากพื้นผิวโดยทั่วไปด้วย
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$โดยที่และเป็นตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับและตามลำดับ${\displaystyle S_{d},S,}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

ค่าความโค้งหลักคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการรูปร่าง ความโค้งเกาส์เซียนคือดีเทอร์มิแนนต์ ของตัวดำเนินการรูปร่าง และความโค้งเฉลี่ยคือครึ่งหนึ่งของร่องรอยของตัวดำเนินการรูปร่าง

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$โดยที่และเป็นตัวผกผันของตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับและตามลำดับ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$${\displaystyle S_{n}^{-1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

รัศมีหลักของความโค้งคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ผกผัน ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะของตัว ดำเนินการรูปร่างผกผันส่วนกลับของ ความโค้งเกาส์เซียน คือดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการรูปร่างและรัศมีเฉลี่ยของความโค้งคือครึ่งหนึ่งของร่องรอย ของตัวดำเนิน การ รูปร่าง

โปรดสังเกตความ คล้ายคลึง กับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของเส้นโค้งออฟเซ็ตทั่วไป

คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับเส้นโค้งและพื้นผิวออฟเซ็ตทั่วไป สามารถอนุมานได้สำหรับออฟเซ็ตที่มีมิติใดๆ สมมติว่าคุณมีการแสดงพาราเมตริกแบบปกติของพื้นผิว n มิติโดยที่มิติของคือ n-1 และสมมติว่าคุณมีพื้นผิว n มิติที่สองที่สามารถกำหนดพาราเมตริกได้ด้วยเวกเตอร์ปกติหน่วย โดยที่เวกเตอร์ปกติของ(การกำหนดพาราเมตริกด้วยเวกเตอร์ปกตินี้มีอยู่สำหรับพื้นผิวที่มีความโค้งเกาส์เซียนเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงเป็นพื้นผิวนูน เรียบ และไม่แบน) การแสดงพาราเมตริกของพื้นผิวออฟเซ็ตทั่วไปของที่ถูกออฟเซ็ตด้วยคือ: ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$โดยที่ เวกเตอร์ หน่วยปกติของ คือ(ค่าชดเชยแบบง่ายๆจะทำให้ได้พื้นผิวขนานธรรมดา)${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

ขั้นแรก สังเกตว่าเวกเตอร์ปกติของ เวกเตอร์ ปกติของตามนิยาม ต่อไป เราจะใช้การหาอนุพันธ์เทียบกับซึ่งจะทำให้เราได้เวกเตอร์สัมผัสที่ทอดลงบนระนาบสัมผัสของมัน ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

โปรดสังเกตว่า เวกเตอร์สัมผัสของคือผลรวมของเวกเตอร์สัมผัสของและค่าชดเชยของมันซึ่งมีเวกเตอร์ตั้งฉากหน่วยเดียวกัน ดังนั้นพื้นผิวชดเชยทั่วไปจึงมีระนาบสัมผัสและเวกเตอร์ตั้งฉากเดียวกันกับและซึ่งสอดคล้องกับธรรมชาติของเส้นโค้งห่อ หุ้ม${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาสมการของ Weingartenสำหรับตัวดำเนินการรูปร่างซึ่งสามารถเขียนได้เป็นถ้าสามารถผกผันได้จำไว้ว่าความโค้งหลักของพื้นผิวคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ความโค้งเกาส์คือดีเทอร์มิแนนต์และความโค้งเฉลี่ยคือครึ่งหนึ่งของร่องรอยตัวผกผันของตัวดำเนินการรูปร่างจะมีค่ารัศมีของความโค้งเหล่านี้เหมือนกัน ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$

เมื่อแทนค่าลงในสมการสำหรับอนุพันธ์ของเราจะได้: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$ตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับอยู่ที่ไหน${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

ต่อไป เราจะใช้สมการของ Weingartenอีกครั้งเพื่อแทนที่: ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$ตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับอยู่ที่ไหน${\displaystyle S}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$

จากนั้น เราแก้หาค่าและคูณทั้งสองข้างด้วยเพื่อกลับไปยังสมการของ Weingartenอีกครั้ง คราวนี้สำหรับ: ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$${\displaystyle -S}$${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

ดังนั้นและเมื่อกลับทั้งสองข้างจะได้. ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$

• การทำแผนที่ความนูน
• พื้นผิวช่องทาง
• ฟังก์ชันระยะทางและฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมาย
• สนามระยะทาง
• การพิมพ์ออฟเซ็ต
• ย่านท่อ

• Farouki, RT; Neff, CA (1990). "คุณสมบัติเชิงวิเคราะห์ของเส้นโค้งออฟเซ็ตระนาบ" การออกแบบทางเรขาคณิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย 7 ( 1– 4 ): 83– 99. doi : 10.1016/0167-8396(90)90023-K .
• Piegl, Les A. (1999). "การคำนวณค่าชดเชยของเส้นโค้งและพื้นผิว NURBS" การ ออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย31 (2): 147– 156. CiteSeerX  10.1.1.360.2793 . doi : 10.1016/S0010-4485(98)00066-9 .
• พอร์เทียส, เอียน อาร์. (2001). การหาอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต: เพื่อความเข้าใจเส้นโค้งและพื้นผิว (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า  1–25 . ISBN 978-0-521-00264-6.
• Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi (2010) [2002]. การตรวจสอบรูปร่างสำหรับการออกแบบและการผลิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย Springer Science & Business Media บทที่ 11 เส้นโค้งและพื้นผิวออฟเซ็ตISBN 978-3-642-04074-0.เวอร์ชันออนไลน์ฟรี
• Anton, François; Emiris, Ioannis Z.; Mourrain, Bernard; Teillaud, Monique (พฤษภาคม 2548). "เซต O สำหรับเส้นโค้งพีชคณิตและการประยุกต์ใช้กับภาคตัดกรวย" การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยวิทยาศาสตร์การคำนวณและการประยุกต์ใช้ . สิงคโปร์: Springer Verlag. หน้า  683–696 .
• Farouki, Rida T. (2008). เส้นโค้งพีทาโกเรียน-โฮโดกราฟ: พีชคณิตและเรขาคณิตแยกจากกันไม่ได้ . Springer Science & Business Media. หน้า  141–178 . ISBN 978-3-540-73397-3.รายชื่อหน้าเว็บประกอบด้วยเนื้อหาทั่วไปและบทนำ
• Au, CK; Ma, Y.-S. (2013). "การคำนวณเส้นโค้งออฟเซ็ตโดยใช้ฟังก์ชันระยะทาง: การแก้ปัญหาความท้าทายสำคัญในการสร้างเส้นทางการตัด" ใน Ma, Y.-S. (บรรณาธิการ). การสร้างแบบจำลองเชิงความหมายและการทำงานร่วมกันในวิศวกรรมผลิตภัณฑ์และกระบวนการ: เทคโนโลยีสำหรับวิศวกรรมสารสนเทศ . Springer Science & Business Media. หน้า  259–273 . ISBN 978-1-4471-5073-2.

• เส้นโค้งขนานบน MathWorld
• พจนานุกรมภาพของเส้นโค้งระนาบ โดย Xah Lee