ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์รูปแบบพื้นฐานแรกคือผลคูณภายในบนปริภูมิสัมผัสของพื้นผิว ใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติซึ่งได้มาจากการคูณจุดของR³อย่างเป็น ระบบ รูป ^แบบนี้ ช่วยให้สามารถคำนวณความโค้งและคุณสมบัติเชิงเมตริกของพื้นผิว เช่น ความยาวและพื้นที่ ในลักษณะที่สอดคล้องกับปริภูมิแวดล้อมรูปแบบพื้นฐานแรกนี้ใช้สัญลักษณ์เลขโรมันI$${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}$$

ให้X ( u , v )เป็นพื้นผิวพาราเมตริกแล้วผลคูณภายในของเวกเตอร์สัมผัส สองตัว คือ โดยที่E , FและGคือสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานแรก $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$$

รูปแบบพื้นฐานแรกสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์สมมาตร $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}$$

เมื่อเขียนรูปแบบพื้นฐานแรกโดยใช้ตัวแปรเพียงตัวเดียว จะหมายถึงผลคูณภายในของเวกเตอร์นั้นกับตัวมันเอง $${\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}$$

รูปแบบพื้นฐานแรกมักเขียนด้วยสัญกรณ์สมัยใหม่ของเมตริกเทนเซอร์สัมประสิทธิ์อาจเขียนได้เป็นg _ij : $${\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$$

ส่วนประกอบของเทนเซอร์นี้คำนวณได้จากผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สัมผัสX ₁และX ₂ : สำหรับi , j = 1, 2ดูตัวอย่างด้านล่าง $${\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle }$$

รูปแบบพื้นฐานแรกอธิบายคุณสมบัติทางเมตริกของพื้นผิวได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงช่วยให้สามารถคำนวณความยาวของเส้นโค้งบนพื้นผิวและพื้นที่ของบริเวณต่างๆ บนพื้นผิวได้องค์ประกอบเส้นdsอาจแสดงได้ในรูปของสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานแรกดังนี้ $${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}$$

องค์ประกอบพื้นที่แบบคลาสสิกที่กำหนดโดยdA = | X _u × X _v | du dvสามารถแสดงได้ในรูปของรูปแบบพื้นฐานแรกโดยอาศัยเอกลักษณ์ของลากรางจ์ $${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

เส้นโค้งทรงกลมบนทรงกลมหน่วยในR ³อาจกำหนดพารามิเตอร์ได้ดังนี้ การหาอนุพันธ์ของ X ( u , v )เทียบกับuและv จะได้ สัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานแรกสามารถหาได้โดยการหาผลคูณดอ ท ของอนุพันธ์ย่อย$${\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}}$$ ดังนั้น: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

เส้นศูนย์สูตร ของ ทรงกลมหน่วยเป็นเส้นโค้งพาราเมตริกที่กำหนดโดย โดยที่ t มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 2π สามารถใช้ส่วนประกอบเส้นตรงในการคำนวณความยาวของเส้นโค้งนี้ได้ $${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }$$

สามารถใช้ส่วนประกอบพื้นที่ในการคำนวณพื้นที่ของทรงกลมหน่วยได้

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]_{0}^{\pi }=4\ปี่ }$$

ความโค้งแบบเกาส์เซียนของพื้นผิวจะกำหนดโดย โดย ที่L , MและNคือสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานที่สอง $${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$

ทฤษฎีบทเอกเกรเจียมของเกาส์กล่าวว่า ความโค้งเกาส์เซียนของพื้นผิวสามารถแสดงได้โดยใช้เพียงรูปแบบพื้นฐานแรกและอนุพันธ์ของมันเท่านั้น ดังนั้นK จึงเป็นค่าคงที่ภายในของพื้นผิวอย่างแท้จริง สูตรของ บริออสชีให้ สูตรที่ชัดเจนสำหรับความโค้งเกาส์เซียนในรูปของรูปแบบพื้นฐานแรก

• เมตริกเทนเซอร์
• รูปแบบพื้นฐานที่สอง
• รูปแบบพื้นฐานที่สาม
• รูปแบบเดียวเชิงตรรกะ
• เมทริกซ์แกรม

• รูปแบบพื้นฐานแรก — จาก Wolfram MathWorld