ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนคือรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์ (โดยปกติจะเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ) ซึ่งอนุญาตให้มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้

รูปแบบเชิงซ้อนมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อน รูปแบบเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งและใช้เป็นพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเรขาคณิตคาห์เลอร์และทฤษฎีฮอดจ์บนแมนิโฟลด์ที่ไม่เชิงซ้อน รูปแบบเหล่านี้ยังมีบทบาทในการศึกษาโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนทฤษฎีสปินเนอร์และโครงสร้าง CRด้วย

โดยทั่วไป รูปแบบที่ซับซ้อนมักถูกพิจารณาเนื่องจากการแยกส่วนที่เหมาะสมบางอย่างที่รูปแบบเหล่านั้นยอมรับได้ ตัวอย่างเช่น บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อน รูปแบบ k เชิงซ้อนใดๆ ก็สามารถแยกส่วนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของรูปแบบ ( p ,  q )ที่เรียกว่า ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วคือลิ่มของ อนุพันธ์ p ตัวของพิกัดโฮโลมอร์ฟิกกับ อนุพันธ์ qตัวของคู่สังยุคเชิงซ้อนของพิกัดเหล่านั้น กลุ่มของรูปแบบ ( p ,  q ) กลายเป็นวัตถุพื้นฐานของการศึกษา และกำหนดโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ละเอียดกว่าบนแมนิโฟลด์มากกว่า รูปแบบ kโครงสร้างที่ละเอียดกว่านั้นก็มีอยู่เช่นกันในกรณีที่ทฤษฎี Hodgeสามารถนำมาใช้ได้

สมมติว่าMเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติเชิงซ้อนnแล้วจะมีระบบพิกัด ท้องถิ่น ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนn ฟังก์ชัน z ¹ , ..., z ⁿโดยที่การเปลี่ยนพิกัดจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเหล่านี้ ปริภูมิของรูปแบบเชิงซ้อนมีโครงสร้างที่หลากหลาย ซึ่งขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนเหล่านี้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ไม่ใช่เพียงแค่ฟังก์ชัน เรียบ

เราเริ่มต้นด้วยกรณีของวันฟอร์ม ก่อนอื่นให้แยกพิกัดเชิงซ้อนออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการ: z ^j = x ^j + iy ^jสำหรับแต่ละjให้

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

จะเห็นได้ว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมอย่างไม่ซ้ำกัน

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

ให้ Ω ^1,0เป็นปริภูมิของรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนที่มีเฉพาะ's และ Ω ^0,1เป็นปริภูมิของรูปแบบที่มีเฉพาะ's เราสามารถแสดงได้โดยใช้สมการโคชี-รีมันน์ว่าปริภูมิ Ω ^1,0และ Ω ^0,1มีเสถียรภาพภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดโฮโลมอร์ฟิก กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากเราเลือกw _i ที่แตกต่างกัน ของระบบพิกัดโฮโลมอร์ฟิก องค์ประกอบของ Ω ^1,0จะแปลงแบบเทนเซอร์เช่นเดียวกับองค์ประกอบของ Ω ^0,1ดังนั้นปริภูมิ Ω ^0,1และ Ω ^1,0 จึง กำหนดกลุ่มเวกเตอร์ เชิงซ้อน บนแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ${\displaystyle dz}$${\displaystyle d{\bar {z}}}$

ผลคูณเวดจ์ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนถูกนิยามในลักษณะเดียวกับรูปแบบจริง ให้pและqเป็นคู่ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ≤ n ปริภูมิ Ω ^p,qของรูปแบบ ( p ,  q ) ถูกนิยามโดยการรวมเชิงเส้นของผลคูณเวดจ์ของ สมาชิก pตัวจาก Ω ^1,0และ สมาชิก qตัวจาก Ω ^0,1ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

โดยที่มี ปัจจัย pของ Ω ^1,0และ ปัจจัย qของ Ω ^0,1เช่นเดียวกับปริภูมิสองปริภูมิของ 1-ฟอร์ม ปริภูมิเหล่านี้มีเสถียรภาพภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดเชิงโฮโลมอร์ฟิก และดังนั้นจึงกำหนดเวกเตอร์บันเดิลได้

ถ้าE ^kคือปริภูมิของรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนทั้งหมดที่มีดีกรีรวมkแล้ว แต่ละองค์ประกอบของE ^kสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน โดยเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบจากปริภูมิ Ω ^p,qโดยที่p + q = k กล่าว โดยย่อกว่านั้น คือ มีการแยกส่วนผล รวมโดยตรง

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

เนื่องจากการแยกส่วนผลรวมโดยตรงนี้มีความเสถียรภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดโฮโลมอร์ฟิก จึงสามารถกำหนดการแยกส่วนกลุ่มเวกเตอร์ได้เช่นกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับแต่ละkและแต่ละpและqที่p + q = kจะมีการฉายภาพแบบแคนอนิกของกลุ่มเวกเตอร์

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

อนุพันธ์ภายนอกทั่วไปจะกำหนดการแมปของส่วนต่างๆผ่านทาง ${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

อนุพันธ์ภายนอกนั้นไม่ได้สะท้อนถึงโครงสร้างที่ซับซ้อนและเข้มงวดกว่าของแมนิโฟลด์โดยตัวมันเอง

โดยใช้dและการฉายภาพที่กำหนดไว้ในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้ เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการ Dolbeault ได้ ดังนี้:

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

เพื่ออธิบายตัวดำเนินการเหล่านี้ในพิกัดท้องถิ่น ให้กำหนดดังนี้

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

โดยที่IและJเป็นดัชนีหลายตัวแล้ว

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

พบว่ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

ตัวดำเนินการเหล่านี้และคุณสมบัติของพวกมันเป็นพื้นฐานสำหรับโคฮอโมโลยีของดอลโบต์และแง่มุมต่างๆ มากมายของทฤษฎีฮอดจ์

บนโดเมนรูปดาวของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ตัวดำเนินการ Dolbeault มีตัวดำเนินการโฮโมโทปีคู่^{[ 1 ]}ที่เกิดจากการแยกตัวดำเนินการโฮโมโทปีสำหรับ[ ^{1 ]}นี่คือเนื้อหาของบทพิสูจน์ของ Poincaréบนแมนิโฟลด์ ^{เชิงซ้อน}${\displaystyle d}$

บทตั้งของปวงกาเรสำหรับและสามารถปรับปรุงเพิ่มเติมได้เป็นบทตั้งเฉพาะที่ซึ่งแสดงให้เห็นว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนที่แม่นยำทุกรูปแบบนั้นแม่นยำจริง ๆ บนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ แบบกระชับ รูปแบบทั่วโลกของบทตั้งเฉพาะที่ จะใช้ได้ผล ซึ่งรู้จักกันในชื่อบทตั้งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีของฮอดจ์และระบุว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนที่แม่นยำทั่วโลก (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ คลาสในโคฮอโมโลยีเดอแรมเป็นศูนย์) นั้นแม่นยำ ทั่วโลก${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

สำหรับแต่ละp ฟอร์ม pเชิงโฮโลมอร์ฟิกคือส่วนตัดเชิงโฮโลมอร์ฟิกของบันเดิล Ω ^{p ,0}ดังนั้น ในพิกัดท้องถิ่น ฟอร์ม p เชิงโฮโลมอ ร์ฟิกสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ในทำนองเดียวกัน และเนื่องจากความเป็นอิสระของคอนจูเกตเชิงซ้อน รูปแบบ ( p , 0) αจะเป็นโฮโลมอร์ฟิกก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle f_{I}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

โดยทั่วไป แล้ว ชีฟของp-ฟอร์มเชิงโฮโลมอร์ฟิกมักเขียนด้วยสัญลักษณ์ Ω ^pแต่บางครั้งอาจทำให้เกิดความสับสน ดังนั้นผู้เขียนหลายคนจึงมักใช้สัญลักษณ์อื่นแทน

• คอมเพล็กซ์ดอลโบต์
• ลำดับสเปกตรัมของฟรอยลิเชอร์
• อนุพันธ์ประเภทแรก