ในเรขาคณิตเชิงซ้อน เล มมา (ออกเสียงว่าดบาร์ เลมมา ) เป็นเลมมาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ คลาส โคฮอโมโลยีเดอแรมของรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน เลม มา- เป็นผลมาจากทฤษฎีฮอดจ์และเอกลักษณ์คาห์เลอร์บนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกระชับบางครั้งก็เรียกว่าเลมมา - เนื่องจากการใช้ตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องโดยความสัมพันธ์ระหว่างตัวดำเนินการทั้งสองคือและดังนั้น[ ^{1 ] : 1.17 [ 2 ] : เลม 5.50} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle dd^{c}}$${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$

บทพิสูจน์ย่อยกล่าวว่า ถ้าเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกระชับ และเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนที่มีดีกรีคู่ (p,q) (โดยที่) ซึ่งมีคลาสเป็นศูนย์ในโคฮอโมโลยีเดอแรม แล้วจะมีรูปแบบที่มีดีกรีคู่ (p-1,q-1) อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle p,q\geq 1}$${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

โดยที่และเป็นตัวดำเนินการ Dolbeaultของ แมนิโฟล ด์เชิงซ้อน^{[ 3 ] : บทที่ VI เลม 8.6} ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle X}$

รูปแบบนี้เรียกว่า-ศักยภาพของการรวมตัวประกอบทำให้มั่นใจได้ว่าเป็น ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ จริงนั่นคือ ถ้าเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์จริง แล้ว ก็จะเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์จริงเช่นกัน ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle i}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ควรเปรียบเทียบบทตั้งนี้กับแนวคิดของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่แน่นอนในโคฮอโมโลยีเดอแรม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ k- ปิด (บนแมนิโฟลด์เรียบใดๆ) ซึ่งมีคลาสเป็นศูนย์ในโคฮอโมโลยีเดอแรม แล้ว สำหรับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (k-1) บางรูปแบบที่เรียกว่าศักยภาพ -potential (หรือเพียงแค่ศักยภาพ ) ของโดยที่คืออนุพันธ์ภายนอกอันที่จริง เนื่องจากตัวดำเนินการดอลโบต์รวมกันเพื่อให้ได้อนุพันธ์ภายนอกและบทตั้ง-lemma บ่งชี้ว่าเราสามารถเลือก ได้ ซึ่งเป็นการปรับปรุงศักยภาพ-potential ให้เป็นศักยภาพ-potential ในบริบทของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกะทัดรัด ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X)}$${\displaystyle \alpha =d\gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \gamma ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

-lemma เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎี Hodgeที่ใช้กับ Kähler manifold ขนาดกะทัดรัด^{[ 3 ] [ 1 ] : 41–44 [ 2 ] : 73–77} ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

ทฤษฎีบทHodge สำหรับคอมเพล็กซ์เชิงวงรีสามารถนำไปใช้กับตัวดำเนินการใดๆ ก็ได้และนำไปใช้กับตัวดำเนินการ Laplace ของตัวดำเนินการเหล่านั้นได้ สำหรับตัวดำเนินการเหล่านี้ เราสามารถกำหนดปริภูมิของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ฮาร์มอนิกที่กำหนดโดยเคอร์เนลได้: ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}__{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}__{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}__{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}$$

ทฤษฎีบทการแยกส่วนของ Hodge ยืนยันว่ามีการแยกส่วนเชิงตั้งฉากสามแบบที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิของรูปแบบฮาร์มอนิกเหล่านี้ ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

โดยที่ตัวผกผันอย่างเป็นทางการของสัมพันธ์กับเมตริกแบบรีมันน์ของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ ตามลำดับ^{[ 4 ] : ทฤษฎีบท 3.2.8} การแยกส่วนเหล่านี้ใช้ได้แยกกันบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดใดๆ ความสำคัญของแมนิโฟลด์ที่เป็นคาห์เลอร์คือมีความสัมพันธ์ระหว่างลาปลาเซียนของและด้วยเหตุนี้จึงมีความสัมพันธ์ระหว่างการแยกส่วนเชิงตั้งฉากข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งบนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ขนาดกะทัดรัด ${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

ซึ่งหมายถึงการแยกส่วนเชิงตั้งฉาก

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

ซึ่งมีความสัมพันธ์เพิ่มเติมที่เชื่อมโยงพื้นที่ของและรูปแบบฮาร์มอนิก^{[ 4 ] : ข้อเสนอ 3.1.12} ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

จากผลลัพธ์ของการแยกส่วนข้างต้น เราสามารถพิสูจน์บทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้ได้

การพิสูจน์เป็นดังนี้^{[ 4 ] : Cor. 3.2.10} ให้เป็นรูปแบบปิด (p,q) บนแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัดจะเห็นได้อย่างรวดเร็วว่า (d) หมายถึง (a), (b) และ (c) ยิ่งไปกว่านั้น การแยกส่วนเชิงตั้งฉากข้างต้นบ่งชี้ว่า (a), (b) หรือ (c) ใดๆ ก็ตามหมายถึง (e) ดังนั้น ความยากลำบากหลักคือการแสดงว่า (e) หมายถึง (d) ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle (X,\omega )}$

ด้วยเหตุนี้ สมมติว่าตั้งฉากกับปริภูมิย่อยแล้วเนื่องจากเป็นปริภูมิปิด และจึงเป็นปริภูมิปิดด้วย (นั่นคือ) ถ้าโดยที่และอยู่ในแล้ว เนื่องจากผลรวมนี้ได้มาจากการแยกส่วนเชิงตั้งฉากโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในที่เกิดจากเมตริกแบบรีมันน์ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle \langle -,-\rangle }$

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ และดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้นซึ่งทำให้เราสามารถเขียนสำหรับรูปแบบเชิงอนุพันธ์บางรูปแบบได้ การใช้การแยกส่วนแบบ Hodge สำหรับ ถึง${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$${\displaystyle \alpha ''=0}$${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

โดยที่เป็นฮาร์มอนิกและความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าก็เป็นฮาร์มอนิกเช่นกัน ดังนั้น ดังนั้นอย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นเซตปิด ดังนั้นจึงเป็นเซตปิดด้วย จากนั้นใช้เทคนิคที่คล้ายกับข้างต้น ${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{\partial }}$${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial }$

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

นอกจากนี้ยังใช้เอกลักษณ์ของ Kählerที่ว่าดังนั้นและการตั้งค่าจะสร้างศักยภาพ -potential ขึ้นมา${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$${\displaystyle \beta =i\eta '}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

เวอร์ชันท้องถิ่นของ-lemma เป็นจริงและสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอ้างถึงทฤษฎีบทการแยกส่วนของ Hodge ^{[ 4 ] : Ex 1.3.3, Rmk 3.2.11} เป็นอนาล็อกของPoincaré lemmaหรือDolbeault–Grothendieck lemmaสำหรับตัวดำเนินการ -lemma ท้องถิ่นเป็นจริงเหนือโดเมนใด ๆ ที่ lemma ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นจริง ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

การพิสูจน์เป็นไปตามบทตั้งที่กล่าวไว้ข้างต้นอย่างรวดเร็ว ขั้นแรก สังเกตว่าถ้ามีอยู่เฉพาะที่ในรูปแบบสำหรับบางค่าแล้วเนื่องจาก, , และในทางกลับกัน สมมติว่าเป็นเซตปิด แล้วโดยบทตั้งของปวงกาเร จะมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของจุดใดๆและรูปแบบเช่นนั้นเมื่อเขียนสำหรับและสังเกตว่าและการเปรียบเทียบระดับคู่ของรูปแบบในหมายความว่าและและว่าหลังจากอาจลดขนาดของบริเวณใกล้เคียงแบบเปิด ลง บทตั้ง ของ ดอลโบต์-โกรเทนดิคสามารถนำไปใช้กับและ(อันหลังเนื่องจาก) เพื่อให้ได้รูปแบบเฉพาะที่เช่นนั้นและจากนั้นสังเกตว่าสิ่งนี้ทำให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์เป็น โดยที่${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha =d\gamma }$${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$${\displaystyle d\alpha }$${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$

โคฮอโมโลยีของบอตต์-เชิร์นเป็นทฤษฎีโคฮอโมโลยีสำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัด ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการและและใช้วัดขอบเขตที่เลมมา - ไม่เป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ โคฮอโมโลยีของบอตต์-เชิร์นจะสมมูลกับโคฮอโมโลยีของดอลโบต์แต่โดยทั่วไปแล้วจะมีข้อมูลมากกว่า ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

กลุ่มโคฮอโมโลยี Bott –Chernของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัด^{[ 3 ]}ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$$

เนื่องจากรูปแบบเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นทั้งแบบ ปิด และปิดนั้นปิดเช่นกัน จึงมีแผนที่ตามธรรมชาติจากกลุ่มโคฮอโมโลยี Bott–Chern ไปยังกลุ่มโคฮอโมโลยี de Rham นอกจากนี้ยังมีแผนที่ไปยังกลุ่มโคฮอโมโลยี Dolbeault และเมื่อแมนิโฟลด์เป็นไปตามเลมมา เช่น ถ้าเป็นแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัด แผนที่ข้างต้นจากโคฮอโมโลยี Bott–Chern ไปยังโคฮอโมโลยี Dolbeault จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และยิ่งไปกว่านั้น แผนที่จากโคฮอโมโลยี Bott–Chern ไปยังโคฮอโมโลยี de Rham เป็นแบบฉีด^{[ 5 ]}ผลที่ตามมาคือ มีไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

เมื่อใดก็ตามที่สอดคล้องกับ-lemma ในลักษณะนี้ เคอร์เนลของแผนที่ข้างต้นจะวัดความล้มเหลวของแมนิโฟลด์ในการปฏิบัติตาม lemma และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะวัดความล้มเหลวในการเป็นแมนิโฟลด์ Kähler ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดของบทพิสูจน์-lemma เกิดขึ้นเมื่อรูปแบบเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนมีระดับคู่ (1,1) ในกรณีนี้ บทพิสูจน์ -lemma ระบุว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่แน่นอนมีศักยภาพ -potential ที่กำหนดโดยฟังก์ชันเรียบ : ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อเป็นรูปแบบ Kähler ที่จำกัดอยู่ในเซตย่อยเปิด ขนาดเล็ก ของแมนิโฟลด์ Kähler (กรณีนี้เป็นผลมาจากเวอร์ชันเฉพาะที่ของเลมมา) ซึ่งเลมมา Poincaré ที่กล่าวถึงข้างต้นรับรองว่ามันเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่แน่นอน สิ่งนี้นำไปสู่แนวคิดของศักยภาพ Kählerซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นเฉพาะที่ซึ่งระบุรูปแบบ Kähler ได้อย่างสมบูรณ์ อีกกรณีที่สำคัญคือเมื่อเป็นผลต่างของรูปแบบ Kähler สองรูปแบบที่อยู่ในชั้นโคฮอโมโลยี de Rham เดียวกันในกรณีนี้อยู่ในโคฮอโมโลยี de Rham ดังนั้นเลมมา - จึงใช้ได้ โดยการอนุญาตให้ (ผลต่างของ) รูปแบบ Kähler สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้ฟังก์ชันเดียว ซึ่งเป็นฟังก์ชันพหุซับฮาร์มอนิก โดยอัตโนมัติ การศึกษาแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัดสามารถดำเนินการได้โดยใช้เทคนิคของทฤษฎีพหุศักยภาพซึ่งมีเครื่องมือวิเคราะห์ มากมายให้เลือกใช้ ตัวอย่างเช่น บทพิสูจน์ เสริม -lemma ถูกนำมาใช้เพื่อปรับเปลี่ยนสมการ Kähler–Einsteinให้อยู่ในรูปของศักยภาพ โดยแปลงสมการนั้นให้เป็นสมการ Monge–Ampère ที่ซับซ้อน สำหรับศักยภาพ Kähler ${\displaystyle \alpha =\omega }$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่ไม่จำเป็นต้องเป็น Kähler แต่ยังคงสอดคล้องกับ-lemma เรียกว่า-manifold ตัวอย่างเช่น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดซึ่งเป็นคลาส Fujiki Cสอดคล้องกับ-lemma แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น Kähler ^{[ 5 ]}${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

• ทฤษฎีบทปวงกาเร
• ทฤษฎีบทเสริมของดอลโบต์-โกรเทนดิค

• ฌอง-ปิแอร์ เดอไมลี. "หน้าข้อมูลส่วนตัวที่เกรโนเบิล รวมถึงผลงานตีพิมพ์" .