ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงไบราชันแนลเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยมีเป้าหมายเพื่อพิจารณาว่าเมื่อใดที่วาไรตี้เชิงพีชคณิตสองวาไรตี้จะสม isomorphic กันนอกเหนือจากเซตย่อยที่มีมิติต่ำกว่า ซึ่งก็คือการศึกษาการแมปที่กำหนดโดยฟังก์ชันตรรกยะแทนที่จะเป็นพหุนาม การแมปอาจไม่สามารถนิยามได้ในกรณีที่ฟังก์ชันตรรกยะมีขั้ว

แผนที่เชิงตรรกะจากวาไรตี้หนึ่ง (ซึ่งเข้าใจว่าไม่สามารถลดทอนได้ ) ไปยังวาไรตี้อื่นเขียนด้วยลูกศรเส้นประX ⇢ Yถูกนิยามว่าเป็นมอร์ฟิซึมจากเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างไปยังตามนิยามของโทโพโลยีซาริสกีที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างจะมีความหนาแน่นในเสมอ อันที่จริงแล้วคือส่วนเติมเต็มของเซตย่อยที่มีมิติต่ำกว่า กล่าวคือ แผนที่เชิงตรรกะสามารถเขียนในพิกัดโดยใช้ฟังก์ชันเชิงตรรกะได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

แผนที่ไบราชันนัลจากXไปยังYคือแผนที่ราชันนัลf  : X ⇢ Yที่มีแผนที่ราชันนัลY ⇢ Xผกผันกับfแผนที่ไบราชันนัลเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมจากเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของXไปยังเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของYและในทางกลับกัน: ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของXและYตามนิยามจะให้แผนที่ไบราชันนัลf  : X ⇢ Yในกรณีนี้XและYกล่าวได้ว่าเป็นไบราชันนัลหรือสมมูลกัน ในเชิงไบราชัน นั ล ในทางพีชคณิต วาไรตี้สองวาไรตี้เหนือฟิลด์k จะเป็นไบราชันนัลก็ต่อเมื่อฟิลด์ฟังก์ชัน ของพวกมัน เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะฟิลด์ส่วนขยายของk

กรณีพิเศษคือมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลf  : X → Yซึ่งหมายถึงมอร์ฟิซึมที่เป็นไบราชันนัล กล่าวคือfถูกกำหนดไว้ทุกที่ แต่ตัวผกผันของมันอาจไม่ถูกกำหนดไว้ โดยทั่วไปแล้ว เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเนื่องจากมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลจะยุบส่วนย่อยบางส่วนของX ไปยังจุดในY

กล่าวได้ว่า วาไรตี้Xเป็นวาไรตี้เชิงตรรกะหากวาไรตี้ X เป็นวาไร ตี้เชิงตรรกะคู่ขนานกับ ปริภูมิเชิงเส้น (หรือเทียบเท่ากับปริภูมิเชิงฉาย ) ที่มีมิติใดมิติหนึ่ง ความเป็นวาไรตี้เชิงตรรกะเป็นคุณสมบัติที่เป็นธรรมชาติมาก หมายความว่าXลบด้วยเซตย่อยที่มีมิติต่ำกว่าบางเซต สามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นลบด้วยเซตย่อยที่มีมิติต่ำกว่าบางเซต

ตัวอย่างเช่น วงกลมที่มีสมการในระนาบแอฟฟินเป็นเส้นโค้งตรรกยะ เนื่องจากมีฟังก์ชันตรรกยะf  : ⇢ Xที่กำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}$

ซึ่งมีฟังก์ชันผกผันเชิงตรรกะg : X ⇢ ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

การใช้แผนที่fโดยที่tเป็นจำนวนตรรกยะจะทำให้สามารถสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนได้ อย่างเป็นระบบ

แผนที่เชิงตรรกะไม่นิยามบนโลคัสที่ดังนั้น บนเส้นแอฟฟินเชิงซ้อน จึงเป็นมอร์ฟิซึมบนเซตย่อยเปิด ในทำนองเดียวกัน แผนที่เชิงตรรกะg  : X ⇢ไม่นิยามที่จุด (0,−1) ใน ${\displaystyle f}$${\displaystyle 1+t^{2}=0}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว ไฮเปอร์เซอร์เฟซ แบบควอด ริกเรียบ (ดีกรี 2) Xที่มีมิติn ใดๆ ก็ตาม จะเป็นแบบตรรกยะได้ โดยการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก (สำหรับXซึ่งเป็นควอดริกเหนือฟิลด์k จะต้องถือว่า Xมีจุดk- ตรรกยะ ซึ่งเป็นไปโดยอัตโนมัติหากkเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต) ในการกำหนดการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก ให้pเป็นจุดในXจากนั้นแผนที่แบบไบราชันนัลจากXไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของเส้นตรงที่ผ่านpจะได้มาจากการส่งจุดqในXไปยังเส้นตรงที่ผ่านpและqนี่คือความสมมูลแบบไบราชันนัล แต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ เพราะมันไม่สามารถนิยามได้ที่q = p (และแผนที่ผกผันก็ไม่สามารถนิยามได้ที่เส้นตรงที่ผ่านpซึ่งอยู่ในX ) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

การฝังแบบ Segreให้การฝังที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}$

ภาพดังกล่าวคือพื้นผิวควอดริกในซึ่งเป็นการพิสูจน์อีกอย่างหนึ่งว่าพื้นผิวควอดริกนี้เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างเห็นได้ชัด โดยมีเซตย่อยเปิดที่สมมาตรกับ ${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

ทุกวาไรตี้เชิงพีชคณิตเป็นไบราชันนัลกับวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟ ( ทฤษฎีบทของโชว์ ) ดังนั้น เพื่อวัตถุประสงค์ของการจำแนกประเภทแบบไบราชันนัล จึงเพียงพอที่จะทำงานเฉพาะกับวาไรตี้เชิงโปรเจคทีฟเท่านั้น และนี่มักจะเป็นการตั้งค่าที่สะดวกที่สุด

ทฤษฎีบทของฮิโรนากะ ในปี 1964 เกี่ยวกับ การแก้ภาวะเอกฐานนั้นลึกซึ้งกว่ามาก กล่าวคือในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 (เช่น จำนวนเชิงซ้อน) ทุกวาไรตี้จะเป็นไบราชันนัลกับ วาไรตี้ เชิงโปรเจกทีฟเรียบ เมื่อพิจารณาเช่นนั้นแล้ว การจำแนกวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบตามความสมมูลของไบราชันนัลก็เพียงพอแล้ว

ในมิติ 1 ถ้าเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบสองเส้นเป็นไบราชันนัลแล้ว เส้นโค้งทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แต่สิ่งนี้ใช้ไม่ได้ในมิติอย่างน้อย 2 เนื่องจาก การสร้างแบบ เป่าขึ้น (blowing up ) ด้วยการเป่าขึ้น ความหลากหลายเชิงโปรเจกทีฟเรียบทุกตัวที่มีมิติอย่างน้อย 2 จะเป็นไบราชันนัลกับความหลากหลายที่ "ใหญ่กว่า" จำนวนอนันต์ เช่น ความหลากหลายที่มีจำนวนเบ็ตติที่ ใหญ่กว่า

สิ่งนี้จึงนำไปสู่แนวคิดของแบบจำลองขั้นต่ำ : มีวาไรตี้ที่เรียบง่ายที่สุดเพียงหนึ่งเดียวในแต่ละชั้นสมมูลไบราชันนัลหรือไม่? นิยามสมัยใหม่คือ วาไรตี้เชิงโปร เจกทีฟ Xจะเป็นวาไรตี้ขั้นต่ำ ก็ต่อ เมื่อบันเดิลเส้นแคนอนิกK _Xมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในXกล่าวอีกนัยหนึ่งคือK _Xเป็นnefตรวจสอบได้ง่ายว่าวาไรตี้ที่ขยายใหญ่ขึ้นจะไม่เป็นวาไรตี้ขั้นต่ำเลย

แนวคิดนี้ใช้ได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับพื้นผิวพีชคณิต (วาไรตี้ของมิติ 2) ในแง่สมัยใหม่ ผลลัพธ์สำคัญประการหนึ่งของสำนักเรขาคณิตพีชคณิตของอิตาลีในช่วงปี 1890–1910 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการจำแนกประเภทของพื้นผิวคือ พื้นผิวX ทุกพื้นผิว เป็นไบราชันนัลกับผลคูณ ของเส้นโค้ง Cบางเส้นหรือกับพื้นผิวขั้นต่ำY [ ^{1 ] ทั้งสองกรณี นี้}แยกจากกันโดยสิ้นเชิง และYจะมีเพียงหนึ่งเดียวหากมีอยู่ เมื่อYมีอยู่ จะเรียกว่าแบบจำลองขั้นต่ำ ของ  X${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}$

ในตอนแรก ยังไม่ชัดเจนว่าจะแสดงให้เห็นได้อย่างไรว่ามีวาไรตี้พีชคณิตใดบ้างที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องมีตัวแปรคงที่แบบไบราชันนัลของวาไรตี้พีชคณิตตัวแปรคงที่แบบไบราชันนัลคือจำนวน วงแหวน หรือสิ่งอื่นใดที่เหมือนกันหรือสมมาตรกันสำหรับวาไรตี้ทั้งหมดที่สมมูลกันแบบไบราชันนัล

ชุดของตัวแปรไบราชันนัลที่มีประโยชน์ชุดหนึ่งคือพลูริเจเนอรา บันเดิลแคนอนิก ของวาไรตีเรียบ Xที่มีมิติnหมายถึงบันเดิลเส้นของn-ฟอร์มK _X = Ω ⁿซึ่งเป็นกำลังภายนอก ลำดับ ที่nของบันเดิลโคแทนเจนต์ของXสำหรับจำนวนเต็มd กำลังเทนเซอร์ลำดับ ที่dของK _Xก็เป็นบันเดิลเส้นเช่นกัน สำหรับd ≥ 0ปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนทั่วโลกH ⁰ ( X , K _X ^d )มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งคือแผนที่ไบราชันนัลf  : X ⇢ Y ระหว่างวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟ ^{เรียบ}เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมH ⁰ ( X , K _X ^d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _Y ^d ) [ ^{2 ]}

สำหรับd ≥ 0ให้กำหนดพลูริจีนัสลำดับที่d คือ P _dเป็นมิติของปริภูมิเวกเตอร์H ⁰ ( X , K _X ^d )จากนั้นพลูริจีนัสจะเป็นค่าคงที่แบบไบราชันนัลสำหรับวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าพลูริจีนัสP _d ใดๆ ที่มีd > 0ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าXไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

มิติโคไดระเป็นค่าคงที่พื้นฐานของ ไบราชันนัล ซึ่งใช้วัดการเติบโตของพหุนามP _dเมื่อdเข้าสู่ค่าอนันต์ มิติโคไดระแบ่งวาไรตี้ทั้งหมดที่มีมิติnออกเป็นn + 2ประเภท โดยมีมิติโคไดระเป็น −∞, 0, 1, ... หรือnนี่คือการวัดความซับซ้อนของวาไรตี้ โดยที่ปริภูมิเชิงฉายมีมิติโคไดระเป็น −∞ วาไรตี้ที่ซับซ้อนที่สุดคือวาไรตี้ที่มีมิติโคไดระเท่ากับมิติn ของมัน เรียกว่าวาไรตี้ประเภททั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับผลรวมตามธรรมชาติใดๆ

${\displaystyle E(\โอเมก้า ^{1})=\bigotimes ^{k}\โอเมก้า ^{1}}$

ของ กำลังเทนเซอร์ลำดับที่ rของกลุ่มโคแทนเจนต์ Ω ¹โดยที่r ≥ 0ปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนตัดทั่วโลกH ⁰ ( X , E (Ω ¹ ))เป็นค่าคงที่ไบราชันนัลสำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขฮอดจ์

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}$

เป็นค่าคงที่แบบไบราชันนัลของX (จำนวนฮอดจ์อื่นๆ ส่วนใหญ่h , ^{p , q}ไม่ใช่ค่าคงที่แบบไบราชันนัล ดังที่แสดงโดยการระเบิด)

กลุ่มพื้นฐานπ ₁ ( X ) เป็นตัวแปรคงที่แบบไบราชันนัลสำหรับวาไรตี้เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟเรียบ

ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบแบบอ่อน (Weak factorization theorem) ที่พิสูจน์โดย Abramovich, Karu, Matsuki และ Włodarczyk (2002)กล่าวว่า แผนที่แบบไบราชันนัลใดๆ ระหว่างวาไรตี้เชิงซ้อนแบบเรียบสองตัว สามารถแยกตัวประกอบออกเป็นการระเบิดขึ้น (blow-up) หรือการระเบิดลง (blow-down) ของวาไรตี้ย่อยแบบเรียบจำนวนจำกัดได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ควรรู้ แต่การพิจารณาว่าวาไรตี้เชิงซ้อนแบบเรียบสองตัวนั้นเป็นแบบไบราชันนัลหรือไม่นั้นยังคงเป็นเรื่องยากมาก

วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ Xเรียกว่าวาไรตี้ขั้นต่ำสุดถ้าบันเดิลแคนอนิกK _Xเป็นnefสำหรับXที่มีมิติ 2 การพิจารณาวาไรตี้เรียบในนิยามนี้ก็เพียงพอแล้ว ในมิติอย่างน้อย 3 วาไรตี้ขั้นต่ำสุดจะต้องอนุญาตให้มีเอกฐานอ่อนบางประการ ซึ่งK _Xยังคงมีพฤติกรรมที่ดี เอกฐานเหล่านี้เรียกว่าเอก ฐานปลายทาง

กล่าวคือข้อสันนิษฐานแบบจำลองขั้นต่ำจะบ่งชี้ว่า ทุกความหลากหลายXจะถูกครอบคลุมโดยเส้นโค้งเชิงตรรกะหรือ เป็นสัดส่วนเชิงตรรกะกับความหลากหลายขั้นต่ำYเมื่อY มีอยู่จริง จะเรียกว่าแบบจำลองขั้นต่ำของX

แบบจำลองขั้นต่ำไม่ได้มีเอกลักษณ์เฉพาะในมิติอย่างน้อย 3 แต่รูปแบบขั้นต่ำสองรูปแบบใดๆ ที่เป็นไบราชันนัลจะมีความใกล้เคียงกันมาก ตัวอย่างเช่น พวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกันนอกเหนือจากเซตย่อยที่มีมิติร่วมอย่างน้อย 2 และโดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกมันมีความสัมพันธ์กันโดยลำดับของฟล็อปดังนั้นสมมติฐานแบบจำลองขั้นต่ำจะให้ข้อมูลที่แข็งแกร่งเกี่ยวกับการจำแนกประเภทไบราชันนัลของรูปแบบพีชคณิต

ข้อสันนิษฐานได้รับการพิสูจน์ในมิติ 3 โดย Mori ^{[ 3 ]}มีความก้าวหน้าอย่างมากในมิติที่สูงขึ้น แม้ว่าปัญหาทั่วไปยังคงเปิดอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Birkar, Cascini, Hacon และ McKernan (2010) ^{[ 4 ]}พิสูจน์ว่าวาไรตี้ทุกประเภททั่วไปเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์มีแบบจำลองขั้นต่ำ

วาไรตี้เรียกว่า วาไร ตี้แบบยูนิรูเลด (uniruled variety ) ถ้ามันถูกปกคลุมด้วยเส้นโค้งเชิงตรรกะ วาไรตี้แบบยูนิรูเลดไม่มีแบบจำลองขั้นต่ำ แต่มีตัวทดแทนที่ดี: Birkar, Cascini, Hacon และ McKernan แสดงให้เห็นว่าวาไรตี้แบบยูนิรูเลดทุกตัวเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์นั้นเป็นไบราชันนัลสำหรับปริภูมิไฟเบอร์ Fano [ ^{a ] สิ่ง}นี้นำไปสู่ปัญหาของการจำแนกประเภทไบราชันนัลของปริภูมิไฟเบอร์ Fano และ (กรณีพิเศษที่น่าสนใจที่สุด) วาไรตี้ Fano ตามคำจำกัดความ วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟXเป็นFanoถ้าบันเดิลแอนติแคนอนิกเป็นแอมเพิล วาไรตี้ Fano สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นวาไรตี้พีชคณิตที่คล้ายกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมากที่สุด ${\displaystyle K_{X}^{*}}$

ในมิติ 2 วาไรตี้ฟาโนทุกตัว (ที่รู้จักกันในชื่อพื้นผิวเดล เปซโซ ) บนฟิลด์ปิดเชิง พีชคณิต ล้วนเป็นจำนวนตรรกยะ การค้นพบครั้งสำคัญในทศวรรษ 1970 คือ เริ่มตั้งแต่มิติ 3 เป็นต้นไป มีวาไรตี้ฟาโนหลายตัวที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะโดยเฉพาะอย่างยิ่ง 3-fold ลูกบาศก์เรียบไม่ใช่จำนวนตรรกยะตามที่Clemens–Griffiths (1972) กล่าวและ 3-fold ควอติกเรียบไม่ใช่จำนวนตรรกยะตามที่Iskovskikh–Manin (1971)กล่าว อย่างไรก็ตาม ปัญหาในการกำหนดว่าวาไรตี้ฟาโนใดบ้างที่เป็นจำนวนตรรกยะนั้นยังไม่ได้รับการแก้ไขอย่างแน่ชัด ตัวอย่างเช่น ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีไฮเปอร์เซอร์เฟซลูกบาศก์เรียบใดในn ≥ 4ที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะหรือ ไม่${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$

วาไรตี้เชิงพีชคณิตมีความแตกต่างกันอย่างมากในจำนวนออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลที่พวกมันมี วาไรตี้ประเภททั่วไป ทุก ตัวมีความเข้มงวดอย่างมากในแง่ที่ว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของมันมีจำนวนจำกัด ในทางตรงกันข้าม กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของปริภูมิเชิง โปรเจกที ฟเหนือฟิลด์kซึ่งรู้จักกันในชื่อกลุ่มเครโมนาCr _n ( k ) นั้นมีขนาดใหญ่ (ในแง่หนึ่งคือมีมิติอนันต์) สำหรับn ≥ 2สำหรับn = 2กลุ่มเครโมนาเชิงซ้อนถูกสร้างขึ้นโดย "การแปลงกำลังสอง" ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

ร่วมกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของMax NoetherและCastelnuovoในทางตรงกันข้าม กลุ่ม Cremona ในมิติn ≥ 3ยังคงเป็นปริศนาอย่างมาก: ไม่ทราบชุดตัวสร้างที่ชัดเจน ${\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$

Iskovskikh–Manin (1971)แสดงให้เห็นว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของควอติก 3-โฟลด์เรียบนั้นเท่ากับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมัน ซึ่งเป็นกลุ่มจำกัด ในแง่นี้ ควอติก 3-โฟลด์จึงห่างไกลจากการเป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของวาไรตี้จำนวนตรรกยะนั้นมีขนาดใหญ่มาก ปรากฏการณ์ "ความแข็งแกร่งแบบไบราชันนัล" นี้ได้รับการค้นพบในปริภูมิไฟเบอร์ฟาโนอื่นๆ อีกมากมายในเวลาต่อมา

เรขาคณิตเชิงไบราชันนัลได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ ของเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาดั้งเดิมของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำที่มีชื่อเสียงถูกใช้เพื่อสร้างพื้นที่โมดูลัสของวาไรตี้ประเภททั่วไปโดยJános KollárและNicholas Shepherd-Barronซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อพื้นที่โมดูลัส KSB ^{[ 5 ]}

เรขาคณิตแบบไบราชันแนลเพิ่งมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในการศึกษาเสถียรภาพ K ของวาไรตี้ฟาโนผ่านผลลัพธ์การมีอยู่ทั่วไปสำหรับเมตริก Kähler–Einsteinในการพัฒนาตัวแปรคงที่ที่ชัดเจนของวาไรตี้ฟาโนเพื่อทดสอบเสถียรภาพ K โดยการคำนวณบนแบบจำลองไบราชันแนล และในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้ฟาโน^{[ 6 ]}ผลลัพธ์ที่สำคัญในเรขาคณิตแบบไบราชันแนล เช่น การพิสูจน์ขอบเขตของวาไรตี้ฟาโนโดย Birkarได้ถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์การมีอยู่สำหรับปริภูมิโมดูลัส

• การคาดเดาความอุดมสมบูรณ์