การทำแผนที่เชิงเหตุผล

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาย่อยของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแผนที่เชิงตรรกะหรือการแปลงเชิงตรรกะ คือ ฟังก์ชันบางส่วนชนิดหนึ่งระหว่างวาไรตี้เชิงพีชคณิตบทความนี้ใช้ข้อตกลงว่าวาไรตี้ไม่สามารถลดทอนได้

ในทางทฤษฎีแผนที่เชิงตรรกะ ระหว่างสองวาไรตี้คือชั้นสมมูลของคู่ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมของวาไรตี้จากเซตเปิดที่ไม่ว่างไปยังและคู่ดังกล่าวสองคู่และถือว่าสมมูลกันหากและตรงกันที่จุดตัด(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อนี้เป็นจริงโดยปริยายหากจุดตัดว่าง แต่เนื่องจากถือว่าไม่สามารถแยกย่อยได้ จึงเป็นไปไม่ได้) การพิสูจน์ว่าสิ่งนี้กำหนดความสัมพันธ์สมมูล นั้น อาศัยบทตั้งต่อไปนี้: ${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle {f'}_{U'}}$${\displaystyle U\cap U'}$${\displaystyle V}$

• ถ้ามอร์ฟิซึมสองตัวของวาไรตี้เท่ากันบนเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าบางเซต มอร์ฟิซึมทั้งสองนั้นก็จะเท่ากันด้วย

${\displaystyle f}$กล่าวได้ว่า เป็น มอร์ ฟิซึมเด่น (dominant morphism ) ถ้าตัวแทนหนึ่งตัว (หรือทุกตัว) ในกลุ่มสมมูล (equivalence class) เป็นมอร์ฟิซึมเด่น กล่าว คือ มีภาพหนาแน่น (dense image) และกล่าวได้ว่า เป็นมอร์ฟิ ซึมแบบไบราชันนัล (birational map) ถ้ามีแผนที่ราชันนัล (rational map) ที่เป็นตัวผกผันของมัน โดยที่การประกอบ (composition) นั้นหมายถึงความหมายข้างต้น ${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\colon W\to V}$

ความสำคัญของแผนที่เชิงตรรกะต่อเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอยู่ที่ความเชื่อมโยงระหว่างแผนที่ดังกล่าวกับแผนที่ระหว่างฟิลด์ฟังก์ชันของและโดยนิยามแล้วฟังก์ชันเชิงตรรกะก็คือแผนที่เชิงตรรกะที่มีพิสัยเป็นเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ การประกอบฟังก์ชันทำให้เราสามารถ " ดึงกลับ " ฟังก์ชันเชิงตรรกะไปตามแผนที่เชิงตรรกะได้ ดังนั้นแผนที่เชิงตรรกะเดียวจึงเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทต่อไปนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง: ฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของวาไรตี้เชิงโปรเจก ทีฟ ที่มีแผนที่เชิงตรรกะเด่น (เหนือฟิลด์ฐานที่กำหนดไว้ เช่น) ไปยังหมวดหมู่ของส่วนขยายฟิลด์ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ของฟิลด์ฐานที่มีการรวมส่วนขยายแบบย้อนกลับเป็นมอร์ฟิซึม ซึ่งเชื่อมโยงแต่ละวาไรตี้กับฟิลด์ฟังก์ชันและแต่ละแผนที่กับแผนที่ของฟิลด์ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง เป็นความสมมูลของหมวดหมู่ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle K(W)\to K(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

มีแผนที่เชิงตรรกะที่ส่งอัตราส่วนเนื่องจากจุดนั้นไม่สามารถมีภาพได้ แผนที่นี้จึงเป็นเพียงแผนที่เชิงตรรกะเท่านั้น ไม่ใช่การแปลงแบบมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ โดยทั่วไปแล้ว มีแผนที่เชิงตรรกะสำหรับการส่งทูเปิล ไปยังทูเปิล โดยการละทิ้งพิกัดสุดท้าย ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$${\displaystyle [0:0:1]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle m>n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

บนวาไรตี้ที่เชื่อมต่อกันการรวมวาไรตี้ย่อยแบบเปิดใดๆก็ตามเป็นการสมมูลแบบไบราชันนัล เนื่องจากวาไรตี้ทั้งสองมีฟิลด์ฟังก์ชันที่เทียบเท่ากัน กล่าวคือ ฟังก์ชันตรรกยะทุกฟังก์ชันสามารถจำกัดให้เป็นฟังก์ชันตรรกยะได้และในทางกลับกัน ฟังก์ชันตรรกยะกำหนดชั้นสมมูลตรรกยะบนวาไร ตี้ ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของปรากฏการณ์นี้คือการสมมูลแบบไบราชันนัลของและดังนั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle (U,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

ปริภูมิปกคลุมบนเซตย่อยเปิดของวาไรตี้ให้ตัวอย่างมากมายของแผนที่เชิงตรรกะที่ไม่ใช่แบบไบราชันนัล ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของเบลยีกล่าวว่าเส้นโค้งพีชคณิตทุกเส้นยอมรับแผนที่ซึ่งแตกแขนงที่สามจุด จากนั้นจะมีปริภูมิปกคลุมที่เกี่ยวข้องซึ่งกำหนดมอร์ฟิซึมเชิงตรรกะเด่นที่ไม่ใช่แบบไบราชันนัล ตัวอย่างอีกกลุ่มหนึ่งมาจากเส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติกซึ่งเป็นปริภูมิปกคลุมสองชั้นที่แตกแขนงที่จุดจำนวนจำกัด ตัวอย่างอีกกลุ่มหนึ่งได้มาจากการนำไฮเปอร์เซอร์เฟซมาและจำกัดแผนที่เชิงตรรกะไปยังซึ่งจะให้ปริภูมิปกคลุมที่แตกแขนง ตัวอย่างเช่นพื้นผิวลูกบาศก์ที่กำหนดโดยโลคัสที่หายไปมีแผนที่เชิงตรรกะไปยัง โดยส่งแผนที่เชิงตรรกะนี้สามารถแสดงได้เป็นการขยายฟิลด์ ดีกรี${\displaystyle C}$${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$${\displaystyle 3}$$${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$$

หนึ่งในตัวอย่างสำคัญของแผนที่แบบไบราชันนัลคือการแก้ปัญหาเอกฐานบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 ทุกวาไรตีเอกฐานจะมีวาไรตีไม่เอกฐานที่เกี่ยวข้อง ซึ่งมีแผนที่ แบบไบราชันนัล แผนที่นี้มีคุณสมบัติว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมบนและไฟเบอร์บนเป็นตัวหารตัดปกติ ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งปม เช่นเป็นไบราชันนัลกับเนื่องจากในทางโทโพโลยีมันเป็นเส้นโค้งวงรีที่มีวงกลมวงหนึ่งหดตัวลง จากนั้น แผนที่แบบไบราชันนัลจะกำหนดโดย การทำให้ เป็น มาตรฐาน${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

กล่าวกันว่าสองวาไรตี้สมมูลกันแบบไบราชันนัลหากมีแผนที่ไบราชันนัลระหว่างกัน ทฤษฎีบทนี้ระบุว่า การสมมูลกันแบบไบราชันนัลของวาไรตี้จะเหมือนกับการสมมูลกันของฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้ในฐานะส่วนขยายของฟิลด์ฐาน แนวคิดนี้ค่อนข้างยืดหยุ่นกว่าแนวคิดเรื่องการสมมูลกันของวาไรตี้ (ซึ่งต้องใช้มอร์ฟิซึมที่กำหนดทั่วโลกเพื่อเป็นพยานถึงการสมมูลกัน ไม่ใช่เพียงแค่แผนที่เชิงตรรกะ) ตรงที่ว่ามีวาไรตี้บางประเภทที่เป็นไบราชันนัลแต่ไม่เป็นสมมูลกัน

ตัวอย่างทั่วไปคือเป็นฟังก์ชันไบราชันนัลกับวาไรตี้ที่บรรจุอยู่ใน ซึ่งประกอบด้วยเซตของจุดเชิงโปรเจกทีฟที่แต่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน อันที่จริง เส้นโค้งสองเส้นใดๆ ในตัดกัน แต่เส้นตรงในที่กำหนดโดยและไม่สามารถตัดกันได้ เนื่องจากจุดตัดจะมีพิกัดเป็นศูนย์ทั้งหมด ในการคำนวณฟิลด์ฟังก์ชันของเราส่งผ่านไปยังเซตย่อยเชิงเส้นตรง (ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงฟิลด์ เป็นการแสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่าแผนที่เชิงราชันนัลขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของมันในเซตย่อยเปิดใดๆ ของโดเมนเท่านั้น) ซึ่ง; ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ หมายความว่าเราสามารถใช้และด้วยเหตุนี้จึงระบุเซตย่อยนี้กับระนาบเชิงเส้นตรง ที่นั่น วงแหวนพิกัดของคือ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$${\displaystyle [w:x:y:z]}$${\displaystyle xy-wz=0}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w=x=0}$${\displaystyle y=z=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w\neq 0}$${\displaystyle w=1}$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

ผ่านทางแผนที่และฟิลด์เศษส่วนของสิ่งหลังนั้นก็คือ ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับของโปรดทราบว่าเราไม่ได้สร้างแผนที่เชิงตรรกะขึ้นมาจริง ๆ แม้ว่าการติดตามผ่านการพิสูจน์ทฤษฎีบทจะทำให้สามารถทำเช่นนั้นได้ก็ตาม ${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$

• เรขาคณิตแบบไบราชันนัล
• การระเบิด
• ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิต
• การแก้ไขภาวะเอกฐาน
• โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำ
• โครงสร้างบันทึก