ในทางคณิตศาสตร์บทตั้งการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noetherเป็นผลมาจากพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน ซึ่ง Emmy Noetherนำเสนอในปี 1926 ^{[ 1 ]}ระบุว่าสำหรับฟิลด์ ใดๆ และพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนkที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจะมีองค์ประกอบในที่เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือและเช่นนั้นเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนพหุนามจำนวนเต็มเท่ากับมิติ Krullของวงแหวนและถ้าเป็นโดเมนจำนวนเต็มก็ เป็น ระดับการเคลื่อนย้ายของฟิลด์เศษส่วนของเหนือ k ด้วย${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S=k[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}]}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A}$

ทฤษฎีบทนี้มีการตีความทางเรขาคณิต สมมติว่าAคือวงแหวนพิกัดของวาไรตีเชิงเส้นXและพิจารณาSเป็นวงแหวนพิกัดของปริภูมิเชิงเส้นdมิติแล้วแผนที่การรวมจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมจำกัดแบบ ทั่วถึง ของวาไรตีเชิงเส้นนั่นคือวาไรตีเชิงเส้น ใดๆ ก็เป็น แผนที่ ครอบคลุมแบบแตกแขนงของปริภูมิเชิงเส้น เมื่อkเป็นอนันต์แผนที่ครอบคลุม แบบแตกแขนงดังกล่าว สามารถสร้างขึ้นได้โดยการฉายภาพทั่วไปจากปริภูมิเชิงเส้นที่มีXไปยัง ปริภูมิย่อย dมิติ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$${\displaystyle S\hookrightarrow A}$${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$

โดยทั่วไปแล้ว ในภาษาของแผนผังทฤษฎีบทนี้สามารถกล่าวได้อย่างเทียบเท่าว่า: แผนผังk -affine ทุกอัน ( ประเภทจำกัด ) X นั้นเป็นแบบจำกัดเหนือปริภูมิnมิติแบบ affine ทฤษฎีบทนี้สามารถปรับปรุงให้รวมถึงสายโซ่ของอุดมคติของR (เทียบเท่ากับเซตย่อยปิดของX ) ที่เป็นแบบจำกัดเหนือปริภูมิย่อยพิกัดแบบ affine ของมิติที่สอดคล้องกัน^{[ 2 ]}

บทตั้งการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether สามารถใช้เป็นขั้นตอนสำคัญในการพิสูจน์NullstellensatzของHilbertซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์พื้นฐานที่สุดของเรขาคณิตพีชคณิต คลาสสิก ทฤษฎีบทการทำให้เป็นมาตรฐานยังเป็นเครื่องมือสำคัญในการสร้างแนวคิดของมิติ Krullสำหรับk -algebras อีกด้วย

ทฤษฎีบท ( เลมมาการทำให้เป็นมาตรฐานของโนเธอร์ ) ให้kเป็นฟิลด์ และ A เป็น พีชคณิตkที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด แล้วสำหรับจำนวนเต็ม d บาง ตัวจะมีที่เป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือkเช่นนั้นAเป็นฟิลด์จำกัด (กล่าวคือ สร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูล) เหนือ(จำนวนเต็มdจะเท่ากับมิติครูลล์ของA ) ถ้าAเป็นโดเมนจำนวนเต็ม แล้วdก็คือระดับการเคลื่อนย้ายของฟิลด์เศษส่วนของAเหนือkด้วย ${\displaystyle A=k[y_{1}',...,y_{m}']}$${\displaystyle 0\leq d\leq m}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}$${\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{d}]}$

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นผลงานของนากาตะและปรากฏอยู่ในหนังสือ Red Bookของมัมฟอร์ดบทพิสูจน์ที่สองซึ่งใช้หลักเรขาคณิตมากกว่านั้น ปรากฏอยู่ในหน้า 176 ของหนังสือเล่มเดียวกัน

บทพิสูจน์:เราจะใช้การอุปนัยบนmกรณีคือและไม่มีอะไรต้องพิสูจน์ สมมติว่า . จากนั้นเป็นk-พีชคณิต โดยที่เป็นไอเดียลบางอย่าง เนื่องจากเป็น PID (เป็นโดเมนยุคลิด ) . ถ้าเราทำเสร็จแล้ว สมมติ ว่า . ให้eเป็นดีกรีของfจากนั้นAถูกสร้างขึ้นเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ kโดย. ดังนั้นAจึงจำกัดเหนือkสมมติว่า. ถ้าเป็นอิสระทางพีชคณิตแล้ว โดยการกำหนดเราก็เสร็จแล้ว ถ้าไม่ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ข้ออ้างที่ว่ามีk-พีชคณิตย่อยSของAที่ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ เช่นนั้นAจึงจำกัดเหนือSอันที่จริง โดยสมมติฐานอุปนัย เราสามารถหา สำหรับจำนวนเต็มd บางตัว , , องค์ประกอบที่เป็นอิสระทางพีชคณิตของSเช่นนั้นSจึงจำกัดเหนือ. เนื่องจากAจึงจำกัดเหนือSและSก็จำกัดเหนือเราจึงได้ข้อสรุปที่ต้องการว่าAจึงจำกัดเหนือ. ${\displaystyle m=0}$${\displaystyle k=A}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle A\cong k[y]/I}$${\displaystyle I\subset k[y]}$${\displaystyle k[y]}$${\displaystyle I=(f)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle y_{i}'}$${\displaystyle y_{i}=y_{i}'}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle 0\leq d\leq m-1}$${\displaystyle y_{1},...,y_{d}}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle k[y_{1},...,y_{d}]}$

เพื่อพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างนี้ เราตั้งสมมติฐานว่าตัวแปรเหล่านั้นไม่ได้เป็นอิสระทางพีชคณิต ดังนั้นจึงมีพหุนามf ที่ไม่เป็นศูนย์ ในตัวแปรm ตัวเหนือ kเช่นนั้น ${\displaystyle y_{i}'}$

${\displaystyle f(y_{1}',\ldots ,y_{m}')=0}$.

กำหนดให้จำนวนเต็มrซึ่งจะถูกกำหนดในภายหลัง ให้ตั้งค่า

${\displaystyle z_{i}=y_{i}'-(y_{1}')^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m,}$

และเพื่อให้ง่ายต่อการเขียน ให้เขียนว่า${\displaystyle {\tilde {y}}=y_{1}'.}$

จากนั้นข้อความข้างต้นมีดังนี้:

${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})=0.\ \ \ (*)}$

ถ้าเป็นเอกนามที่ปรากฏทางด้านซ้ายของสมการข้างต้น โดยมีสัมประสิทธิ์ พจน์ที่มีค่าสูงสุดในหลังจากกระจายผลคูณแล้วจะมีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+{\tilde {y}}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$${\displaystyle a\in k}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$

${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}}$.

เมื่อใดก็ตามที่เลขชี้กำลังข้างต้นตรงกับเลขชี้กำลังสูงสุดที่ได้จากเอกนามอื่น ๆ เป็นไปได้ว่าพจน์สูงสุดในจะไม่เป็นไปในรูปแบบข้างต้น เนื่องจากอาจได้รับผลกระทบจากการตัดทอน อย่างไรก็ตาม ถ้าrมีค่ามากพอ (เช่น เราสามารถกำหนดให้) แล้วแต่ละจะเข้ารหัสเลขฐานr ที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้นสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น สำหรับr ดังกล่าว ให้เป็นสัมประสิทธิ์ของเอกนามที่ไม่ซ้ำกันของfที่มีดีกรีหลายระดับซึ่งปริมาณมีค่าสูงสุด การคูณด้วยจะให้สมการการพึ่งพาแบบอินทิกรัลของเหนือนั่นคือ เป็นอินทิกรัลเหนือSยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากA จึงมีค่าจำกัดเหนือS ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้าง ดังนั้นเราจึงเสร็จสิ้นส่วนแรก แล้ว${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},...,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})}$${\displaystyle r=1+\deg f}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle c\in k}$${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$${\displaystyle (*)}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$${\displaystyle y_{1}'(={\tilde {y}})}$${\displaystyle A=S[y_{1}']}$

ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าAเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลแล้วdคือระดับความเหนือธรรมชาติของฟิลด์เศษส่วนของมัน อันที่จริงAและวงแหวนพหุนามมีระดับความเหนือธรรมชาติเดียวกัน (นั่นคือ ระดับของฟิลด์เศษส่วน) เนื่องจากฟิลด์เศษส่วนของAเป็นพีชคณิตเหนือฟิลด์เศษส่วนของS (เนื่องจากAเป็นอินทิกรัลเหนือS ) และSมีระดับความเหนือธรรมชาติdดังนั้นจึงเหลือเพียงแสดงว่ามิติ Krull ของSคือd (นี่เป็นผลลัพธ์จากทฤษฎีมิติ เช่นกัน ) เราอุปนัยบนdโดยที่กรณีนั้นเป็นกรณีที่ไม่สำคัญ เนื่องจากเป็นสายโซ่ของอุดมคติเฉพาะ มิติจึงมีค่าอย่างน้อยdเพื่อให้ได้การประมาณย้อนกลับ ให้เป็นสายโซ่ของอุดมคติเฉพาะ ให้เราใช้การทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether และได้(ในกระบวนการทำให้เป็นมาตรฐาน เราสามารถเลือกตัวแปรแรกได้อย่างอิสระ) โดยที่Sเป็นอินทิกรัลเหนือTโดยสมมติฐานอุปนัยมีมิติ เนื่องจากไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้จึงเป็นโซ่ที่มีความยาวและจากนั้น ในมันจะกลายเป็นโซ่ที่มีความยาวเนื่องจากเราจึง ได้ ดังนั้น${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$${\displaystyle d=0}$${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$${\displaystyle T/(u)}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$${\displaystyle m-1\leq d-1}$${\displaystyle \dim S\leq d}$${\displaystyle \square }$

การปรับปรุงต่อไปนี้ปรากฏในหนังสือของ Eisenbud ซึ่งสร้างขึ้นจากแนวคิดของ Nagata: ^{[ 2 ]}

ในทางเรขาคณิต ส่วนสุดท้ายของทฤษฎีบทกล่าวว่าสำหรับการฉายเชิงเส้นทั่วไปใด ๆจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมจำกัด (ดูคำนำ) นอกจาก Eisenbud แล้ว โปรดดู[1]ด้วย ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ที่ไม่ธรรมดาของบทตั้งการทำให้เป็นมาตรฐานคือ ทฤษฎีบทความ เป็นอิสระทั่วไป : ให้เป็นวงแหวนที่เป็นโดเมนอินทิกรัลแบบโนเธอร์เรียน และสมมติว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่แสดงให้เห็นว่า เป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือแล้วจะมี บางตัวที่ เป็น โมดูล อิสระ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เป็นฟิลด์เศษส่วนของเราจะใช้การอุปมานบนมิติครูลของกรณีฐานคือเมื่อมิติครูลเป็น; กล่าวคือ; นั่นคือ เมื่อมีบางตัวที่ดังนั้น จึงเป็นโมดูลอิสระ สำหรับขั้นตอนการอุปมาน โปรดทราบว่าเป็นพีชคณิต ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดดังนั้นโดยทฤษฎีบทการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether จึงประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นอิสระทางพีชคณิตเช่นนั้น จึงเป็นค่าจำกัดเหนือวงแหวนพหุนาม เมื่อคูณแต่ละตัวด้วยองค์ประกอบของเราสามารถสมมติได้ว่าอยู่ในต่อไปนี้เราจะพิจารณา: ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle gB=0}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

ตอนนี้อาจจะไม่ใช่เซตจำกัดเหนือแต่จะกลายเป็นเซตจำกัดหลังจากกลับองค์ประกอบตัวเดียวดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นองค์ประกอบของแล้วในฐานะที่เป็นองค์ประกอบของมันจะเป็นจำนวนเต็มเหนือ กล่าวคือสำหรับบางค่าในดังนั้น บางค่าจะทำให้ตัวส่วนทั้งหมดของสัมประสิทธิ์ของ เป็น ศูนย์ และดังนั้น จึงเป็นจำนวนเต็มเหนือการเลือกตัวสร้างจำนวนจำกัดของเป็นพีชคณิต และใช้ข้อสังเกตนี้กับตัวสร้างแต่ละตัว เราจะพบค่าบางค่าที่ทำให้ เป็นจำนวนเต็ม (ดังนั้นจึงเป็นเซตจำกัด) เหนือแทนที่ด้วยแล้วเราสามารถสมมติได้ว่าเป็นเซตจำกัดเหนือ สุดท้ายพิจารณาการกรองแบบจำกัดโดยโมดูลย่อย เช่นสำหรับอุดมคติเฉพาะ(การกรองดังกล่าวมีอยู่ตามทฤษฎีของจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวข้อง ) สำหรับแต่ละiถ้าโดยสมมติฐานอุปนัย เราสามารถเลือกบางค่าในที่ทำให้เป็นโมดูลอิสระในฐานะโมดูล ในขณะที่ เป็นวงแหวนพหุนามและดังนั้นจึง เป็น โมดูล อิสระ ดังนั้น ด้วย จึงเป็นโมดูลอิสระเหนือ${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F\otimes _{A}B}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle 0\neq g\in A}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A'[g^{-1}]}$${\displaystyle B,A}$${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$${\displaystyle g_{i}\neq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$${\displaystyle B[g^{-1}]}$${\displaystyle A[g^{-1}]}$${\displaystyle \square }$

• Robertz, D.: การทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether โดยใช้การแยกส่วนกรวยเอกนามเป็นแนวทาง วารสารการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ 44(10), 1359–1373 (2009)