ในทฤษฎีจำนวนปัญหาของวาริงถามว่าจำนวนธรรมชาติk แต่ละจำนวน มีจำนวนเต็มบวกs ที่เกี่ยวข้องหรือไม่ โดยที่จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติที่ยกกำลังk ไม่เกิน sจำนวน ตัวอย่างเช่น จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสองไม่เกิน 4 ตัว กำลังสามไม่เกิน 9 ตัว หรือกำลังสี่ไม่เกิน 19 ตัว ปัญหาของวาริงถูกเสนอขึ้นในปี 1770 โดยเอ็ดเวิร์ด วาริงซึ่งเป็นที่มาของชื่อปัญหา คำตอบเชิงบวกของปัญหานี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทฮิลเบิร์ต-วาริงได้รับการเสนอโดยฮิลเบิร์ตในปี 1909 ^{[ 1 ]} ปัญหาของวาริงมี การจัดประเภทวิชาคณิตศาสตร์ของตัวเอง11P05 "ปัญหาของวาริงและรูปแบบต่างๆ"

นานก่อนที่วาริงจะตั้งปัญหาของเขาดิโอแฟนตัสได้ถามไว้แล้วว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของกำลังสองสมบูรณ์สี่จำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่ คำถามนี้ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อสมมติฐานของบาเชต์ ตามการแปลงานของดิโอแฟนตัสในปี 1621 โดยโคลด กัสปาร์ บาเชต์ เดอ เมซิริอัคและได้รับการแก้ไขโดยโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ในทฤษฎีบทกำลังสองสี่ ของเขา ในปี 1770 ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่วาริงตั้งสมมติฐานของเขา วาริงพยายามขยายปัญหานี้โดยพยายามแสดงจำนวนเต็มบวกทั้งหมดในรูปผลรวมของกำลังสาม จำนวนเต็มยกกำลังสี่และอื่นๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเฉพาะ และจะมีจำนวนเต็มที่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่กำหนดจำนวนสูงสุดเสมอที่จำเป็นในการแสดงจำนวนเต็มบวกทั้งหมดด้วยวิธีนี้

สำหรับทุก ๆให้แทนจำนวนขั้นต่ำของกำลังที่ ของจำนวนธรรมชาติที่จำเป็นในการแสดงจำนวนเต็มบวกทั้งหมด จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังแรกหนึ่งตัว คือตัวมันเอง ดังนั้นการคำนวณอย่างง่ายบางอย่างแสดงให้เห็นว่า 7 ต้องใช้กำลังสอง 4 ตัว, 23 ต้องใช้กำลังสาม 9 ตัว^{[ 2 ]}และ 79 ต้องใช้กำลังสี่ 19 ตัว ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า, , และWaring ตั้งข้อสันนิษฐานว่าขอบเขตล่างเหล่านี้เป็นค่าที่แน่นอน^{[ 3 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g(1)=1}$${\displaystyle g(2)\geq 4}$${\displaystyle g(3)\geq 9}$${\displaystyle g(4)\geq 19}$

ทฤษฎีบทกำลังสองสี่เท่าของลากรองจ์ในปี 1770 ระบุว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสองไม่เกินสี่เท่า เนื่องจากกำลังสองสามเท่าไม่เพียงพอ ทฤษฎีบทนี้จึงพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทกำลังสองสี่เท่าของลากรองจ์ได้รับการคาดเดาในArithmeticaของDiophantusฉบับปี 1621 ของBachet ; Fermatอ้างว่ามีบทพิสูจน์ แต่ไม่ได้ตีพิมพ์^{[ 4 ]}${\displaystyle g(2)=4}$

ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีการกำหนดขอบเขตต่างๆ ขึ้น โดยใช้เทคนิคการพิสูจน์ที่ซับซ้อนและละเอียดอ่อนมากขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่นลิอูวิลล์แสดงให้เห็นว่ามีค่าไม่เกิน 53 ฮาร์ดีและลิตเติลวูดแสดงให้เห็นว่าจำนวนที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมดเป็นผลรวมของกำลังสี่ไม่เกิน 19 ตัว ${\displaystyle g(4)}$

ให้และถูกกำหนดโดยการหารแบบยุคลิดหรือโดยชัดแจ้งด้วยและ โดย ที่และแทน ส่วน จำนวนเต็มและส่วนเศษส่วนของจำนวนจริงตาม ลำดับ${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle 3^{k}=2^{k}q+r,\quad 0\leq r<2^{k},}$$${\displaystyle q=\lfloor (3/2)^{k}\rfloor }$${\displaystyle r=2^{k}\{(3/2)^{k}\}}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$

เนื่องจากจำนวนนั้นน้อยกว่าผลรวมของกำลังจำนวนเต็ม จึงสามารถแสดงได้โดยใช้และ เท่านั้น การใช้เลขคณิตมอดูลาร์แสดงให้เห็นว่าจำนวนพจน์น้อยที่สุดนั้นได้มาจากสูตรและเป็นผลสืบเนื่องมา จากสิ่งที่ JA Eulerได้บันทึกไว้เมื่อราวปี 1772 ^{[ 20 ]}ให้งานรวมจากผู้เขียนที่อ้างถึงข้างต้นนำไปสู่สูตร^{[ 21 ] [ 22 ]}ที่ใช้ได้สำหรับทุก: Dickson และ Pillai ต่างพิสูจน์กรณีแรกสำหรับและอีกสองกรณี โดยอิสระ ^{[ 23 ]}และพวกเขาสังเกตว่าสำหรับRubugunday พิสูจน์ว่า สำหรับทุกโดยทิ้งกรณีสุดท้ายไว้ ในสถานการณ์นี้ Niven พิสูจน์ว่า ${\displaystyle 2^{k}q-1}$${\displaystyle 3^{k}}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle 2^{k}}$$${\displaystyle 2^{k}q-1=\underbrace {1^{k}+\dots +1^{k}} _{2^{k}-1{\text{ times}}}+\underbrace {2^{k}+\dots +2^{k}} _{q-1{\text{ times}}},}$$$${\displaystyle g(k)\geq 2^{k}+q-2,}$$${\displaystyle 4^{k}=3^{k}d+s,\,0\leq s<3^{k}}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+q-2&{\text{ถ้า }}~q+r\leq 2^{k}\\2^{k}+q+d-2&{\text{ถ้า }}~q+r>2^{k}~{\text{ และ }}~qd+q+d=2^{k}\\2^{k}+q+d-3&{\text{ถ้า }}~q+r>2^{k}~{\text{ และ }}~qd+q+d>2^{k}.\end{cases}}}$$${\displaystyle q+r\leq 2^{k}-3}$${\displaystyle q+r\neq 2^{k}-1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle q+r\neq 2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q+r=2^{k}-2}$${\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}$

ไม่ทราบค่าของที่ทำให้สมมติฐานในสองกรณีสุดท้ายเป็นจริงMahler ^{[ 24 ]}พิสูจน์แล้วว่ามีเพียงจำนวนจำกัดของ ดังกล่าวเท่านั้นKubina และ Wunderlich ^{[ 25 ]}ขยายงานของ Stemmler ^{[ 26 ]}ได้แสดงให้เห็นว่า ดังกล่าวใดๆ ก็ตามจะต้องสอดคล้องกับ มีการคาดการณ์ว่าไม่มี ดังกล่าวในกรณีนั้นสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกตัว ${\displaystyle k}$${\displaystyle q+r>2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>471\,600\,000}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g(k)=2^{k}+q-2}$${\displaystyle k}$

ค่าแรกๆ ของคือ ${\displaystyle g(k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (ลำดับA002804ในOEIS )

จากผลงานของHardyและLittlewood [ ^{27 ]}ปริมาณที่เกี่ยวข้องG ( k ) ได้รับการศึกษาด้วยg ( k ) G ( k ) ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดsซึ่ง จำนวนเต็มที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอ ทุก ^{จำนวน} (กล่าวคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่าค่าคงที่บางค่า) สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวกไม่เกินsจำนวนยกกำลังkเห็นได้ชัดว่าG (1) = 1 เนื่องจากกำลังสองสอดคล้องกับ 0, 1 หรือ 4 (mod 8) (และสอดคล้องกับ 0, 1 หรือ 4 (mod 5) ^{[ 28 ]} ) ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนเต็มใดที่สอดคล้องกับ 7 (mod 8) ที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสามจำนวน ซึ่งหมายความว่าG (2) ≥ 4เนื่องจากG ( k ) ≤ g ( k )สำหรับทุกkสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าG (2) = 4 Davenportแสดงให้เห็น^{[ 29 ]}ว่าG (4) = 16ในปี พ.ศ. 2482 โดยการแสดงให้เห็นว่าจำนวนใดๆ ที่มีขนาดใหญ่พอสมควรซึ่งสอดคล้องกับ 1 ถึง 14 mod 16 สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสี่ 14 ตัว (Vaughan ในปี พ.ศ. 2529 ^{[ 30 ]}และ พ.ศ. 2532 ^{[ 31 ]}ลด biquadrates 14 ตัวลงเหลือ 13 และ 12 ตามลำดับ) ค่าที่แน่นอนของG ( k ) ไม่เป็นที่ทราบสำหรับ kอื่นๆแต่มีขอบเขตอยู่

จำนวนG ( k ) มากกว่าหรือเท่ากับ

2 r +2	ถ้าk = 2r โดยที่r ≥ 2 หรือk = 3 × 2r ;
พีอาร์ +1	ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 และk = p r ( p − 1);
( p r +1 − 1)/2	ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 และk = p r (p − 1)/2;
k + 1	สำหรับจำนวนเต็มk ทุกตัวที่ มากกว่า 1

ในกรณีที่ไม่มีข้อจำกัดเรื่องความสอดคล้อง การใช้เหตุผลเชิงความหนาแน่นชี้ให้เห็นว่าG ( k ) ควรเท่ากับk + 1

G (3) มีค่าอย่างน้อย 4 (เนื่องจากลูกบาศก์มีความสอดคล้องกับ 0, 1 หรือ −1 mod 9) สำหรับจำนวนที่น้อยกว่า 1.3 × 10⁹ ,1 290 740เป็นจำนวนสุดท้ายที่ต้องใช้ลูกบาศก์ 6 ลูก และจำนวนตัวเลขระหว่างNและ 2 Nที่ต้องใช้ลูกบาศก์ 5 ลูกจะลดลงเมื่อN เพิ่มขึ้น ด้วยความเร็วที่เพียงพอจนผู้คนเชื่อว่าG (3) = 4 ; ^{[ 32 ]}จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบในปัจจุบันที่ไม่ใช่ผลรวมของลูกบาศก์ 4 ลูกคือ7 373 170 279 850 , ^{[ 33 ]}และผู้เขียนได้ให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลว่านี่อาจเป็นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ ขอบเขตบนG (3) ≤ 7เกิดจาก Linnik ในปี พ.ศ. 2486 ^{[ 34 ]} (จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดต้องการลูกบาศก์อย่างมากที่สุด 9 ลูก และจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ต้องการลูกบาศก์ 9, 8, 7, 6 และ 5 ลูกนั้นคาดการณ์ไว้ว่าจะเป็น 239, 454, 8042,1 290 740และ7,373,170,279,850 ตามลำดับ ) ​​

13 792เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่ต้องใช้กำลังสี่ 17 ครั้ง (Deshouillers, Hennecart และ Landreau แสดงให้เห็นในปี 2000 ^{[ 35 ]}ว่าทุกจำนวนระหว่าง13 793และ 10 ²⁴⁵ต้องการอย่างมากที่สุด 16 และ Kawada, Wooley และ Deshouillers ได้ขยาย^{[ 36 ]}ผลลัพธ์ของ Davenport ในปี 1939 เพื่อแสดงให้เห็นว่าทุกจำนวนที่มากกว่า 10 ²²⁰ต้องการอย่างมากที่สุด 16) จำนวนในรูปแบบ 31·16 ⁿต้องการกำลังสี่ 16 ตัวเสมอ

68 578 904 422เป็นจำนวนสุดท้ายที่ทราบว่าต้องใช้เลขยกกำลังห้า 9 ตัว ( ลำดับจำนวนเต็ม S001057, Tony D. Noe, 4 กรกฎาคม 2017)617 597 724คือจำนวนสุดท้ายที่น้อยกว่า 1.3 × 10⁹ที่ต้องใช้กำลังห้า 10 เท่า และ51,033,617คือจำนวนสุดท้ายที่น้อยกว่า1.3 × 10⁹ที่ต้องใช้ 11

ขอบเขตบนด้านขวาสำหรับ 5 ≤ ^k ≤ 20 มาจากVaughanและWooley ^[ 37 ^]

ไอ. เอ็ม. วินอกราดอฟ ได้ใช้ระเบียบวิธี Hardy–Ramanujan–Littlewood ที่ได้รับการปรับปรุงของเขา และตีพิมพ์ผลงานการปรับปรุงมากมาย ซึ่งนำไปสู่...

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

ในปี พ.ศ. 2490 ^{[ 38 ]}และในที่สุด

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

สำหรับค่าคงที่C ที่ไม่ได้ระบุ และk ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร ในปี พ.ศ. 2502 ^{[ 39 ]}

เมื่อใช้ รูปแบบ p -adicของวิธี Hardy–Ramanujan–Littlewood–Vinogradov ในการประมาณผลรวมตรีโกณมิติ ซึ่งการหาผลรวมนั้นทำกับจำนวนที่มีตัวหารเฉพาะขนาดเล็กAnatolii Alexeevitch Karatsubaได้รับ^{[ 40 ]}ในปี 1985 การประมาณค่าใหม่สำหรับ: ${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+12).}$

Vaughan ได้ทำการปรับปรุงเพิ่มเติมในปี พ.ศ. 2532 ^{[ 31 ]}

จากนั้น Wooley ได้พิสูจน์ว่าสำหรับค่าคงที่^Cบาง ค่า [ ^{41 ]}

${\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}$

บทความสำรวจของ Vaughan และ Wooley จากปี 2002 ถือว่าครอบคลุมมากในขณะนั้น^{[ 37 ]}

• ทฤษฎีบทจำนวนรูปหลายเหลี่ยมศูนย์กลาง
• ทฤษฎีบทจำนวนรูปหลายเหลี่ยมของแฟร์มาต์กล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนรูปหลายเหลี่ยมn เหลี่ยมไม่เกิน nตัว
• ทฤษฎีบทกำลังสองสี่ของจาโคบีให้จำนวนวิธีที่จำนวนเต็มบวกสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของกำลังสองสี่จำนวน
• ข้อสันนิษฐานของพอลล็อค
• ปัญหาผลรวมย่อยเป็นปัญหาเชิงอัลกอริทึมที่สามารถใช้หาการแสดงจำนวนที่กำหนดให้ในรูปผลรวมของกำลังที่สั้นที่สุด
• ปัญหาผลรวมของกำลังสามสี่จำนวนเป็นการถกเถียงว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสี่จำนวนหรือไม่
• ผลรวมของกำลังสามสามจำนวนกล่าวถึงจำนวนใดบ้างที่เป็นผลรวมของสาม จำนวน ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนบวก เสมอไป
• ปัญหาของวาริง-โกลด์บัคคือ ปัญหาเกี่ยวกับการแสดงจำนวนในรูปผลรวมของกำลังของจำนวนเฉพาะ

• GI Arkhipov, VN Chubarikov, AA Karatsuba , "ผลรวมตรีโกณมิติในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์" เบอร์ลิน-นิวยอร์ก: Walter de Gruyter, (2004)
• GI Arkhipov, AA Karatsuba, VN Chubarikov, "ทฤษฎีผลรวมตรีโกณมิติพหุคูณ" มอสโก: Nauka, (1987)
• Yu. V. Linnik , "วิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นของปัญหาของ Waring โดยวิธีของ Schnirelman" Mat. Sb., N. Ser. 12 (54), 225–230 (1943)
• RC Vaughan , "วิธีการวนซ้ำแบบใหม่ในปัญหาของ Waring" Acta Mathematica (162), 1–71 (1989)
• IM Vinogradov , "วิธีการของผลรวมตรีโกณมิติในทฤษฎีจำนวน". Trav. Inst. Math. Stekloff (23), 109 หน้า (1947).
• IM Vinogradov, "เกี่ยวกับขอบเขตบนสำหรับG ( n )" Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (23), 637–642 (1959)
• IM Vinogradov, AA Karatsuba, "วิธีการหาผลรวมตรีโกณมิติในทฤษฎีจำนวน", Proc. Steklov Inst. Math. , 168, 3–30 (1986); แปลจาก Trudy Mat. Inst. Steklova, 168, 4–30 (1984).
• Ellison, WJ (1971). "ปัญหาของ Waring" . American Mathematical Monthly . 78 (1): 10– 36. doi : 10.2307/2317482 . JSTOR  2317482 .เอกสารสำรวจนี้ประกอบด้วยสูตรที่แม่นยำสำหรับG ( k ) เวอร์ชันที่เรียบง่ายของการพิสูจน์ของฮิลเบิร์ต และแหล่งอ้างอิงมากมาย
• Khinchin, A. Ya. (1998). สามไข่มุกแห่งทฤษฎีจำนวน . Mineola, NY: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6.มีการพิสูจน์เบื้องต้นถึงการมีอยู่ของG ( k ) โดยใช้ ความหนาแน่น ของSchnirelmann
• Nathanson, Melvyn B. (1996). ทฤษฎีจำนวนเชิงบวก: ฐานคลาสสิก . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 164. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl  0859.11002 .มีบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของลากรองจ์ทฤษฎีบทจำนวนรูปหลายเหลี่ยม บทพิสูจน์ของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับข้อสันนิษฐานของวาริง และบทพิสูจน์ของฮาร์ดี-ลิตเติลวูดเกี่ยวกับสูตรเชิงอะซิมโทติกสำหรับจำนวนวิธีในการแสดงNเป็นผลรวมของกำลังk จำนวน s ตัว
• ฮันส์ ราเดมาเคอร์และออตโต โทปลิตซ์ , ความเพลิดเพลินในวิชาคณิตศาสตร์ (1933) ( ISBN) 0-691-02351-4(มีบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของลากรองจ์ที่นักเรียนมัธยมปลายสามารถเข้าใจได้)

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (ปัญหา Waringsches)

• "ปัญหาของ Waring" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]