ในทางคณิตศาสตร์ลำดับจำนวนเต็มคือลำดับ (กล่าวคือ รายการที่มีการเรียงลำดับ) ของ จำนวนเต็ม

ลำดับจำนวนเต็มอาจระบุได้อย่างชัดเจนโดยการให้สูตรสำหรับพจน์ที่nหรือโดยนัยโดยการระบุความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ลำดับ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ( ลำดับฟิโบนาชชี ) เกิดจากการเริ่มต้นด้วย 0 และ 1 แล้วบวกพจน์ที่อยู่ติดกันสองพจน์ใดๆ เพื่อให้ได้พจน์ถัดไป: คำอธิบายโดยนัย (ลำดับA000045ในOEIS ) ส่วนลำดับ 0, 3, 8, 15, ... เกิดจากสูตรสำหรับพจน์ที่n : คำจำกัดความที่ชัดเจน ${\displaystyle n^{2}-1}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ลำดับจำนวนเต็มอาจถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่สมาชิกในลำดับนั้นมี แต่จำนวนเต็มอื่นไม่มี ตัวอย่างเช่น เราสามารถตรวจสอบได้ว่าจำนวนเต็มที่กำหนดให้เป็นจำนวนสมบูรณ์ หรือไม่ (ลำดับA000396ในOEIS ) แม้ว่าเราจะไม่มีสูตรสำหรับจำนวนสมบูรณ์ลำดับที่ n ก็ตาม

ลำดับจำนวนเต็มสามารถคำนวณได้ก็ต่อเมื่อมีอัลกอริทึมที่เมื่อกำหนดค่า แล้วสามารถคำนวณได้สำหรับทุกค่าเซตของลำดับจำนวนเต็มที่คำนวณได้เป็น เซตที่นับได้ ส่วนเซตของลำดับจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นเซตที่นับไม่ได้ (โดยมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนสมาชิกของคอนติเนียม ) ดังนั้นลำดับจำนวนเต็มทั้งหมดจึงไม่สามารถคำนวณได้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n>0}$

แม้ว่าลำดับจำนวนเต็มบางลำดับจะมีนิยาม แต่ก็ไม่มีวิธีการที่เป็นระบบในการกำหนดว่าลำดับจำนวนเต็มใดสามารถนิยามได้ในเอกภพหรือในความหมายสัมบูรณ์ (ที่ไม่ขึ้นกับแบบจำลอง)

สมมติว่าเซตดังกล่าวเป็นแบบจำลองการถ่ายทอดของทฤษฎีเซต ZFCคุณสมบัติการถ่ายทอดของเซตนี้หมายความว่าจำนวนเต็มและลำดับจำนวนเต็มภายในเซตนั้นเป็นจำนวนเต็มและลำดับของจำนวนเต็มจริงๆ ลำดับจำนวนเต็มเป็น ลำดับ ที่กำหนดได้เมื่อเทียบกับ เซตนั้น ถ้ามีสูตรบางอย่างในภาษาของทฤษฎีเซต โดยมีตัวแปรอิสระหนึ่งตัวและไม่มีพารามิเตอร์ ซึ่งเป็นจริงในเซตนั้นสำหรับลำดับจำนวนเต็มนั้น และเป็นเท็จในเซตนั้นสำหรับลำดับจำนวนเต็มอื่นๆ ทั้งหมด ในแต่ละเซตดังกล่าวจะมีลำดับจำนวนเต็มที่กำหนดได้ซึ่งคำนวณไม่ได้ เช่น ลำดับที่เข้ารหัสการกระโดดของทัวริงของเซตที่คำนวณได้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

สำหรับแบบจำลองการถ่ายทอดบางแบบของ ZFC ลำดับจำนวนเต็มทุกลำดับในสามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับ ในขณะที่แบบจำลองอื่นๆ มีเพียงลำดับจำนวนเต็มบางลำดับเท่านั้นที่สามารถกำหนดได้ ไม่มีวิธีที่เป็นระบบในการกำหนดเซตของลำดับที่สามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับและเซตนั้นอาจไม่มีอยู่จริงในแบบจำลองดังกล่าว ในทำนองเดียวกัน แผนที่จากเซตของสูตรที่กำหนดลำดับจำนวนเต็มใน ไปยังลำดับจำนวนเต็มที่สูตรเหล่านั้นกำหนดนั้น ไม่สามารถกำหนดได้ในและอาจไม่มีอยู่จริงในอย่างไรก็ตาม ในแบบจำลองใดๆ ที่มีแผนที่การกำหนดดังกล่าว ลำดับจำนวนเต็มบางลำดับในแบบจำลองจะไม่สามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับแบบจำลอง^{[ 1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ถ้าเซตของลำดับจำนวนเต็มประกอบด้วยลำดับจำนวนเต็มทั้งหมด เซตของลำดับจำนวนเต็มที่สามารถนิยามได้ในเซตของลำดับจำนวนเต็มนั้นจะมีอยู่ใน เซตของลำดับจำนวนเต็ม นั้น และเป็นเซตที่นับได้ และนับได้ในเซตของลำดับจำนวนเต็มนั้นด้วย ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ลำดับของจำนวนเต็มบวกเรียกว่าลำดับสมบูรณ์ถ้าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของค่าในลำดับนั้น โดยใช้แต่ละค่าได้ไม่เกินหนึ่งครั้ง

ลำดับจำนวนเต็มที่มีชื่อเฉพาะ ได้แก่:

• ลำดับการเรียกซ้ำคงที่
• สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์
• รายการลำดับจำนวนเต็ม

• วารสารลำดับจำนวนเต็ม (Journal of Integer Sequences ) บทความสามารถเข้าถึงได้ฟรีทางออนไลน์