ในทฤษฎีเซตคาร์ดินัลลิตี้ของคอนตินิวอัมคือคาร์ดินัลลิตี้หรือ "ขนาด" ของเซตของจำนวนจริง ซึ่งบางครั้งเรียกว่าคอนตินิวอัมเป็นจำนวนคาร์ดินัลอนันต์และแสดงด้วย( อักษรแฟรกตูร์ ตัวเล็ก " c ") หรือ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}.}$

จำนวนจริงมีมากกว่าจำนวนธรรมชาติยิ่งไปกว่านั้นมีจำนวนสมาชิกเท่ากับเซตกำลังของ ในเชิงสัญลักษณ์ ถ้า เราแทนจำนวนสมาชิกของ ด้วย จำนวนสมาชิกของคอนติเนียมก็คือ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยGeorg Cantorในการพิสูจน์ความไม่สามารถนับได้ ของเขา ในปี 1874 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาที่สำคัญเกี่ยวกับอนันต์ประเภทต่างๆ ต่อมาความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับการกล่าวถึงอย่างง่ายขึ้นในข้อโต้แย้งแนวทแยง ของเขา ในปี 1891 Cantor นิยามจำนวนสมาชิกในแง่ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง : เซตสองเซตจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากันก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตทั้งสอง

ระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนใดๆa  <  bไม่ว่าจำนวนทั้งสองจะอยู่ใกล้กันแค่ไหน ก็จะมีจำนวนจริงอื่นๆ อยู่เป็นจำนวนอนันต์เสมอ และแคนเตอร์ได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนเหล่านั้นมีมากเท่ากับจำนวนจริงทั้งหมดในเซตของจำนวนจริง กล่าวอีกนัยหนึ่งช่วงเปิด ( a , b ) มีจำนวนเท่ากับ เซตอนันต์ เช่น เดียวกับเซตอนันต์อื่นๆ อีกหลายเซต เช่นปริภูมิยูคลิดnมิติ ใดๆ (ดูเส้นโค้งเติมเต็มปริภูมิ ) นั่นคือ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

จำนวนคาร์ดินัลอนันต์ที่เล็กที่สุดคือ( aleph-null ) จำนวนที่เล็กเป็นอันดับสองคือ( aleph-one ) สมมติฐานความต่อเนื่องซึ่งยืนยันว่าไม่มีเซตใดที่มีจำนวนสมาชิกอยู่ระหว่างและ อย่างเคร่งครัด หมายความว่า[ ^{2 ] สมมติฐาน}นี้เป็นอิสระจากทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel ที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย พร้อมสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) กล่าวคือ ZFC ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

จอร์จ แคนเตอร์ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องจำนวนสมาชิก (cardinality)เพื่อเปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์ เขาได้แสดงให้เห็นอย่างมีชื่อเสียงว่า เซตของจำนวนจริงนั้นเป็น อนันต์ ที่ นับไม่ได้นั่นคือมีจำนวนสมาชิกมากกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติ อย่างชัดเจน${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

ในทางปฏิบัติ หมายความว่าจำนวนจริงมีมากกว่าจำนวนเต็มอย่างแน่นอน แคนเตอร์พิสูจน์ข้อความนี้ด้วยวิธีต่างๆ หลายวิธี สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้ โปรดดูการพิสูจน์ความไม่สามารถนับได้ครั้งแรกของแคนเตอร์และการให้เหตุผลแบบทแยงมุมของแคนเตอร์

สามารถใช้การโต้แย้งแนวทแยงมุมของแคนเตอร์ในรูปแบบต่างๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแคนเตอร์ซึ่งระบุว่าจำนวนสมาชิกของเซตใดๆ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกของเซตกำลัง ของเซตนั้นอย่างเคร่งครัด นั่นคือ(และเซตกำลังของจำนวนธรรมชาติจึงนับไม่ได้) ^{[ 3 ]}ในความเป็นจริง จำนวนสมาชิกของ ตาม นิยามเท่ากับซึ่งสามารถแสดงได้โดยการให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งในทั้งสองทิศทางระหว่างเซตย่อยของเซตอนันต์ที่นับได้กับจำนวนจริง และใช้ทฤษฎีบทแคนเตอร์-เบิร์นสไตน์-ชโรเดอร์ซึ่งระบุว่าเซตสองเซตที่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งในทั้งสองทิศทางจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน^{[ 4 ] [ 5 ]}ในทิศทางหนึ่ง จำนวนจริงสามารถเทียบเท่ากับเดเดคินด์คัท เซตของจำนวนตรรกยะ^{[ 4 ]}หรือกับการขยายไบนารีของจำนวนตรรกยะ^{[ 5 ]}ในทางกลับกัน การขยายเลขฐานสองของจำนวนในช่วงครึ่งเปิดซึ่งมองว่าเป็นเซตของตำแหน่งที่การขยายเป็นหนึ่ง เกือบจะให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตย่อยของเซตที่นับได้ (เซตของตำแหน่งในการขยาย) ไปยังจำนวนจริง แต่ไม่สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้สำหรับจำนวนที่มีการขยายเลขฐานสองที่สิ้นสุด ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยการขยายที่ไม่สิ้นสุดที่ลงท้ายด้วยลำดับซ้ำของ 1 สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้โดยการเพิ่มหนึ่งให้กับการขยายที่ไม่สิ้นสุดที่ซ้ำกันของ 1 โดยจับคู่กับ[ ^{5 ] ดังนั้น}เราจึงสรุปได้ว่า^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [1,2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

ความเท่าเทียมกันเชิงจำนวนสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เลขคณิตเชิงจำนวน : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

โดยใช้กฎของเลขคณิตเชิงจำนวน เราสามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

โดยที่nเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัดใดๆ ที่มีค่าตั้งแต่ 2 ขึ้นไป และ

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

โดยที่คือจำนวนสมาชิกของเซตกำลังของRและ. ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

จำนวนจริงทุกจำนวนมี การขยายทศนิยมอนันต์อย่างน้อยหนึ่งแบบ ตัวอย่างเช่น

(แม้ในกรณีที่การขยายตัวซ้ำกัน ดังเช่นในสองตัวอย่างแรก ก็ยังเป็นเช่นนั้น)

ในกรณีใดๆ ก็ตาม จำนวนตำแหน่งทศนิยมสามารถนับได้เนื่องจากสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของจำนวนธรรมชาติได้ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะพูดถึงตำแหน่งทศนิยมแรก ตำแหน่งที่หนึ่งร้อย หรือตำแหน่งที่หนึ่งล้านของค่า π เนื่องจากจำนวนธรรมชาติมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนจริง ดังนั้นจำนวนจริงแต่ละจำนวนจึงมีจำนวนหลักในการกระจายของมัน ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph _{0},}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

เนื่องจากจำนวนจริงแต่ละจำนวนสามารถแบ่งออกเป็นส่วนจำนวนเต็มและส่วนทศนิยมได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

โดยที่เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,.}$

ในทางกลับกัน ถ้าเราพิจารณาและกำหนดว่าเศษส่วนทศนิยมที่มีเฉพาะ 3 หรือ 7 เป็นเพียงส่วนหนึ่งของจำนวนจริง เราก็จะได้ ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

ลำดับของหมายเลขเบธถูกกำหนดโดยการตั้งค่าและดังนั้นหมายเลขเบธที่สอง คือเบธ-วัน : ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

จำนวนเบธที่สาม หรือเบธสองคือจำนวนสมาชิกของเซตกำลังของ(กล่าวคือ เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเส้นจำนวนจริง ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

สมมติฐานความต่อเนื่องยืนยันว่า ก็ คือ จำนวนอเลฟที่สองเช่นกัน[ ^{2 ] กล่าว}อีกนัยหนึ่ง สมมติฐานความต่อเนื่องระบุว่าไม่มีเซตใดที่มีจำนวนสมาชิกอยู่ระหว่างและ อย่างเคร่งครัด${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

ข้อความนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelที่มีสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) ดังที่แสดงโดยKurt GödelและPaul Cohen [ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] กล่าว}คือ ทั้งสมมติฐานและการปฏิเสธนั้นสอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้ ในความเป็นจริง สำหรับจำนวนธรรมชาติn ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว ความเท่าเทียมกัน= ไม่ขึ้นอยู่กับ ZFC (กรณีคือสมมติฐานต่อเนื่อง) เช่นเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับอเลฟส่วนใหญ่ แม้ว่าในบางกรณี ความเท่าเทียมกันสามารถถูกตัดออกได้โดยทฤษฎีบทของ Königบนพื้นฐานของcofinality (เช่น) โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาจเป็นหรือโดยที่เป็นลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรกดังนั้น อาจเป็นคาร์ดินัลผู้สืบทอดหรือคาร์ดินัลลิมิตและอาจเป็นคาร์ดินัลปกติหรือคาร์ดินัลเอกฐาน ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{n}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

เซตจำนวนมากที่ศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์มีจำนวนสมาชิกเท่ากับn ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปมีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากกว่าได้แก่: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• เซตของเซตย่อยทั้งหมดของ(เช่น เซตกำลัง)${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• เซต2 ^Rของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ที่กำหนดบนเซตย่อยของจำนวนจริง (เซตนี้สมมาตรกับ – ฟังก์ชันตัวบ่งชี้จะเลือกองค์ประกอบของแต่ละเซตย่อยที่จะรวมไว้)${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากถึง${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• พีชคณิตเลเบสก์ σของนั่นคือ เซตของเซตที่วัดได้แบบเลเบสก์ ทั้งหมด ใน${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เซตของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลเบสได้ ทั้งหมดจาก ถึง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เซตของฟังก์ชันที่วัดได้แบบเลเบส ทั้งหมดจาก ถึง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• การอัดแน่นแบบ สโตน-เช็กของ, , และ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของฟิลด์ (แบบไม่ต่อเนื่อง) ของจำนวนเชิงซ้อน

สิ่งเหล่านี้ทั้งหมดมีจำนวนสมาชิก( beth two ) ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

• ลักษณะสำคัญของความต่อเนื่อง

• Paul Halmos , ทฤษฎีเซตแบบง่าย . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. พิมพ์ซ้ำโดย Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(ฉบับพิมพ์โดย Springer-Verlag)
• เจค, โทมัส , 2003. ทฤษฎีเซต: ฉบับสหัสวรรษที่สาม ฉบับปรับปรุงและขยายความ . สปริงเกอร์. ISBN 3-540-44085-2.
• คูเนน, เคนเนธ , 1980. ทฤษฎีเซต: บทนำสู่การพิสูจน์ความเป็นอิสระ . เอลเซเวียร์. ISBN 0-444-86839-9.

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากcardinality of the continuumบนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License